地盤の地震応答解析入門
2005年5月
東北学院大学
工学部 環境土木工学科
吉田
望
目
次
1
はじめに................................................................................................................................................. 1
2
扱う範囲と背景..................................................................................................................................... 2
3
土質力学の基礎..................................................................................................................................... 3
3.1
有効応力......................................................................................................................................... 3
3.2
ダイレイタンシー ......................................................................................................................... 4
3.3
土の変形挙動の基本的な考え方 ................................................................................................. 4
3.3.1
せん断変形............................................................................................................................. 4
3.3.2
体積変化................................................................................................................................. 5
3.3.3
ダイレイタンシー ................................................................................................................. 6
3.3.4
Darcy の法則と透水係数 ...................................................................................................... 6
4
地震応答解析の準備............................................................................................................................. 7
4.1
地震応答解析の流れ ..................................................................................................................... 7
4.2
原位置調査法................................................................................................................................. 8
4.2.1
標準貫入試験 ......................................................................................................................... 8
4.2.2
PS 検層.................................................................................................................................. 10
4.2.3
スエーデン式サウンディング ........................................................................................... 12
4.2.4
その他の原位置試験 ........................................................................................................... 12
4.3
室内試験....................................................................................................................................... 13
4.3.1
三軸試験と中空ねじり試験 ............................................................................................... 13
4.3.2
その他の試験 ....................................................................................................................... 14
5
材料特性（力学特性）の求め方 ....................................................................................................... 15
5.1
弾性定数....................................................................................................................................... 15
5.1.1
道路橋示方書) ...................................................................................................................... 15
5.1.2
港湾関係でよく使われる式) .............................................................................................. 15
5.1.3
岩崎ら) .................................................................................................................................. 16
5.1.4
変電所等における電気設備の耐震対策指針 ................................................................... 16
5.1.5
今井ら) .................................................................................................................................. 16
5.1.6
太田の式............................................................................................................................... 16
5.2
ひずみに依存する非線形性（動的変形特性） ....................................................................... 16
5.3
動的変形特性の整理と実験式 ................................................................................................... 18
5.3.1
Hardin-Drnevich モデル....................................................................................................... 18
5.3.2
港湾の施設の技術上の基準に基づく方法) ...................................................................... 19
5.3.3
安田らの方法) ...................................................................................................................... 20
5.3.4
拘束圧依存性を考慮した表形式（吉田らの方法)） ...................................................... 20
5.3.5
土木研究所の式) .................................................................................................................. 20
5.4
