水理学Ⅱ及び同演習第１回流体運動の基礎方程式 (連続式とオイラーの式，ベルヌーイの定理と運動量保存則) 目標：流れの表示について理解する・流れの種類(流体とは？）・流体の運動方程式 (質点系の運動方程式からの導出) ・流体の連続式 (質量保存の法則からの導出) ・質点系のエネルギー保存則から流体のエネルギー保存則(ベルヌーイの定理)への展開・質点系の運動量保存則から流体の運動量保存則への展開流れの種類水理学Ⅱで扱う流体流体(流動性のある物質) 完全流体非圧縮性完全流体翼周りの気体圧縮性完全流体水撃作用音速以上の流れ粘性流体非圧縮性粘性流体実在する流体圧縮性粘性流体高速空気流地下水の流れ非常に大きな圧力が働く水の波管路・河川(開水路) 水理学における流れの次元 • 身の回りに起きる流れの現象は空間的に広がるため三次元の現象（雲の動きやダムの湖沼etc.) • 河川のような平面的に広がるような流れや上下水管のような流れは二次元の現象 • 平均的な流れを考えると，一次元の現象を観ることができ，実用上にも使える．このときの流れを一次元流れ(one dimensional flow)という．一次元流れの種類 • 管路の流れ(pipe flow) – 閉じた断面内の流路を流体が充満して流れるもの • 開水路の流れ (open channel flow) – 河川のように自由水面をもって，流れる流体が大気に接しながら流れるもの自由水面自由水面管路の中に自由水面がある場合は開水路非定常流と定常流(不等流・等流) • 非定常流 – 流速や圧力等が時間的に変化する流れ • 定常流 – 流速や圧力等が時間的に変化しない流れ • 定常流には不等流と等流がある！ – 不等流 • 流速や水深等が場所的に変化する流れ – 等流 • 流速や水深等が場所的に変化しない流れ非定常流定常流不等流等流流体運動の調べ方 • Lagrange(ラグランジュ)の方法 – 力学で学んだ質点の経路を追跡するのと同様に，流体にある粒子がどの様に動いていくかを調べる方法．物の動きをビデオカメラで動かして撮影した映像を観る． • Euler(オイラー)の方法 – ある瞬間の流れを一望する方法．デジカメで撮った一枚のある瞬間の写真を観る • (流体力学から発展した)水理学では，Euler(オイラー)の方法を使って流体運動を調べる． Eulerの方法による流体運動の基礎式の導出 • Eulerの方法の前提条件 – 流体運動における物理量は，時刻tと場所(x,y,z)で規定される物理量θ(x,y,z,t)である． – 物理量θは...速度v(u,v,w)，圧力p，流体に作用する外力F(Fx, Fy, Fz)である．なお，速度と外力は，x,y,z の三成分がある．ニュートンの第二法則 • 流体に力Fが働けば，その流体は加速度(a) 運動をする． • ニュートンの第二法則は… F = Ma 力質量加速度基礎式の導出の順番流体粒子の加速度働く力運動方程式加速度aについて1 y t+dt,(x+vdt,y+vdt,z+vdt) z vdt udt t, (x,y,z) x 加速度a＝速度vの変化/時間dt 三成分(x,y,z)の速度(u,v,w)からなるベクトル加速度aについて2 速度vの変化 ∆v = v ( x + udt , y + vdt , z + wdt ) − v ( x, y, z ) ∂v ∂v ∂v ∂v = ∆t + udt + vdt + wdt ∂y ∂t ∂x ∂z 変位加速度a＝速度vの変化/時間dt dt→0の極限をとる ∆v Dv ∂v ∂v ∂v ∂v a = lim = = +u +v +w ∆t →0 ∆t Dt ∂t ∂x ∂y ∂z 加速度aについて3 加速度aを(x,y,z)方向の三成分に分けると ∂v ∂v ∂v ∆v ∂v = +u +v +w a = lim ∆t →0 ∆t ∂z ∂y ∂t ∂x 流れの加速度成分 Du ∂u ∂u ∂u ∂u ax = = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z Dv ∂v ∂v ∂v ∂v ay = = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z Dw ∂w ∂w ∂w ∂w az = = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z