FM信号

角度変調
「コミュニケーション工学Ａ」第７章
アナログ変調方式：角度変調
角度変調には，変調信号s(t)で搬送波の瞬時角周波数を
変調する周波数変調（FM)と位相を変調する位相変調
（PM)とがある．
●FMの場合
搬送波Ac cos2f c t  (t ) の瞬時角周波数を変調信号s (t )
周波数変調(FM)と位相変調(PM)
FM波の周波数成分
AM波とFM波の比較
FM検波のS/N
エンファシス
で変化させる．
(t )  d(t ) / dt  2f  s (t ) (7.1)
ここで， fは最大周波数偏移である．s (t )  1であるとする．
●PMの場合
搬送波Ac cos(2f c t  (t ))の位相を変調信号s (t )で変化させる．
 PM (t )    s (t ) (7.5)
ただし，    PM (t )   
安達：コミュニケーション工学A
位相と角周波数とは微分と積分の関係にあるから，FMと
PMとは本質的に同じである．
FM変調器とPM変調器のどちらを用いてもFMとPM波を
発生することができる．
FM
gFM (t)
(t )  2f  s (t )
s(t)
PM
gPM (t)
(t )    s (t )
2
変調指数
FMとPM
s(t)
安達：コミュニケーション工学A
1
積分器
●FM波
g FM (t )  Ac cos2( f c  f  s(t ))t  Const 
t


 Ac cos 2f c t  2f
s(t )dt  (7.3)



●変調信号s(t )  cos2 f m t のとき（ここで，f mは変調

PM
信号s(t )の最大周波数とする）
t
(t )  2f   s (t )dt
g FM (t )  Ac cos2f c t  ( f / f m ) sin( 2 f m t ) 
 Ac cos2f c t  m FM sin( 2f m t ) 　( 7 .4 )
微分器
ここで，m FM (  f / f m )は変調指数．
FM
(t )    ds(t ) / dt
図7.1 FMとPMの関係
安達：コミュニケーション工学A
3
安達：コミュニケーション工学A
4
FM波の周波数成分
●Gnのベッセル関数表示
変調信号s(t)=cos(2fmt)のときのFM波のフーリエ級数展
開
1 
exp jmFM sin t exp jnt dt  J n (mFM ) ( 7. 9)
2  
ここでJ n ( x)はn次のベッセル関数であり，
Gn 
●FM波
g FM (t )  Ac cos(2f ct  mFM sin( 2f mt ))
 ReAc exp( j 2f ct ) exp jmFM sin( 2f mt ) 　(7.7)
 x   (1) ( x / 2)
,
J n ( x)    
 2  m  0 m!(m  n)!
●J n ( x)は実関数であるので
n
●exp jmFM sin( 2f mt ) を周期T  1 / f mでフーリエ級数展開
exp jmFM sin( 2f mt )  

 Gn exp j 2nf mt 　(7.8)
g FM (t )  Ac
n  
ただし
Gn 
1
1/ fm
2m
(7.10)
x  0 
 J n mFM cos2( fc  nf m )t 　(7.11)
n  
このように，FM波は無限個の離散スペクトル成分を有する．
1/( 2 f m ) exp jmFM sin(2f mt )exp j 2nf mt dt
1 /( 2 f m )
安達：コミュニケーション工学A
m
これはFM波の振幅を一定とするためである．
5
安達：コミュニケーション工学A
6
日本のFM放送
FM波の帯域幅
●FM波の電力はPFM  Ac2 / 2
●90%の電力が含まれる帯域幅B
m FM 1
J
2
n
n   ( m FM 1)
(mFM )  0.9 (7.14)
より
B  2 f m mFM  1　(7.15)
+(1/2)J0 (mFM)
+(1/2)J1(mFM)
fc-fm
fc-2fm
fc fc+fm fc+2fm
-(1/2)J1(mFM)
f
（注）Ac=1
図7.2 FM波の周波数スペクトル密度（正の周波数領域のみ表示，Ac=1）
安達：コミュニケーション工学A
7
安達：コミュニケーション工学A
8
FM波とAM波の比較
変調指数が小さいときのFM波の近似表現
従ってmFM<<1のとき，FM波の周波数スペクトル密度は次
のようになる．
( n  2)より
x  1のとき，J 0 ( x )  1, J 1 ( x )   J 1 ( x )  x / 2, J n ( x )  0　
g FM (t )  Ac
J
n ( m FM
) cos{2( f c  nf m )t}
n  

