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特殊相対性理論における ロケットから見た地球までの距離

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2011 年度
卒業論文
特殊相対性理論における
ロケットから見た地球までの距離
龍谷大学
理工学部
T080033
数理情報学科
佐竹
指導教員
俊也
飯田晋司
概要
卒業論文のテーマを考えるにあたって、過去の卒業論文を参考にしたり、文献を読んだ
りして調べてみた。その中で、相対性理論に惹かれた。相対性理論という言葉こそ知って
いたものの、内容については大まかにしか知らなかった。しかし、読んでいるうちに、ど
ういうことなのか、どうしてこのような事が起こるのかが知りたくなりこのテーマを選ん
だ。
私は双子のパラドックスという議題を見つけた。これは、‘双子の兄弟がいた。ある日、
兄は弟を地球に残してロケットに乗り、宇宙に旅立った。何年か後、兄はある星で折り返
して地球に帰ってきた。すると、兄よりも弟が年を取っていた。相対性理論を用いて考え
るとすると、弟から見れば、兄の時間は行きも帰りも遅れているので、兄よりも弟が年を
取っているはずである。しかし、兄から見れば、弟の時間は行きも帰りも遅れているので、
弟よりも兄が年を取っているはずである。これは、矛盾している。’という話である。私は
この話に興味を惹かれた。確かにこの話を聞けば、兄から見れば弟の、弟から見れば兄の
時間が遅れているはずである。しかし実際は、このときロケットが一定の速度で動いてい
るという前提でも、ある星で折り返した時に、必ず減速をし、そして加速をしてしまう。
そこでロケットは一定の速度を保てなくなってしまうのだ。その結果、互いの時刻に違い
が生じ兄と弟の時間に差ができて、兄が帰ってきたときには、弟の年だけ進んでしまって
いるということになるのである。このことをふまえて、この論文では、地球での時刻、ロ
ケットの時刻、ロケットから見た地球までの距離などを、もう少し数理的に考えていく。
まず、参考文献「中野菫夫、「相対性理論」岩波書店(1984)」に従って第 2 章から第 3 章
で特殊相対性理論についてまとめた。第 2 章ではアインシュタインがいう特殊相対性原理
について説明している。慣性系によって時間の概念はどう変わるのか、静止している慣性
系と動いている慣性系での時間や見え方の違いなどを説明している。第 3 章ではローレン
ツ変換について説明した。ローレンツ変換とは,ある慣性系から,それに対して一定の相
対速度で運動している慣性系への座標と時間の変換のことである。第 4 章では、この論文
の中心である特殊相対性理論におけるロケットから見た地球までの距離を説明している。
地球から宇宙に旅立ち、そしてまた地球に帰ってくる兄からは地球はどう見えるのか、地
球とロケットの距離の関係をまとめた。
目次
1 はじめに・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1
2 特殊相対性理論・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・2
3 ローレンツ変換・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6
4 ロケットから見た地球までの距離・・・・・・・・・・・・・・・・・・10
5 まとめ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・21
参考文献 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・22
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