アナログ変復調の理論と実際

第2回　情報伝送工学　簡単な情報伝送システム
AM変復調・理論と実際
情報伝送システムの基礎
電信→電話
トランシーバ→携帯電話→インターネット（IP）との融合
ラジオ放送→テレビ放送→インターネット（IP）との融合
インターネット
情報伝送システムの例
アナログ伝送
インターホン（低周波伝送）、アナログ携帯電話（高周波伝送）、トランシーバ
デジタル伝送
プリンタケーブル（低周波伝送）、光ファイバ通信, Bフレッツ（光伝送）、
携帯電話（高周波伝送）、LAN（無線LAN）
アナログ伝送とデジタル伝送
・アナログ伝送
音声などのアナログ信号をそのまま増幅またはアナログ変調して伝送する方式
・デジタル伝送
アナログ信号をPCMなどにより1,0に変換して伝送する方式
インターホン（低周波伝送機器）のブロック図（アナログ）
マイク
スピーカ
IN
低周波増幅器
OUT
スピーカ
マイク
平行2線
伝送線路
親器
図２．１　親器送信、子器受信の場合
子器
スピーカ
IN
低周波増幅器
OUT
マイク
平行２線
伝送線路
子器
親器
図2.2　子器送信、親器受信の場合
応用　・・・　電灯線を使ったインターフォン
携帯電話網
ケーブルテレビ
ネットワークを安定維持するため回線設計の重要性
低周波伝送と高周波伝送
低周波伝送とは（アナログ）
音声などの低周波（20Hz～20KHz）を交流信号電圧増幅して、そのまま伝送
伝送線路の途中で減衰
マイク
低周波
増幅器
低周波
増幅器
平行2線
電気信号
音波
スピーカ
音波
Pa=40dB
L=-20dB
Ps
Pm[dBm]=-10dBm
Ps=Pm+Pa-L=-10+40-20=+10dBm(10mW)
図２．３　低周波伝送回路
高周波伝送とは
低周波を高周波に重畳（変調）して、ケーブルや自由空間を伝送
高周波
発振器
途中で減衰
マイク
高周波
増幅器
変調器
音波
低周波信号
高周波信号
イヤフォン
復調器
平行２線や同軸線路
（自由空間の場合もあり）
図２．４　高周波伝送回路
高周波伝送のメリット
・空間伝送が可能（ラジオ放送）
・変調技術による多重化により大容量の情報伝送が可能（テレビ放送）
→デジタルの場合には帯域幅を広げることにより高速通信が可能
・デメリット
・構成回路が複雑
デジタル通信での低周波および高周波伝送システム
ベースバンド方式（低周波）
デジタル信号をパルス波形として電圧や光の強弱に変換して伝送する方式
コンピュータ
伝送線路
NICなど
NICなど
コンピュータ
ブロードバンド方式（高周波）
デジタル信号を変調して伝送して復調により再度デジタル信号を得る方式であり、
変調および多値化方式によって通信速度が決まる。
モデム
モデム
コンピュータ
NICなど
変調器
復調器
伝送線路
変調器
復調器
NICなど
コンピュータ
変調技術の基礎振幅変調　Amplitude Modulation（AM）の場合
アナログ変復調の理論と実際
変調・復調とは
搬送波に情報（電気信号）を重畳すること
変調の種類（アナログの場合）
AM（Amplitude Modulation）変調　搬送波の振幅を変化（周波数一定）
FM（Frequency Modulation）変調　搬送波の周波数を変化（振幅一定）
PM（Phase Modulation）変調　搬送波の位相を変化
各変調の特徴
AM変調
メリット：　周波数帯域幅が狭い（チャンネルを多く取れる）
デメリット：　音質が悪い（帯域幅が狭く、振幅を変化させる為）
FM変調
メリット：　音質が良い（帯域幅が広く、振幅が変化しない為）
デメリット：　周波数帯域幅が広い（チャンネルを多くとれない）　振幅変調（AM）の理論
搬送波（高周波）vcおよび、信号波vsを次式の様に表現してみる。
vc  Vcm  sin( c  t  )
・・・（２．１）
vs  Vsm  sin( s  t  )
・・・（２．２）
ここで、vcは搬送波の瞬時値、Vcmは搬送波の振幅（最大値）である。また、ωcは搬送
波の角周波数であり、2πfcで表される。
(2.2)の情報信号を(2.1)の搬送波に重畳する方法として振幅変調（Amplitude
Modulation）がある。すなわち振幅（AM）変調による被変調波をvAMとすると、θ=0の
条件においてその振幅は図に示す通り、搬送波の振幅の最大値Vcmを中心に信号波
の振幅Vsmで変化させたものであり、数学的には次の様に表すことができる。
v AM の振幅  Vcm  Vsm  sin( s  t )
この式を波形として表してみると
Vsm
Vcm
・・・（２．３）
であるが、実際には搬送波の正弦波成分より-Vcmを基準として
Vsm
+Vcm
－Vcm
と考える必要がある。そして、さらに vAMはこの振幅がさらにωcの角周波数にて変化する
ので、上記の式にsin（ ωc・ｔ）を掛ければよい。すなわち
ωcの振幅が変化
v AM  Vcm  Vsm  sin s  t  sin c  t 
・・・（２．４）
振幅Vcmを基準として変化
となり、以下の変調波形が得られる。
+Vcm
Vsm
－Vcm
音声情報を高周波の振幅変化としてのせる
一例として、fc=1MHz、 fs=100kHz、 vc=1V、 vs=1Vの場合における(2.4)式の計算結果と
しての各波形を次ページに示す。これより、AM変調では搬送波の周波数は変化せず振
幅のみが変化していることが分かる。
このような性質からも、この変調方式は振幅（AM)変調と呼ばれている。但し、振幅が信
号の周期で正弦状に変化するので周波数領域では搬送波周波数の両端に信号波分の
周波数スペクトルが現れることになる。
vc( t )
vs( t )
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1 10
5
t
5
2 10
0
1
5
3 10
5
3 10
0
0
1 10
図２．５　搬送波（2.1式）
2
1
0
0
0
0
1 10
t
2 10
5
2 10
5
5
3 10
5

