ＩＣＭＥ世界大会参加報告記 松 崎 雅 夫 （Ⅰ）はじめに 昨年の７月３１日から８月６日まで、第９回数学教育世界会議が千葉県の幕張メッ セで開催された。４年に１回だけ開かれる国際大会にいながらにして参加できる絶好 の機会だったので、何とかスケジュ−ルを調整して大会全７日中の５日間だけ参加し てきた。 大会参加に当って一番危惧したのは言葉の問題であったが、ポイントになるような 大事な発表や講演には、同時通訳のイヤホンが準備されていたし、分科会の発表には、 英文の印刷物が必ず事前に配布されていたので、予想していたよりも十分に大会を楽 しむことができた。 率直な感想は「やはり、世界は広い！」の一言に尽きようか。数学は場所と時間を 超えた全人類に共通な真理であるが、その内容を万人に伝えるための数学教育に関し ては、内容も方法も様々な国の人々が実に様々な問題意識のもとに、それぞれ工夫を 凝らして熱心に研究に取組んでいることをあらためて認識し直した。 参加４日目には、コングレス・ツア−も用意されていた。私はバスの座席が隣り合 わせた、アラスカからやって来たという高校の数学教師から、一日中たっぷりと彼の 地の数学教育の状況をつぶさに聞くことができるという、貴重なおまけまで体験する ことができた。 以下、今回の世界大会参加を通して私が学んだ事柄の一端を、この期間のメモをも とに覚書としてまとめたものを紹介させていただく。なお、報告内容が正確さを欠く 場合は、すべて私の責任に帰すことを初めにお断りしておく。 （Ⅱ）数学教育世界大会から学んだこと １．「数学教育の目標と応用数学の方法論」藤田 宏 （日本） 発表者は、前日本数学会会長であり、1985 年以来「数学教育の目的は学習者の数 学的知性を涵養することにある」との自説を掲げておられるとのこと。この目的達 成のためには、次の ML と MT の 2 つの目標を追求せねばならない、と力説されてい た。 ・ML＝数学的リテラシ−（mathematical literacy） ＝知的なユ−ザ−の数学的力量 ・MT＝数学的思考力（mathematical thinking power） ＝将来の発展に対する数学的潜在力（としての考える力） ただし、数学的リテラシ−が実際に意味する内容は、学校段階によって異な っており、初等教育の段階では、いわゆる数素養（numeracy）に近い。 1 わが国の指導要領には、以前から「数学的考え方」という言葉がしばしば登場す るが、これまで私にはこの言葉がわかったようで分からない、如何にも曖昧模糊と した概念にしか受け取れなかった。しかし、今回藤田先生の「ML と MT」という整理 された概念に接して、数学教育の２つの大きな目標がくっきりと見えてきたような 新鮮な感触を覚えた。 翌日の「数学における民主化」に関して発表された分科会（これは後の３で触れ る予定である）で、ニュ−メラシ−（numeracy）とは、いわば数学教育における国 語の識字能力に相当する概念であるとの主張を聞き、より一層 ML と MT のそれぞれ の概念とこれらの相互関係について納得がいく思いであった。 私には、この２つの概念は数学教育の問題を整理する上で、大いに役立つと感じ ている。例えば、本校が受け入れている国際枠生徒と一般枠生徒の数学的な学力差 の原因の分析、また新指導要領の数学の内容が理系関係者から批判的に迎えられて いる根本的な原因は何か等についても早速適用できる。 さらに続けて、発表者はコンピュタ−の役割について次のように述べらた。 数学史に聳える巨峰として次の三者を挙げることができる。 第一の峰：紀元前 300 年頃のユ−クリッド幾何の誕生 第二の峰：17 世紀から 18 世紀に亘る微積分法の発見と展開 第三の峰：公理主義の現代数学の台頭 最近の数理科学の進歩は「数学における第四の峰」と呼ばれるに値する。顕微 鏡の登場が生物学に与えたような力を、（コンピュ−タ−は）これからの数学に 与えてくれるであろう。 一方において、コンピュ−タの賢い使い方は、研究者の学識と英知があってこ そ実現される。このことは数学教育におけるコンピュ−タや電卓の利用を考える 際には何時でも想起されねばならない。 この後、発表者は応用解析におけるシュミレ−ションの例として、「海面に流出し 海岸の砂浜に流れ着いた石油によって引き起こされる汚染現象」を、複数の高度な 非線形な微分方程式を用いて数学モデルを作成し、コンピュ−タの数値的解析結果 をアニメ−ション化したビデオ映像を提示された。 