CR回路の周波数特性 R回路の周波数特性

２．C
２．CＲ回路の周波数特性
準備
図２－１に CR 回路を示す．入力に交流電圧を加え，その周波数を変えたとき，出力電圧がどの
ように変化するかを求める．周波数による変化（周波数特性）は電圧（振幅）の大きさと，波形の
時間遅れ（位相）の両方に表れる．
図２－１
ＣＲ回路
入力電圧を V(ω)，コンデンサの両端の電圧［出力電圧］を Vｏ(ω)とすると、
VO (ω) =
1 / jωC
1
1 − jωCR
1
V (ω) =
V (ω) =
V (ω) =
e jφ
2 2 2
R + 1 / jωC
1 + jωRC
1 +ω C R
1 +ω2 C 2 R 2
となる。ただし、 φ = − tan −1 (ωCR )
従って，入出力電圧の振幅比｜Vｏ(ω)／V(ω)｜は
VO (ω)
1
=
V (ω)
1 +ω2 C 2 R 2
となる．これはゲイン(利得)と呼ばれるが，工学の分野では，以下のようにして求められるデシベ
ル［dB］で表現されることも多い．log を常用対数［ log10 ］として，デシベル表示では
20 log
VO (ω)
1
= 20 log
= −10 log(1 + ω2 C 2 R 2 )
2
2
2
V (ω)
1 +ω C R
となる．ゲインをデシベルで表現して，ゲインと周波数の関係を図示したものが図２－２である．
CR回路の周波数特性
CR回路の周波数特性
2.000
[dB]
0.000
-2.000 1
ン -4.000
イ -6.000
ゲ
10
100
1000
10000
100000
-8.000
周波数[Hz]
-10.000
図２－２
ＣＲ回路の周波数特性［両対数表示］
また，時間遅れΔt と周波数の関係は， Δt／T＝ φ／2π より，Δt＝φ／ω となる。
従って，
Δt ＝－［ tan－１(ωC R)］／ω
となる．
なお，ωC R ＝ 1 ［従って，ゲインが 1 / 2 となる周波数を遮断周波数といい，これをｆC とす
ると，ｆC＝1／2πCR と表される．ｆC より低い周波数帯域を通過帯域［ゲイン ≒ 1 ］，高い
周波数帯域を阻止帯域と呼ぶ．
- 10 -
CＲ回路の周波数特性
簡単な回路（低域通過フィルタ[Low pass filter] ）の作成
その回路の特性を測定（周波数fに対するゲインGの変化）
ゲイン(Gain)：出力電圧vｏ[V]／入力電圧vｉ[V]
G(f)
参考
遮断周波数 fＣ：通過できなくなる周波数 (ゲイン 1/√2)
両対数グラフ：横軸，縦軸を対数で表示 Log-Log
時定数：CR回路（１次系）の時定数 T＝CR
[s]
実験手順
１．回路の作成（図２－３参照）
抵抗器 R の電気抵抗の大きさ，コンデンサ C の容量の大きさの表示：
３桁の数値，単位抵抗：Ω(オーム)，コンデンサ：pF(ピコファラッド）
例： 103 → 10×10３ Ω あるいは，10×10３ pF
逆に， 1 kΩは， 10Ω×100 であるから， 102 と表示
1000 pF は，10３＝10×10２であるから，102 と表示
カラーコード：数値を色で表す．例：茶黒橙
→ 103 (10 kΩ)
接続
グランド(アース)を共通に接続する．（信号発生器，回路，オシロスコープ）
２．特性測定
2.1 信号発生器から正弦波を発生させる．信号の大きさは一定にしておく．
入力電圧（一定）谷から山まで, peak to peak, p-p）ｖｉを測定する（オシロス
コープの縦軸を用いる．下記参照）［一度だけ測定して記録する］．
電圧の測定 [縦軸］(CAL に注意[右に回し切る UNCAL 消灯])
(1) CH.1(or CH.2)のつまみを調整し，波形が適当な大きさで見えるようにする.