cos(2f c t )
 (7.16)
 Ac  mFM
m

cos{2( f c  f m )t}  FM cos{2( f c  f m )t}
2
2


指数関数を用いて表すと
g FM (t )
GFM(f)
mFM/2
充分小さい
fc-fm

exp( j 2f c t )

 m
  FM exp( j 2( f c  f m )t )  mFM exp( j 2( f c  f m )t ) 
A
2
2
  c 
 (7.17)
j
f
t



exp(
2
)
2
c


  mFM exp(  j 2( f  f )t )  mFM exp(  j 2( f  f )t )
c
m
c
m


2
2
安達：コミュニケーション工学A
1/2
fc-2fm
0
f
fc
f +2f
fc+fmc m
-mFM /2
充分小さい
図7.3 変調指数が十分小さい（mFM<<1）のときのFM波の周波数
スペクトル密度（正の周波数領域のみ表示，Ac=1）
安達：コミュニケーション工学A
9
10
変調指数が小さいときの
FM波とAM波の比較
●FM波



1





 mFM


g FM (t )  Ac Re 
exp( j 2f m t )  exp( j 2f c t ) (7.18a )


2




 mFM exp( j 2f t )

m 
 2


●AM波
g AM (t )  Ac [1  m AM s (t )] cos(2f c t )
mFM/2
fc-fm
-mFM/2
f
fc
fc+fm
周波数-fmの成分
J-1(mFM)
搬送波周波数成分 J0(mFM)
周波数+fmの成分
J１(mFM)
(a) FM
mAM/2
 1


1  m AM exp( j 2f m t ) 

2
 Ac Re 
(7.18b)
 exp( j 2f c t )  1


 2 m AM exp( j 2f m t )

安達：コミュニケーション工学A
ベクトル表現
1
1
ベクトル表現
mAM/2
周波数+fmの成分
(1/2)mAM
f
fc-fm fc fc+fm
搬送波周波数成分
(b) AM
11
図7.4 FMとAMの比較
(1/2)mAM
周波数-fmの成分
安達：コミュニケーション工学A
12
FM検波のS/N
●FM波g FM (t )と雑音n(t )は，まず帯域幅B  2(mFM  1) f m
検波器出力の信号電力
の帯域通過フィルタ(BPF)を通過した後，FM検波器に入力
●検波器出力信号
される．
BPFが，信号を何ら歪ませないものとすると
t


g FM (t )  Ac cos 2f c t  2f
(7.19)
s(t )dt  


●FM検波器は入力信号の位相の時間微分

検波器
受信FM波
gFM(t)
帯域幅B
帯域
通過
フィルタ
(BPF)
白色雑音n(t)
振幅制限
周波数弁別器
低域
通過
フィルタ
(LPF)
を出力する．FM検波器出力信号は
sout (t )  2f  s(t ) (7.20)
sout(t)+ nout(t)
●検波器出力の信号電力
検波器入力x (t)= gFM(t)+ nin(t)
Ps ,out  ( 2f ) 2  s 2 (t )　(7.21)
図7.5 FM受信機
安達：コミュニケーション工学A
14
●FM検波器出力は検波器入力の位相の時間微分（すなわ
ち瞬時角周波数）
検波器出力の雑音電力
無変調のときを考える
●検波器入力
x(t )  Ac cos(2f c t )  nc (t ) cos(2f c t )  ns (t ) sin( 2f c t )
nout (t ) 
ここで，(t )は合成波の位相．
●信号振幅Acが充分大きいとき
d
1 d
(t ) 
ns (t ) (7.25)
dt
Ac dt
ここで，ns(t)は電力スペクトル密度がN0のガウス雑音．
●検波器出力雑音nout(t)の電力スペクトル密度は
 A(t ) cos(2f c t  (t )) (7.22)
 ns (t ) 
(t )  tan 1 

 Ac  nc (t ) 
n (t )
 s (7.24)
Ac
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13
Pn ( f )  Ac2 ( 2 f ) 2 N 0 f  B / 2 ( 7.26 )
ns(t)
(t)
Ac n (t)
c
Pn(f)
N0
図7.7 検波器入力のベクトル表示
-B/2
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15
0
f
図7.6 ns(t)の電力スペクトル密度
+B/2
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16
●FM検波器出力雑音のスペクトルは帯域[-B/2, +B/2]に広
がっている．
●B=2(mFM+1)fmであったから，信号の周波数帯域幅2fmより
広い．低域通過（LPF)フィルタを用いて，周波数がfm以上
の雑音成分を遮断することが必要．
●LPF出力雑音電力は次式のようになる．
Pn, out