3 10
2
1.987688
5
t
図２．６　信号波（2.2式）
2
vAM1( t )
5
vAM( t )
0
1.987688
2
5
0
0
3 10
5
3 10
図２．７　変調波の振幅成分（2.3式）
1 10
5
t
2 10
5
5
3 10
5

3 10
図２．８　AM変調波（2.4式）
コンピュータによるシミュレーション結果
ここで、被変調波形に対して変調度mを定義すると、搬送波と信号の振幅の比として
次式で表される。
m
Vsm
Vcm
・・・（２．５）
変調度mを百分率で表したのものを変調率とあらたに定義すれば、図2.11に示す振幅
の幅AおよびBより次式で求められる。
m
A B
100
A B
［%］
・・・（２．６）
以上のことより、たとえば図2.11からAおよびBを読み出すと
m
2
A B
3 .0  1 .0
100 
100  100  50
4
A B
3 .0  1 .0
［%］
となり、各変調波形に対して変調率が算出できる。
コンピュータによる
シミュレーション
1.495622
2
1
vAM( t )
B
0
1
1.495622
2
0
0
1 10
5
t
2 10
5
5
3 10
5

3 10
図２．１１　変調率の定義
Vcm=Vsmの時m=100%
つまり100%以下とするためにはVcm>Vsmである必要
振幅変調の理論計算例はあらためて図11.1に示す。
1.987688
2
vAM( t )
0
1.987688
2
0
0
1 10
5
t
2 10
5
図１１．１　AM変調波
5
3 10
5
3 10
A
ここで、上式をVcmでくくれば
v AM  Vcm 1  m  cos  s  t  cos c  t 
・・・（１１．３ａ）
を得る。ここでのmは変調度を示し
m
Vsm
Vcm
で表される。
振幅変調波の周波数スペクトルと占有周波数帯域幅
そこで、さらに(11.3a)式を展開してみると
v AM  Vcm  cos c  t   Vcm  m  cos  s  t   cos c  t 
積ー和の公式
1
 Vcm  cos c  t   Vcm  m  cos c  t   s  t   cos c  t   s  t 
2
中心周波数
側波帯
1
 Vcm  cos c  t   Vcm  m  cos c   s   t  cos c   s   t 
2
以上のことを踏まえ、今度はAM変調された信号の増幅電圧の周波数領域におけるス
ペクトル成分について考えると、先の(2.4)式および図2.8で示された時間領域に対する
v AM  Vcm  Vsm  sin( s  t )   sin( c  t )
は周波数領域において下図に示す様な波形となる。
40kHz
Vcm
振幅
Vsm
0
ωs
m
Vcm
2
m
Vcm
2
ωc －ωs
ωc
ωc +ωs
周波数
図2.10　AM変調波の周波数領域波形
最大音声周波数が
20kHzならチャンネ
ル帯域幅は40kHz
すなわち、AM変調ではωcを中心として左右にωs離れた周波数にスペクトルが現れる。
ここでmは変調度であり、先に示した通り時間領域における搬送波と信号の振幅の比と
してあらためて次式で表される。
m
Vsm
Vcm
さらに、変調度mを百分率で表したのもが変調率であり、振幅の幅AおよびBより次式で
求められる。
変調率