強度特性....................................................................................................................................... 23
5.5
液状化特性（液状化強度） ....................................................................................................... 25
5.5.1
液状化のメカニズム ........................................................................................................... 25
5.5.2
液状化強度試験における試料の挙動 ............................................................................... 26
5.5.3
液状化強度曲線 ................................................................................................................... 28
6 応力－ひずみ関係のモデル化 ........................................................................................................... 33
6.1
弾性定数と拘束圧依存性 ........................................................................................................... 33
6.2
非線形特性のモデル化 ............................................................................................................... 35
6.2.1
履歴法則：Masing 則 .......................................................................................................... 35
i
6.2.2
双曲線モデル ....................................................................................................................... 37
6.2.3
ランベルグ・オスグッド（Ramberg-Osgood）モデル................................................... 39
6.2.4
パラメータ決定のための基本的な考え方 ....................................................................... 40
6.2.5
複素剛性法........................................................................................................................... 41
6.3
ダイレイタンシー特性 ............................................................................................................... 45
6.3.1
Stress-dilatancy 則................................................................................................................. 46
6.3.2
Martin-Finn-Seed モデル...................................................................................................... 46
6.3.3
YUSAYUSA のモデル ........................................................................................................ 48
6.3.4
Bowl モデル ......................................................................................................................... 48
6.3.5
東畑・井合のモデル ........................................................................................................... 49
6.3.6
モデル化のメモ ................................................................................................................... 49
7
空間的モデル化................................................................................................................................... 51
7.1
解析次元....................................................................................................................................... 51
7.2
地層のモデル化........................................................................................................................... 51
7.3
層分割，メッシュ分割 ............................................................................................................... 51
8
運動方程式の作り方........................................................................................................................... 53
8.1
一次元の運動方程式（Biot の式） ........................................................................................... 53
8.1.1
基礎微分方程式 ................................................................................................................... 55
8.1.2
FEM への定式化 .................................................................................................................. 56
8.1.3
境界条件............................................................................................................................... 60
9
運動方程式の解き方........................................................................................................................... 64
9.1
逐次積分型の運動方程式の解法 ............................................................................................... 64
9.2
周波数領域の解法 ....................................................................................................................... 67
9.2.1
フーリエ級数展開 ............................................................................................................... 67
9.2.2
減衰モデルと応力－ひずみ関係 ....................................................................................... 68
9.2.3
重複反射法........................................................................................................................... 68
9.3
等価線形化解析........................................................................................................................... 72
10
注意事項........................................................................................................................................... 73
