離散数学演習問題14 7月15日解答

離散数学演習問題 14
7 月 15 日
解答
復習. 置換とはなんぞ？
集合 S = {1, 2, 3, · · · , n} 自分自身への全単射 σ : S → S を n 次の置換 (permutation) という. n 次の置換 σ は j の行き先 σ(j) = ij , j = 1, 2, 3, · · · が決まれば一
意的に定まるので, σ を分かりやすく次のように書く.
(
)
1 2 3 ··· j ··· n
σ=
i1 i2 i3 · · · ij · · · in
置換の積とはなんじゃらほい？
σ, τ を置換とする. 積 στ は写像の合成 σ◦τ で定義する. すなわち (στ )(j) = σ(τ (j))
と定義する.
巡回置換とは？
n 次の置換で i1 を i2 に, i2 を i3 に, · · · , im−1 を im に, im を i1 に写し他をかえ
ないものを (i1 , i2 , · · · , im ) と記し, m 次の巡回置換 (cycle) という.
互換とは？
2 次の巡回置換 (i, j) を互換 (transposition) という.
付録
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
µ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Kappa
Lambda
Mu
ギリシア語アルファベット
アルファ
N
ν
Nu
ベータ
Ξ
ξ
Xi
ガンマ
O
o
Omicron
デルタ
Π
π
Pi
イプシロン
P
ρ
Rho
ゼータ
Σ
σ
Sigma
イータ
T
τ
Tau
シータ
Υ
υ
Upsilon
イオタ
Φ φ, ϕ
Phi
カッパ
X
χ
Chi
ラムダ
Ψ
ψ
Psi
ミュー
Ω
ω
Omega
1
ニュー
クシー
オミクロン
パイ
ロー
シグマ
タウ
ウプシロン
ファイ
カイ
プサイ
オメガ
問題.
[1] σ, τ を以下のような置換としたとき, 積 στ 及び積 τ σ を計算せよ.
)
(
)
(
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
,τ=
(1) σ =
2 4 5 1 6 7 3
2 3 4 5 6 7 1
τ
σ
στ :1 7−→ 2 7−→ 4
2 7−→ 3 7−→ 5
σ
τ
τ σ :1 7−→ 2 7−→ 3
2 7−→ 4 7−→ 5
3 7−→ 4 7−→ 1
4 7−→ 5 7−→ 6
3 7−→ 5 7−→ 6
4 7−→ 1 7−→ 2
5 7−→ 6 7−→ 7
5 7−→ 6 7−→ 7
6 7−→ 7 7−→ 3
7 7−→ 1 7−→ 2
(
1 2
στ =
4 5
3
1
4
6
5
7
6
3
6 7−→ 7 7−→ 1
7 7−→ 3 7−→ 4
)
(
7
1 2
, τσ =
2
3 5
以下の問題も同様にやればよい.
(
)
(
1 2 3 4 5 6 7
1
(2) σ =
,τ=
4 5 3 1 2 7 6
7
(
1 2
στ =
6 4
(
1
(3) σ =
4
(
1 2
στ =
7 6
(4) σ =
στ =
(
1
7
(
1 2
5 4
3
5
2
2
3
4
2
6
3
6
4
3
3
5
4
2
3
2
4
7
5
1
4
7
5
1
4
1
5
2
6
2
5
6
6
5
5
5
6
1
2
1
)
(
7
1 2
, τσ =
7
3 4
6
3
)
(
7
1 2
,τ=
1
4 5
)
(
7
1 2
, τσ =
3
2 5
6
3
)
(
7
1 2
,τ=
4
5 7
)
(
7
1 2
, τσ =
3
6 4
2
3
6
3
2
3
2
3
1
3
7
3
2
3
7
4
2
4
3
4
7
4
2
4
6
4
1
4
5
5
7
5
4
5
1
5
7
5
3
5
3
5
3
6
1
6
5
6
6
6
3
6
1
6
4
6
2
7
4
)
7
6
7
5
)
7
6
7
4
)
)
7
6
7
1
)
)
)
[2] 以下の置換を互換の積に表せ.