［%］
40kHz
電圧（振幅）
この波形を横軸を周波数とし
て表せば右図の様に2fsなる
帯域幅を持つ周波数波形と
なることが分かる。つまり、最
大音声周波数が2倍になると
帯域幅も2倍必要であること
が理解できる。
A B
100
A B
Vcm
1
Vcm
2
1
Vcm
2
最大音声周波数が
20kHzならチャンネ
ル帯域幅は40kHz
占有周波数
帯域幅
fc  f s
fc
fc  f s
振幅変調回路の実際
ベース変調回路
図はベース変調回路の原理図を示しており、トランジスタのベース・エミッタ間にトランス
Tを介して搬送波vcと信号波vsを加える。
ベース回路で搬送波vcと信号波vsが合成されてトランジスタのベース・エミッタ間電圧は
vbeとなるが、VBE-IB特性のカットオフ点以下ではベース電流ibは流れないのでibはvbeを整
流した形となる。
ベース電流ibによりコレクタ電流icが流れると、コレクタに接続された搬送波の周波数で
同調するLC並列同調回路の働きにより負側が再現されて出力に被変調波形が得られる。
CAは搬送周波数に対するバイパスコンデンサ、CAは搬送波と信号波に対するバイパス
コンデンサである。
逆相
T
C
IB
T
搬送波
vｃ
C1
B
E
L1
IE
L2
L2
L1
RE
Ci
信号波 vs
同相
RB
RA
CE
CA
トランジスタによるベース変調回路
+Vcc
トランジスタを用いたAM変調回路の実際
振幅変調回路の基本として搬送波はベース・エミッタ間に、信号波はベース、エミッタ、
コレクタのいずれかに加える。この信号波の加え方により、ベース変調回路、エミッタ変
調回路、コレクタ変調回路の3つが考えられるが、ここではベース変調回路とコレクタ変
調回路の構成法について説明する。
ベース振幅変調回路
ベース変調回路は図2.12に示す通り、トランジスタのベース・エミッタ間にトランスTを介
して搬送波vcと信号波vsを加える。なお、トランジスタはB級およびC級動作となるようにバ
イアス抵抗で動作点を決定している。ベース回路で搬送波vcと信号波vsが合成されてトラ
ンジスタのベース・エミッタ間電圧はvbeになるが、図2.13に示す様にVBE-IB特性のカットオ
フ点以下ではベース電流ibは流れないので、ibはvbeを整流した波形となる。
ベース電流ibの作用によりコレクタ電流icが流れると、コレクタに接続された搬送波の周
波数でLC並列同調回路の働きにより負側が再現されて出力に被変調波形が得られる。
CAは搬送周波数に対するバイパスコンデンサ、CEは変調波の搬送波と信号波に対する
バイパスコンデンサである。
合成信号入力
誘導性結合
搬送波
（キャリア）
音声入力による
低周波振幅変化
高周波バイアス
i bc＋IB+ibs
B
vc
信号波
同調して出力
IC+ic
1
2 LC
VBE
C
E
fc 
vAM
C
i b
L
CE
vs
IB
RA
CA
RB
交流
バイパス
VCC
図２．１２　ベース振幅変調回路
搬送波の振幅が信号波に応じて変化する
VsによるVRAの変化が I B 
VRA
なる関係によりIBの変化ibsに
RA
vbe=vc＋vs
時間領域と周波数領域
これまで取り扱ってきた波形は、時間軸に対して電圧（振幅）がどの様に変化するかを考
察する時間領域での波形解析であったが、高周波では、ある周波数における振幅値が
いくらかを議論することが多い。そこで時間領域と周波数領域での波形の取り扱い法に
ついて、数学的な整理をしておく。まず、先の搬送波（高周波）
vc  Vcm  sin c  t 
Amplitude
Amplitude
を考えると、この式はωc（=2πfc）等の各周波数に関する変数が1つだけであるから、
あきらかに単一の周波数成分のみをもつ時間波形である。つまり、図2.9に示す正弦
波は周波数領域では図2.10の様に表すことができる。この単一周波数の振幅をスペク
トルと呼ぶ。
0
time
図２．９　時間領域波形
0
frequency
図２．１０　周波数領域波形
波形の時間と周波数との数学的関係は、フーリエ変換および逆フーリエ変換により
得ることができる。
AM変調波形が図2.10の様なスペクトル成分を持つことを、時間領域にて確認する。
そのため先の式(2.4)を角周波数成分に分解することを考える。すなわち
v AM  Vcm  Vsm  sin  s  t  sin c  t 
・・・（２．４）

