２つの共振モードが近接した圧電振動子の等価回路定数算出法の開発山形大学工学部技術部基盤技術室山吉康弘の振動速度 v0 は fr で極大となる共振特性を示１．まえがきチタン酸ジルコニア酸鉛などのセラミックスすが，この特性は，RLC 直列電気回路を流れや水晶・LiNbO3 などの単結晶は，電気的エネる電流の振る舞いと全く等価であるため，振動ルギーと機械的エネルギー間の変換作用であ子の機械的振動をそれと等価な電気回路に置る圧電効果を有しており，それを利用した圧電き換え，その回路定数の値を指標として圧電振動子は，フィルタやセンサ，アクチュエータ振動子の評価を行うことができる。などの広い分野に応用・実用化されている。従図２(a)に単一の共振モードのみを考慮した来から，圧電振動子の性能を電気的アドミタン圧電振動子の等価電気・機械回路を示す。理ス特性から算出した等価回路定数で評価する想変成器の右側が機械的共振特性を表す機方法が一般的に用いられている[1,2]が，その械回路であり，r，m，s は等価機械抵抗，等価多くは単一の共振モードを対象にした方法で質量，等価コンプライアンスである。左側は誘あり，結合共振モードや縮退分離した共振モ電体としての電気特性を表す電気回路であり，ードのように他の共振モードが近接している場 Cd ，Rd は制動容量と誘電損失抵抗である。A 合には非常に誤差が大きくなり，正確な評価がは電圧と振動子先端の集中力 F0 との間の変成できない。そこで，今回，２つの共振モードが比であり，力係数と呼ばれており，この値が大近接した圧電振動子に適応できる等価回路定きいほど，電気と機械的エネルギー間の変換数の算出方法を開発した。効率が高い。図２(b)は等価電気回路であり，R， L，C は等価電気抵抗，等価インダクタンス，等２．圧電振動子の等価回路図 1 に基本的な圧電振動子の構造を示す。板厚方向に分極軸がそろった長方形板であり，両面に給電用の電極が成膜されている。電気端子に周波数 f の交流電圧 V を印加すると，価容量である。圧電振動子の評価には，共振尖鋭度 Q（=2πfrL/R）および容量比 γ（=Cd/C）が代表的に用いられる。Q は大きいほど振動損失が小さく，γ は小さいほど電気機械結圧電逆効果により長方形板に繰り返し周波数 f 1 :A I の伸縮歪が生じる。圧電振動子の材料定数や形状で決まる固有周波数 fr に f が一致すると v0 Im m s F0 V Rd r Cd 長方形板の伸縮歪の振幅が極大化し，機械的に共振する。このとき，周波数 f と振動子先端 (a) 等価電気・機械回路 V(f) F0 v0 I R L C I V Rd Cd Poling (b) 等価電気回路図１．基本的な圧電振動子の構造図２．圧電振動子の等価回路合効率が高い。なお，振動子には振動姿態が最小となるように最小自乗法を適応して，によって共振周波数が異なる無数の共振モ x0 ，y0 ，r0 を以下の式から求める。ここで，εi ードが存在するが，ある特定の共振モード =(Gi－x0)2+(Bi－y0)2－r02 である。に着目した場合，その共振周波数近傍に他の共振モードが存在しなければ，それらの ( ∑ G − ∑ G ∑ G ) (N ∑ G B − ∑ G ∑ B ) ( ∑ G B − ∑ G ∑ B ) (N ∑ B − ∑ B ∑ B )   N (∑ G + ∑ G B ) − ∑ G (∑ G + ∑ B )    N (∑ B + ∑ G B ) − ∑ y (∑ G + ∑ B )  x0  1  N y  =  N  0  2  り扱うことができる。算出法等価回路定数を算出する方法はいくつか報告されている[1,2]が，誘電体損失は実用上無視できる場合が多いことから，ほとんどの方法では Rd が考慮されていない。しかし，厳密な評価を可能とするために Rd を考慮した等価回路定数の算出方法を考案した。図３に圧電振動子の共振周波数近傍における電気的アドミタンスの周波数特性の典型例を示す。Q の比較的大きな圧電振動子のアドミタンス特性は，ほぼ円形になる。そこで，周波数 fi に対するコンダクタンス Gi とサセプタンス Bi を数点測定し（i=1~N），それらの離散的なデータ群（Gi, Bi）を円の方程式で最小自乗近似して求める方法を考えた。以下にその手順を示す。１．測定したデータ群（Gi, Bi）（i=1~N）を，中心座標（x0 ，y0 ），半径 r0 の円の方程式（G－ x0)2+(B－y0)2=r02 で近似し，残差自乗和 Σεi2 B Bmax i i i 3 i 3 i 影響は無視でき，単一共振モードとして取３．