x方向 y方向 z方向流線と流跡線について • 流線とは (Euler的な流れの道筋) – ある時刻の流れの速度ベクトルを接線とする曲線 dx dy dz = = u v w • 流跡線とは(Lagrange的な流れの道筋) – 流体粒子の移動経路を継続追跡して描かれる曲線 dx dy dz = = = dt u v w 完全流体の運動方程式 (Eulerの運動方程式) dx,dy,dzからなる微小直六面体を考え，ニュートンの第二法則(F=ma)から運動方程式を導く y z dy dz x dx 加速度aについて (x方向の成分) Du ∂u ∂u ∂u ∂u ax = = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z 既に導出済完全流体の運動方程式 (Eulerの運動方程式) y z dy dz x dx 質量mについて dx,dy,dzからなる微小直六面体の体積はdx×dy×dz 流体の密度をρとして，質量m=ρ×dx×dy×dz=ρdxdydz 完全流体の運動方程式 (Eulerの運動方程式) Fy Fz E Fx dy dz y z x dx 作用する力Fについて(質量力) 微小直六面体に作用する力は(重力などの)質量力と流体による圧力と粘性による応力があるが，Eulerの運動方程式は質量力と圧力を考える (単位質量あたりに働く)質量力をFとしてx,y,zの各方向成分をFx,Fy,Fzとする微小直六面体に働く質量力(x方向成分) ρFx dxdydz 完全流体の運動方程式 (Eulerの運動方程式) D y H z x p E A C dy B G dz ∂p p + dx ∂x F dx 作用する力Fについて(圧力のx方向成分) ABCD面に作用する平均的な圧力p ∂p p + ∆x dx離れたEFGH面に作用する平均的な圧力 ∂x 合力 ∂p ∂p   p −  p + dx  = − dx ∂x  ∂x  ∂p 面積(ABCD面)に作用する圧力の合力 − ∂x dxdydz 完全流体の運動方程式 (Eulerの運動方程式) ニュートンの第二法則に適用すると..（x方向成分) 圧力の合力 ∂p − dxdydz ∂x 質量力 ρFx dxdydz F = ma 加速度 ∂u ∂u ∂u ∂u ρdxdydz +u +v +w ∂y ∂z ∂t ∂x 質量それぞれの項を代入して変形 ∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p + u + v + w = Fx − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x Eulerの運動方程式(x方向成分) 完全流体の運動方程式 (Eulerの運動方程式) 三成分(x,y,z)全てについてEulerの運動方程式を表すと…. x方向成分 ∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p +u +v +w = F − ∂z ∂x ∂y ∂t ρ ∂x x y方向成分 ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p +u +v +w = F − ∂y ∂z ∂t ∂x ρ ∂y y z方向成分 ∂w ∂w ∂w ∂w 1 ∂p +u +v +w = F − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z z これまでu,v,wを流体粒子の速度と表現してきたが、正しくは「流速」と呼ぶことが正しい表現である連続方程式「連続方程式」は，単位時間内に流入する水の質量と流出する流体の質量の差＝質量の増加する量と考える流出流入流出 y z dy 流出 dz x 流入 dx 流入 dx,dy,dzからなる微小直六面体を考え， x,y,z軸方向の各流速をu,v,wとする連続方程式 x方向成分の流入と流出について ρu y z 流入 dy x 流出 dz dx 単位時間に流入する流体の質量 ρdxdydz ∂ ( ρu ) dx ρu + ∂x 流入面積dydz dt = ρudydz 流速uはx軸方向に進む流体粒子の速度 ∂ (ρu )   単位時間に流出する流体の質量 ρu + dx dydz ∂x   dx dt = u 