運動方程式の積分解答例力が一定でないとき、加速度を積分することによって速度、位置を求める。（１）運動方程式は、 dv = F0 dt F0 dv \ = a = m dt m これを時間について積分して、 v (t ) = ò ・・① F0 F0 dt = t + C1 m m 但し、C １は積分定数ｔ＝０で物体が初速ｖ０なので v(0)=ｖ０、よって①式にｔ＝０を代入して v(0)＝ C １＝ｖ０、 ∴ C １＝ｖ０よ v ( t ) = F 0 t + v ってｔ秒後の速度は、これを①に代入して 0 m ・・・①’ ①’式をさらに時間ｔで積分すると、 x (t ) = ò vdt 1 F0 æ F0 ö t + v 0 ÷d t = t m 2 m ø ò çè = 2 + v0t + C 初めにｘ＝ｘ０の所にいたので、ｘ（０）＝ｘ０よって②式にｔ＝０を代入し、ｘ０に等しいとおいて、ｘ（０）＝ C ２＝ｘ０， ∴ C ２＝ｘ０これを②式に代入して、 x (t ) = 1 F0 t 2 m 2 + v0t + x0 ・・②’ -1- 2 ・・② ①’、②’を加速度 a ＝ F ０／ｍを使って書くと、 v (t ) = a t + v 0 1 at 2 x (t ) = 2 + v0t + x0 等加速度直線運動の公式が導かれる。このように、この公式は力が一定、つまり加速度が一定の場合についてのみ成立する。 (別法) 定積分を使う。 ò t adt = 0 ò dv dt = dt t 0 ò F0 dt m t 0 é F0 ù ê m tú ë û \ v (t ) - v (0 ) = \ F0 v (t ) = t + v(0) m 初期条件よりｖ（０）＝ｖ０ v (t ) = t = 0 F0 t m を使うと、 F0 t + v0 m 同様にして、v(t）を定積分し、x(０)＝ｘ０ ò t 0 vdt = ò dx dt = dt t 0 \ x (t ) - x (0 ) = \ x (t ) = ò t 0 é 1 F0 ê2 m t ë 1 F0 2 t 2 m を使うと、 æ F0 ö t + v0 ÷dt ç è m ø t 1 F0 2 ù + v0t ú = t + v0t 2 m û0 1 F0 2 + v 0t + x (0 ) = t + v0t + x0 2 m 2 （２）運動方程式は、 dv = - 1 2t dt dv \ a = = -6t dt 2 これを時間について積分して、 v (t ) = ò (- 6t)d t = - 3t 2 + C ・・① 1 但し、C １は積分定数ｔ＝０で物体が止まっているので v(0)=0、よって①式にｔ＝０を代入して v(0)＝ C １＝０、 ∴ C １＝０よってｔ秒後の速度は、これを①に代入してｖ（ｔ）＝−３ｔ２・・・①’ ①’式をさらに時間ｔで積分すると、 x (t ) = ò vdt = ò dx dt = dt ò (- 3t 2 )d t = - t 3 + C 2 初めにｘ＝１２５の所にいたので、ｘ（０）＝１２５ -2- ・・② よって②式にｔ＝０を代入し、１２５に等しいとおいて、ｘ（０）＝ C ２＝１２５， ∴ C ２＝１２５これを②式に代入して、 x (t ) = - t 3 + 1 2 5 物体の位置が０になるときはｔ＝５，（３）(a) dvx = f1 \ dt dvy = A + f2t m dt dvx dt = dt ò v x (t ) = dvx f = 1 dt m dvy A + f 2t \ = dt m f1 f d t = 1 × t + C 1x m m f \ v x (t ) = 1 × t m f1 f1 × td t = ×t2 + C vxdt = ò m 2m f1 \ ×t2 x (t ) = 2m v x (0 ) = C 1x = 0 x (t ) = dx dt = dt ò ②’よりｘ＝０とおくと、これを①に代入して、ｖ＝−７５ m ( b) ・・②’ ò x (0 ) = C 1x = 0 ò 2 x (c) y (t ) = v y (0 ) = C y (t ) = ò y (0) = C (d) dv ò v y dt 1y dt = = v0 dy dt = dt = 0 2 y ò f2 2 A + f2t A t + t + C 1y dt = m m 2m f2 2 A t + t + v0 v y (t ) = \ m 2m f2 f2 2 A æ A ö t2 + t t + t + v 0 ÷d t = ç m m m m 2 2 6 è ø f2 3 A t2 + t + v0t y (t ) = \ 2m 6m ò Ａ＝０のとき、 x (t ) = f1 2 t , 2m \ t = 2mx f1 æ ç ç è 2mx f1 f2 3 f2 y (t ) = t + v0t = 6m 6m \ æ ç y - v0 ç è f2 2mx ö ÷ = A ÷ø 6m æ ç ç è ö ÷ ÷ ø 3 2mx ö ÷ A ÷ø + v0 3 両辺を２乗して、 æ ç y - v0 ç è 2 2 mx f1 2 ö f 2 ö æ 2 mx ö æ ÷ =ç ÷÷ ÷ çç ÷ è 6 m ø è f1 ø ø 3 -3- 2mx f1 3 + v0t + C 2 y （４）水平方向にｘ軸、鉛直上向きにｚ軸を取る。