10.1
応力の扱いと数値積分 ............................................................................................................... 73
10.2
減衰............................................................................................................................................... 74
10.2.1
減衰係数と減衰定数 ........................................................................................................... 74
10.2.2
履歴減衰............................................................................................................................... 75
10.2.3
逸散減衰............................................................................................................................... 75
10.2.4
散乱減衰............................................................................................................................... 75
10.2.5
粘性減衰............................................................................................................................... 75
10.2.6
数値減衰............................................................................................................................... 76
Rayleigh 減衰........................................................................................................................ 76
10.2.7
11
YUSAYUSA の理論と使い方 ........................................................................................................ 77
11.1
理論............................................................................................................................................... 77
11.1.1
せん断応力－せん断ひずみ関係 ....................................................................................... 77
11.1.2
運動方程式........................................................................................................................... 78
11.1.3
間隙水圧モデル ................................................................................................................... 78
11.1.4
透水方程式........................................................................................................................... 79
11.2
土質定数の決め方 ....................................................................................................................... 80
11.2.1
基本的な考え方 ................................................................................................................... 80
11.2.2
液状化パラメータ早見表 ................................................................................................... 83
ii
11.2.3
YUSAYUSA の改良 ............................................................................................................ 83
12
DYNEQ の理論と使い方 ................................................................................................................ 84
12.1
SHAKE の必要性......................................................................................................................... 84
12.2
散乱の減衰................................................................................................................................... 85
12.3
SHAKE の欠点............................................................................................................................. 87
12.4
DYNEQ による改良 .................................................................................................................... 89
13
計算例............................................................................................................................................... 94
13.1
例題1............................................................................................................................................. 94
13.2
例題2............................................................................................................................................. 96
13.2.1
はじめに............................................................................................................................... 96
13.2.2
解析地盤と地震波 ............................................................................................................... 97
13.2.3
解析手法............................................................................................................................... 97
13.2.4
地盤のモデル化 ................................................................................................................... 98
13.2.5
解析結果と考察 ................................................................................................................... 98
13.2.6
まとめ................................................................................................................................. 100
13.3