現在までのところ、数学教育の現場におけるコンピュ−タの利用は、大半が計算 機能と関数のグラフ提示機能の応用に終始しており、数理科学の進歩と連動するま では到底達していない。『最近の数理科学の進歩は「数学における第四の峰」』とい う程の意義があるのなら、高校までの数学教育におけるコンピュ−タの利用研究は、 まだその端緒についたばかりであるとの感を持たざるを得ない。 ２．「数学教育学研究における主要な論点と動向」Ｍ．Niss（デンマ−ク） 本発表は、第 1 回大会から第 9 回の今大会までの数学教育学研究の主要な論点と 動向の整理を試みた研究であった。 2 1960 年代以降、「すべての人に数学を」のスロ−ガンのもとに、大会の研究対象 がどのように広がってきたかについて、その要点を次のように報告されていた。 ・1960 年代と 70 年代を含めた初期の段階 … 中学・高等学校における数学、そして直ぐに小学 校が追加された ・1970 年代と 80 年代 … 教師教育と就学前教育 ・1980 年代と 90 年代 … 大学教育の研究 現在はまだ大学院教育は扱われていないが、近い将来に研究議題に入るであ ろう。なお、90 年代からは、教育を受け直す成人に対する教育、例えば早期 中退者に対する数学教育研究等も対象に入りつつある。 ３．「数学教育の民主化に対する障壁の克服」A.J.Bishop（オ−ストラリア） この標題を目にした時、一体数学教育で民主化という主題がいかようにして問題 となるのかが一向に見当がつかず、そのことに興味を持って講演に参加したもので ある。話を聞いてみると、オ−ストラリア原住民の人々の数学教育との関連で、こ うしたテ−マが必然的に生じたのだということが了解できた。日本の国内だけで数 学教育に携わっている私などには到底気付かない問題提起であった。 以下、当日の私のメモした事柄を記しておくので、問題の背景に思いを巡らして いただきたい。 １．ニュ−メラシ−（numeracy：数字識字能力）は、学習者が属する固有の文 化の在り方と深い関係において捉えられねばならない。 ・ニュ−ギニア・パプア人…身体各部を用いてで 68 まで数えられる ・アボリ人…影で天昼を判断する ２．数学的能力の考え方について ・教師は有能生徒、有能でない生徒のラベル貼りをするが、有能とは単に 或る状況における認知的判断にすぎないことが多い。 ３．学習者を研究することの重要性 ・数学教育では、従来は如何なる学習項目を如何なる順序で教えるかが中 心に考察されてきたが、これは学習の失敗の原因を学習者に帰す考 え方に繋がる。どのような社会的状況に置かれて育った学習者に教えよ うとしているのかが、学習を組織するに当たっての最初の重要なポイン トである。 ４．数学教師も「価値を教える」仕事である ・数学教師の中には、価値を教えなくてよいから数学の教師になったと称 する者が多数いるが、それは誤りである。問題を考え解く過程は、まさ に「正確、勤勉、効率、本質」等を大切な価値として身につける場その ものである。 3 ４．「あなたの授業のためのガウデイのアイデア ：三次元空間に生きる市民のための幾何学」C．Alsia（スペイン） 発表者の母国スペインで何十年にもわたって営々と現在も続けられている建築家 ガウデイ−の有名な建造物をはじめ、数々の彼の仕事を紹介しながら、２次元空間 だけの教育は３次元空間に生きる市民に何のメリットももたらさない。３次元空間 を知るということは一体どのような意味を持つのか。ガウデイ−の考え方が幾何教 育の中でどのように応用できるかについての報告であった。 軽快な音楽にのせての語り口はあくまでも滑らかで、時々美しい曲線や模型を提 示しながら、およそ日本の発表では考えられないようなショウマンシップ溢れる魅 惑的な発表内容であった。 ここでも、当日の私のメモを再現しておくので、当日の発表の雰囲気に思いを馳 せられたい。 １． ジョニ−は、なぜ平面人間になったのか? もともと３次元空間で活発に行動している子どもたちを、われわれ教師が 無理にノ−トの中の小っぽけな平面図形の世界に子どもたちを閉じ込めて しまい駄目にしてしまっているのではないかと、皮肉混じりの問題提起！ ２． ガウデイ−の遺産 ①重量分布を自然から学ぶ ・木の成長の仕方…ねじれたり曲がったりして垂直とは限らない。しか し、人工の建築物はことごとく垂直方向に屹立して作られている。 ②カテナリ− ・自重に耐える建造物 → ひっくり返す。 ・幾何学は簡潔だが、代数で表すと複雑になる。 ・ガイデイ−は、方程式なし図面なしで、空間で直接に仕事をしてきた。 ③空間が答えてくれる ・すべての人間は、３次元の市民であることを思い出そう。 （例）ⅰ.立方体の面は一つの固定点から最大何枚見ることが出来るか？ → ６枚（立方体の中に入って見よ！） ⅱ.直方体の対角線の長さをピタゴラスの定理無しで測る方法は？ → 立方体を平行移動する操作で可能 ３． 提示された興味あるその他の具体例 ①斜面を転がる玉の落下時間と螺旋を転がる玉の落下時間 ②円筒の切断面とサインカ−ブ ③駐車場の形と車の最大駐車台数 ④シュ−クリ−ム問題 ⑤グラスカップの等分問題 ⑥正方形の車輪の自転車が、滑らかに走れる路面の形状は？ ⑦ゴ−ルデンキュ−ブと黄金比（２次元の場合から３次元への拡張） 4 かくして、発表はあのＳＦ映画の傑作「2001 年宇宙の旅」で使われたウインナ− ワルツの旋律と共に、「空間の 3 次元に５感と時間を加えて、われわれは、少なくと も９次元の幾何学が学べるのだ！」との発表者の喚声で終了した。発表終了後は、 沢山の参加者が発表者のところへ集まって、ビジュアルな模型を触らせてもらった り、説明を求めたり、握手をしたりと、まるで楽しい見世物を鑑賞した直後のよう な盛り上り方であった。かく言う私も握手をしてもらったのであった！ ５．「教材・ハンズ・オン」秋山 仁（日本），Derek Holton（オ−ストラリア）他 ワ−キンググル−プ・フォ−アクションという分科会中、私は標題の発表に興味 を抱いて参加した。すると期待に違わず、発表を一方的に聞いたり見たりするだけ でなく、参加者も手を動かして実験できる場面があって、大いに楽しむことが出来 た。発表は数本あったが、特に印象に残った上記の２つのメモを記しておくことに したい。 １． 秋山 仁仁 １．秋山 ①円周角の定理を見て悟る！ ①円周角の定理を、見て悟る！ 最近は、カブリやスケッチパッドなどのコンピュ−タを用いた幾何ソフトで 円周角の定理を発見的に理解させることが主流になっている。しかし、この 発表は、針金と紙の円盤を利用するやり方の豊富な事例紹介であった。 ②円に内接する四角形の性質をサラダボ−ルで探る！ 昔からあるこの方法の方が、コンピュ−タによるバ−チャル的な手法よりも ⅰ.内対角との関係 ずっと温もりのあるよい方法であることをあらためて感じた。 ②円に内接する四角形の性質をサラダボ−ルで探る！ ⅰ.内対角との関係 ⅱ.トレミ−の定理 ⅱ.トレミ−の定理と加法定理 加法定理を覚えさせるための「さすって・こすって・こすって・さすって」 が、秋山先生の語り口も合間って何とも滑稽でおもしい。 ⅲ.調和平均・相加平均・相乗平均の関係を幾何学的に理解する方法 秋山先生は、テレビで見る時と同じ温かみのある情熱的な話し方で、沢山ビジュ アルな教具を持ち込んで「作って試して納得数学」を試演された。 ２．Derek Holton ① 計算機用のロ−ル紙から、正三角形を折る方法について ⅰ．ロ−ル紙に任意の折り目ＡＢを入れる（図１） ⅱ．次に鈍角側（図ではＢ）を２等分する折り目ＢＣを入れる（図２） ⅲ．以下同じ事を繰り返えしながら次々と折り目を入れていくと、これら の折り目は急速に正三角形を形成していく（図３） ② この①の操作によって得られた正三角形の連鎖を利用して多面体を作って 楽しむ 5 分科会の各国の参加者は、お互いに教えたり教えられたりしながら、まるで子ど ものように嬉々として①の操作に取り組んだ。手を動かすということは、国と年齢 をこえて誰しもが楽しめるものであることが納得のいく風景であった。 実際、最初の折り目がどうであろうとも、①の操作で急激に折り目が正三角形を 形成していくことはとても不思議で、その理由を考えたくなるのは自然である。調 べてみると、角Ａと角Ｂに相当する角度の関係が急速に 60゜収束する漸化式になる のである。従って、これは高校の数列の教材としても格好の素材として使える。 ６．「機械が数学をするようになったとき、 教師は何を指導すべきか？」Ｊ．