代数学序論演習（担当：酒井）２００９年１２月２１日配布記号の説明など • 集合 R は和 + と積 · の 2 の演算が定義され，次の 3 つの条件を満たすとき環という． (1) R は和 + に関して可換群になる．和 + に関する単位元を R の零元と呼び，0 で表す． (2) R は積 · に関して結合法則を満たす．つまり，任意の a, b, c ∈ R について次が成り立つ． a · (b · c) = (a · b) · c (3) 任意の a, b, c ∈ R について次の分配法則を満たす． a · (b + c) = a · b + a · c (a + b) · c = a · c + b · c さらに，環 R は積 · に関して交換則を満たすとき可換環と呼ばれる． • 体は環である．Z は体ではないが環になり，特に整数環と呼ばれる． • 環は積に関する単位元をもつとは限らない． • R は単位元をもつ環とし，その単位元を 1 と表す．R の元 a は積に関する逆元が存在するとき，すなわち a · a−1 = a−1 · a = 1 を満たす a−1 ∈ R が存在するとき，単元または正則元と呼ばれる． • 環 R において，ab = 0, b ̸= 0 であるとき，a ∈ R を左零因子といい，ab = 0, a ̸= 0 であるとき b ∈ R を右零因子という．両方を合わせて R の零因子という．単位元をもち 0 以外に零因子をもたない可換環を整域という．演習問題 (11-1) Z[i] := {a + bi | a, b ∈ Z} は整域になることを示せ．Z[i] はガウスの整数環と呼ばれる． (11-2) 環 R の元を成分とする n 次正方行列の全体を Mn (R) と表す．Mn (R) は行列の和と積によって環になることを示せ．Mn (R) を R 上の n 次全行列環と呼ぶ． Z 上の n 次全行列環 Mn (Z) は整域になるか？ (11-3) 環 R の元を係数とする多項式全体の集合を R[X] と表す．R[X] は多項式の和と積によって環となることを示せ．R[X] を R 上の多項式環と呼ぶ． √ √ (11-4) Z[ −2] は整域になることを示せ．また，Z[ −2] の正則元を全て求めよ． (11-5) R の閉区間 [a, b] で定義された実数値関数全体の集合を R とする．R は関数の和と積によって単位元をもつ可換環になることを示せ． (11-6) 体は整域になることを示せ． 1