誘電体損失を考慮した等価回路定数の 2 i r02 = 1 N (∑ G 2 i i i 2 i − 2 x0 i i i i i 2 i 2 i ∑G + ∑ B i 2 i i 2 i i 2 i i − 2 y0 i −1 i i 2 i 2 i ∑ B )+ x i 2 0 + y 02 ２．点 O から円の中心（x0，y0）を通る直線と点 O から測定点（Gi, Bi）を通る直線とのなす角度をφi とすると fi は tanφi＝(Bi－y0)/{Gi－(x0 －r0)}との関数で表すことができる。φi＝0 における周波数が共振周波数 fr であるから， tanφi＝0 となる周波数を以下に示す Neville の補間法を用いて求めて，fr とする。このとき， fi に対してφi が単調減少する範囲のデータ点のみを用いると解が発散しにくい。 N 0, 0 = f1 k=1, 2 ~ N－1 に対して N k , 0 = f k +1 N k, j = tan φ k +1 N k −1, j −1 − tan φ k − j +1 N k , j −1 , (j=1, 2 ~ k) tan φ k +1 − tan φ k − j +1 f r = N N −1, N −1 ３．制動容量を Cd=Σ(y0)/ωr として求める。ここでの Σ(y0)は手順１～４を繰り返す過程で求めた各 y0 の値の総和であり，ωr=2πfr である。４．（fi, Gi, B0i）に対して改めて手順１から繰り返 (f1, G1, B1) (f2, G2, B2) し，x0，Σ(y0)，r0 が収束するまで繰り返す。こ (fi, Gi, Bi) こで B0i=Bi－ωiCd であり，ωCd の周波数依存性による y0 の変化の影響を取り除くことにより， y0 低 Q の振動子にもある程度対応できる。 φi O ５．x0，Σ(y0)，r0，fr の収束値を用いて，誘電損 r0 失抵抗を Rd=1/(x0-r0) ，制動容量を (fN, GN, BN) Cd=Σ(y0)/ωr として求める。 Bmin 1/Rd x0 Gmax G 図３．圧電振動子のアドミタンス特性６．xi=ωi/ωr－ωr/ωi として，下式から共振尖鋭度 Q を求める[2]。 1 Q= ∑ xi(Gi − R が非常に接近している。表２は，それぞれの各 )(ωi C d − Bi ) d 1 ∑{xi(Gi − R 共振周波数の近傍のデータ（●および○印） )}2 を用いて，前節で示した単一共振モードの等 d ７．等価インダクタンスを L=RQ/ωr から求める。 2 ８．等価容量を C=1/(ωr L)から求める。４．近接した２つの共振モードの等価回路定数図４に，２つの共振モードが近接した圧電振動子のアドミタンス特性を示す。２つの円が重なった特性となっている。図５に２つの共振モードを考慮した圧電振動子の等価電気回路，表１に図４に示した圧電振動子の等価回路定数を示す。1st モードと2nd モードの共振周波数 Susceptance B [mS] 0.2 と略す）で求めた等価回路定数である。表1の値と比較すると特にγ，Cd，Rdの誤差が大きい。そこで２つの共振モードが近接した圧電振動子にも適応できる方法を考案した。それは，他方の共振回路を除外して単一共振法を交互に繰り返すことによって，２つの共振モードを分離して等価回路定数を求める方法である。以下にその手順を示す。なお，Y=G+ｊBである。１．２つの共振モードの共振周波数fr1とfr2の近傍のデータ群 [fi, Yi] （ i=1~N1 ）と [fj, Yj] （j=1~N2）をそれぞれ測定する。 0.1 ２． [fi, Yi]を用いて単一共振法で，R, L, C, Cd, Rdを求め，R1(1), L1(1), C1(1), Cd1(1), Rd1(1)とす 0 f=4.990~5.023 kHz る。 -0.1 -0.2 価回路定数を求める方法（以後，単一共振法３． R1(1), L1(1), C1(1)からY1（fｊ）を計算し，[fｊ, Yｊ（fｊ）- Y1（fｊ）] を用いて単一共振法で，R, L, 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Conductance G [mS] 図４．２つの共振モードが近接した圧電振動子のアドミタンス特性 R1 Rd Cd R2 L1 L2 C1 C2 Y1 Y2 Rd2(1)とする。