単位時間に微小六面体の質量が増加する割合＝流入と流出の差 ∂ (ρu )  ∂ (ρu )  ρudydz −  ρu + dx dydz = − dxdydz ∂x ∂x   連続方程式 ρv + 流出 ρu y z ∂ ( ρw) dz ρw + ∂ z 流出流入 dy x ∂ ( ρv ) dy ∂y ρu + 流出 dz ρw dx 流入と流出の差を三成分合わせると ∂ ( ρu ) dx ∂x ρv ∂ (ρu ) ∂ (ρv ) ∂ (ρw) − dxdydz − dydxdz − dzdxdy ∂x ∂y ∂z  ∂ (ρu ) ∂ (ρv ) ∂ (ρw)  = − + + dxdydz  ∂z  ∂y  ∂x 単位時間内に質量が増加する量連続方程式微小六面体の質量 y z dy x 微小六面体の質量が単位時間あたりに増加する量 ρdxdydz dz dx 密度体積六面体に出入りする流体が単位時間あたりに増加する割合 ∂ρ  ∂ (ρu ) ∂ (ρv ) ∂ (ρw)  dxdydz = − + + dxdydz  ∂y ∂z  ∂t  ∂x ∂ρ ∂ (ρu ) ∂ (ρv ) ∂ (ρw) + + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂t 連続方程式運動エネルギーと仕事エネルギー(Energy)があれば仕事(Work)ができる．仕事(Work)をするにはエネルギー(Energy)が必要エネルギー保存則の考え方ニュートンの第二法則から vB エネルギーと仕事の関係を導出 B ma = F dv m =F dt dv m dr = Fdr dt 変位加速度=速度/時間 dr 速度 v = dt dr = vdt mvdv = Fdr A m ∫B vdv = ∫c Fdr A 仕事(W)=力×変位  1 mv 2  = W   2 B 運動エネルギー(E) F vA A c dr 質点がA地点からB地点まで力Fを受け曲線C に沿って移動積分 1 2 1 2 mv B − mv A = W 2 2 質点がA地点からB地点までした仕事＝エネルギーの変化(エネルギー保存則) 運動エネルギーと位置エネルギー自然界で働く力 y 重力 F = mg 静止状態にあった質点mが hの高さから重力mgを受けて落下地点までにする仕事W W = mgh h O このときのエネルギー保存則は… 1 2 1 2 mv B − mv A = W 2 2 vA = 0 A m 1 2 mv B = mgh 2 流体の運動は，両辺を質点の体積で割って密度ρで表す B x 質点mがhの高さから重力mgを受けて落下 1 2 ρv B = ρgh 2 運動エネルギー位置エネルギーベルヌーイの定理（エネルギー保存則) ある一つの管の中の流れを考える B’ A’ p2 B その管の中に二つの断面A-A’とB-B’をとる v2 a2 断面Aの面積a1,水圧p1,流速v1 断面A’の面積a2,水圧p2,流速v2 v1 A p1 a1 断面A-A’からB-B’の水塊がΔt時間内に，水圧pによる仕事によって断面A’，B’へ移動 Δt時間に断面A’ に流入する水の質量 Δt時間に断面B’ から流出する水の質量 (Qは「流量」と呼び， Δt時間に流れる水の体積) ρa1v1∆t = ρQ∆t ρa2v2 ∆t = ρQ∆t Q = av = a v 1 1 2 2 運動エネルギー B’ A’ p2 B v1 A p1 a1 v2 a2 流体の運動エネルギー (1/2×質量×速度2) 1 1 mv = ρQv ∆t 2 2 m = ρQ∆t 2 2 流入出する水の質量微小時間Δtになされた運動エネルギーの変化 1 1 1 2 2 ρQv1 ∆t − ρQv2 ∆t = ρQ(v12 − v22 )∆t 2 2 2 位置エネルギー B’ A’ p2 B v1 A p1 a1 v2 a2 流体の位置エネルギー (質量×g×高さ) ρQ∆t × g × z = ρgQz∆t z2 m = ρQ∆t 基準線からの高さ z1 微小時間Δtになされた位置エネルギーの変化基準線 ρgQz ∆t − ρgQz ∆t = ρgQ( z − z )∆t 2 1 2 1 圧力による仕事 B’ A’ v2 p2 B a2 v1 A p1 圧力による仕事量 (圧力×距離) pa × v∆t 断面積aに作用する全圧力 ∆t時間に水塊が変位した距離 a1 