検波器出力のS/N
( S / N ) out 

Ps , out
Pn, out

3 A2  f
(2f ) 2  s 2 (t )
 c 
2
2  fm
(2f m ) 2 f m N 0
3 Ac2
2
 s 2 (t )

 fm N0
3 Ac2 2 s 2 (t )
mFM
(7.28)
fm N0
2
●FM検波器入力の信号電力Ps , inと雑音電力Pn, in
fm
2

Pn ( f )df 
(2f m ) 2 ( f m N 0 ) (7.27)
 fm
3 Ac2
nout(t)の電力ス
ペクトル密度
 Ps , in  Ac / 2

(7.29)
 Pn, in  N 0 B  2 f m (mFM  1) N 0
●検波器出力S/Nを検波器入力S/Nを用いて表す
2
 P

2
s 2 (t )  s , in 
( S / N ) out  3mFM
f
N
 m 0
ただし，mFM  f / f mはFMの変調指数(modulation index)．　図7.8 FM検波器出力雑音電
力スペクトル密度
LPF
f
-B/2
-fm
0
fm
+B/2
安達：コミュニケーション工学A
安達：コミュニケーション工学A
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18
FM波とAM波のS/N
●FM帯域幅はB  2 f m (mFM  1)であるから　●AM包絡線検波とFM検波の出力S/N
P 
3
( S / N ) out  6mFM
s 2 (t )  s ,in 
 N0 B 
 m 2 s 2 (t )  P

AM
 s ,in , AM

2
2
f N

( S / N )out  1  m AM s (t )  m 0 
(7.32)
P



2
2
 s ,in 
 3mFM s (t ) f N , FM
 m 0

●変調信号s(t )  cos(2f m t )のとき
3
s 2 (t )( S / N ) in  6mFM
(7.30)
ここで，( S / N ) in  Ps ,in / N 0 B は検波器入力S / N．
●出力S/Nと入力S/Nとの比をFM利得と言う．
( S / N ) out
3
3
s 2 (t )  6mFM
(7.31)
 6mFM
( S / N ) in
変調指数mFM を大きくすればするほど，検波器出力 S / Nは
( S / N )out
入力S / Nより改善することになる．これがAMと大きな違い．
安達：コミュニケーション工学A
19
 m 2AM  Ps ,in 

, AM

 2  m 2AM  f m N 0 
(7.33)

P


3
 m 2  s ,in , FM
 2 FM  f m N 0 

安達：コミュニケーション工学A
20
エンファシス
FM検波は高い周波数の雑音成分を強調してしまう．
ところで，音声は低い周波数成分（1kHzあたり）に電力が集中してい
る．雑音の高域成分が強調されると，その周波数における信号対雑
音電力比が低下してしまう．
これを避けるため，プレ・エンファシス（送信側）とデ・エンファシス（受
信側）が用いられる．
●AMではm AM  1でなければいけないから
1 P 
( S / N ) out   s ,in , AM　(7.34)
3  fm N0 
●一方，FMではmFM をいくらでも大きくできるから，出力S/Nも
大きくなる．
HPE(f)
3 2  Ps ,in 
, FM
mFM 
f
N
2
 m 0
●従って，変調波の受信電力が同じであれば，FMの方が検波
FM
変調器
FM
検波器
HDE(f)
( S / N ) out 
0
帯域を必要とする．
0
H DE ( f ) 
H PE ( f )  1 / H DE
器出力S/Nを大きくできる．ただし，次式のようにFMの方が広い
AM
2 f m ,
B  
(7.35)
FM
2 f m (mFM  1),
f
f
(a)プレエンファシス
1
1

,
1  j 2fCR 1  j  f / f 0 
f 0  1 / 2CR
(b)デエンファシス
図7.9 プレ・エンファシスとデ・エンファシス
安達：コミュニケーション工学A
安達：コミュニケーション工学A
21
22
第８章予定
「標本化定理とパルス振幅変調」
日本のFM放送では時定数CR=50sが使われて
いる（米国では75s）．
f0=1/(2CR)=3.18kHx
安達：コミュニケーション工学A
標本化定理
パルス振幅変調（PAM）
23
安達：コミュニケーション工学A
26

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