(2) つまみ[VOLTS/DIV]の白線の位置の数値を読み取り，すぐ記録する．
たとえば，0.2 V
記録用様式参照
(3) 波形の谷から山までの大きさを縦軸の目盛り[DIV]数を読み取り記録する．
(4) 両者の積から出力信号の大きさが分かる．
2.2 周波数を変えながら，回路の出力電圧（谷から山まで, peak to peak, p-p）ｖｏを
測定する（オシロスコープの縦軸を用いる）．上記電圧の測定を参照
さらに，入力波形の山（頂点）から出力波形の山（頂点）までの時間Δｔを測定
する．（図２－４参照のこと）
- 11 -
図２－３ CR 回路のブレッドボード上への作成
1.5
∆t
1
0.5
0
0
V
0.5
1
Vo
-0.5
-1
-1.5
図２－４入出力電圧と遅れ時間Δ
入出力電圧と遅れ時間Δｔ
- 12 -
1.5
2
周波数の選択
遮断周波数：正弦波信号を通さなくなる周波数（ゲインが１／√２）
今の回路の場合： 1／（2πRC)
R [Ω]，C[F]
遮断周波数の近辺で特性の変化が大きい．従って，その近辺を多く選ぶ．
・遮断周波数を計算で求めよ．fＣ＝
kHz ？
・ 1 kHz～ 100 kHz の間で，10 個の周波数について測定する．
1 kHz, 100 kHz，50 kHz，5 kHz， fＣ ± 2, 4, 6 kHz
記録様式の例（後で経過を確かめたくなったときそれができるように）
入力電圧(peak to peak) ｖｉの測定
出力電圧ｖｉ (peak to peak)
周波数
数値
単位
10.3
k Hz
VOLT/DIV
2
V
目盛数
電圧(
電圧(単位)
単位)
1.5
3.0 V
出力電圧(
) ｖｏの測定
出力電圧(peak to peak)
周波数
数値
単位
10.3
k Hz
出力電圧 VO (peak to peak)
VOLT/DIV
2
V
ゲイン
時間
目盛数
電圧(
電圧(単位)
単位)
vｏ／vｉ
μs
1.3
2.6 V
0.87(=2.6/3.0)
10.5
参考カラーコードの覚え方
参考
「黒い礼（０）服」
周波数特性の計算値
周波数 kHz
ゲイン
「小林 (１) 茶」「茶 (１) 服」
1
1.00
「赤い人（２）参＜にんじん＞」
5
0.95
「橙色の蜜(3)
「橙色の蜜(3)柑」「第（橙）
(3)柑」「第（橙）(
柑」「第（橙）(３) の男」
10
0.85
「岸＜(
「岸＜(黄) (４
(４)＞恵子」
12
0.80
「嬰児＜みどりご＞（５）」
14
0.75
「青二才のろく（６）でなし」
16
0.71
「紫式部＜七部＞（７）」
18
0.66
「ハイヤー（灰）（８）」
20
0.62
「ホワイト（白）ク（９）リスマス」
50
0.30
100
0.16
カラーコードの覚え方については、各自工夫して下さい。（岸恵子、映画『第 3 の男』とか知らなかったりする
し、嬰児の意味がわからなかったり。）覚え方は工夫しましょう。
- 13 -
３．測定結果をグラフに表す
周波数特性のグラフ(一部)を以下に示す。図２－５は、横軸・縦軸とも下の数値（等目盛）で示し
てある。両軸を対数で表したグラフ（両対数フ）は、既に図２－２に示してある。図２－２では、
横軸は周波数ｆとして log(f)を、縦軸はデシベル[dB]で表したゲイン G を示している。
[Gain = 20 log (Vo/Vi) ]
CR回路の周波数特性
CR回路の周波数特性
1.1
(Vo/Vi)
1
0.9
0.8
比0.7
力
出0.6
入
0.5
0.4
0
5000
10000
15000
周波数
20000
25000
[Hz]
図２－５ CR 回路の周波数特性（等目盛）
◆
参考：入出力比のデシベル表示
Vo/Vi
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1000
2
√2
3
4
5
dB 表示計算値
-60
-60.000
-40
-40.000
-20
-20.000
0
0.000
20
20.000
40
40.000
60
60.000
6
6.021
3
3.010
約 10
9.542
12
12.041
14
13.979
dB = 20 log(Vo/Vi)
注意：log は常用対数 log10 を表す。
2010 = 1024 ≒ 103
∴ log(210) = 10 log2 ≒ 3
∴ log2 ≒ 0.3
32 ≒ 10
∴ log(32) = 2 log3 ≒ 1
∴ log3 ≒ 0.5 （かなり粗い近似）
- 14 -
30000

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