ベクトル計算

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（２）ベクトル計算
重要事項（これを理解します）
１，ベクトルとは何かについて学びます。
２，ベクトルの表現方法について学びます。
３，ベクトルの加算・減算・内積・外積について学びます。
【例題（よく出る問題）】：
．
次のベクトル V を複素数で表現しなさい。
虚軸
ｙ
4.5
2.0
4.0
．
V
3.5
3.0
2.5
4.0
2.0
3.46
1.5
1.0
60°
0.5
-0.5
O
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
-0.5
【例題（よく出る問題）の解答】
．
V =2.0+j3.46
【例題（よく出る問題）の模範解答】
．
問題のベクトル V は､実軸の値が 2.0 で、虚軸の値が 3.46 です。
よって、
．
V =(実軸の値 )+ j (虚軸の値 )
=2.0+j3.46
となります。
-1-
4.5
ｘ
実軸
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【解法の準備】
例題を解くために次の事を学びます。
１，ベクトルとは
「ベクトル」は､大きさと方向と向きを持った量です｡
しょう。
簡単な例で説明しま
下図のような河があり､その河を小さなボートが渡っているとしま
す｡
ボートの動きは、１つのベクトルで表すことができます。
向
方向
河
大きさ
ボートの動きのベクトル
それぞれ、ベクトルの大きさと方向と向きは、上の図のようになります｡
さて、ベクトルには､次のような性質があります｡
ベクトルの位置を自由に動かしても、かまわない｡
です。
水の流れのベクトル
では、例で説明しましょう｡
河
ボートの実際の動き
ボートの動きのベクトル
水の流れのベクトルが上のようであったとします。
すると、ボートの実際
1-1-2.doc
-2-
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の動きは、点線のようになります。
ベクトルを足し算すると下のようになり
ますね。
ベクトル B
ベクトル A+B
ベクトル A
すなわち、ベクトルは、このように自由に位置を移動して足し算することが
できます。
２，ベクトルの表現方法とは (1)
ベクトルは､他の変数と区別するために、次のように表示します｡
．
V
見て解るように､記号の上に「ドット」を付けて、文字本体を「太字斜体」と
しています。
この表現は､あくまでも慣習で、明らかにベクトルと解るときは､省略します｡
このテキストでも､区別がまぎらわしい場合は､記号の上に「ドット」を付けて、
文字本体を「太字斜体」としますが、明らかにベクトルと解るときは､省略しま
す｡
３，ベクトルの表現方法とは (2)
ベクトルの量を表現する方法にいくつかの方法があります｡
ここでは、その
いくつかを説明します｡
１）複素数による表現
一番よく使われる表現が、複素数による表現です。
．
例えば､ベクトル V が実軸 =4、虚軸 =3 の時は､
．
V =4+j3
と表現します｡
ここで、 j は、 j = −1 です。
この、 j をベクトルに一回掛ける毎にベクトルが､90 度回転します｡
-3-
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．
jV
．
V
θ +90°
θ +180°
θ
．．
j 2 V =− V
θ +270°
．
．
j 3 V =− jV
さて、この複素数表現の便利なところは、ベクトル通しの加算 (足し算 )
や減算 (引き算 )に便利なことです。
ベクトル通しの加算・減算の場合は、この表現を使うとよいでしょう。
２）極形式による表現
さて次は、極形式による表現です。
．
V =V∠ θ
次のように表現します。
．
V
V
θ
ベクトル表現では、複素数表現が慣れているので、同じベクトルを複素
数表現してみると、次のようになります。
．
V =V∠ θ =V(cos θ +j sin θ )= Vcos θ +jV sin θ
さてここで、 Vcos θ =4、 jV sin θ =j3 の時は、
．
V =4+j3
となりますね。
さて、この極形式表現の便利なところは、ベクトル通しの掛算や割算に
便利なことです。
ベクトル通しの掛算・割算の場合は、この表現を使うとよいでしょう。
．
．
たとえばベクトル V 1 とベクトル V 2 の掛算や割算のときは次のようにな
ります。
．．
V 1 ×V 2 =V 1 ∠ θ 1 ×V 2 ∠ θ 2
= V 1 ×V 2 ∠ ( θ 1 + θ 2 )
1-1-2.doc
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V&
V&
1
=
2
V1∠θ1 V1
= ∠ (θ1 − θ 2 )
V2 ∠θ 2 V2
となります。
３）指数形式による表現
表現の最後は､指数形式による表現です｡
この指数形式による表現は､極形式による表現とよく似た表現です｡
まず、指数形式による表現が､どのような表現か示しましょう｡
うになります｡
．
V =Vε j θ
次のよ
．
V
V
θ
この指数形式を極形式や複素数形式にすると下記となります｡
．
