尺度空間画像に関する資料

尺度空間
画像の導関数とスケール空間
(線形フィルタ処理）
1
尺度空間
画像の導関数(1/2)
x
画像L( x, y )を微分可能な連続関数と仮定．
一次導関数
二次導関数
∂L ( x , y )
∂L ( x , y )
, Ly =
Lx =
∂y
∂x
∂L y
∂L x
∂L x
Lxx =
, Lxy =
, L yy =
∂x
∂y
∂y
y 画像 L( x, y )
画像L( x, y)の勾配
∇L = (Lx , Ly )
T
|| ∇L ||= Lx + Ly , θ = tan −1 (Ly / Lx )
2
2
方向v（方向ベクトル v）への画像 L( x, y )の勾配
Lv = v ⋅ ∇L
2
尺度空間
3
画像の局所座標系
画像 L ( x, y )の勾配方向とそれに垂直な方向からなる座標系
一次計量座標系 (first − order gauge coordinate s)，
あるいは
レベル曲線座標系
この座標軸を u, vで表すと，
∇L
= (cos α , sin α )T =
v=
|| ∇L ||
u = v ⊥ = (sin α ,− cos α )T =
1
L2x + L2y
1
L2x + L2y
( Lx , L y ) T
( L y , − Lx ) T
ただし，
α = tan −1 (Ly / Lx )
尺度空間
4
画像導関数と勾配
等レベル線
接ベクトル
接
平
面
原関数
勾配ベクトル ∇L
y
一次導関数
x
L
y
二次導関数
ゼロ交差点
∇L 接ベクトル
等レベル線
L ( x, y )
x
一次元関数に対する導関数の例
二次元関数における勾配の例
尺度空間
微分幾何：面の第一基本形
点( x, y )における微小変動(dx, dy )に対する画像L( x, y )の変化を
dLとする．
左図中，ds = (dx, dy , dL)T で，
n
n：法線ベクトル
s ( x, y , L )
ds s y
sx
( x, y )
dx
dy
du
du = (dx, dy )T
dLは次式で表される．
dL = Lx dx + Ly dy
従って，
S
(dL) 2
= ( Lx dx + Ly dy ) ⋅ ( Lx dx + Ly dy )
⎡ Lx Lx Lx Ly ⎤ ⎡dx ⎤
= [dx, dy ]⎢
⎥⎢ ⎥
L
L
L
L
⎢⎣ x y y y ⎥⎦ ⎣dy ⎦
= duT Gdu
G : 第一基本行列
5
尺度空間
微分幾何：面の第二基本形
位置( x, y )における微小変位 (dx, dy)に対する画像面上の
点s( x, y, L)の移動dsと，微小移動後の法線ベクトルの変位
dnとの内積を考える．
ds = (dx, dy, dL) ，点sにおける
T
n
法線ベクトルは，n = s x × s y
s x = (1,0, Lx )T , s y = (0,1, Ly )T より，
n = s x × s y = (− Lx ,− Ly ,1)T
dn = nx dx + n y dy
⎛ − Lxy ⎞
⎛ Lxx dx + Lxy dy ⎞
⎛ − Lxx ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
= ⎜ − Lxy ⎟dx + ⎜ − Lyy ⎟dy = −⎜ Lxy dx + Lyy dy ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
0
⎝ 0 ⎠
⎝ 0 ⎠
⎝
⎠
sx
dn
n + dn
s
ds
s + ds
sy
6
尺度空間
7
微分幾何：面の第二基本形
以上のことから，
( d s ⋅ dn )
= −(dx, dy, dL) ⋅ ( Lxx dx + Lxy dy, Lxy dx + L yy dy,0)T
= −( Lxx dx 2 + Lxy dxdy + Lxy dxdy + Lyy dy ) 2
⎡ Lxx Lxy ⎤ ⎡dx ⎤
T
= −[dx, dy ]⎢
⎥ ⎢ ⎥ = − du B d u
⎢⎣ Lxy Lyy ⎥⎦ ⎣dy ⎦
ここで，
⎡b11 b12 ⎤ ⎡ Lxx
=⎢
B=⎢
⎥
⎣b21 b22 ⎦ ⎢⎣ Lxy
Lxy ⎤
⎥
Lyy ⎥⎦
n
sx
B : 第二基本行列
この第二基本行列は，点( x, y)でのL( x, y)のヘッセ行列．
sy
尺度空間
8
面の接ベクトルと曲率
n
P
