14 ６．行列の基本変形問題 6.1（つるかめ算）１時間につるだけなら５０羽，かめだけなら４０匹折り紙で折る人がいるとする．その人が８時間かけてつるとかめの折り紙を合わせて３５０個折ったとする．つるを折るために使った時間とかめを折るために使った時間はそれぞれ何時間ずつになるか．解答１．いま８時間すべての時間をつるを折るために使ったとすると，すべてで５０× ８＝４００個の折り紙ができるはずである．このとき，５０個余分になっているが，かめの個数が１時間あたり５０−４０＝１０個余分に数えられているはずだから 50 × 8 − 350 =5 50 − 40 がかめを折るために要した時間である．この解答がいわゆる‘ つるかめ算 ’である．解答２．もう１つの方法は連立方程式をたててそれを解く方法である．つるを折るために使った時間を x 時間，かめを折るために使った時間を y 時間とする．このとき， ( x+y =8 ···○ 1 50x + 40y = 350 ···○ 2 この方程式は簡単に解けるだろうが，つぎのようなやり方でやってみよう． ○ 2+○ 1 × (−50) ( x+y =8 ···○ 3 0x − 10y = −50 ···○ 4 µ ¶ 1 ○ 4× − 10 ( ○ 5+○ 6 × (−1) すなわち， x+y =8 ···○ 5 0x + y =5 ···○ 6 x + 0y =3 ···○ 7 0x + y =5 ···○ 8 ( ( x =3 y =5 15 である．この解法はつねに２式を並列して書いていくという方法ですが，注意して見ると式の変形が結局， x, y の係数と定数の部分だけの変形であることが分かります．したがって，連立方程式 ( ax + by = p cx + dy =q を書くとき， x, y および +, = の記号を省略して   .. a b . p . c d .. q と書いてしまっても上の変形による計算は可能です．第１列は x の係数，第２列は y の係数で第３列は右辺の定数と定めておけば，いつでも元の方程式の形に戻すこともできます．そして，ここで使われている変形は， (I) １つの式の両辺に０ではない定数をかける． (II) １つの式に定数をかけた他の式を加える．の２種類だけです．この２種類の変形と (III) ２つの式を入れ換える．という変形だけを用いて問題 6.1 の解答２のように連立方程式を解いていく方法をガウスの消去法あるいは掃き出し法と呼びます．例 6.2 連立方程式    x + y + z 2x + 3y + 5z   5x − 4y + 6z をガウスの消去法で解いてみる． =0 = −1 =1   .. 1 1 1 . 0   2 3 5 ... −1   .. 5 −4 6 . 1 ２行＋１行×（−２） ↓ ↑ ２行＋１行×２   .. 1 1 1 . 0   0 1 3 ... −1   .. 5 −4 6 . 1 ３行＋１行×（−５） ↓ ↑ ３行＋１行×５   . 1 1 1 .. 0   0 1 3 ... −1   .. 0 −9 1 . 1 16 ３行＋２行×９ ↓ ↑ ３行＋２行×（−９）   . 1 1 1 .. 0   0 1 3 ... −1   .. 0 0 28 . −8 ↓↑ １行＋２行×（−１）  1 0 −2  0 1 3  １行＋２行  .. . 1  .. . −1  .. 0 0 28 . −8 ３行 ×  1 28 ↓↑ ３行×２８  .. 1 0 −2 . 1   0 1 3 ... −1    .. 0 0 1 . − 27 １行＋３行×２，２行＋３行×（−３）↓ ↑  1 0 0  0 1 0  １行＋３行×（−２），２行＋３行×３ .. 3  . 7  .. . − 17   .. 2 0 0 1 . −7 最後の行列の形をもとの式の形に戻すと，    x = y   z 3 7 = − 71 = − 27 となり，方程式が解けいていることになる．一般に行列の変形としての (I), (II) : (I) １つの行（ベクトル）に０ではない定数をかける． (II) １つの行（ベクトル）に定数をかけた他の行（ベクトル）を加える．これに， (III) ２つの行（ベクトル）を入れ換える1 ．を加えた３つの変形を行列の（行）基本変形と呼びます． 1 この変形は実は (I),(II) の変形を何回か組み合わせると実現できます． 17 x, y, z を未知数とする連立方程式    a11 x + a12 y + a13 z (∗) に対して，３行３列の行列 a21 x + a22 y + a23 z   a x + a y + a z 31 32 33 = b1 = b2 = b3   a11 a12 a13   A = a21 a22 a23  a31 a32 a33 を上の連立方程式 (∗) の係数行列といい，これに右辺の定数の列   b1   B = b 2  b3 を加えた３行４列の行列   . a11 a12 a13 .. b1   . ..  (A .. B) =  a a a . b 2  21 22 23 . a31 a32 a33 .. b3 を拡大係数行列といいます．さらに，未知数をベクトル   x   X = y  z の形に書くと，連立方程式 (∗) が， AX = B と行列の積の形で表現されます．