ビルの地上を原点とすると、物体の初めの位置は、（０，ｈ）・・・① 初速度は（ｖ０ cos θ、ｖ０ sin θ）・・・② また、物体に働く力は重力ｍｇのみで、その向きは鉛直下向き（−ｚ方向）なので、力は、 (0, −ｍｇ) よって運動方程式は、 m d vx = 0 dt m d vz = -mg dt これを積分して（ｖｘ、ｖｙ）を求める。初期条件②を使うと、 v x ( t ) = v 0 c o sq , v z ( t ) = - g t + v 0 sin q これをさらに積分し、初期条件①を使うと、 x ( t ) = v 0 c o sq × t , z (t ) = - 1 2 g t + v 0 s in q × t + h 2 （５） ⅰ．まず、運動方程式を立て、加速度を求める。運動方程式ｍａ＝Ｆに力Ｆ＝Ａ e −λｔを代入し、運動方程式は、ｍａ＝Ａ e −λｔ ∴ ａＡ e −λｔ＝ｍ ⅱ．次に加速度を時間について積分して、速度の一般解を求める。ａ＝ｄｖｄｔ v (t ) = ò より、これを時間ｔについて積分すると速度になり、 Ae - l t A A -l t e + C1 ・・① dt = ò e -l t dt = m m ml 積分公式ここで、C １は積分定数。 òe -l t dt = - 1 -l t e + C1 l ⅲ．初期条件を使って、積分定数 C １を求める。問題文「ｔ＝０で初速度１５ m/s とする」より、ｔ＝０で速度は１５なので、 v(0)=0 でなければならない。一方、一般解①式は、任意の時間ｔについて成立する。よって①式にｔ＝０を代入すると、 -4- v (0) = - A - l ×0 A e + C1 = + C1 = 15 ml ml C1 = ∴ A + 15 ml ・・② よって、ｔ秒後の速度は、①式に②式の C １を代入して、 v(t ) = - ⅳ．ｖ＝ A -l t A A + 15 = (1 - e -l t )+ 15 e + ml ml ml ｄｘｄｔ・・・③ より、速度（③式）を時間ｔについて積分すると、位置が求まる。 ( ) ì A ü 1 - e - l t + 15ýdt x (t ) = ò í î ml þ A 1 - e - l t dt + ò 15dt = ml ò 1 -l t ö A æ = ç t + e ÷ + 15t + C 2 ・・④ l ml è ø ( ) 積分公式 ò 1 ×dt = t + C ここで、C2 òe は積分定数。 -l t dt = - 1 -l t e + C1 l 初期条件と、積分による一般解④式より、ⅲと同様にして、積分定数 C2 を決める。題意より、ｔ＝０で物体は原点にいるので、ｘ(0)＝０。（初期条件）よって④式にｔ＝０を代入すると、 A æ ç0 + ml è A = (0 + ml x ( 0) = ∴ 1 - l ×0 ö e ÷ + 15 × 0 + C 2 l ø 1 A × 1) + C 2 = + C2 = 0 l ml2 C2 = - A ml2 ・・⑤ これを④式に代入すると、 A æ A ö x (t ) = t ç + 15 ÷ + ( e - l t - 1) 2 ø ml è ml -5- （６）まず、運動方程式を立て、加速度を求める。運動方程式ｍａ＝Ｆに力Ｆ＝Ａ sin（ωｔ）を代入し、運動方程式は、ｍａ＝Ａ sin ωｔ ∴ ａ＝ Asin ωｔｍ次に加速度を時間について定積分する。ａ＝ｄｖより、これを時間ｔについて積分すると速度になり、ｄｔ v(t ) - v (0) = ò t 0 v (t ) = - ∴ A sin wt A t Aé 1 A ù (coswt - 1) dt = ò sin wtdt = ê - cos wt ú = m m 0 më w mw û0 t A (coswt - 1) + v(0) mw また、ｔ＝０で物体は止まっているので、v(0)＝０を代入して、 ⅲ．ｖ 1 A (coswt - 1) v(t ) = mw ∴ ＝積分公式ｄｘｄｔ ò sin(wt )dt = - w coswt + C 1 ・・① より、速度（①式）を時間ｔについて定積分して、 t A x (t ) - x ( 0 ) = - ò (cos w t - 1)dt = - A éê 1 sin w t - t ùú = A æç t - 1 sin w t ö÷ 0 mw mw ëw w û 0 mw è ø t \ x (t ) = A æ 1 ö ç t - sin w t ÷ - x ( 0 ) mw è w ø ここで、はじめに原点にいるので、x(0)＝０を代入して、 x (t ) = A mw 1 æ ö ç t - sin w t ÷ w è ø -6-