４． R2(1), L2(1), C2(1)からY2（fi）を計算し，[fi, Yi （fi）- Y2（fi）]を用いて単一共振法で，R, L, C, Cd, Rdを求め，R1(2), L1(2), C1(2), Cd2(2), Rd2(2)とする。５．上記の３，４を k 回繰り返して，R1(k), L1(k), C1(k), R2(k), L2(k), C2(k)が一定の値に収束したときの値をそれぞれR1, L1, C1, R2, L2, C2 図５．２つの共振モードが近接した圧電振動子の等価電気回路表１．近接２共振モードの等価回路定数 st C, Cd, Rd を求め，R2(1), L2(1), C2(1), Cd2(1), とし，また，Cd1(k), Rd1(k), Cd2(k), Rd2(k)をCd1, 表２．単一共振法による等価回路定数 nd 1st mode 2nd mode fr [kHz] 4.999846 5.010041 1000 Q 787.859 1054.22 50 γ 621.198 -93.9283 1 mode 2 mode fr [kHz] 5.00 5.01 Q 1000 γ 100 Cd [pF] 500 Cd [pF] 3134.64 -836.902 Rd [MΩ] 1.0 Rd [MΩ] 0.0205401 0.0327976 Rd1, Cd2, Rd2とする。ここで，Cd1とCd2およびる。２つの共振モードのｆr, Q, γの値は，表１の Rd1 とRd2 は同じ値になるべきであるが，両値と良く一致している。また，CdとRdの平者の平均値をCd, Rdとする。均値も良く一致している。図６(a)(b)に，計なお，上記の手順で，アドミタンス円の大算に使用したデータ点を●印で，また表３きな共振モードを[fi, Yi]，小さな共振モードの等価回路定数を用いて計算したアドミタを[fj, Yj]とした方が分離・収束しやすい。ンス特性を実線で示す。両モードともに，表３は，上記アルゴリズムによって10回繰り計算値はデータ点と良く一致している。図返し計算を行って求めた等価回路定数であ中には，他方の共振回路を除外した場合の表３．繰り返し分離法による等価回路定数 1st mode 2nd mode fr [kHz] 5.00 5.01 Q 997.529 1000.45 γ 99.6431 50.2874 Average アドミタンス特性を破線で示したが，近接した他方の共振モードの影響が大きいことがわかる。なお，本手法の開発プログラムの作成には日本ナショナルインスツルメンツ社のLabVIEWを用いた。 Cd [pF] 499.401 502.731 500.1066 Rd [MΩ] 1.13247 0.996331 1.0644005 ４．まとめ誘電体損失を考慮した単一共振モードの等価回路定数を算出する方法を示すとともに，２ Susceptance B [mS] 0.2 つの共振モードが近接した圧電振動子の等価 Fitting curve 回路定数を算出する方法を開発した。それは， 0.1 単一の共振モードの等価回路定数を求める方 Data points 0 法を，他方の共振回路を除外して交互に繰り返し計算することによって，２つの共振モードを Neglect Y2 -0.1 f=4.995~5.005 kHz -0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Conductance G [mS] 分離して等価回路定数を求める方法である。アルゴリズムは比較的単純であるが，繰り返し過程において，２つの共振回路が分離できれば，比較的広い範囲の Q や γ をもつ圧電振動 (a) 1st mode 子にも適応できると考えられる。 0.2 Susceptance B [mS] Neglect Y 1 0.1 Data points LabVIEW の技術講習受講のため，山形大学技術部個人研修の補助を受けた。また，日 0 f=5.005~5.015 kHz 頃ご指導頂いている電気電子工学分野広瀬 -0.1 -0.2 謝辞精二教授と田村英樹助教に感謝致します。 Fitting curve 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Conductance G [mS] (b) 2nd mode 図６．繰り返し分離法によるアドミタンス特性参考文献 [1] 山本，菅原，富川，近野, 音響学誌, 34-8, 1978, pp. 455-461. [2] 照沼, 西垣, “圧電振動子の等価回路定数測定法”, 25-V-3, pp. 19-20