ガウスの消去法は拡大係数行列の係数行列の部分を行列の基本変形で単位行列に変形していく操作です．  a11 a12 a13  ..  (A . B) = a21 a22 a23 a31 a32 a33    .. .. . b1 基本変形 1 0 0 . p1    .. .. ..   . b2   −→ 0 1 0 . p2  = (E . P ) . .. ←− 0 0 1 .. p3 . b3 係数行列 A を，(I),(II) および (III) の基本変形により単位行列 E に変形していくときに，同時に B も同様の変形を行うと，結果として出てきた P がその方程式の解になるということです．その際， E を作る手順が列ごとに行われていることに注意してください． 18 問 6.3 次の連立１次方程式を基本変形により解きなさい． ( (1) 100x + 101y = 102 (5) (2) 103x + 104y = 105    2x − y + 2z (3)    3x − y + 2z x−y+z   x + 2y − z −2x + 5y − 3z   5x − 2y + z    x + 6y =2 (4) = −2 4x + y − 4z   3x − 2y + 5z =7   −2x + y − 2z − u     3x − y + 3z + 2u    x + y + z =3 = −7 (6)  5x + 3y + 2z + 3u = −10     −4x + y + z + u =4 = 14 2x + 3y + z   x + 4y + az = −2 =8 = 20 =5 = −20 =2 =5 =a+7 問 6.4    I1 + I2 − I3 R1 I1 + R3 I3   R I + R I 2 2 3 3 =0 = −E1 = −E2 のとき，I1 , I2 , I3 を R1 , R2 , R3 および E1 , E2 により表しなさい．ただし， R1 , R2 , R3 は正数とする．例 6.5 連立方程式     x + 3y + 3z y − 3z   −x − 4y + az を解いてみる． =2 =b =0 ..  . 2  ..  0 1 −3 . b   .. −1 −4 a . 0  1 3 3 ↓↑ 19  ..  1 3 3 . 2  .  0 1 −3 .. b    .. 0 −1 a + 3 . 2 ↓↑  . 1 0 12 .. 2 − 3b    0 1 −3 ... b   .. 0 0 a . b+2  ···○ 1 つぎに３行３列の a を１にするわけですが，それは a の値によって場合に分かれます． (i) a 6= 0 の場合，３行を a で割ることができるから， ↓↑   .. 1 0 12 . 2 − 3b   0 1 −3 ... b    .. b+2 0 0 1 . a １行３列の１２と，２行３列の−３をそれぞれ３行３列の１を使って０にすると， ↓↑   .. 12(b+2) 1 0 0 . 2 − 3b − a   0 1 0 ...  b + 3(b+2)   a .. b+2 0 0 1 . a したがって，このとき，     x = 2 − 3b − y    z の１組の解をもつ． =b+ = b+2 a 3(b+2) a 12(b+2) a 20 (ii) a = 0, b = −2 のとき，○ 1 の行列は  1 0 12  0 1 −3  0 0 0  .. . 8  .. . −2  .. . 0 となり，これ以上の変形は意味をなしません．そこで方程式の形に戻しますと，     x + 12z = 8 y − 3z    0 = −2 =0 上の２つの式はそれぞれ x = −12z + 8, y = 3z − 2 のように x, y が z で表せることを意味しますが，z そのものにはそのような拘束がありません（本来 z を拘束する式が 0 = 0 と無意味な式になっているからです）．したがって， t を任意の数として，上の答は     x = −12t + 8 y    z = 3t − 2 =t と表せ，これは t を媒介変数とする３次元の空間内の直線の方程式になり，その直線上の点の座標がこの方程式の解になり，それは無数にあるということになります． (iii) a = 0, b 6= −2 のときは，○ 1 の第３行が 0 = b + 2 6= 0 という矛盾を含む式になり，この場合は解があるとするとこの矛盾が必ず出ることになり，したがって解がありません． 2 21 ７．行列の階数３行３列の正方行列 A に行基本変形（場合によっては列の入れ換えを含みます）を何回か施していくと，零行列を除いて，つぎの３通りのどれかに変形されます．   1 0 0   0 1 0 , 0 0 1   1 0| ∗   0 1| ∗ , 0 0 0   1| ∗ ∗    0 0 0 0 0 0 ３次の単位行列に変形できるとき，その行列の階数 rank は３であるといい，２次の単位行列のときは階数２，１次の単位行列のときは階数が１であるといいます．行列   1 3 3   1 −3 0 −1 −4 a は， a 6= 0 とき階数は３，a = 0 のときは２となることが上の例 6.5 の計算から分かります．