C : 法線 nを含む平面 Pと
曲面 Sとの交線
C
s
sx
n
sy
接ベクトル st (t )
s ( x, y , L )
ds
sx
sy
S
C上の点を，s (t )と表す．
点sでの曲線Cへの接ベクトルst (t )は
( x, y )
dx
dy
du
du = ( dx , dy ) T
ds (t )
s (t + Δt ) − s (t )
= lim
st (t ) =
Δt →0
dt
Δt
尺度空間
面の接ベクトルと曲率
曲線 Cの点 sにおける曲率 κは，接ベクトル st (t )によって
dst (t ) || st (t ) × stt (t ) ||
1
κ (t ) =
⋅
=
dt
|| st (t ) ||3
s t (t )
と表される．この κで，面 Sの法線曲率 κ nが表現される．
・点 sにおける κ nは，平面 Pの向きの関数．
・点 sにおける κ nは，異なる２つの向きで最大，最小化．
最大，最小曲率 κ 1 , κ 2を，点 s における主曲率
( principal curvature )と呼ぶ．
9
尺度空間
画像面の平均曲率とガウス曲率
主曲率 κ 1 , κ 2は，第二基本行列 Bの固有値として求めら
れる．また，各固有値に対する固有ベクトルを，主軸
( principal direction )と呼ぶ．
これより，κ1 , κ 2は，
det(B − κI ) = κ 2 − (b11 + b22 )κ + (b11b22 − b12b21 ) = 0
の根となり，次の関係式を満たす．
κ1 + κ 2 = tr ( B)
κ1 ⋅ κ 2 = det( B)
平均曲率Hとガウス曲率Kは，
κ1 + κ 2 1
H=
= tr ( B )
2
2
K = κ1 ⋅ κ 2 = det( B )
10
尺度空間
導関数の差分近似
画像 L ( x , y )の n 次導関数
L x ( n−1 ) ( x + Δ x , y ) − L x ( n −1) ( x , y )
∂
L x ( n−1 ) ≡ lim
Lx( n ) =
Δx → 0
∂x
Δx
L y ( n−1 ) ( x , y + Δ y ) − L y ( n −1) ( x , y )
∂
L y ( n −1) ≡ lim
Ly(n) =
Δy → 0
∂y
Δy
導関数の差分近似（１つの例）
Lx( n ) ( x, y ) ≅
L x ( n −1) ( x + Δ x , y ) − L x ( n −1) ( x , y )
Δx
Δ x ←1
= L x ( n −1) ( x + 1, y ) − L x ( n −1) ( x , y )
L y ( n ) ( x, y ) ≅
L y ( n −1) ( x , y + Δ y ) − L y ( n −1) ( x , y )
Δy
= L y ( n−1) ( x , y + 1) − L y ( n −1) ( x , y )
Δ y ←1
11
尺度空間
差分フィルタ
L x ( n −1 ) ( x , y )
Δx
Lx ( n ) ( x, y )
L y ( n −1 ) ( x , y )
Lx( n) = Δx ⊗ Lx( n−1)
Δy
L y ( n ) ( x, y )
Ly( n) = Δy ⊗ Ly( n−1)
の関係で表される線形フィルタΔx, Δyを一次の差分フィルタ
と呼ぶ．
Lx ( x, y ) = ∑ Δx(k , l ) ⋅ L( x − k , y − l ) = L( x + 1, y ) − L( x, y )
k ,l
Ly ( x, y ) = ∑ Δy (k , l ) ⋅ L( x − k , y − l ) = L( x, y + 1) − L( x, y ),
k ,l
より，Δx(k , l）
, Δy (k , l )のインパルス応答とマスク表現は，
Δx(n1, n2 )
1
‐1
n2
n2
Δy(n1, n2 )
−1
n1
‐1
−1
1
n1
Δx
1
1
Δy
12
尺度空間
13
差分フィルタ
同様に， Δ2 x = Δx ⊗ Δx, Δ2 y = Δy ⊗ Δy
とすれば，Δ2 x, Δ2 yは二次の差分フィルタ
n2
n2
1
−2 1
1
n1
Δ2 x(n1 , n2 )
−2
⎛ 遅延器 z1 , z2
⎜
⎜を，Δ2 x, Δ2 yに
⎜
⎜ 接続
⎝
−1
n1
1
Δ2 y(n1 , n2 )