 Vsm

 Vcm 1 
 sin( s  t )   sin( c  t )

 Vcm
 Vcm 1  m  sin  s  t  sin c  t 
となり、 ω＝2πfであるから与式はさらに
 Vcm 1  m  sin 2f s  t  sin2f c  t 
 Vcm  sin( 2f c  t )  Vcm  m  sin( 2f s  t )  sin( 2f c  t )
・・・（２．１１）
と展開出来るので、第2項についてはさらに変形できて
積→和の公式
 Vcm  m  sin 2f c  t   sin 2f s  t 
 1

 Vcm  m   sin 2f c  t  2f s  t   cos 2f c  t  2f s  t 
 2


Vcm  m
V m
 sin( 2f s  t  2f c  t )  cm
 cos( 2f c  t  2f s  t )
2
2
となるので、結局(2.11)式は
 Vcm  sin 2f c  t  
Vcm  m
V m
 sin 2f s  t  2f c  t   cm
 cos 2f c  t  2f s  t 
2
2
 Vcm  sin2  f c  t  
Vcm  m
V m
 sin2  f s  f c   t   cm
 cos2  f c  f s   t 
2
2
・・・（２．１２）
と分離される。この式より、被変調波形は搬送波成分のfcと上側波成分のfc ＋ fs　、下
側波成分のfc － fs　の3つの周波数成分を持つ正弦波の線形結合であることはあきら
かである。なお、この上側波と下側波の周波数範囲は2 fsであり、この周波数範囲を
占有周波数帯域幅という。
周波数スぺクトルの占有周波数帯域幅（信号周波数変化時）
一般に、音声信号などは多くの周波数成分を含んでいるので、上側波と下側波もある
周波数幅を持つことになり、その時のスペクトルは図2.11の様になる。なお、音声信号が
fso～fsmまで変化する場合には、以下の様に変調波も周波数帯域を持つことになる。
周波数が搬送波から変化
すると幅が広がる
振幅
Vcm
m
Vcm
2
m
Vcm
2
0
音声周波数の
変化範囲
fs0 fsm
fc-fsm fc-fs0
fc fc+fsm fc+fs0
周波数
図2.11　AM変調波の周波数領域波形
振幅変調波の電力
通信や放送に利用する電気信号は一般にMHz以上の高周波電磁界であり、この信号
の電圧および電流を分離して観測することは難しい。そこで、放送・通信機器は信号を電
力として取り扱いシステムおよび回線設計を行っている。
そこで、先に得た(2.12)式の3つのスペクトル成分の電力比について考えてみる。負荷の
抵抗値をR［Ω］とすれば、搬送波電力PC、上側波電力PC+S=PS1、下側波電力PC＋S=PS2は
それぞれ次式で求められる。すなわち、まずIcmおよびVcmの実効値の積より搬送波の電
力が求められるから
I
cm
R
Vcm
搬送波電力PCは
電流の実効値
電圧の実効値
2
I V
1 V V
1 V  V
PC  cm  cm   cm  cm   cm   cm
2R
2 2 R 2 2 R 2
2
・・・（２．１３）
V
より
R
となる。次に、変調された側波帯としての信号波についても実効値として
I
I sm
2.12式および図2.11より Vsm 
V
1 m
 sm    Vcm
R
R 2
m
m
Vcm Vcm
I V
1 2
2
PS 1  PS 2  sm sm 
2 2 R
2
2
m
 Vcm
2
2
m

