2009 年度環境基礎数学演習試験問題以下の問にそれぞれ答えなさい。ただし分数についてはそのまま表し、小数に直さなくてよい。【問題 1 】以下のデータから、Y = aX + bX 2 の形で最小二乗法による回帰を行ったときの、係数 a および b の値をそれぞれ求めなさい。 Y X 2 −2 0 −1 1 1 2 2 【問題 2 】実験室から出す排水は、中和 (PH=7.0) することになっている。ある実験室から出た排水の PH を半年間、月に 1 回ずつ計測したところ、次の表に示す値が得られた。月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 PH 8.1 7.2 7.8 7.0 7.4 7.5 このデータから、以下の手順に従って、排水が中和されているかどうかの検定を行う。 (1) 上の検定を行うために、帰無仮説と対立仮説をどう立てるか、それぞれ記述しなさい。 (2) 標本平均 µ 、標本分散 s を、それぞれ計算しなさい。 (3) 上の結果より、検定のための T 値を求めなさい。 (4) t-分布関数の自由度はいくつにとればよいか。 (5) 上で求めた自由度の t-関数と T の値により、x > T の面積 (右図のハッチ部分) を計算したところ、0.014 であった。これより、p 値を求めなさい。 0 T √ √ (6) 中和が正しく行われているかどうか、検定しなさい。 ( 5 = 2.236、 6 = 2.45 として計算しなさい) 【問題 3 】 x> = 0 で定義される関数 y(x) が、次の微分方程式を満たすとする。 dy + y2 = 0 dx (1) 任意定数 C を含む一般解を求めなさい。 (2) (1) で求められた一般解のうち、y(0) = 1 を満たす解を、任意定数を決定して求めなさい。【裏面にも問題があります】【問題 4 】水溶液中の化学反応による生成量は、元となる化学物質のモル濃度に比例します。以下では、1 リットルの水溶液中の反応を考えることにします。この場合、化学物質の量はそのモル濃度に比例します。 ¶ 例題 ³ 化学反応・A * ) B において、 A → B の反応速度 (単位時間あたりのモル濃度の変化) は k、 A ← B の反応速度は、その 2 倍の 2k である、とする。 1 リットルの水溶液中の A、B の量 (=モル濃度) を、それぞれ [A]、[B] と書くと、これらはその化学物質の量に一致する。これらの時間変化を表す (連立) 微分方程式は、以下のようになる。  d[A]   = −k[A] + 2k[B]  dt    d[B] = k[A] − 2k[B] dt (∗) 十分時間がたって平衡に達したときの、A と B のモル濃度の比は、以下のようにして求められる。平衡状態では、モル濃度の変化はないので、左辺は 0 である。したがって、・0 = −k[A] + 2k[B] 移項して k を除して、 [A] = 2[B] したがってモル濃度の比 [A]：[B] は 2 : 1 µ これを参考にして、次の問題 (1)、(2) を解きなさい。 (1) 化学反応 * )B * C において、・B) ・A A → B の反応速度は k、 A ← B の反応速度は 2k、 B → C の反応速度は k、 B ← C の反応速度は 2k である、とする。このとき、(∗) に対応する、化学物質の時間変化を表す (連立) 微分方程式を書きなさい。その上で十分時間がたって平衡に達したときの、A、B、C のモル濃度の比を求めなさい。 (2) 化学反応 * )B ・B* )C ・A* ) C において、・A A → B の反応速度は k、 A ← B の反応速度は 2k、 B → C の反応速度は k、 B ← C の反応速度は 2k、 A → C の反応速度は k、 A ← C の反応速度は 2k である、とする。このとき、(∗) に対応する、化学物質の時間変化を表す (連立) 微分方程式を書きなさい。その上で十分時間がたって平衡に達したときの、A、B、C のモル濃度の比を求めなさい。 ´ 2009 年度環境基礎数学演習試験問題解答【問題 1 の答】 (X · X) = 10、(X · X 2 ) = 0、(X 2 · X 2 ) = 34、(Y · X) = 1、(Y · X 2 ) = 17 より、正規方程式は、   10 a − 0 b = 1  0 a + 34 b = 17 これより、a = 1 1 、b = 10 2 【問題 2 の答】 (1) 帰無仮説：排水は中性、すなわち PH= 7 である。対立仮説：排水は中性でない、すなわち PH6= 7(酸性にもアルカリ性にもなる可能性があるので）。. (2) µ = 7.5、s2 = 0.16 より s = 0.4 p (3) T = (7.5 − 7) (6)/0.4 = 3.06 (4) 自由度は 5 (5) 両側検定なので、 p = 0.028 (6) 危険率 5%で帰無仮説棄却、すなわち中性でない。危険率 1%では帰無仮説採択、すなわち中性である。【問題 3 の答】 (1) 移項して両辺を y2 で除して、 − dy = dx。これは変数分離形だから両辺積分でき、 y2 1 1 = x +C すなわち、 y = y x +C 1 (2) x = 0 を代入して、 1 = → C = 1 C したがって条件を満たす解は、 y = 1 x+1 【問題 4 の答】 (1) 1 リットルの水溶液中の A、B、C の量 (=モル濃度) を、それぞれ [A]、[B]、[C] と書くと、これらはその化学物質の量に一致する。これらの時間変化の式は、以下のようになる。  d[A]   = −k[A] + 2k[B]   dt    d[B] = k[A] − 2k[B] + 2k[C] − k[B]  dt       d[C] = k[B] − 2k[C] dt 平衡状態の式は、左辺を 0 と置くことにより、次の連立方程式となる。   0 = −k[A] + 2k[B] · · · (2.1)     0 = k[A] − 2k[B] + 2k[C] − k[B] · · · (2.2)     0 = k[B] − 2k[C] · · · (2.3) (2.1) 式より、(1) と同様に、[A]：[B] は 2 : 1。(2.2) 式より、[B]：[C] は 2 : 1 となるから、[A]：[C] は 4 : 1 となる。したがってモル濃度の比 [A]：[B]：[C] は 4 : 2 : 1 (2) 同様に A、B、C の量 (=モル濃度) を、それぞれ [A]、 [B]、[C] と書くと、その量 (=モル濃度) の時間変化の連立微分方程式は、以下のようになる。  d[A]   = −k[A] + 2k[B] − k[A] + 2k[C]   dt    d[B] = k[A] − 2k[B] + 2k[C] − k[B]  dt       d[C] = k[B] − 2k[C] + k[A] − 2k[C] dt また、平衡状態の式は、以下の連立方程式になる。   0 = −k[A] + 2k[B] − k[A] + 2k[C] · · · (3.1)     0 = k[A] − 2k[B] + 2k[C] − k[B] · · · (3.2)      0 = k[B] − 2k[C] + k[A] − 2k[C] · · · (3.3) Fig.0.1 (3.1) 式より、[A]=[B]+[C]、これを (3.2) 式に代入すると、2[B]=3[C] となり、[B]：[C] は 3 : 2 となる。したがってモル濃度の比 [A]：[B]：[C] は 5 : 3 : 2 参考のため、[A]、[B]、[C] を同モル濃度から始めた場合の、変化を示したグラフを右に示す。