例題3........................................................................................................................................... 101
13.3.1
はじめに............................................................................................................................. 101
強震観測位置の地盤と観測記録 ..................................................................................... 101
13.3.2
13.3.3
地盤のモデル化と弾性定数 ............................................................................................. 103
13.3.4
非線形特性の設定 ............................................................................................................. 104
13.3.5
解析手法と対応するモデル化 ......................................................................................... 106
13.3.6
まとめ................................................................................................................................. 110
iii
1
はじめに
このテキストは，地盤の地震応答解析を始めようとしている方の入門のために用意したもので
ある。地震応答解析は，地震地盤工学（Earthquake geotechnical engineering）や土質動力学の一部
をなすものである。この分野は，特に最近進歩が著しいが，一方では適切な教科書が無いことも
あり，適切でない使い方をされているケースも見られる。入門という本テキストの性格を考え，
ここでは，一次元の地震応答解析に限定し，理論を示すとともに，筆者が公開している三つの一
次元地震応答プログラム DYNEQ，DYNES，YUSAYUSA-2の使い方を示す。
なお，理論などについては，厳密なことを言い出すときりがないところがある。しかし，あま
りに厳密なことを述べると，難しくなりすぎ，入門という本書の性格からはずれてしまう。そこ
で，このテキストでは，実際は少し違うかもしれないということについても，深くは追求せずに，
一般の常識としての知識のレベルを中心としてまとめている。
1
2
扱う範囲と背景
地震は，断層で発生し，断層→地震基盤→工学的基盤（→設計用基盤）→表層と伝わって来る。
地震基盤は，基盤から上層への入射波が，震源（震央）距離のあまり違わないところであれば同
じ程度である地層1)で，せん断波速度 Vs=3km/s 程度の地層である。工学的基盤は，そこでの地震
動が表層の影響をそれほど受けない地層であり，工学的基盤から入射する地震動は，個々のサイ
トの特殊性を余り考えずに設定できる。逆に言えば，これより上の地盤（表層）の地震動は，下
方から入射してくる波と表層の条件により決まる。工学的基盤は，通常建物の支持地盤となる，
せん断波速度300～400m/s（原子力では700m/s）の層が選ばれる。このテキストでは，工学的基
盤から上の表層地盤のみを扱う。
サイトで観測される地震波は次の様な種類がある。
実体波 P 波 S 波（SH 波，SV 波）
表面波 Love 波 Rayleigh 波
P 波は一軸方向への引っ張りと圧縮を繰り返して伝播する波で，粗密波とも呼ばれる。S 波は
せん断変形を繰り返しながら伝播する波で，せん断波とも呼ばれる。S 波には波の進行方向と波
面の作る面の中で振動が起こる SV 波と直交方向の振動を生じる SH 波がある。しかし，一次元
の地震応答解析では SH 波と SV 波を区別する必要は全くない。図2.2に波動を模式的に示す。
構造物の設計のために通常行われる地震応答解析で通常対象とされるのは，実体波，特に S 波
である。実体波は，固い物質から柔らかい物質に伝播すると屈折角が小さくなる。地盤は通常地
表の方が軟らかいので，地震波は地表に近づくにしたがって鉛直方向に進路を変えることになる。
したがって，特に震源に近くない限り，実体波はサイトには鉛直下方から入射してくると考えて
良い。地中構造物では表面波も影響することがある。
図2.1 断層からの波動の伝播
図2.2 波動の種類
2
3
土質力学の基礎
土質力学は力学の一種であるが，歴史的な経緯や土の材料としての特殊性のため一般力学や弾
性学などと少しところがある。ここでは，この部分を簡単に説明する。
3.1
有効応力
土は単一の物質ではなく，土粒子とその間を埋める間隙物質との混合体である。間隙物質は通
常空気と水であるが，間隙物質の違いにより，挙動は大きく異なる。図3.1は，間隙が水で飽和
している（このような水を間隙水という）土の微小要素である。応力は，土粒子に作用する応力
と水に作用する応力に分けることが出来る。応力をテンソル表示でσij と表せば，図の関係は一般
的には次のように書ける。
(3.1)
σ ij = σ ij′ + δ ij p
ここで，δij はクロネッカーのデルタである。式(3.1)の右辺の第1項，すなわち土粒子に作用する
応力を有効応力，第2項，すなわち間隙水に作用する応力を間隙水圧という。有効応力に対し，
要素全体に作用している応力は全応力と呼ばれる。有効応力には，式(3.1)に σ ij′ として示される
ように，「'」をつけるのが慣例である。せん断応力に関しては，全応力も有効応力も同じである。
また，間隙が空気である場合にも，全応力と有効応力は同じである。
土の本体を形作っているのは，土粒子であるが，図3.1に示したように，それが骨格構造をし
ているのが土の特徴である。したがって，図3.1の右辺第1項の微小要素に作用する応力は，土を
二つの方法で変形させる。一つは土粒子の形状そのものを変化させ，もう一つは土粒子の骨格構
造（配置状態）を変化させる。このうち，土粒子そのものは非常に固いので，骨格構造の変化に
くらべほとんど無視できる。つまり，有効応力とは，土の骨格構造を変化させる応力である。
σy
τxy
σ'y
τxy
σx
τxy
p
σ'x
=
τxy
p
+
土粒子
間隙水
σij
（全応力）
=
σ'ij
（有効応力）
+
p
（間隙水圧）
図3.1 有効応力と間隙水圧の定義
土質力学では，有効応力の概念は非常に重要である。それは，有効応力の原理という考え方が
あるからである。Lambe と Whitman (1979)の有名な土質力学の教科書2)によれば，有効応力の原
理は次のように表される。
①有効応力は全応力から間隙水圧を引いたものである。
②有効応力はある種の土の挙動，特に圧縮性と強度を支配する。
最初の項目は先に挙げた有効応力の定義である。二つ目の項目が，鋼やコンクリートなどの構
造用材料とは非常に異なる点である。鋼やコンクリートでは例えばヤング係数，引っ張り強度や
圧縮強度などは材料が決まれば定数として扱われる。しかし，地盤材料では，このような力学特
性が有効応力の値により変わる訳である。この理由は，有効応力の定義を考えてみれば分かる。
上で述べたように，土の変形はほとんどが土骨格の変形であり，土粒子そのものの形状の変化で
はない。このような土骨格の変形（粒子の配置の変化）は土粒子同士の間に作用している力（粒
子間力）に左右され事は，感覚的にうなずけよう。
3
上に述べた②は有効応力により材料特性が変化するとしているが，実際には有効応力の各成文
に依存しているわけではなく，
(3.2)
1
3
σ m′ = (σ ′x + σ ′y + σ ′z )
として定義される有効拘束圧に依存しているとして定式化されるのが普通である。また，実地盤
では直応力の3成分の値を求めることは非常に困難で，実験式では，有効上載圧 σ v′ に依存してい
るとしているものもある。特に，一次元専用の解析ではこの仮定が普通に用いられる。
3.2
ダイレイタンシー
有効応力の概念は鋼やコンクリートなどの構造用材料では現れなかった重要なものであるが，
同様にもう一つ重要なのがダイレイタンシーという現象である。図3.1に示した微小な要素がせ
ん断変形することを考える。これまでにも再三述べたように，土粒子そのものは固いので，せん
断変形に対しても変形しないと考えると，土のせん断変形は粒子の配列状態が変わることによっ
て生じる。図3.2は変形後の状態を模式的に示したものであるが，せん断変形に伴い，土粒子が
間隙の中に落ち込んだりし，その結果，体積変化も生じる事になる。このようにせん断変形に伴
い体積変化が生じる現象をダイレイタンシーといい，土のように粒子の集合で構成される材料に
特有の現象である。
(b) 正のダイレイタンシー
(a) 負のダイレイタンシー
図3.2 ダイレイタンシーの模式図
ダイレイタンシーは最初粘土について，せん断に伴い体積が増加する現象として発見され
dilate（膨張する）というという意味でつけられた。図3.2(a)では体積が減少しているので，負の
ダイレイタンシーと言うこともある。負のダイレイタンシーは液状化を考える際には重要な概念
である。なお，図3.2(a)では緩い砂をイメージして間隙に土粒子が落ち込むようになっているが，
更にせん断を受けると落ち込んだ砂粒子が隣の土粒子の上に乗り上げる様になり，図3.2(b)体積
が膨張する事になる。このような現象はサイクリックモビリティと呼ばれ，液状化の解析では特
に重要である。
3.3
土の変形挙動の基本的な考え方
通常の構造物は，柱やはり，床や壁で構成されている。このような構造要素の挙動は，軸方向
の伸縮とせん断に分けるのがわかりやすく，それぞれの変形に対し，応力－ひずみの関係の比例
定数としてヤング係数とせん断弾性係数が割り当てられている。これに対し，土（骨格）の変形
挙動は，せん断変形，体積変化，ダイレイタンシーに分けて考えるのが一般的である。間隙に水
があるときには，その挙動，特に水が土の中を流れるのか（排水条件），流れないのか（非排水
条件）ということも問題となる。
3.3.1
せん断変形
図3.3はせん断変形を受ける土の挙動の例である。図から，土の応力－ひずみ関係は非常に非
4
線形性が強いことが分かる。実際，詳細な実験を行っても，応力－ひずみ関係には直線部分はほ