行列の階数正方行列にかぎらず基本変形により（必要なら列の入れ替えをして）その行列の内部に得られる最大の単位行列の次数の値をその行列の階数といい， A の階数を rank(A) で表します．また，零行列の階数はつねに０とします． x1 , x2 , . . . , xn を未知数とする連立方程式   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn     a x + a x + · · · + a x 21 1 22 2 2n n (∗∗)  ···     a x + a x + · · · + a x m1 1 m2 2 mn n = b1 = b2 = bm に対して，その係数行列と右辺の定数の列ベクトルを  a11  a21  A= .  .. a12 a22 .. . ... ... ... am1 am2 . . .  a1n a2n   ..  .  amn  b1  b2    B= .   ..   bm . をとし， m 行 n 列の拡大係数行列を (A .. B) で表します．このとき， 22 定理 7.1 . rank(A .. B)=rank(A). (i) 連立１次方程式 (∗∗) が解をもつ． ⇐⇒ (ii) (∗∗) が解をもつとき，解が１組だけである ⇐⇒ rank(A) = n. 注意．係数行列の階数は余分な式を除いた連立方程式の本質的な式の個数であり，それは未知数の個数をこえない数になります．８．同次の連立１次方程式 (∗ ∗ ∗)   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn     a x + a x + · · · + a x 21 1 22 2 2n n  ···     a x + a x + · · · + a x m1 1 m2 2 mn n =0 =0 =0 の形の連立方程式をを同次連立１次方程式といいます．これは係数行列にかかわらず     x1 0  x2  0      ..  =  ..   .  . xn 0 を解の１つとします．この解のことをこの方程式の零解，あるいは自明な解といいます．同次の連立方程式の場合には零解以外に解があるかが問題になります．定理 8.1 同次の連立方程式 (∗ ∗ ∗) の係数行列を A とする．このとき， (i) (∗ ∗ ∗) 解が零解だけである． ⇐⇒ rank(A) = n. (ii) (∗ ∗ ∗) が零解以外にも解をもつ． ⇐⇒ rank(A) < n. 問 8.1 つぎの同次の連立方程式が零解以外の解をもつように a の値を定めて，そのときの解を求めようではないか．     x + y + z = 0 =0    x + y − az (1) 2x + ay + z   4x + 5y + az =0 =0 (2) ax − y + az   3x + ay − 4z =0 =0 23 同次の連立方程式 (∗ ∗ ∗) の係数行列 A の n 個の列ベクトルを   a1j  a2j    Aj =  .   ..  (j = 1, 2, . . . , n) amj とすると， (∗ ∗ ∗) は x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An = 0 と書けます．いくつかのベクトルの組 A1 , A2 , . . . , An が与えらたとき， λ1 , λ2 , . . . , λn を任意のスカラーとして， λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λn An をベクトルの組 {A1 , A2 , . . . , An } の１次結合といいます．ベクトルの１次独立と１次従属 λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λn An = 0 とおいたとき， λ1 = λ2 = · · · = λn = 0 のスカラーの組以外にこの等式をみたすスカラーの組がないとき，ベクトルの組 {A1 , A2 , . . . , An } は１次独立 linearly independent であるといい， λ1 , λ2 , . . . , λn がすべては０でない場合にこの等式が成り立つときがあるとき， {A1 , A2 , . . . , An } は１次従属 linearly dependent であるという．定理 8.2 {A1 , A2 , . . . , An } を n 個の１次独立であるベクトルの組とする．このとき， {A1 , A2 , . . . , An } の１次結合により，互いに直交する n 個のベクトルの組 {B1 , B2 , . . . , Bn } を構成することができる．定理 8.3 { A1 , A2 , . . . , An } を n 個の m 次元たてベクトルとする．A = (A1 A2 . . . An ) とおいたとき， (i) { A1 , A2 , . . . , An } が１次独立である ⇐⇒ rank(A) = n. (ii) { A1 , A2 , . . . , An } が１次従属である ⇐⇒ rank(A) < n.