2
2
Vcm 

m 2  Vcm
m2
m
1 2

 
 

Pc     Pc
R 2 
8R
4
2




・・・（２．１４）
を得る。したがって、被変調波の全電力Pは次式により求められる。
2
Vcm
m 2Vcm

P  Pc  PS 1  PS 2  Pc  2 PS 1 
2R
4R
2
2
2
 m  Vcm
 m 


  PC
 1 

 1 

2  2R 
2 

2
・・・（２．１５）
m2
P
m
1
これより、搬送波と両側波帯の電力との比は  PS1   Pc より S 1   2 となるので
PC
1
2
4
2
1：m2/2であり、100%変調時においても信号波の成分を含む側波帯の電力は全電力の
1/3程度となることから、大部分は搬送波電力として消費されることになる。このため、搬
送波を抑圧してこの部分の消費電力を無くした“搬送波抑圧変調”という方式も良く用い
られている。
例題　単一周波数の正弦波で50%変調した被変調波の搬送波電力と両側波電力を
求めよ。但し、被変調波の全電力は100Wとする。
まず、全電力は（2.15）式より
 0 .5 2 
  PC
P  100  1 
2 

となる。また、両側波
電力は（2.14）式より
となるので
搬送波は
PC 
100
 88.88W
1.125
m2
0 .5 2
PS 1  PS 2 
Pc 
88.88  5.55W
4
4
となる。
フーリエ変換は、電子工学においては主に、ある任意の時間信号が周波数領域でどう
なるを解析するためによく用いられている。フーリエ変換の定義式は、ある連続な関数
f(t)において、角周波数をω＝2πf とする時
F ( )  


f (t )e  jt dt
・・・（２．８）
で表される。また、元関数に対する逆変換は次式となる。
1
f (t ) 
2



F ( )e jt d
・・・（２．９）
なお、j は虚数単位であり、j2＝-1となる。角周波数をω＝2πfで表す。この式が周波
数と時間関数との関係を表している。つまり、両者は独立したものでは無い。立ち上が
りの速い信号には高周波が含まれており、ゆっくり変化した信号には低周波が含まれ
る、という事である。
ここで重要な関数が、δ関数（デルタ関数≒インパルス）である。インパルスは、時間ｔ
=0 に於いてのみ値を持つので、その値を１とすると

F ( )   1  e  j 0 dt  1

・・・（２．１０）
Amplitude
Amplitude
であり、全ての周波数で一様に値１を持つことを表している。つまり、振幅も位相も、全
周波数帯域において周波数特性がフラットである。なお、この計算は純粋数学的には
誤った解釈（δ関数は本来‘超関数’であり、上式は成り立たない）が、信号解析などで
はこの関数の利便性のため、しばしば用いられる。言い換えると、インパルス応答が解
れば、それをフーリエ変換する事で信号の複素周波数特性（つまり、振幅と位相）が分
かることになる。ここで、純粋な正弦波をフーリエ変換すると下図のようになる。
0
time
図２．９　時間領域波形
0
frequency
図２．１０　周波数領域波形
周波数変調（FM）の理論
音声振幅（電圧）の変化を周波数変化とする方式
振幅一定なので電力は
変化せず高音質
電波
電圧
周波数
音声周波数の変化
は周波数の粗密の
違いとして表れる
FM変調波
A
B
A：音声振幅が＋最大時に周波数高
B：音声振幅がー最大時に周波数低
フーリエ変換の計算例（正弦・余弦関数のフーリエ変換）
f (t )  sin( kt )
のフーリエ変換
e jkt  e  jkt  cos( kt )  j sin( kt )  cos( kt )  j sin( kt )
 2 j sin( kt ) より
1 jkt
e  e  jkt
sin( kt ) 
2j



