£ £ Ý £ Ý ! 画像のピクセルと仮想領域を用いた３つの円柱周りの数値シミュレーション £ 増田潤一 £ 小島智子 Ý 腰越秀之 £ 千葉大学大学院工学研究科 Ý （株）東芝 ! " # 概要本研究ではデジタル画像のピクセル情報を用いた数値計算法を提案し３つの円柱周りの非圧縮性流れの数値シミュレーションを示すデジタル画像は極微小な正方形をしたピクセルから構成され各ピクセルは輝度値の情報をもっている本研究の特徴はデジタル画像のピクセル情報を数学解析の仮想領域法と結合させた有限差分法である ¶½ はじめに本研究では画像のピクセル情報を基に仮想領域と正方格子による有限差分法の数値計算法を示す対象とする問題はのように一様な流れの中に置かれた３つの円柱周りの流れの数値シミュレーションである流入口はが領域が流出口以後用いる記号Ú が内の３つの円柱領域およびおよびは流体の速度ベクトル圧力およびレイノルズ数を表本研究で考察する方程式と境界条件は次の通りである３円柱を除いた領域における方程式と連続の式： Ú Ú Ú Ú Ú 円柱の側面外周 ! 上の Ú の境界条件：がが壁を表しているす Ò は境界での外向き単位法線ベクトルである Ò Ú ! 上の Ú 境界条件" Ú Ú Ò Ú Ò および初期条件： Ú この問題の数値計算において我々は正方格子を用い流速ベクトルと圧力を同一の正方格子点上にとる正方格子を用いる着想の原点はデジタル画像にある実際デジタル画像の基礎単位は極微小な正方形のピクセルから構成されていながら輪郭がはっきりした画像になっているそこから任意の領域がピクセルで近似できるのでピクセル上の有限差分法が構成できるこの構成法を示すことが目的であり # $ %& を基に考察している本研究の内容は次の通りである：各ピクセルの輝度値を用いてセルの概念を定義する各セルが円柱領域に属するかの判定式を導入するセルと仮想領域法を用いた有限差分法の数値計算アルゴリズムを示す ! の数値シミュレーションを示す５つの円柱周りの流れを示す以後便宜的に３つの円柱が占める領域を障害物と呼ぶことにする画像のピクセルによる領域 ª と ª の決定方法領域 ª ª! とピクセルとを含む対象領域を画像的に確定するそれはを「白」を「黒」とする２値画像の作成である今回その画像はのような % ! ピクセルになっている２値画像の各ピクセルは黒が「」白が「」の輝度値をもつのでその情報を数値計算に援用するは２値画像のピクセルの輝度値の様子を示している左側のピクセルの輝度値の様子をみるために拡大すると右側のように白黒のピクセルの配置になっているピクセルによるセルの定義画像のピクセルを縦・横に個ずつとった個のピクセルの集合を我々はセルと呼びセルの中心に数値計算上の格子点を配置するこの格子点の属性はセル内のピクセルの輝度値によって決定されるはセルと格子点の関係を示している正方形の破線がセルでその中心に格子点を配置している ' '( )* ' '( ピクセルの輝度値による ª ª! の判定各セル格子点が画像として領域の外か内にあるかを決定する方法を述べる２値化によって処理された画像の各ピクセルは「」か「」の輝度値をもっているので各セルにおいてセル内のこの個のピクセルの輝度値を用いて式を定義するセル内のピクセルの輝度値の総和白の輝度値とセル内のピクセル数の積を用いて数値が与えられた閾値より大きいならばそのセルはの外にあるとし数値が以下ならばそのセルは内にあると決める以上より閾値 + を定めるとによりセルが領域のどちらに属するかを自動的に決定できる我々の方法はこの意味でメッシュレスである本研究ではとして領域を決定している ! の１２３はセル内のピクセルの様子を示しているの場合１２のセルはの内となるはの外３今後次の記号を用いるであるセルの集であるセルの集合 ! 合および数値計算法セルの輝度値を用いた仮想領域法方程式の再定式化３円柱の外側の領域における方程式連続の式 , Ú Ú Ú Ú Ú に対する数値計算を考察する今回圧力ポアソン方程式, を次の境界条件の下で解く円柱の側面の境界条件： Ò および外周上の ! 上のの境界条件" Ò この場合に仮想領域法を用いて円柱周りのノイマン境界条件を満たす近似解を構成するその方法として河原田 #& や -..