−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
n2
n2
1
−2 1
1
n1
−2
n1
1
Δ2 y(n1 , n2 )
Δ2 x(n1 , n2 )
1
2
Δ2 x
Δ2 y
0 1 0
1 ‐4 1
0 1 0
ラプラシアンフィルタ
1
2
Δ2 x
1
1
Δ2 y
尺度空間
14
曲面多項式表現と導関数近似
注目画素 p0 ( x0 , y0 )と８近傍点 pi ( xi , yi ), (i = 1,8)の画素値 zi , (i = 0,8)
p0
注目画素p0の近傍を２次の多項式
f ( x, y ) = a1 x 2 + a2 y 2 + a3 xy + a4 x + a5 y + a6
で近似．
Fa = z
の関係より，係数ベクトル a は，
a = ( F T F ) −1 F T z ただし，
⎡ x0 2 y0 2 x0 y0 x0 y0 1⎤
⎛ z0 ⎞
⎛ a1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎥
⎢ 2 2
⎜ z1 ⎟
⎜ a2 ⎟
⎢ x1 y1 x1 y1 x1 y1 1⎥
, z = ⎜ ⎟, a = ⎜ ⎟
F =⎢
⎥
M
M
L
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢
⎥
⎜a ⎟
⎜z ⎟
⎢x 2 y 2 x y x y 1 ⎥
8⎠
⎝ 6⎠
⎝
⎣ 8 8 8 8 8 8 ⎦
このとき，
注目画素p0における
導関数は多項式係数
から得られる．
（例）ラプラシアン：
∂2 f ∂2 f
∇ f = 2 + 2
∂x
∂y
= 2(a1 + a2 )
2
尺度空間
ガウス関数とその導関数(1/3)
•ガウス関数による平滑化
σ : スケールファクタ
ガウス関数
⎛ x2 + y 2 ⎞
⎟
G( x, y;σ ) =
exp⎜⎜ −
2
2 ⎟
2πσ
⎝ 2σ ⎠
1
画像 f ( x, y )の平滑化 : G ( x, y; σ )による畳込み処理
L ( x , y ; σ ) = (G ⊗ f )
平滑化画像L( x, y; σ )の微分
∂G
∂L ∂
Lx =
= (G ⊗ f ) =
⊗ f = Gx ⊗ f
∂x
∂x ∂x
∂L ∂
∂G
Ly =
= (G ⊗ f ) =
⊗ f = Gy ⊗ f
∂y ∂y
∂y
15
尺度空間
ガウス関数とその導関数(2/3)
16
平滑化画像 L ( x, y )の微分（続き）
∂Ly
∂Lx
∂Lx
= Gxx ⊗ f , Lyy =
= Gyy ⊗ f , Lxy =
= Gxy ⊗ f
Lxx =
∂x
∂y
∂y
ガウス導関数
⎛ x2 + y2 ⎞
⎛ x2 + y2 ⎞
y
⎟⎟, G y = −
⎟⎟
exp⎜⎜ −
exp⎜⎜ −
Gx = −
4
2
4
2
2πσ
2σ ⎠
2πσ
2σ ⎠
⎝
⎝
⎛ x2 + y2 ⎞
⎛ x2 + y2 ⎞
x2 − σ 2
y2 −σ 2
⎟⎟
⎟⎟, G yy =
exp⎜⎜ −
exp⎜⎜ −
Gxx =
6
2
6
2
2πσ
2σ ⎠
2πσ
2σ ⎠
⎝
⎝
x
⎛ x2 + y2 ⎞
⎟⎟
exp⎜⎜ −
Gxy =
6
2
2πσ
2σ ⎠
⎝
xy
平滑化画像L( x, y )の微分
ガウス導関数による畳込み
尺度空間
ガウス関数とその導関数(3/3)
ガウス導関数の例
G ( x, y ;1.0)
Gx ( x, y ;1.0)
Gxy ( x, y ;1.0)
Gxx ( x, y ;1.0)
G y ( x, y ;1.0)
G yy ( x, y ;1.0)
17
尺度空間
ガウス導関数と画像の畳込み
ガウス導関数による画像の畳込み
L( x, y;2.0)
Lx ( x, y;2.0)
Lxy ( x, y;2.0)
Lxx ( x, y;2.0)
Ly ( x, y;2.0)
Lyy ( x, y;2.0)
18
尺度空間
19
ガウス関数のカスケード構成
⎛ t2 ⎞
exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟とおくと，（ガウスカーネル）
g (t ; σ ) =
2πσ 2
⎝ 2σ ⎠
G ( x, y; σ ) = g ( x; σ ) ⋅ g ( y; σ )と表される．
1
ガウス関数G ( x, y; σ )は分離型フィルタの一種であり，そのインパ