V =Vε j θ =V∠ θ =V(cos θ +j sin θ )
この指数形式表現の便利なところは、極形式と同じで、ベクトル通しの
掛算や割算に便利なことです。
ベクトル通しの掛算・割算の場合は、極形式と並んでこの表現を使うこ
とも考えた方がよいでしょう。
．
．
たとえばベクトル V 1 とベクトル V 2 の掛算や割算のときは次のようにな
ります。
．．
V 1 ×V 2 =V 1 ε j θ 1 ×V 2 ε j θ 2
= V 1 ×V 2 ε j( θ 1+ θ 2)
V&
V&
1
2
=
V1ε jθ1 V1 j (θ1 −θ2 )
= ε
V2ε jθ2 V2
となります。
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４．ベクトルの足し算と引き算とは
ベクトル通しは､足し算や引き算ができます｡(加算や減算ですね )
どのように計算するかと言いますと､実数どうし虚数どうしで計算します｡
では、やってみましょう｡
．
．
V 1 =3+j4
V 2 =4+j2
．．
ここで V1+ V2 は次のように計算します｡
．．
V 1 + V 2 = (3+j4) + (4+j2)
虚軸
= (3+4) + (j4+j2)
= 7+j6
ｙ
9
8
．．
V1+ V2
7
6
．
V1
5
4
3
．
V2
2
1
O
1
2
3
．．
また V1− V2 は次のように計算します｡
．．
V 1 − V 2 = (3+j4)− (4+j2)
4
虚軸
5
6
7
8
9
ｘ
実軸
ｙ
．
V1
5
= (3− 4) + (j4− j2)
4
= − 1 + j2
．．
V1− V2
．
V2
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
-1
．
− V2
-2
-3
-4
-5
1-1-2.doc
-6-
5
ｘ
実軸
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５．ベクトルの内積と外積とは
．
V2
ベクトルの内積と外積は、別名
V2
内積＝スカラー積
外積＝ベクトル積
．
V1
θ
と言います。
．
．
V1 と V2 の内積 V は、
．．
V=V 1 ・ V 2 =V 1 V 2 cos θ
V1
となります。
値は､方向性を持たないスカラー量となります｡（長さ・質量・面積と同じス
．
カラー量です）
V
さて次は､外積です｡
．
．
．
V1 と V2 の外積 V は次のように表します｡
．
．．．．
V2
V2
V =V 1 ×V 2 =v V 1 V 2 sin θ
それで、外積は、ベクトルになります。
ベクトルの向きは、上の式で始めのベクトル
．
．
V1 から次のベクトル V2 へ向かって測った角度 θ
θ
V1
．
V1
と関係します。
．
どのように関係するかと言いますと、外積 V は、角度 θ と同じ回転方向でネ
ジが進む方向になります。
．
．
上の式で v は、外積 V の方向の単位ベクトルです。
単位ベクトルとは､大きさが 1 のベクトルです｡
．
．
すなわち、ベクトル V は、大きさが V 1 V 2 sin θ で、向きが v のベクトルという
意味です｡
【確認問題１】
次の 2 つの電流がある。
．
I 1 =2+j3
合成電流は､いくらか｡
．
I 2 =4+j5
【確認問題１の回答】
．．
I 1 ＋ I 2 =6+j8
【確認問題１の解説】
計算してみます｡
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．．
I 1 ＋ I 2 =(2+j3)＋ (4+j5)
= (2+4)＋ j (3＋ j5)
=6+j8
となります。
【確認問題２】
次の 2 つのベクトルがある｡ベクトルの内積は、いくらか。
．
．
V =100∠ 10°
I =60∠ 40°
【確認問題２の回答】
．．
V ・ I =5190
【確認問題２の解説】
あまり難しく考えないで、内積の公式に当てはめて計算します。
内積の公式は、
．．
V=V 1 ・ V 2 =V 1 V 2 cos θ
です。
当てはめると、
．．
V ・ I =100×60 cos(40°‐ 10°)
．
I
=6000 cos30°
=6000×
3
2
=6000×
1.73
2
60
30°
40°
10°
．
V
100
=5190
となります。
キーワード
ベクトル、大きさ、方向、向き、ベクトルの表現方法、複素数による表現、極
形式による表現、指数形式による表現、ベクトルの足し算、ベクトルの引き算、
ベクトルの内積、ベクトルの外積、スカラー積、ベクトル積
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これがポイント
コツ１、ベクトルの加算・減算は、複素数形式で表現して計算して下さい。
コツ２、ベクトルの内積は、スカラー量であることを覚えて下さい。
コツ３、ベクトルの外積は、ベクトルになることを覚えて下さい。
復習
１，ベクトルを表現する 3 つの方法は、説明できますか。
２，内積の公式は、覚えていますね。
３，外積のベクトルの向きは、どのように決めるか解りますか。
-9-

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