Kenelly（アメリカ） 先ず、報告者はム−アの法則（Moor’s Law）として広く知られていること、例え ば、「トランジスタ−やインテルのチップ等の生産は指数法則に従って変化してい る」＝「インテルのチップは、１８ヶ月で２倍になる」、「メイプルのシステムの重 量と価格は、６年で１/１０倍になる」ことを冒頭で紹介して、計算機の急激な小型 軽量化と低価格化の強力な影響の下で、数学と数学教育が置かれている状況を次の ように印象的にまとめられた。あまりにも格好よく決まっているので原文のまま載 せておこう。 Math was Before Euclid Guessing Until Newton Arithmetic & Equation Until Computer Algebra (for Calicular) is Now Design & Application Math is now Deciding What to Do Selection Proccesing to DO IT Manipulating Using What you Find Interpretation The Answer ! Provide Sufficient Gray Box Experience for Graduates to Function in a Black Box World 6 ７．ピアジェの構成主義に基く初等算数 C.Kamii（アメリカ） 発表者は、若い頃ヨ−ロッパでピアジェ理論を学び、その後アメリカでこの理論を 用いて、こどもたちが数学的な能力を獲得していく過程を長期間に亘り綿密に継続研 究しておられるという日本出身の女性研究者であった。 はじめにピアジェ理論の紹介をされて、それに続けて計算さえ心もとない小学生た ちが互いに助け合って、計算方法を考案したり、文章題を解決していく様子をビデオ で再現して報告された。 報告は興味ある内容であったが、私が最も驚いたのは、研究発表後の参会者との質 疑応答の場面で、断固たる自信を持って自己の研究の正統生を主張される姿であった。 例えば、「文章題の解決に当っては、こどもたちに計算方法まで発見させる必要は無 いのではないか、計算方法は単なる解決の手段なのだから、それは予め指導しておい てもよいのではないか」との意見に対して、「知識を内面化させるには、計算といえど もこどもたちが獲得していく過程を辛抱強く体験させることが絶対必要なのだ！」と 断定して、質問者に妥協する気配は微塵も見せられなかった。 以下、ここでも私のメモを記しておくことにしょう。 １．ピアジェの知識分類 ①物理的知識 ：外界の自然の中に存在 (Physical-knowledge) ②論理･数学的知識：子どもたちの頭の中に存在 (Logico-Mathematical knowledge) ③社会的知識 ：人々のつくった慣習（伝統・習慣等）の中に存在 (Social(conventional)knowledge) ２．ピアジェの教育観 ・医学：症状に働きかける ・教育：思考に働きかける → それゆえ → 教育は本質的に哲学である ３．ピアジェの算数・数学教育観 ・ピアジェが目指しのたは、人間の知識を科学的に説明することであった その立場から、 ・子どもが数学をすることとは、 子どもが、ものごとの相互の関係を推論で構築することである、と主張 する ・従来の算数数学教育は、 知識を内面化して操作させることを中心に展開されてきたが、 ・ピアジェの構成論による算数数学の教育は、 （教え込まないで）子どもが知っていることをもとに 子どもたち自身に考えさせていくべきであると主張する （ex1）二桁の筆算の計算を、何も指示しないで生徒たちにやらせると… 7 ＊原則１：子どもが苦しんで答えを出すその過程が、子どもを真に考え させる ＊原則２：正誤の結果も、子ども同士の議論で結論を出させる （たとえ子どもたちで出した結果が誤っていても、放っておく） （ex2）６２セントで、５セントの消しゴムは幾つ買えるか？（割算未学習 児童への課題） ８．「Back to Basics Policies＝カリフオルニア州における 『基礎・基本へ帰れ』政策の影響力、州委員会決議の一年後」B.Jacob（アメリカ） 現在わが国では新しい指導要領下で総合的な学習が喧伝され、小学校から高等学校 までその取組みを開始しつつある。この措置と週五日制度の実施と合い待って、読み・ 書き・計算の授業時間数が減少するために、基礎学力の低下が現在関係者から強く心 配されているが、本研究はすでに 10 年前、これと類した体験をしたカリフォルニア 州の数学教育の変化をまとめた報告である。 