F ( )   sin( kt )  e

 j t
なる関係が得られるので
 e jkt  e  jkt   jt
dt   
  e dt

 2 j 

1  jkt  jt
1   jkt  jt

e  e dt 
e  e dt






2 j
2 j
1   j   k t
1   j   k t

e
dt 
e
dt






2 j
2 j
  j    k      k 
f (t )  cos( kt )
のフーリエ変換
・・・（２．１０ａ）
となる。
位相がずれた状態
sinの場合と同様に考えれば

F ( )   cos( kt )  e  jt dt      k      k 

となる。
・・・（２．１０ｂ）
大石進一，“フーリエ解析”，岩波書店, pp. 98-99, 1989.より
FMは搬送波の周波数を信号波の振幅に比例して変化させる変調方式である。以下の
搬送波および信号波を示す(11.1)および(11.2)式を考えると、ωcおよびωsはそれぞれ搬送
波、信号波の角周波数である。
vc  Vcm  sinc  t 
・・・(11.1)
vs  Vsm  cos  s  t 
・・・(11.2)
そこで、まず信号波の振幅に応じて変化する搬送波の角周波数の量ωcだけを考えて比
例定数kで表すと、振幅に対応した角周波数の変化分は
最大の角
周波数変化量
  k  Vsm
・・・(11.4)
定数
たとえばk=100ならVsm=1Vの時⊿ω=100[rad]
⊿f=100/2π[Hz]
となる。これより、FM変調による搬送波の角周波数変化量ωFMは、この最大角周波数
変化量を用いて信号の周波数変化分も掛けた次式で表すことができる。
角周波数
中心角周波数
 FM  c    c    cos  s t 
・・・(11.5)
音声の時間に対する周波数変化
音声周波数がVsmの場合のみ
この式より、ωFMはωｃを中心として信号の振幅の変化に応じて最大±Δω［rad/s］変化す
ることが分かる。このΔωをあらためて最大角周波数偏移といい、 ωFMは時間によって
瞬時に変化する角周波数の値でもあるから瞬時角周波数という。
一方、FM変調波形vFMは振幅Vcmは一定として周波数の変化に伴う瞬時位相角（電波の
速度）θFMの時間変化として v
 V  sin 
・・・(11.6)
FM
cm
FM
と定義される。一方、瞬時角周波数と瞬時位相角には
 FM 
d FM
dt
・・・（11.7）
瞬時位相角の傾き（時間変化）
が瞬時角周波数
なる関係がある。よって、(11.6)式のうちθFMはこの関係式の両辺をtで積分して
t
 FM    FM dt
0
を計算すれば求められる。すなわち
(11.5)式を代入
t
t
0
0
 FM    FM dt   (c   cos(s t ))dt
t




 c t 
sin( s t )   c t 
sin( s t )


s
s

0
・・・(11.7)
が得られるので、この位相変化θFMを(11.6)式に代入すると、FM波は次式で表すことが
できる。
vFM
 t



 Vcm  sin   c t 
sin  s t    
0
s
 θ
 
FM



 Vcm  sin c t 
sin  s t 
s


・・・(11.8)
中心周波数ωcが音声信号振幅Vsm
と音声周波数ωsに対応して変化
ここで、Δω／ωsを変調指数といい、これをmfとすれば次式が得られる。
mf 
  f

