応用力学研究所研究集会報告 No.19ME-S2 「戸田格子 40 周年 非線形波動研究の歩みと展望」（研究代表者 西成 活裕） Reports of RIAM Symposium No.19ME-S2 40 years Anniversary of Toda lattice - history and perspective of nonlinear wave research Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy, Kasuga, Fukuoka, Japan, November 7 - 9, 2007 Article No. 30 回転する液滴の形状および挙動に 関する研究 榎 祐作（ENOKI Yusaku），崔 大宇（CHOI Daewoo） （Received March 19, 2008） Research Institute for Applied Mechanics Kyushu University April, 2008 回転する液滴の形状及び挙動に関する研究 Study on Shape and Deformation Behavior in Rotating Droplet 東京大学 工学系研究科 修士 2 年 榎 祐作 修士 1 年 崔 大宇 ダンベル形状（④）となる. 非軸対称形状をとると １ はじめに 角運動量の上昇にともない回転数は下がっていく 液滴の挙動解析や制御に関する研究は宇宙環境で ことが一般的に知られている. 最終的にある角運 の新しい材料の開発や車・航空機のエンジンの燃料 動量まで上昇すると液滴は 2 つに分裂してしまう. 噴霧の問題など幅広い分野で応用が期待されてい さて, 回転液滴の形状解析に関する過去の研究と る. その基礎研究の一環として, 本研究では浮遊 して, Brown と Scriven による有限要素法（FEM） する液滴をある軸周りに回転させたときの形状や を用いたシミュレーションがある [1]. 彼らのシミ 振動及び大変形挙動を理論的に解析することを目 ュレーション結果を図 2 に示す. 的としている. 理論に関しては JAXA（宇宙航空研 2.5 究開発機構）による回転浮遊液滴の実験結果との検 2.25 2 証も行っている. 今回は主に, 回転浮遊液滴の形 状に関する解析を紹介する. 1.75 Rmax/R0 R0 1.5 1.25 1 Ωs = 0.75 ２ 定常状態での 定常状態での回転液滴 での回転液滴の 回転液滴の形状 運動量が上昇するにつれて図 1 に示すような形状 変化を伴うことが知られている. 8α 0.5 0 浮遊液滴を, 中心を通る軸周りに回転させると角 ρω 2 R0 3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 NORMARIZED ROTATION RATE Ω/Ωs 図 2 有限要素法による解析結果（点は JAXA によ る実験結果） ３ 形状解析 本研究ではポテンシャルエネルギーに着目し解析 ①初期状態 ②軸対称形状 ③非軸対称形状 することでより理論的なアプローチを試みる. 軸 対称形状（図 1 の②）, ダンベル形状（図 1 の④）, 非軸対称（図 1 の③）をそれぞれ考える. ３.１ 軸対称形状 分裂 液滴の断面に対して図 図 3 のような座標を考える. z ④ダンベル形状 Ω 図 1 回転液滴の形状 f (z ) まず角運動量を上げていくにつれて, 回転軸を対 z 称軸とした軸対称形状（②）をとる. ある程度回転 数が上がり扁平すると, 非軸対称形状（③）を経て 0 f 図 3 軸対称形状座標設定 この座標系に従うと表面の座標は, f ( z ) cos θ r = f ( z ) sin θ z 面における座標は, f ( z ) cos θ r = Af ( z ) sin θ z (1) (9) となる. このとき表面積, 体積, 慣性モーメント となる. このとき表面積, 体積, 慣性モーメント は以下のように表すことができる. は以下のように表すことができる. S = 4π ∫ f 1 + f ′2 dz (2) S = 8∫ Af 1 + f ′2 E (k )dz (10) V = 2π ∫ f 2 dz (3) V = 2π A ∫ f 2 dz (11) I = πρ ∫ f 4 dz (4) I= これらを用いることで全ポテンシャルエネルギー G は回転エネルギー, 表面張力のエネルギー, 内 ここで E (k ) は k 2 = A2 + 1 πρ ∫ f 4 dz 2 (12) A2 − 1 1 をみたす第 2 種楕円 A2 1 + f ′2 部圧力によるエネルギーの和で表すことができ 積分である. これらを用いることで全ポテンシャ る. ルエネルギーG を求め, 評価関数 F を以下のよう 1 G = I Ω 2 + α S + ( Pc − Po )V 2 (5) ここで, α は表面張力係数を表し, Pc − Po は液滴 にすると変分法により非軸対称形状が求まる. F= A2 + 1 πρΩ 2 f 4 + 8α Af 1 + f ′2 E (k ) + 4π ( Pc − Po ) Af 4 の中心圧と外圧の差を表す. 