29. IIRフィルタの設計

29. IIRフィルタの設計
29. Design of Infinite Impulse Response Filter

このテーマの要点
 IIRフィルタの構成法を理解する
IIRフィルタの特性について理解を深める
教科書の該当ページ
 8.3 ディジタルフィルタ [p.146]
! IIRフィルタの設計法 [p.155]
IIRフィルタ
b0 + b1 z − 1 + b2 z − 2 + ... + bK z − K
H(z) =
1 − (a1 z − 1 + a2 z − 2 + ... + aM z − M )
M
K
m=1
k=0
y(n) = ∑ am y (n− m) + ∑ bk u (n− k)
応答が無限
! 安定性に条件あり
! 零位相・直線位相は近似
! 低次でも良好な f 特
!

設計法
●
●
アナログフィルタのH(z)を変換
インパルス不変法, 双一次変換法
希望特性を直接近似
インパルス不変法 (標準 z 変換法)
アナログフィルタのインパルス応答を離散化して H(z) を求める方法

アナログフィルタ
HA (ω )
伝達関数 HA(s)
! インパルス応答 hA(t)
!
0
T 間隔でサンプリング

hA (t )
ディジタルフィルタ
! インパルス応答 h(n) = hA(nT )
z 変換
!
ω
0
t
h (n )
伝達関数 H(z)
n
0
※ 離散化によってスペクトルが折り返す
H (Ω )
エイリアシングに注意
!
LPF, BPFのみ設計可能
!
十分な減衰特性を有すること
0
Ω
インパルス不変法の手順
① HA(s)を部分分数展開
HA(s) =
b0(s − σ1)(s − σ2) ••• (s − σm)
p
p
p
= 1 + 2 + ••• + n
(s − λ 1)(s − λ 2) ••• (s − λ n)
s−λ1 s−λ2
s−λn
(8.48)
② 各要素をラプラス逆変換
hAi (t) = pi e λ i t (8.49)
T 間隔でサンプリング
hi (n) = hAi (nT ) = pi e λ i nT
z 変換
Hi (z) =
(8.50)
③ 展開式の要素の和
n
H(z) = ∑ pi
pi
1 − e λi T z − 1
z
= pi
z − e λi T
要はこの置き換えを行う
i=1
z
z − e λi T
(8.52)
(8.51)
※ 振幅の調整が必要
例題教科書演習問題 [4]
HA(s) =
1
と等価なディジタルフィルタのH(z)を求めよ
s2 + 3s + 2
① HA(s)を部分分数展開
1
1
=
− 1
(s + 2)(s + 1) s + 1 s + 2
HA(s) =
pi
s − λi
② 各要素を変数変換
H(z) =
=
1
1 − e −T z − 1
−
1
pi
1 − e λi T z − 1
1 − e − 2T z − 1
ze −T(1 − e −T )
z
z
−
= 2
z − e −T z − e − 2T
z − (e −T+ e − 2T )z + e − 3T
pi
s − λi
2次LPFの設計例１
pi
1 − e λi T z − 1
特性
ω 02
バタワース f0 = 1 kHz fs = 10 kHz HA(s) = 2
s + 2 ω0 s + ω02
① 部分分数展開

HA(s) =
j 2ω0 /2
j 2ω0 /2
−
s + 2 (1+ j )ω0 /2 s + 2 (1− j )ω0 /2
j 2ω0 /2
1− e −
③ 数値代入
H(z) =
のとき
H(z) = 1
② 変数変換
H(z) =
z = e j 0T = 1
2(1+ j )ω 0T /2 z
−
−1
j 2ω0 /2
1− e −
2(1− j )ω 0T /2 z − 1
④ 振幅調整
4442.822 z − 1
分子 = 0.253195 z − 1
1− 1.158046 z − 1 + 0.411241 z − 2
回路の構成１
H(z) =
0.253195 z − 1
1− 1.158046 z − 1 + 0.411241 z − 2
FF部分
b1 z − 1
=
1− a1 z − 1 − a2 z − 2
FB部分
b1 = + 0.253195
a1 = + 1.158046
a2 = − 0.411241
u(n)
+
z −1
+
a1
b1
z −1
a2
双一次変換法
双一次変換と呼ばれるs→z 変換を行い H(z) を定める方法
① 対応するデジ・アナ遮断周波数を計算
πω
ωA = tan ω D ωs：サンプリング角周波数
s
② 双一次変換
s
1 − z −1
1 + z −1
※ 振幅の調整が必要
HA(s)
H(z)
y(n)
双一次変換の概念
アナログフィルタの周波数特性を tan によって写像
ωA
∞
πω
ωA = tan ω D
s
HA(s)
特性は無限
無限の範囲を有限に写像
ωD
H(z)
ωs /2
特性は有限
(繰り返し)
2次LPFの設計例２
特性
ω 02
バタワース f0 = 1 kHz fs = 10 kHz HA(s) = 2
s + 2 ω0 s + ω02
① アナログ遮断周波数

πω
ωA0 = tan ω D0 = tan 0.1π = 0.324920 rad/s
s
HA(s) に代入
HA(s) =
0.105573
s2 + 0.459506 s + 0.105573
② 双一次変換
H(z) =
s
1 − z −1
1 + z −1
④ 振幅調整
この場合不要
0.067455 + 0.134910 z − 1 + 0.067455 z − 2
1 − 1.142980 z − 1 + 0.412802 z − 2
回路の構成２
H(z) =
0.067455 + 0.134910 z − 1 + 0.067455 z − 2
1 − 1.142980 z − 1 + 0.412802 z − 2
FF部分
b0 + b1 z − 1 + b2 z − 2
=
1− a1 z − 1 − a2 z − 2
FB部分
b0 = + 0.067455
b1 = + 0.134910
b2 = + 0.067455
a1 = + 1.142980
a2 = − 0.412802
u(n)
+
+
b1
+
y(n)
z −1
+
a1
z −1
a2

安定性と特性比較

b0
b2
設計例1,2の特性比較
LPF
極の写像
インパルス
インパルス不変法
jπ
T
Im
安定
双一次変換
Re
−j π
T s平面
Im(z)
j
1
双一次変換法
−j
Im
安定
s平面
Re
インパルス
Re(z)
−1
z平面
z = e a + jΩ
a < 1 で収束
HPF
双一次変換

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