微小時間Δtになされた仕事の変化 ( p a ) × v ∆t − ( p a ) × v ∆t 1 1 1 2 2 2 エネルギー(仕事)の変化量まとめ微小時間Δtになされた運動エネルギーの変化 1 1 1 2 2 2 2 ρQv1 ∆t − ρQv2 ∆t = ρQ(v1 − v2 )∆t 2 2 2 流体の運動エネルギー(1/2×質量×速度2) 微小時間Δtになされた位置エネルギーの変化 ρgQz ∆t − ρgQz ∆t = ρgQ( z − z )∆t 2 1 2 流体の位置エネルギー(質量×g×高さ) 微小時間Δtになされた仕事の変化 ( p a ) × v ∆t − ( p a ) × v ∆t 1 1 1 2 2 2 圧力による仕事量(圧力×距離) 1 ベルヌーイの定理（エネルギー保存則) ベルヌーイの定理 (運動エネルギー＋位置エネルギー)の変化＝圧力による仕事量流量 Q = a1v1 = a2 v2 1 ρQ(v − v )∆t + ρgQ( z − z )∆t 2 = ( p a ) × v ∆t − ( p a ) × v ∆t 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 単位体積あたりの水(流体)の重量＝密度×重力加速度 ρg 2 2 v p v p +z + = +z + 2g ρg 2 g ρg 1 1 1 2 2 2 2 ベルヌーイの定理（エネルギー保存則) B’ A’ p2 B v2 a2 2 2 p p v v +z + = +z + ρg 2 g 2g ρg 1 1 2 2 1 v1 A 断面Aの値 p1 a1 2 ＝断面A’の値断面Aと断面A’は任意の断面．どの二つの断面を選択しても同じ値 2 ベルヌーイの定理 p v +z+ = const. = H 2g ρg 速度水頭位置水頭圧力水頭運動量の法則速度v1で動いている質点mに力Fが∆t時間作用し速度v2に変化したとき，運動量の変化(m v1- mv2)が力Fに等しくなる．つまり，質点mに力Fを∆t時間作用させると運動量の変化(m v1- mv2)が起きるニュートンの第二法則から運動量と力の関係を導出 F = ma dv F =m dt B 一定 vB F d (mv ) v F= dt A A dr dt時間力Fを受けた質点mが A地点からB地点まで移動質点mが∆t時間に速度VAから速度VBに変化 mv B − mv A F= ∆t 質点mに作用する力F ＝運動量(mv)の単位時間あたりの変化運動量の法則運動量の法則質量m 流量 m = ρ ×V V Q= ∆t 密度体積 V= m ρ V = Q∆t = a m ρ m F = (v B − v A ) ∆t 流れが二次元になると… A A v a B B m ρQ = ∆t 運動量の法則 mv B − mv A F= ∆t v Δt時間に流れる水の体積一定流量の定常流で密度が一定のとき F = ρQ(v B − v A ) 成分分けで表記する Fx = ρQ(u B − u A ) Fy = ρQ(vB − v A ) 運動量の法則の適用例静止した平板に働く噴流平板に垂直に速度v，流量Qの水流が衝突し，分岐して流れる v 噴流が平板に作用する力F ? 速度v 流量Q -F F x 平板に作用する力がFのとき，流体が受ける力は-F である v 運動量の法則より − F = ρQ(0 − v ) F = ρQv 平板に衝突した瞬間，速度v=0となる噴流が平板に作用する力小テスト 1. 単位時間(Δt) に流れる水の体積(V)のことを○○と呼ばれる． ○○はなんと呼ばれるか．また，○○は流水面積(A)と流速v を用いるとどのように表されるか． 2. 流体運動におけるエネルギー保存則のことを「○○の定理」と呼ばれる．○○はなんと呼ばれるか．また，この定理には三つのエネルギー(水頭)からなりたっている．それぞれについて答えよ． 3. 静止状態にあった質点mがhの高さから重力mgを受けて落下している．落下地点の速度をv，として，運動エネルギー(E)と vB 地点までにする仕事(W)の関係を導出せよ B 4. 右図を参考に，ニュートンの第二法則(F=ma) F から運動量と力の関係を導出せよ vA A dr dt時間力Fを受けた質点mが A地点からB地点まで移動中間試験問題1 1. 流体運動の調べ方には二つの方法がある．それぞれについて100文字程度で説明せよ． 