とんど見られない。したがって，弾性域があるのかということについても一致した意見があるわ
けではない。図に示したような応力－ひずみ関係の立ち上がり剛性は，一般的には弾性剛性と呼
ぶべきであろうが，このような観点から，微小ひずみ時のせん断剛性と呼ばれる事も多く，記号
として Gmax を当てる。動的解析に用いるせん断変形特性の計測法については後述するが，添字
max は計測したせん断剛性の内最大のものという意味である。Gmax は G0と表現されることも多い
が，どちらも同じものを指している。本書では，一貫して Gmax を用いる。また，混乱がないと
考えられるので，これを，せん断弾性係数と呼ぶことにする。
せん断変形する非線形性が著しいことから，地震応答解析では，非線形性の考慮は必須の事項
と考えて良い。
(a) 排水試験
(b) 非排水試験
図3.3 繰り返しせん断を受ける土の挙動の例3)
3.3.2
体積変化
土の体積変化を伴う挙動は，間隙比 e と有効拘束圧 σ m′ の関係として表されることが多い。図
3.4はこの関係の例である。横軸が対数軸となっているのは，関係が直線的に表されるからであ
る。埋立土を例として図3.4(c)に沿って体積変化の挙動を見ることにする。埋立前の状態では，
応力はほとんど0である。この状態を図3.4の A とする。埋め立てられると上から押されるので有
効拘束圧が増加し，対応して体積圧縮が生じ間隙比が小さくなり，状態点は A→B→D の様に移
動する。この過程は非可逆的である。ここで，たとえばできあがった地盤を掘削する等して，B
点で一旦拘束圧を小さくすると状態点は A の方向には戻らず，C の方向に移動する。C 点で再び
有効拘束圧を増加させると，以前の経路をたどり，B 点に達し，その後，D 点に向かう。B→C→
B の過程では若干のヒステリシスを描くが，多くの構成則では可逆的としている。地盤を盛り立
てたり，構造物を作ったりする場合には拘束圧が増加するが，地震応答で扱う範囲では，有効拘
束圧が増加するケースはほとんどないので A→B→D の挙動は考える必要はない。A→B→D の過
程は正規圧密過程と世慣れ，これに対し B→C 過程は体積が現象する過程で膨潤過程と呼ばれ，
また，正規圧密に対して過圧密状態と呼ばれる。一方 C→B は再載荷曲線と呼ぶ。膨潤曲線と再
載荷曲線が一致する場合には両者は区別せず膨潤曲線と呼ばれることもある。過圧密状態では体
積ひずみ増分 d ε v = d ε x + d ε y + d ε z と拘束圧の関係は次のように表される。
(3.3)
d σ m′ = Kd ε v
ここで，K は体積弾性係数である。また，この逆数は体積圧縮係数と呼ばれ，mv の記号で表され
る。膨潤曲線は可逆的であるが，係数 K は有効拘束圧の関数であるので，この関係を増分弾性と
呼ぶこともある。一次元解析では，一次元体積圧縮係数 mv が使われることがある。一次元の体
積変化が起きるときは同時にせん断変形も起こるので， mv は次のように求められる。
5
(3.4)
4
G)
3
m v = 1 /( K +
e − log σ m′ 平面上で，膨潤曲線を直線とすると，体積弾性係数 K は有効拘束圧に比例する。構
成則では，この関係を使っているものもあるし，拘束圧のべきに比例するとしているものもある。
(a) 砂4
(b) 粘土
(c) 挙動の模式図
図3.4 土の体積変化特性
3.3.3
ダイレイタンシー
ダイレイタンシーのメカニズムについては既に紹介した。メカニズムから考え，ダイレイタン
シーの量がせん断ひずみ増分に依存することは明らかであるが，そのほかに応力比にも依存する。
よく用いられる関係は三軸試験の結果を基にした次の式で，応力－ダイレタンシー関係と呼ばれ
る。
(3.5)
d ε vd
q
=μ−
dγ
σ m′
ここで，dεvd はダイレイタンシーにより生じた体積ひずみ増分，dγはせん断ひずみ増分，q は
軸差応力である。また，μは材料に固有の定数で変相時の応力比と呼ばれる。また，これ以外に
も多くの実験式も提案されている。
3.3.4
Darcy の法則と透水係数
間隙水が流れるとき，流速 w と流
れる方向の水頭 h の変化量の間を関
係付ける式で，次のように表される。
表3.1 透水係数の代表値（文献5)をとりまとめる）
土質
粗粒粘土
dh
細粒シルト
w = −k
(3.6)
ds
粗粒シルト
微細砂
ここで， s は流れの方向に取った座
細砂
標である。比例係数 k は透水係数と
中砂
呼ばれる。表3.1に代表値を挙げるが，
粗砂
小砂礫
砂の種類によって非常に大きく異な
D20 (mm)
0.005
0.01
0.02～0.05
粒径 (mm)
0.05～0.10
0.10～0.25
0.25～0.50
0.50～1.00
1.00～5.00
透水係数 (cm/s)
3.00×10-6
1.05×10-5
4.00×10-5～2.80×10-4
0.001～0.005
0.005～0.01
0.01～0.1
0.1～1.0
1.0～5.0
る。水頭も土質力学特有の用語であ
り，次のように表され，右辺の各項は圧力水頭，位置水頭，速度水頭と呼ばれる。
(3.7)
h=
p
γw
+z+
w 2
2g
ここで，γw は水の単位体積重量，z は鉛直方向の座標，g は重力加速度である。
6
4
地震応答解析の準備
地盤の地震応答解析は工学の計算の中でももっとも困難なものの一つである。困難な理由は解
析対象である地盤の構成を完全に把握することができない，地盤材料の応力－ひずみ関係をきち
んとモデル化することができないなど，基本的に問題を数学の世界に持ち込むことができないこ
とにある。また，多くの要因が結果に影響するので，全体の精度を上げるためには，個々の要因
の精度を上げなければならないが，上に述べたことも含め，難しいところがたくさんあること，
技術者によって判断が異なることも原因の一つである。さらに，液状化解析となると強度の非線
形を扱うため，数学的にも困難な問題を解いていることも原因である。
しかし，嘆いていても始まらない。ここでは，地震応答解析を行うために何が必要で，それを
どうして入手してくるかということについて説明する。
4.1
地震応答解析の流れ
図4.1に地震応答解析の流れを模式的に示す。この図はかなり理想的に調査ができることをイ
メージしているが，実務ではないデータはあるものから実験式，経験式で推定してくる必要があ
る。
ボーリング
柱状図
原位置調査
（SPT，CPT）
せん断波速度
モデル化
（平均，単純化）
経験式
Vs = f(N)
試料
室内試験
物理特性
（Ip，D50）
弾性定数
力学特性
経験式
G-γ = f(D50, Ip, ..)
R20 = f(N, σ'v0)
モデル化
τ = Gmaxγ / (1+γ /γr)
非線形特性
G-γ, h-γ 関係
τd /σ'm0-N 関係
地震応答解析
液状化解析
地震波
工学的判断
図4.1 地震応答解析の流れ
これらの流れをまとめると，地震応答解析はおおよそ次のような流れで行われる。
1) 原位置の状況を把握する。幾何学的な条件（地層の構成など），原位置の地盤材料の陸額特
性を把握することなどである。
2) 地盤材料の力学特性を把握する。すでに1)で求まったものもあるが，原位置では計測が困難な
もの（たとえば非線形特性，液状化特性など）は室内試験で求める。
3) 解析用に地盤をモデル化する。これまでに把握した特性を解析に載せるために，単純化をは
かったり，解析に影響を与えない要因を切り捨てたりする。また，応力－ひずみ関係の係数
を決めるなどもこの項目で行う。
4) 地震応答解析コードを選択する。本来，これを最初に行うべきかもしれない。というのは，
7
解析コードによって要求するデータが異なるからである。選択の対象となるコードの種類と
して，等価線形解析，全応力非線形解析，液状化解析があり，それぞれにいくつもの解析コ
ードがある。しかし，一般の技術者は数多くの解析コードが使える状況には無い。
5) 解析結果を判断する。解析した結果が必ずしも正しいとは限らない。それは，手法，データ
などが完全ではないからです。従って，出てきた解析結果を判断することが必要である。デ
ータが完全であると思っても，解析コードが完全でないというのが現状で，この作業は欠か
せない。
これらのうち，1)，2)は地盤工学者であれば常識として知っているとも考えられるが，地震応
答という観点からここで簡単に説明する。3)以降は，次章以下で述べる。
4.2
4.2.1
原位置調査法
標準貫入試験
標準貫入試験は，地盤調査としてもっとも多く行われるもので，図4.2に示すような道具を用
い，重さ0.623kN（63.5kgf）のハンマーを75cm の高さから落下させ，サンプラーを30cm 沈下さ
せるのに必要な打撃回数（N 値）を測定する試験である。実績も多いことから，N 値を利用した
実験値も数多く提案されている。
ガイドロッド
滑車
やぐら
約
5
落下高
(75cm)
トンビ
ハンマー (63.5kg)
ハンマー巻上げ用引網
トンビ引網
m
ノッキングヘッド
ボーリング機械
コーンプーリまたは
巻上げドラム
ドライブパイプ
またはケーシング
ボーリングロッド
ボーリング孔 75mm 程度
標準貫入試験用サンプラー
図4.2 標準貫入試験
海外ではコーン貫入試験も原位置試験として用いられるが，日本では研究を除き，ほとんど使
用されない。地震の被害調査などでは，スエーデン式サウンディングの様な簡易な方法も用いら
れることがある。これらの試験法の結果も一旦 N 値に変換され，実験式を適用するという方法が
多く用いられる6)7)。図4.3は変換の例である。
材料が異なると，同じ力学特性（たとえば弾性定数）でも N 値は異なる。したがって，N 値を
8
用いる場合には，なるべく推定しようとしている材料と似た材料を用いて作られた実験式を用い
ることが好ましい。また，使用に際し，次のような補正が必要となる。
図4.3 コーン抵抗値 qc と N 値の関係
(1) エネルギー補正
ハンマーを落下させサンプラーに当たる際のエネルギー効率は，国によって，または試験法に
よって異なっている。代表的なエネルギー効率は表4.18)である。エネルギー効率が高いほど N 値
は小さくなるので，標準のエネルギー効率を決め，その他のエネルギー効率の試験法を用いる場
合には，エネルギー効率に比例させるという補正が必要である。表で*をつけたものが普通に行
われる方法であるので，たとえばアメリカで作られた実験式を日本で計測した N 値で使う場合に
は，10%程度（(67-60)/60）N 値を大きくして使う必要がある。しかし，ボーリング調査の報告書
でもエネルギー効率までは書いていないのが普通であり，実験式を提案する論文でもどの N 値を