ルス応答hG ( x , y ;σ )は，g (t ; σ )に対応するインパルス応答hg ( t ;σ )によって，
以下のようなカスケード接続で表現可能．
hG ( x , y ;σ )
hg ( x;σ )
hg ( y ;σ )
尺度空間
ガウス導関数のカスケード構成
ガウス導関数についても
Gx ( x, y; σ ) = g x ( x; σ ) ⋅ g ( y; σ ), G y ( x, y; σ ) = g ( x; σ ) ⋅ g y ( y; σ )
Gxx ( x, y; σ ) = g xx ( x; σ ) ⋅ g ( y; σ ), G yy ( x, y; σ ) = g ( x; σ ) ⋅ g yy ( y; σ )
Gxy ( x, y; σ ) = g x ( x; σ ) ⋅ g y ( y; σ ),
M
hGx ( x , y ;σ )
hg x ( x;σ )
hg ( y ;σ )
hG y ( x , y ;σ )
hg ( x;σ )
hg y ( y ;σ )
M
M
20
尺度空間
ガウス核の離散化とマスク表現例
ガウスカーネルの線形フィルタマスク表現
8
6
4
2
0
2
4
6
8
g (x; 5 )
回転
8
6
4
2
0 g ( y;
5)
2
4
6
8
g( ⋅ ; 5)
g ( ⋅ ; 10 )
g ( ⋅ ; 15 )
21
尺度空間
ガウス核導関数の離散化例
g t (⋅ ; 5 )
g tt (⋅ ; 5 )
g t (⋅ ; 10 )
g tt (⋅ ; 10 )
g t (⋅ ; 15 )
g tt (⋅ ; 15 )
22
尺度空間
画像の多重スケール表現(1/3)
• 画像の多重スケール表現の背景
画像計測：あるアパーチャを持つ計測装置に依存
ある場合は、高解像度での計測を、またあるとき
は粗い解像度で広い範囲を計測したい。
最適アパーチャサイズを決めておくことは困難
アパーチャサイズ（画像のスケール）をパラメータとして、
複数のスケール画像を表現する方法が考案
Multi-scale Representation
23
尺度空間
画像の多重スケール表現(2/3)
• 初期の多重スケール表現
Quad Tree（四分木表現）(1971)
均一性に基づいて画像を再帰的に分割し，木構造
で表現．（均一とされた領域は木の葉として表現）
初期の濃淡画像分割に利用：”Split-and merge”法
Pyramids(ピラミッド表現）)(1981)
サブサンプリングとスムージングの組合せ
Coarse-to-fine表現法
ピラミッド表現：現在も利用．
24
尺度空間
25
画像の多重スケール表現(3/3)
• ピラミッド表現
入力画像I：2 K × 2 K ，I ( K ) = I
スムージングフィルタ：等方性，分離可能性を仮定
一次元処理として以下のように表現
f
(256 × 256)
( k −1)
( x) =
N
(k )
c
(
n
)
f
(2 x − n)
⋅
∑
n=− N
例えば， N = 1の場合， c ( n) = ( 14 , 12 , 14 )
N = 2の場合， c ( n) = ( 201 , 14 , 52 , 14 , 201 )
(128 × 128)
(64 × 64)
(32 × 32)
L
尺度空間
スケール(尺度）空間とは
• 四分木表現・ピラミッド表現：
サイズ（スケール）を縮小（疎化）することで多重スケー
ル表現する方法。
• スケール空間：
連続なスケール変数を持ち、全てのスケールで同じ画像
サイズ（同じ空間サンプリング数）を保持する多重ス
ケール表現法。
1次元信号に対するガウシャン・スケール空間：1983
因果性：
スケール変数の増加に伴って、新たなレベル面
(局所的最適値）が出現することはない。(1984)
LGderivative ( x, y; σ ) = Gderivative ( x, y; σ ) ⊗ f ( x, y )
：画像f ( x, y )のGderivative 尺度空間表現
26
尺度空間
σ =0
σ = 9 .0
27
スケール空間の例
σ =1
σ = 8 .0
σ = 2 .0
σ = 3 .0
σ = 4 .0
σ = 6. 0
σ = 7. 0
σ = 5 .0
σ
x
y
LG 尺度空間

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