#& を適用するつまり ! を導入し方程式および外周の境界条件いるとの時を次の方程式, の問題に再定式化する河原田や -.. の解析方法を用の解がノイマン境界条件, Ò を満たす解に収束することが示せる本研究ではこの立場からピクセル情報を用いた方程式を考察するピクセル情報に基づく数値計算アルゴリズムとが決まっているので画像のピクセル情報によってセルによる領域とおいてを $ の形に再定式化するこの時この問題次に % $ および外周の数値解 $ は数値的に全領域で解けるを用いて速度ベクトル Ú をで解く具体的には Ú Ú Ú Ú Ú¼ ! 上の Ú の境界条件, / Ú Ú Ò Ú の下で数値計算を行う $ 以上より本研究で用いる数値計算アルゴリズムは次の通りである全領域において手順で得られた圧力を用いて全領域における $ の圧力ポアソン方程式を数値的に解く / の方程式を数値的に解いて速度を求める時間ステップをつ進め上のステップを繰り返して圧力と速度を順次求めていくなおの移流項に関しては次精度上流差分を用いている #! /& 数値計算シミュレーション最初の問題を上記の数値計算アルゴリズムによって計算するこの計算のパラメータは次に示す通りである, 画像のピクセル数：レイノルズ数" 時間の刻み幅" および障害物設定の閾値をとしているつまりセルピクセルの中で白ピクセルが一つも無く黒ピクセルだけで占有されている状態である数値計算結果はのようになるの数値計算結果を見てみると１時間 ' においては円柱に沿って流れが起き始め２時間 ' には３つの円柱の後方において一対の渦対が現れるそして３時間 ' になると前方の渦対の対称性は崩れないが後方の円柱においてはその対称性が崩れ上下において対称なカルマン渦へと発展してゆくしかし４時間 ' では後方カルマン渦の上下の対称性も崩れてしまい全体として複雑な渦構造をなしてゆくことが分かる５つの円柱周りの流れ最後に、５つの円柱周りの流れ問題に適用する。この解析モデルは上下に一方向の一様な流れを与えた中に５つの円柱を障害物として配置した $ の場合である #& $ 次のデジタル画像と計算パラメータのもとで数値計算を行う, レイノルズ数" 時間の刻み幅" 画像のピクセル数：$$ セルの個数：$ $ % 障害物設定" 数値計算結果は、次の % の閾値である。それは時間ステップ数の時の流れ図である。このように今回示した数値計算法は、メッシュ生成を必要とぜず、極微小な正方形の画像ピクセルの配置情報のみで計算できる特徴がある。 % ! ! まとめ今回次元空間において時間ステップの経過による流れの数値計算を行い３つの円柱周りの数値シミュレーションを示したこの結果は、いままで知られている１つの円柱周りの流れとは異なり、３つの円柱のうち先頭の円柱の後方に現れる渦対は時間が経過してもその渦対の対象性が維持されているという流れを示した。また計算方法としては、障害物の設定において画像のピクセル情報と領域の正方格子とを関連づけることによって数学解析の仮想領域法と関連付けた数値計算を実現したこれにより多くの形状領域の障害物に対してでも有限差分法で数値計算することが可能になっている今後、この数値計算法を２次元障害物を移動させた場合や３次元空間の場合にも適用して、より汎用的な計算法を開発する参考文献 #& 小島智子白石卓巳腰越秀之２次元キャビティ流れの数値計算と可視化と 0'1. #& を用いて計算工学講演会論文集第巻第号 $ 河原田秀夫自由境界問題理論と数値解法東京大学出版会東京 '' ． /%/ # & 2 3 45 6 7) * Æ5 45 4)8 4588 9 55 #!& $/ ' '' %% .58 9'8 /% 桑原邦郎河村哲也流体計算と差分法朝倉書店東京 #& -.. 78) 8 7) 8( . 9 0' .58 65 #$& ': / 増田潤一佐伯公美腰越秀之２値画像と差分法による円柱周りのシミュレーショ / ン第回数値流体シンポジウム日本流体力学会75 94 #& 増田潤一佐伯公美松山孝子腰越秀之画像のピクセルと仮想領域を用いた３つの円柱周りのシミュレーション第 ''! #%& ! % ! 0'1. #& 回理論応用力学講演会講演論文集佐伯公美小島智子腰越秀之地理情報を利用した差分法の数値計算仮想領域と #/& を用いた可視化について日本応用数理学会年度年会講演予稿集 ''$ 高見穎郎河村哲也偏微分方程式の差分解法東京大学出版会東京 //! フリーメッシュ法に関する研究５つの円柱周りの非圧縮性流体の解析 '" 5;85<'5= （%/） 66