基にしたのかは書いていない。したがって，実務でも，この項の補正を行っているケースはほと
んどないと考えられる。
表4.1 手法によるサンプラーのエネルギー効率
国
日本
ハンマーの形状
ドーナツ
落下方法
自由落下
エネルギー効率（%）
ドーナツ*
セーフティ*
コーンプーリー
コーンプーリー
67
60
コーンプーリー
45
アメリカ
ドーナツ
*：最も普通に使われる方法
78
(2) 有効上載圧補正
同じ材料でも有効上載圧 σ v′ が異なると N 値も異なる。実験式によっては，特定の有効上載圧
（たとえば98kPa（1kgf/cm2））で作られているものがあり，その補正が必要となる。上載圧補正
した N 値は単に補正 N 値と呼び，Nc の記号を用いる。次の二つの補正方法が良く用いられる。
(4.1)
Nc =
98
σ v′
⋅N
(Liao9)）
9
(4.2)
Nc =
1.7 N
′
σ v / 98 + 0.7
(Meyerhof10))
この式に限らず，多くの実験式では式の左辺と右辺で次元が合わないことが普通である。この
場合には特定の単位系を想定して式が作られている。したがって，実験式を使うときには，実験
式が作られた単位系に諸量を変換してから使うか，使おうとしている単位系に実験式を書き改め
る必要がある。上の二つの式では後者の方法を用いており，有効上載圧の単位は kPa である。
液状化強度の推定では，上載圧補正は重要で，設計指針でもどちらかの式で補正が行われてい
る。それ以外のケースでは，先のエネルギー補正と同様，それほど注意されていないことも多い。
補正は，有効上載圧ではなく，有効拘束圧で行うのが自然な様にも考えられるが，実地盤の有効
拘束圧の計測が困難なためか，実験式としては提案されていない。
4.2.2
PS 検層
弾性波の速度を計測するものである。通常，単位体積重量は比較的精度良く求まるので，これ
より弾性定数を求めることができる。
地震応答解析に用いるための弾性定数は，後に述べるように室内試験からは求めるのが困難で，
原位置で計測する必要がある。弾性定数を決めるための最も良い方法は PS 検層を用いる方法で
ある。PS 検層とは，ボーリング孔を使って P 波や S 波の伝播速度を計測する方法で，震動源の
位置と波動の伝播を計測する位置の違いにより図4.4に模式的に示す4つの方法がある。
図4.4
PS 検層の方法
ダウンホール法は，地表を水平，鉛直方向に振動させ，その振動を地下で計測するもので，受
信機の位置を順番に変え，波動の伝達時間の差から波動の速度を決める。震動源として地表に置
いた板をかけやなどで叩く，板たたき法（図4.5参照）が日本では普通に行われる。図4.6に示す
ように，異なる深さで発生させた波動の到達時間から波動の伝播速度を計測する。
アップホール法はまず行われないが，最近，貫入試験の振動を利用して計測する方法が開発さ
れ，用いられることもある。計測の方法は，ダウンホール法と同じである。
クロスホール法は同じ地層の伝播速度を計測するのに最も良い方法であるが，ボーリング孔が
二つ必要なこと，日本では地層の変化の激しいことから，ほとんど行われない。
サスペンション法は図4.7に模式的に示すように，発信源と二つの受信機が一つにまとまった
計測装置を用い，発信源からの波動の伝播を二つの受信機で受け取り，その差から受信機間の伝
播時間を計測するものである。地下水位以下の部分でなければ計測できないと言う欠点はあるが，
精度が高いのでかなり用いられるようになってきて来ている。ただし，地震応答解析に用いるべ
き地層構成が得られるかということとは別の話である。
10
レギュレター
アンプ
N2 ガスボンベ
P 波振源
（カケヤ）
S 波振源
（カケヤ）
厚板
ショットマーク用
受振計
ボーリング孔
P波
S波
ナイロン
チューブ
ケーブル
ゴムチューブ
孔中受振計
（3 成分換振器）
背板
図4.5 板たたきの方法
図4.6
図4.7
PS 検層（ダウンホール法）の例（文献11)を修正）
PS 検層（サスペンション法）の例（文献12)を修正）
11
せん断波速度と弾性定数の関係は以下である。
(4.3)
せん断弾性定数： G = ρVS2
(4.4)
⎧
⎛V
⎪
ポアソン比：ν = ⎨1 − 2 ⎜ s
⎜V
⎪⎩
⎝ p
(4.5)
体積弾性係数： K =
4.2.3
⎧
⎛ Vs
⎪
⎨2 − 2 ⎜⎜
⎪⎩
⎝ Vp
⎞
⎟⎟
⎠
⎧
⎛V
G (1 + ν )
⎪
= G ⎨3 − 4 ⎜ s
⎜V
1 −ν
⎪⎩
⎝ p
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
2
2
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
⎫
⎧
⎛ Vs
⎪
2 ⎪
⎬ = ρVs ⎨3 − 4 ⎜⎜
⎝ Vp
⎭⎪
⎩⎪
⎞
⎟⎟
⎠
2
⎫
⎪
⎬
⎭⎪
スエーデン式サウンディング
Depth
Soil
Classification
Nsw
0
100
200
500
200
800
1000
Elevation
簡易な道具で，地盤の強さを計測するもので，住宅などで良く行われる。また，地震被害調査
の際に持って行って計測することもある。100kgf のおもりを積みながら沈下をはかり，また，沈
下に要する回転数を計測する。
0
50
Wsw
(a) 計測法
100
(b) 整理法
図4.8 スエーデン式サウンディングの計測，整理方法
既往の量との関係式は次のようである13)。
qu (kgf/cm 2 ) = 0.0045Wsw (kgf )
一軸圧縮強度
qu (kgf/cm 2 ) = 0.45 + 0.0075 N sw
（Nsw>100の粘性土）
N値
N = 0.02Wsw (kgf ) or 2 + 0.067 N SW （礫，砂質土）
N = 0.03Wsw (kgf ) or 3 + 0.05 N SW
4.2.4
（粘性土）
その他の原位置試験
そのほか，多数の原位置試験が用いられる。そのうち，地震応答で使われるのは，常時微動や
12
小さい震源に対する微動を計測し，そこから地盤の卓越周期や地盤の速度構造を求める方法であ
る。微動計測，微動アレー，表面波探査など各種の方法があるが，あまりに専門的になるので，
ここでは述べない。
4.3
室内試験
原位置で試験できない時には，試料を室内に持ち込み実験する。室内試験には物理試験と力学
試験がある。物理試験は，間隙比，液性指数，塑性指数，粒度分布などを計測する試験，力学試
験とは，応力－ひずみ関係などの力学的特性を求めるための試験である。ここでは，室内試験の
代表である三軸試験と中空ねじり試験を示す。
4.3.1
三軸試験と中空ねじり試験
三軸試験は地震時の土の特性を求めるもっとも標準的な試験方法ある。図4.9(a)に試験装置を，
また，図4.10(a)の左に載荷方法を示す。三軸試験では軸方向の繰返し荷重を作用させ，軸差せん
断を起こさせ，せん断挙動を計測する。図4.10(b)にモールの円で表した三軸試験の応力状態の変
化を示すが，この変化は，地震時に地盤が受けるものとはかなり異なっている。そこで，最近で
はより地震時の応力状態に近い中空ねじり試験が研究者の間では行われるようになり，実務でも
採用されるようになってきた。中空ねじり試験では円筒形の試料を用い，図4.10(a)の右に示すよ
うに，ねじりを作用させてせん断変形を生じさせる。すると，応力の変化は図4.10(c)に示すよう
になり，実地震のそれと近くなる。
地震時の非線形特性は，動的変形特性試験により求められる。また，液状化強度は，液状化強
度試験（動的強度試験）で求められる。これらの求め方は後述する。
大回転角計
エンコーダー
±50°
油圧サーボバルブ
空圧サーボバルブ
大変位計
ポテンションメータ
*25mm
軸荷重載荷装置
ベロフラムレス
エアーシリンダー
スプライン軸受け
により接続
ねじり力載荷装置
（揺動モーター）
荷重 ･ トルク計
（1960N,4900N･cm）
微小変位計
ギャップセンサー
*1mm
供試体
供試体
外径 10cm
内径 6cm
高さ 10cm
微小回転角計
ギャップセンサー
*1mm
間隙水圧計
13
(b) 中空ねじり試験
(a) 三軸試験
図4.9 繰返し載荷試験装置
σa
σd
σa
τ
σ r σr
σr
τd
τ
伸張側 圧縮側
σr
σm0+σd
σm0-σd
三軸試験
中空ねじり試験
(a) 荷重の載荷法
σ
σ
初期状態 σ=σm0
初期状態 σ=σm0
(b) 三軸試験
(c)中空ねじり試験
図4.10 載荷方法
4.3.2
その他の試験
土の室内試験にはその他にも多くの方法がある。地震応答解析に関係するものでは，一面せん
断試験，単純せん断試験などの応力－ひずみ関係や強度を求める試験，ベンダー試験のように波
動の伝播速度を求める試験。
14
5
材料特性（力学特性）の求め方
地震応答解析に要求される材料特性には，弾性定数，ひずみに依存する非線形特性（動的変形
特性），液状化特性がある。また，強度特性も必要なことがある。
5.1
弾性定数
土は非常に小さいひずみ領域から非線形性を示すので，弾性定数というものが実際にあるのか
は不明である。そこで，実験ではひずみが小さいときのせん断定数をもって弾性定数のように扱
うが，厳密に定義するために，「微小ひずみ時のせん断定数」と言うことも多い。微小ひずみ時
のせん断定数を弾性定数と呼ぶことも多い。なお，微小ひずみ時のせん断定数として Gmax の記
号がよく用いられるが，添え字の max は最大のせん断定数という意味である。これに対し，G0
の記号を用いるケースもある。
弾性定数は PS 検層で求めるのがよい。しかし，コストがかかることから，行われないことも
多い。その場合には，PS 検層に代わる方法として，標準貫入試験の N 値から実験式を使う方法
がある。しかしながら，実験式ではデータのばらつきが大きいことに注意すべきである。たとえ
ば，図5.1は後に示す実験式の基となったデータであるが，おおよそ倍－半分の間にデータがば
らついている。
そのほかの各種の実験式を以下に示す。
図5.1
5.1.1
Vs-N 値関係（計測値と経験式）の例
道路橋示方書14)
(5.1)
(5.2)
粘性土
Vs = 100 N 1 / 3
(1≤N≤25)
砂質土
Vs = 80 N
(1≤N≤50)
1/ 3
なお，この式は実験に基づくのではなく，前記，今井らの式を単純化したものである。
5.1.2
港湾関係でよく使われる式15)
①粘性土
・一軸圧縮強度 qu との関係
(5.3)
Gmax = 170qu
（kgf/cm2）
15
・塑性指数 Ip と間隙比 e との関係
(5.4)
Gmax = (285 − 2 I p )σ m′
(5.5)