s
fs
周波数変化量
・・・(11.9)
信号周波数
Δfは搬送波周波数fcからFM波の周波数がどれだけ偏移するかを表しており、大きさは
信号波の振幅Vsmに比例し、このΔfを最大周波数偏移という。なお、変調指数は最大周
波数偏移だけでなく、信号波の周波数によっても変化する。変調指数mfを(11.7)式に代
入すれば、FM波は
vFM  Vcm  sin c t  m f  sin( s t ) 
・・・(11.10)
となる。そこで、実際に搬送周波数に信号周波数をFM変調した場合の被変調波を図
11.2に示す。この図より、信号波の入力によりキャリア周波数が±Δω変化した場合に、
キャリア周波数の粗密になって現れることが分かる。
vFM  Vcm  sin c t  m f  sin( s t ) 
角周波数の
時間変化
図11.2　FM変調波
各種変調波形のgif動画
一例として、fs=1Hz、fc=10HzでのFM変調波形のシミュレーション結果を示す。
t
0  0.001 2
fcc
10
fc( t )
sin ( 2  fcc t )
fs ( t )
sin ( 2  fss t )
sin ( 2  fcc )  t
fm( t )
1
fss
t
1
sin ( 2  fss t ) d t
2 0
1
fc( t )
1
0
1
1
0
0
1
fs( t )
0.5
1
t
1.5
0.5
1
t
1.5
2
2
1
0
1
1
0
0
2
2
振幅は変化しない
0.999989
fm( t )
0.999994
1
0
1
0
0
0.5
1
t
1.5
2
2
位相変調(PM)の理論
PM波は搬送波の位相を信号波の振幅に比例して変化させる方式である。よって、先の
搬送波および信号波を示す(11.2)および(11.2)式において無変調時の搬送波の位相角は
ωc・tであるから、
信号波の振幅に応じて変化する位相を比例定数kで表すと
  k  Vsm
・・・（１１．１１）
となる。よって、PM変調による瞬時位相角θPMは次式で表すことができる。
 PM  c t    cos(s t )
・・・（11.12)
また、瞬時角周波数ωPMはω＝dθ／ｄｔの関係より次式を得る。
 PM  c  s    sin( s t )
・・・(11.13)
このΔθは位相偏移の最大値を表しており、PM波の最大位相偏移と呼ぶ。また、
最大位相偏移をPM波の変調指数といい、これをmpで表せば、
m p  
・・・(11.14)
sinかcosかの違い
となる。これより、PM波は(11.6)式に(11.11)式を代入すれば次式で表すことができる。
vPM  Vcm  sin c t  m p  cos(s t ) 
・・・(11.15)
そこで、PM波における信号波、角周波数の偏移および非変調波形の例を図11.3に示
す。これよりまず、瞬時角周波数を示す(11.5)式と(11.12)式とを比較すると最大角周波
数偏移ΔωとωsΔθとが対応しており、信号波vsによる周波数偏移の位相がπ／2
［rad］だけPM波が進んでいることから、ωFMとωPMの性質は同じであるといえ
る。
さらに、瞬時位相角を表す(11.6)式と(11.11)式とを比較すると、最大位相偏移を
表す変調指数Δω／ωｓとΔθが対応しており、信号波による位相偏移の位相が
π/2だけPM波の方が進んでいるだけで、θFMとθPMとの性質は同じとなる。以
上のことより、FM波とPM波とは、位相がπ/2だけ異なるだけで、同じ性質の変
調波であると言える。
図11.3　PM変調波
FM波の側波帯と帯域幅
FMの場合における側波帯および帯域幅について考えてみると、まずFM変調波を表
す
vFM  Vcm  sin c t  m f  sin( s t ) 
・・・（１１．１０）
は、三角関数の加法定理である
sin      sin   cos   cos   sin 
を用いることにより
vFM  Vcm  sin c t  m f  sin( s t ) 


 Vcm  sin( c t )  cosm f  sin( s t )   cos(c t )  sin m f  sin( s t ) 
・・・(11.10)
となる。この式において、cos（mｆ・sin（ωｓt））、sin（mf・sin（ωｓt））のように余弦関数と正弦
関数の変数が三角関数になっている関数をベッセル関数という。ベッセル関数に関する
以下の2つの公式

sin m f  sin( s t )   2 J 2 n 1 ( m f )  sin ( 2n  1)  s t 
n 0
mfに対して変化する値（関数）

cosm f  sin( s t )   J 0 ( m f )  2 J 2 n (m f )  cos( 2n  s t )
n 0
・・・(11.11)
を用いて(11.10)式を更に展開すれば、次式を得る。
中心周波数