積分の中を評価関数 F とすると次式のようになり, 1 F = πρΩ 2 f 4 + 4πα f 1 + f ′2 + 2π ( Pc − Po ) f 2 2 (6) エネルギーが最小となるような点を変分法により 求めると以下のようになる. ∂F d ∂F − =0 ∂f dz ∂f ′ f ′′ 1 1 ⇔ ρΩ 2 f 2 + ( Pc − Po ) = α − (1 + f ′2 )3 2 f 1 + f ′2 2 (7) (13) ∂F d ∂F − =0 ∂f dz ∂f ′ 1 A2 + 1 ρΩ 2 f 2 + ( Pc − Po ) ⇔ 4 A 2 2α 1 + f ′ A2 f ′2 f ′′ = − f π ( A2 f ′2 + 1) 1 + f ′2 E (k ) f2 f ′′ − + f 1 + f ′2 1 + f ′2 F (k ) (14) これを解くことで軸対称形状を求めることができ ここで F (k ) は k 2 = る. ちなみに式(6)の右辺 α の係数は平均曲率 H 積分である. の 2 倍と一致している. すなわち, 曲がった境界 を介して接している 2 つの媒質間には圧力のジャ ３.３ ダンベル形状 ダンベル形状 ここでダンベル形状とは回転軸と垂直な面上に対 ンプが生じるという Laplace の式 Pc − Po = 2α H A2 − 1 1 をみたす第 1 種楕円 A2 1 + f ′2 (8) 称軸が存在する形状を言う. 実際には図 1 の③か ら④に遷移するので完全な軸対称というわけでは において左辺に, 遠心力による圧力が加わった形 なく, となっていることがわかる. 持つという仮定のもと, 計算を行う. ダンベル形 ３.２ 非軸対称形状 非軸対称形状 状では液滴の断面に対して図 4 のような座標を考 軸対称形状と同様に座標を設定する. ただし, 式 (1)とは異なり, z 一定の断面が円ではなく, 楕円 となる. 長半径と短半径の比を A:1 とすると, 表 える. 少し扁平した形となっているが, 対称軸を て計算した結果は無次元回転数 0.25→0.50 の範囲 f Ω で実験と良い一致を見せており, 対称軸が存在す x るという仮定がこの範囲では妥当であることがわ かる. f ( x) 0 x 図 4 ダンベル形状座標設定 この座標系に従うと表面の座標は, x r = f ( x ) cos θ f ( x) sin θ Rmax/R0 (15) 表面積, 体積, 慣性モーメントは以下のように表 すことができる. 図 5 今回の数値計算による結果（点は JAXA によ S = 4π ∫ f 1 + f ′2 dx (16) V = 2π ∫ f 2 dx (17) 1 I = 2πρ ∫ x 2 f 2 + f 4 dx 4 (18) る実験結果） ５ さいごに 液滴の形状に関する過去の研究では有限要素法が これらを用いると全ポテンシャルエネルギーG が 求まり, 評価関数 F を以下のように定めると, 変 分法により形状を表す式が求まる. 主な解析手法であった. また, 我々の研究グルー プ で の 液 滴 の 形 状 に 関 す る 先 行 研 究 [2] で は , Laplace の式を基礎とし, 液滴の平均曲率そのも 1 F = πρΩ x 2 f 2 + f 4 + 4πα f 1 + f ′2 + 2π ( Pc − P0 ) f 2 4 2 (19) これを解くことでダンベル形状を求めることがで きる. のに着目したものであった. 本研究の手法ではポ テンシャルエネルギーに着目することで, 単純な 計算式を出発点とし, その過程で平均曲率の項が 現れ、先行研究結果と一致するという点において, より単純明快で新しいといえる. また, 先行研究 ∂F d ∂F − =0 ∂f dx ∂f ′ ⇔ NORMARIZED ROTATION RATE Ω/Ωｓ に比べ一般性を失わないため, 非軸対称の形状を f ′′ 1 1 1 ρΩ 2 x 2 + f 2 + ( Pc − Po ) = α − 2 3 2 f 1 + f ′2 (1 + f ′ ) 2 2 (20) ４ 計算結果 ３.１軸対称形状及び３.３ダンベル形状で求めた 式を用いて, 計算を行った. 結果は図 5 のように なった. ３.２非軸対称形状に関しては計算には 至っていないが, 軸対称として計算した曲線（水 平な線）とダンベルとして計算した曲線（右肩下 がりの線）を結ぶ曲線としてあらわれることが予 想される. 一方, 対称軸を持つダンベル形状とし 表現できるという点でも今後発展する余地がある. 今後は定常解だけでなく, 非定常解に関してもエ ネルギーに着目することで解を得たい. 参考文献 参考文献 [1] R.A. Brown and L.E. Scriven, The shape and stability of rotating liquid drops, proc. Roy. Soc. London, A371, 331-357 (1980) [2]榎祐作, 浮遊液滴の形状変化, 応用力学研究所 研究集会報告 No.17 ME-S2 (2005)
© Copyright 2024 Paperzz