Gmax = (1.6 I p + 185)
（Ip≥30）
(2.973 − e) 0.5
σ m′ （Ip<30）
1+ e
②砂質土
・N 値との関係
(5.6)
Gmax = 144 N 0.88
・間隙比 e との関係
(5.7)
Gmax = 700
(2.17 − e) 0.5
σ m′
1+ e
（丸い砂粒子）
(5.8)
Gmax = 330
(2.973 − e) 0.5
σ m′
1+ e
（角張った粒子）
5.1.3
岩崎ら16)
(5.9)
5.1.4
沖積粘性土（Ac）
V s = 143N 0.0777
洪積砂質土（Ds）
Vs = 205N 0.125
洪積粘性土（Dc）
Vs = 172N 0.185
V s = 89.8 0.341
（土によらない）
今井ら17)
(5.11)
5.1.6
V s = 103N 0.211
変電所等における電気設備の耐震対策指針
(5.10)
5.1.5
沖積砂質土（As）
沖積砂質土（As）
V s = 80.6 N 0.331
沖積粘性土（Ac）
V s = 102N 0.292
洪積砂質土（Ds）
V s = 97.2 N 0.323
洪積粘性土（Dc）
V s = 114N 0.292
表5.1 係数
太田の式
(5.12)
Vs = 69 N 0.17 hF1 F2
ここで，h は深さ（m），F1，F2は表5.1に示されている，
土の堆積年代と土の種類により決まる定数である。
5.2
ひずみに依存する非線形性（動的変形特性）
堆積年代
沖積
F1
1.0
土質名
粘土
F2
1.0
洪積
1.3
細砂
中砂
1.09
1.07
粗砂
砂礫
1.14
1.15
礫
1.45
図 5.2 は地盤材料の非線形性の程度を表したものであ
るが，ひずみの小さい間から材料は非線形性を示すので，地盤の地震応答解析では非線形性の考
慮は必須である。
地盤材料の非線形性は，動的変形特性とも呼ばれることが多い。ここで動的とは，外力の作用
16
が急速であるという意味ではなく，繰返し外力が作用するという意味でとらえられている。動的
特性を求める試験に，動的変形試験がある。動的変形試験では，三軸試験機や中空ねじり試験機
を用い，試料に繰り返しせん断応力を加え，得られた応力－ひずみ関係の形状よりひずみに応じ
たせん断定数 G と等価減衰定数 h を求める。この試験の方法を模式的に図5.3に示す。結果は G-γ
関係と h-γ関係で整理される。この関係が材料の非線形特性を完全に表しているわけではないが，
扱いが容易なこと，多くの実績があることから，この関係が材料の非線形性を表しているとして
解析が行われる。
動的変形特性は，解析の際には対象材料に対する動的変形試験を行って決めるのが好ましい。
しかし，実験には動的変形試験を行うには費用も掛かり，行われないことも多い。この場合には
実験式を用いることになる。
図5.2 地盤材料のひずみ依存性とその試験法，解析法（文献18)，19)より編集）
室内試験で動的変形特性を求めた場合には，せん断ひずみ振幅γの関数としてせん断定数と等
価減衰比が与えられる。ここで，室内試験で得られた微小ひずみ時のせん断定数は，原位置試験
で求めた値と大きく異なることが普通である。たとえば，図5.4は室内試験と原位置試験の微小
ひずみ時のせん断剛性を比較したものであるが，地盤が剛になるにしたがって室内試験の剛性が
小さくなっているという一般的な傾向が伺える。逆に原位置のせん断波速度が小さければ室内試
験より求めたせん断波速度の方が大きくなる事もある。また，データごとのばらつきも大きく一
意的な線を引くことも出来ない。
これは試料採取時の乱れの影響であると言われている。このことを実証するように，凍結サン
プリングの様に非常に高品質の試料では室内と原位置のせん断剛性はほぼ同じになる20)。したが
って，実験で得られたせん断定数は，最大のせん断定数で割り，これに原位置で計測したせん断
弾性定数を掛け求めるという手順が普通に行われる。これに対応し，表形式の入力では，せん断
ひずみに対応したせん断定数比と減衰定数比が入力として要求される。このように表現した
Gmax-γ関係は乱れの影響を余り受けていないといわれている。
17
図5.4 原位置調査によるせん断波速度と室内
試験によるせん断波速度の差19)。
図5.3 動的変形試験の模式図
5.3
動的変形特性の整理と実験式
動的変形特性試験に関しても多くの実験式が提案されている。以下では代表的なものを示す。
5.3.1
Hardin-Drnevich モデル
実験式で最も代表的なものは Hardin と Drnevich により提案されたもの21)で，実験の整理法と
しても用いられる。彼らの提案した式のエッセンスは次の式で表される。
(5.13)
G
1
=
Gmax 1 + γ
γr
(5.14)
⎛
G
h = hmax ⎜⎜1 −
G
max
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
ここで，γr は規準ひずみと呼ばれている（その意味はモデル化のところで述べる）。また，hmax
は最大減衰比である。ここで，式(5.14)ではひずみが小さくなると減衰比が0に近づくが，実験で
はある程度の減衰があることが多いので，プログラムでは減衰比の最小値も入力できるようにな
っている。この場合，次の二つの式が考えられる。
(5.15)
⎛
⎛
G
h = max⎜ hmax ⎜⎜1 −
⎜
⎝ G max
⎝
(5.16)
⎛
G
h = ( hmax − hmin ) ⎜1 −
⎝ Gmax
⎞
⎞
⎟⎟, hmin ⎟
⎟
⎠
⎠
⎞
⎟ + hmin
⎠
実験結果は式(5.15)により近いと考えられる。
なお，日本で一般に Hardin-Drnevich モデルと言った場合，式(5.13)を骨格曲線としてメージン
グ則を用いて履歴曲線を表すモデルを言うことも多いが，これは，ここでは，双曲線モデルとし
て2.4.8項に示されている。
この式は，実験値を整理する方法として良く用いられる。すなわち，動的変形特性結果を整理
18
して，Hardin-Drnevich モデルのパラメータである，γr と hmax を試験結果として出力することがあ
る。これらのパラメータは最小自乗法を用いて求める。この場合，式(5.13)のままでは最小自乗
法の適用が困難である。そこで，式を変形して，次のようにする。
(5.17)
G
G γ
=1−
Gmax
Gmax γ r
このようにすれば，G/Gmax とγG/Gmax の関係は線形であるので，その係数として1/γr を求めること
ができる。また，式(5.14)は線形の関係であるので，この係数として hmax を求めることができる。
5.3.2
港湾の施設の技術上の基準に基づく方法22)
G-γ関係を，せん断ひずみ振幅γと塑性指数 Ip の関数として，次のように表している。
(5.18)
G
n( I
= A ( I p , γ )σ m′
Gmax
p ,γ
)
ここで， A ( I p , γ ) および指数部 n( I p , γ ) の値は表5.2で与えられている。
一方，減衰特性は表5.3の様に与えられている。この指針では，減衰特性については，影響が
明瞭でないとして，拘束圧の影響は考慮されていない。
表5.2
せん断ひずみ
振幅
γ
A ( I p , γ ) および n( I p , γ ) の値
Ip
9.4～30未満
塑性指数
NP～9.4未満
A ( I p ,γ )
n( I p , γ )
A ( I p ,γ )
n( I p , γ )
1.
0.93
0.83
0.75
0.56
0.43
0.30
0.15
-
0.
0.01
0.03
0.05
0.10
0.16
0.22
0.30
-
1.
0.96
0.91
0.84
0.74
0.59
0.45
0.26
0.12
-
0.
0.
0.01
0.02
0.05
0.09
0.16
0.22
0.26
-
-6
10
10-5
5×10-5
10-4
2.5×10-4
5×10-4
10-3
2.5×10-3
5×10-3
10-2
30以上
A ( I p , γ ) n( I p , γ )
1.
0.97
0.93
0.89
0.82
0.70
0.58
0.40
0.25
0.18
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
表5.3 減衰比の値
せん断ひずみ
振幅 γ
10-6
10-5
5×10-5
10-4
2.5×10-4
5×10-4
10-3
2.5×10-3
5×10-3
10-2
塑性指数 Ip<30
平均
最大
最小
0.026
0.040
0.015
0.030
0.040
0.018
0.033
0.042
0.020
0.037
0.048
0.026
0.055
0.068
0.040
0.080
0.098
0.060
0.120
0.145
0.092
0.174
0.200
0.148
0.200
0.222
0.178
0.220
0.240
0.200
19
塑性指数 Ip≥30
平均
最大
最小
0.025
0.050
0.010
0.030
0.054
0.010
0.034
0.062
0.014
0.038
0.070
0.018
0.050
0.088
0.030
0.066
0.108
0.042
0.086
0.133
0.056
0.118
0.174
0.080
0.144
0.208
0.100
0.175
0.125
安田らの方法23)
5.3.3
安田らは不撹乱試料に関する動的変形試験を基に，次の式を提案している。
G
= ( A1 + A2 log D50 )σ m′ ( B1 + B2 log D50 )
G max
(5.19)
h = (C1 + C 2 log D50 )σ m′ ( D1 + D2 log D50 )
(0.2 ≤ σ m′ ≤ 3kg/cm 2 , 0.02 ≤ D50 ≤ 1mm)
指数部を決めるための係数は，表5.4に示されている。
表5.4 指数部を決めるための係数
γ
-4
10
3×10-4
10-3
3×10-3
10-2
3×10-2
5.3.4
A1
0.827
0.670
0.387
0.189
0.061
0.041
A2
-0.044
-0.068
-0.099
-0.089
-0.054
-0.019
B1
0.056
0.184
0.277
0.315
0.365
0.403
γ
B2
0.026
0.086
0.130
0.147
0.167
0.183
C1
C2
D1
D2
10
0.035
0.005
-0.559
-0.258
-3
10
0.136
0.036
-0.375
-0.173
-2
10
0.234
0.037
0.0
0.