vFM  Vcm  J 0 (m f )  sin( c t )  J1 ( m f )sin( c  s )t  sin( c  s )t
定数
（振幅係数）
 J 2 (m f )sin( c  2s )t  sin( c  2s )t
 J 3 (m f )sin( c  3s )t  sin(c  3s )t
 J 4 ( m f )sin( c  4s )t  sin( c  4s )t
・・・・・
・・・(11.12)
これより、FM波は搬送波の周波数ωｃを中心として上下に信号波角周波数ωｓの間隔
で（ωｃ±ωｓ）、（ωｃ±２ωｓ）、（ωｃ±３ωｓ）、（ωｃ±ｎωｓ）・・・の無限の側波帯を生じ
ることが分かる。
また、J0(mf)、 J１(mf)、J２(mf)・・・は各側波の振幅の大きさを表しており、この値は図11.4
に示すベッセル関数のグラフから求めることができる。
周波数
変化量
mf 
mf=0.5の場合
J0(0.5)=0.94
J1(0.5)=0.24
J2以降は
無視できる
f
fS
信号周波数
mf=5radの場合の振幅
値を図11.5にプロット
図11.4　ベッセル関数のグラフ
図11.5は(11.12)式とベッセル関数のグラフから求めたFM波の側波帯の周波数スペクト
ル分布の一例であり、Δf=50kHz、fs=10kHz、すなわちmf=5［rad］の場合におけるもので
ある。各スペクトルの間隔は10kHzであり、第9次以上の側波は第8次以内の側波に比べ
て振幅が小さい為に省略している。図(a)の振幅値の絶対値をとったものが図(b)である。
一般に、FM波の側波振幅は次数nが大きくなると小さくなる。そこで、全放射電力の
99%を含む周波数範囲B[Hz]を占有周波数帯域幅として次式の近似式で計算できる。
B  2 f s (1  m f )  2( f s  f )
・・・(11.13)
絶対値を
とって
音声周波数が
高くなるとこの
幅が広がる
図11.5　FMの周波数帯域幅
1.0
0.8
なお、mf=0.5の場合、ベッセル関数のグ
ラフよりJ0(0.5)=0.94、 J1 (0.5)=0.24は記入
しJ2 (0.5)以後は無視すれば、図11.6に示
すような周波数スペクトルとなる。つまり、
FM変調での帯域幅は信号周波数fsの2倍
に比例して変化することが分かる。
0.6
0.4
0.2
0
fc-fs
fc
fc+fs
図11.6　FMの周波数帯域幅2
音声振幅に応じてこの分だけ
周波数が変化する
下図に示すように、発振器の同調回路にコンデンサマイクを直接接続すれば音声信号
の大きさに比例して静電容量Cが変化することにより、直接FM波を得ることができる。す
なわち、トランジスタは発振と変調を兼ねた働きをしており、LC発振回路はハートレー形
となっている。
+Vcc
マイクロホン
C2
RB
L2
C
FM出力（vFM）
B
Ｃ
L1
C1
RA
E
RE
CE
LCの共振周波数が変化
バイパスコンデンサ
電圧源
直接FM変調回路
下図は可変容量ダイオードを用いたFM回路を示している。可変容量ダイオード（VCD）
に逆方向の電圧を加えると、pn接合部に生ずる空乏層の幅が変化し電極間容量も変化
する。すなわち、可変容量ダイオードの容量が信号波に応じて変化するから、発振回路を
構成する同調回路と並列に接続することにより同調回路のキャパシタンスが変化してFM
変調が得られる。
C とC が並列接続より
3
4
発振周波数が変化
C3
C
B
RB
C1
RA
C2
E
VCD
C4
L
R4
RE
容量
変化
FM出力
信号波
入力
R5
+Vcc
C5
可変ダイオードを用いたFM変調回路
FM波の復調回路
FM波を復調する代表的な回路として、フォスター・シーレー周波数弁別回路と比（レシオ）
検波回路がある。そのほか、今日ではIC化の技術によりパルスカウント復調方式、PLL復
調方式などが一般的である。
（a）　フォスター・シーレー周波数弁別回路
下図の回路図に示す回路は、１次側のL1、C1と2次側のL2、C2はともにFM波の中心（中
間）周波数f0に同調している。L3の両端の電圧は結合トランスの１次側電圧v1とほぼ等しく
同相で、2次側に発生する電圧v2は1次側の電圧v1と90°の位相差が保たれている。
D1
v2
2
v1
va
+
-
v2
2
vb
C3
R1
vo
C4
R2
+
D2
(a)　回路
(b)　等価回路
例題　図の回路では無変調時の1次側電圧v1と2次側電圧v2の位相差が90°に保たれる
ことを示せ
大類著　“アナログ電子回路”　日本理工出版会　pp.262より

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