2. 図-1にある時刻tからt+dtまで変位した質点の動きから流体粒子の速度の変化Dvと加速度aを導出せよ． y z t+dt,(x+vdt,y+vdt,z+vdt) vdt udt t, (x,y,z) x 図-1 中間試験問題2 3. 問題2で求めた加速度aを(x,y,z)方向の三成分に分けるとどの様に表されるか． 4.問題2で求めた加速度に基づいて，x方向成分のEulerの運動方程式を導出する．以下の設問に答えよ． (1) 図-2に示す(dx,dy,dz)の微小直六面体で，働く質量力(x方向成分)はどの様に表されるか．流体の密度をρ，重力加速度をgとする． (2)同様に，この微小六面体に作用する圧力pの合力(x方向成分)はどの様に表されるか (3)ニュートンの第二法則を適用することでEulerの運動方程式(x方向成分)を求めよ． x軸方向の流速をuとする 5. 流れの連続式を導出する．以下の設問に答えよ． (1)図-2に示す(dx,dy,dz)の微小直六面体で，x軸方向の流速をuとする．単位時間に流入する流体の質量と流出する流体の質量の差を求めよ． (2)微小六面体の質量が時間的に変化せず，x軸方向の流速uだけが変化している場合の連続式はどの様に表されるか． y z dy dz x dx 図-2 中間試験問題3 B’ A’ p2 B v1 A p1 a1 図-3 v2 a2 6. ベルヌーイの定理について，以下の設問に答えよ図-3に示すある一つの管の中の流れについて，この管内の中にΔt時間に動いた二つの水塊A-A‘とB-B’をとる．また，水の密度をρ，断面A の面積a1,水圧p1,流速v1，断面A'の面積a2,水圧p2,流速v2とする． (1) Δt時間に断面A‘に流入する水の質量と，Δt時間に断面B’から流出する水の質量は流量Qを用いてどのように表されるか (2) Δt時間になされた運動エネルギーの変化は流量Qを用いてどのように表されるか (3) Δt時間になされた位置エネルギーの変化は流量Qを用いてどのように表されるか (4) 微小時間Δtになされた仕事の変化は流量Qを用いてどのように表されるか (5) 問(1)～(4)の解答からベルヌーイの定理を成立させよ中間試験問題4 7. 運動量の定理について，以下の問に答えよ図-4に示すような拡大管において，一定流量の定常流が流れている．水の密度がρ(一定)，入口断面の面積をaA,流速をvA，出口断面の面積をaA,流速をvBとする．この図を参考に，ニュートンの第二法則 (F=ma)から運動量と力の関係を導出せよ v a A v a A 図-4 B B 小テスト 1. 閉じた断面内の流路を流体が充満した流れの種類は何と呼ばれるか？ 2. 河川のように自由水面をもって，流れる流体が大気に接しながら流れる流れの種類は何と呼ばれるか？ 3. 流速や圧力等が時間的に変化する流れのことを何と言うか？ 4. 水の流れを対象とする場合，通常水の密度ρは一定である．その時の連続式はどの様に表されるか？中間試験問題1 1. 流体運動の調べ方には二つの方法がある．それぞれについて100文字程度で説明せよ． 2. 図-1にある時刻tからt+dtまで変位した質点の動きから流体粒子の速度の変化Dvと加速度aを導出せよ． y z t+dt,(x+vdt,y+vdt,z+vdt) vdt udt t, (x,y,z) x 図-1 中間試験問題2 3. 問題2で求めた加速度aを(x,y,z)方向の三成分に分けるとどの様に表されるか． 4.問題2で求めた加速度に基づいて，x方向成分のEulerの運動方程式を導出する．以下の設問に答えよ． (1) 図-2に示す(dx,dy,dz)の微小直六面体で，働く質量力(x方向成分)はどの様に表されるか．流体の密度をρ，重力加速度をgとする． (2)同様に，この微小六面体に作用する圧力pの合力(x方向成分)はどの様に表されるか (3)ニュートンの第二法則を適用することでEulerの運動方程式(x方向成分)を求めよ． x軸方向の流速をuとする 5. 流れの連続式を導出する．以下の設問に答えよ． (1)図-2に示す(dx,dy,dz)の微小直六面体で，x軸方向の流速をuとする．単位時間に流入する流体の質量と流出する流体の質量の差を求めよ． (2)微小六面体の質量が時間的に変化せず，x軸方向の流速uだけが変化している場合の連続式はどの様に表されるか． y z dy dz x dx 図-2