以下は、われわれにとって極めて興味ある報告のポイントのメモである。 〈スキルの教育から → 考え方の教育へ〉 ・１９８５年：基本的なフレイムワ−クの完成 ・１９９２年：フレイムワ−クの変更（教師は教え込むのではなく、方 ＊この「skill の教育から → 考え方の教育へ」の変化は、州の標準テ 向づけをする役目に徹するべきである） ＜政策の実施後に再び大きく変わる＞ ・1995 年の州法の改革により、「基本的な計算能力（と書く能力）の重 視」が唱えられ始める。 ・その結果、「理解よりも、テストが出来ること」、「学習内容の段階を早 めること」が、現場教師の声として強まっていく。 ・その背景には、校長は生徒の成績が上がらなければ教師のボ−ナスをダ ウンさせる権限を持つようになり、生徒はトップテンの成績を取れば特 別奨学生資金が与えられるようになったことがある。 ＜２つの主張＞ ・心理学者：反射的に出来ることが好ましい。 ・数 学 者：skill は理解に基くべきであって、手続き・手順を覚えるだ けで出来るのは駄目である。少なくとも、６年生になるまで 計算機は使わせたくない。 8 最後に、発表者は理解と納得を中心に据えた数学教育と従来の典型的な数学教育と を比較して、次のようにわかりやすくまとめられた。 Teaching for Understanding Teaching Rules and Procedure Emphasis Understanding Emphasis Recall Teaches a few generalizations Teaches many rules Develops Conceptual Schemes or interested skill concepts Develops fixed or specific processes or skills Identifies global relationships Identifies sequential steps Is adaptable to new tasks or students(broad applicant) Is used for specific tasks or situations(limited in text) Take longer to learn but is retained more easily Is learned more quickly but is quickly for gotten Is difficult to teach Is easy to teach Is difficult to test Is easy to test ９．数学の記号の読み方について 覚書メモの付録として、バスツア−で一緒になったアラスカの高校数学教師に 教えてもらった、数学の頻出記号の読み方を記しておこう。 １．ａ＋ｂ：ａ plus ｂ ２．３×２：three times two ３．３÷２：three divides two 3 ４．２ : two to the third power x n ： x to the n th or two cubed power ５．F(x) : f of x ６．Log 2 7:log base 2 of 7 ７．F(x)dx: f of x with respect to x ８．ｄ(f(x))/ｄｘ: derivative f of x with respect to x ９．( ) : parenthesis １０．［ ］： bracket 9 （Ⅲ）おわりに 研究会終了後は、毎夕刻にハッピ−アワ−が設けられ、そこかしこでビ−ルの乾 杯が続いた。もちろんスポンサ−負担で費用は無料。私も思いきって異国の研究者 の輪に加わったが、このときほど英会話が自由に出来ればと、もどかしく思ったこ とはない。しかし、時すでに遅しであった。 若い先生方には、少々お金はいるけれども、こうした国際大会に出掛けられるこ とを是非ともお勧めしたい。自分のためにも、生徒たちのためにもなることは請け 合いである。その上、なかなか楽しいのだからもう言うこと無しである。こうした ささやかな私的な体験を少しでも大勢の方々に伝えたくて、拙い参加記を掲載させ ていただいた次第である。 大会参加の率直な感想は、冒頭にも述べたように「やはり、世界は広い！」、「井 の中の蛙ではだめだ！」に尽きる。 10
© Copyright 2024 Paperzz