)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(1)
2 9 4 6 3 5 8 1 7
(
1 2
2 9
3
4
4
6
以下同様.
(
1 2
(2)
2 6
(
1 2
(3)
3 4
(
1 2
(4)
4 1
(
1 2
(5)
9 3
(
1 2
(6)
3 5
(
1 2
(7)
7 1
)
(
)(
)
= 1 2 9 7 8 3 4 6 5
(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)
= 1 2 2 9 9 7 7 8 3 4 4 6 6 5
5
3
6
5
7
8
8
1
9
7
3
4
4
7
5
8
6
3
7
9
8
1
9
5
3
9
4
5
5
2
6
1
7
6
8
7
9
8
3
7
4
6
5
9
6
8
7
5
8
2
9
3
3
5
4
2
5
7
6
8
7
4
8
1
9
6
3
2
4
9
5
1
6
7
7
8
8
6
9
4
3
8
4
2
5
4
6
9
7
3
8
6
9
5
)
)
)
)
)
)
(
= 1
2
(
= 1
3
(
= 1
4
(
= 1
9
(
= 1
3
(
= 1
7
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
6
3
9
4
6
9
6
3
2
7
3
)(
)(
)(
)(
)(
)(
6 3
9 8
6 8
6 8
2 5
3 8
)(
)(
)(
)(
)(
)(
3 4
8 7
8 2
2 3
4 9
8 6
)(
)(
)(
)(
)(
)(
4 7
7 6
3 7
3 5
6 7
6 9
)(
)(
)(
)(
)(
)(
7
9
2
4
7
5
5
7
7
8
9
5
注意. 互換の積の表し方は一意的ではないので, 上と違う表し方になっても不
安になることはない. 確認のため 1, 2, · · · , 9 を写してみて両辺が一致することを
みるとよい.
3
)(
)(
)(
)(
9
5
4
5
5
9
7
4
5
4
)(
5 8
)
)
)
)
)
)(
)(
4 2
)
[3] すべての n 次の置換は (1, k) (2 ≤ k ≤ n) の形の互換の積で表せることを
示せ.
まず, すべての n 次の置換は有限個の巡回置換の積で書ける. またすべての巡
回置換は互換の積で書けることに注意すると,
示したいこと: (i, j) (2 ≤ i, j ≤ n) が (1, k) (2 ≤ k ≤ n) の形の互換の積で書ける.
と, 言い換えることが出来る. よって, 次を示す.
(i, j) = (1, i)(1, j)(1, i)
(1, i)(1, j)(1, i) : 1 (1,
7−→
7−→
7−→i) 1
i) i (1,
j) i (1,
i 7−→ 1 −
7 → j −
7 → j
j 7−→ j 7−→ 1 7−→ i
よって, (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i).
[3] 3 次方程式 f (x) = x3 + px + q = 0 の解を α, β, γ とする. ((α − β)(β −
γ)(γ − α))2 = −4p3 − 27q 2 であることを示せ.
∆ = (α − β)(β − γ)(γ − α) とする. 次を考える.
f (x) = x3 + px + q = (x − α)(x − β)(x − γ),
f 0 (x) = 3x2 + p = (x − β)(x − γ) + (x − α)(x − γ) + (x − α)(x − β).
また, α + β + γ = 0, αβ + βγ + γα = p, αβγ = q であることに注意すると,
∆2 = −f 0 (α)f 0 (β)f 0 (γ)
= −(3α2 + p)(3β 2 + p)(3γ 2 + p)
= −27α2 β 2 γ 2 − 9(α2 β 2 + β 2 γ 2 + γ 2 α2 )p − 3(α2 + β 2 + γ 2 )p2 − p3
= −27α2 β 2 γ 2 − 9((αβ + βγ + γα)2 − 2(α + β + γ)αβγ)p
− 3((α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα))p2 − p3
= −27q 2 − 9(p2 − 0)p − 3(0 − 2p)p2 − p3
= −4p3 − 27q 2 .
by Hidetaka Hitomi (Aiba laboratory).
4

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