ただし，B1=B2=D1=D2=0（D50≤0.07mm）
-4
拘束圧依存性を考慮した表形式（吉田らの方法24)）
2.4.2項で示した実験値に基づくデータを入力する方法は，正確ではあるが，実験を行った一点
のみの結果である。実際の地盤では，たとえば材料が同じでも，深さが異なれば拘束圧も異なる
ので，非線形特性も異なる。これを考慮するために，与えられた拘束圧下の実験値から，拘束圧
を考慮して非線形性を修正する必要がある。吉田らは，ひずみ依存性の双曲線モデルとの近似性
に基づき，拘束圧の異なる材料非線形の修正方法を示している。これを少し拡張すると，式
(5.20)が得られる。
(5.20)
⎛ G ⎞ B + γ Aσ vo′m − n
G
=⎜
,
⎟
Gmax ⎝ Gmax ⎠0 B + γ Aσ v′m − n
1−
h = h0
G
Gmax
⎛ G ⎞
1− ⎜
⎟
⎝ Gmax ⎠0
ここで，A，B，m，n は定数であり，せん断弾性定数および内部摩擦角を決めたときに決まる。
すなわち，これらは式(5.21)で表されている。
(5.21)
Gmax = Aσ v′ m
τ max = Bσ v′ n
なお，吉田らの原論文では式は有効拘束圧依存として表されているが，一次元の問題に適用す
ることから，ここでは有効上載圧に変更している。
5.3.5
土木研究所の式25)
建設省土木研究所で行われた動的変形試験で，沖積粘性土26)，洪積粘性土27)，砂質土28)に関し，
次のようにまとめられている。
①沖積粘性土
(5.22)
G
= ⎡ A ⋅ σ m′B ⎤⎦
γ =γ i
G0 ⎣
( 10 −6 ≤ γ ≤ 5 × 10 −4 )
20
(5.23)
G
= ⎡⎣ A ⋅ σ m′B ⎤⎦
⋅ [ K ]γ =γ i
γ = 5×10−4
G0
( 5 × 10 −4 ≤ γ ≤ 2 × 10 −2 )
ここで， σ m′ は平均有効主応力（kgf/cm2），A，B，K は表5.525)に示される。また，これを図示す
ると，図5.5の様になる。
一方，減衰比については，拘束圧依存にデータが整理できなかったとして，図5.5に示す一つ
の曲線を与えており，これを表にすると，表5.524)の右側となる。
図5.5 沖積粘土に対するひずみ依存性
表5.5 動的変形特性を決めるための係数
γ
A
2×10
0.991
-6
5×10
0.965
-5
10
0.938
-5
2×10
0.908
-5
5×10
0.863
-4
10
0.820
-4
2×10
0.780
5×10-4
0.705
括弧は推定値
-6
B
0.00258
0.0160
0.0275
0.0443
0.0727
0.101
0.129
0.185
γ
-4
5×10
10-3
2×10-3
5×10-3
10-2
2×10-2
5×10-2
10-1
K
1.000
0.831
0.655
0.431
0.282
0.170
(0.06)
(0.03)
γ
-6
10
2×10-6
5×10-6
10-5
2×10-5
5×10-5
10-4
2×10-4
図5.6 洪積粘性土の動的変形特性
21
h
(0.02)
(0.023)
(0.028)
(0.032)
(0.036)
0.044
0.051
0.057
γ
-4
5×10
10-3
2×10-3
5×10-3
10-2
2×10-2
5×10-2
10-1
h
0.073
0.092
0.110
0.140
0.161
0.176
0.192
0.200
②洪積粘性土
横田・龍岡27)の報告（N 値15～30，Vs≈300m/s）（図5.6）を読みとると25)，表5.6の様になる。
表5.6 洪積粘性土の動的変形特性
γ
10
2×10-6
5×10-6
10-5
2×10-5
3×10-5
5×10-5
10-4
2×10-4
3×10-4
γ
h (%)
0.7
0.9
1.3
1.6
1.9
2.3
2.8
3.7
5.0
6.3
G/G0
1.000
0.990
0.970
0.950
0.928
0.908
0.880
0.834
0.769
0.715
-6
-4
5×10
7×10-4
10-3
1.5×10-3
2×10-3
3×10-3
5×10-3
7×10-3
10-2
G/G0
0.627
0.563
0.491
0.415
0.362
0.288
0.200
0.145
0.085
h (%)
8.4
9.9
11.9
14.2
15.8
18.3
21.7
23.3
26.4
③沖積砂質土
次の式が提案されている。
G
(5.24)
Gγ =10
−6
⎛ G
=⎜
⎜ Gγ =10
⎝
−6
⎞
⎟
p m (γ ) − m (γ =10
⎟
⎠ p =1kgf / cm
−6
)
2
h = hmax (1 − G / G0 )
(5.25)
ここで，p は平均有効主応力である。最大減衰比 hmax は0.3が使われているが，より一般性を持た
せるために，本プログラムでは hmax を指定するようになっている。計算に必要な二つの基本量は，
表5.7にまとめられている。
④洪積砂質土・礫質土
文献25)では洪積砂質土については，国生・佐々木の報告29)を引用しつつも，その結果が豊浦
砂に類似しているとの理由から，沖積砂質土の関係を適用しても良いとしている。また，礫質土
については，適当な実験データが無いので，文献25)の発行時点（1982年）では，洪積砂質土の
データを用いることを勧めている。したがって，砂質土については，全てについて前項の関係を
用いる。
表5.7 沖積砂質土の動的変形特性
γ
-6
10
2×10-6
5×10-6
10-5
2×10-5
3×10-5
5×10-5
10-4
G/G0
1.000
0.989
0.978
0.959
0.928
0.905
0.867
0.789
G/G0
m(γ ) − m(γ = 10− 6 )
m(γ ) − m(γ = 10− 6 )
γ
-4
0.000
0.689
0.156
2×10
0.606
0.190
0.018
3×10-4
0.500
0.260
0.028
5×10-4
0.040
10-3
0.356
0.350
0.228
0.422
0.058
2×10-3
0.170
0.448
0.064
3×10-3
0.108
0.476
0.080
5×10-3
0.116
10-2
0.058
0.480
G/G0は，平均有効主応力1kgf/cm2における値
22
図5.7 砂質土に対する動的変形特性
5.4
強度特性
土がせん断応力を受けるときの強度は，Mohr-Coulomb の破壊基準で表されることが多い。こ
の基準は次のように書ける。
図5.8の様な盛土の塗りつぶした部分が滑るような破壊が起こったとする。このとき，滑り面
に作用する直応力 s とせん断応力 t の関係を色々な応力状態について求めると，次のような直線
関係がある。
(5.26)
τ = c + σ tan φ
この関係は，Mohr-Coulomb の破壊基準と呼ばれる。ここで，c は粘着力，φは内部摩擦角と呼ば
れ，これらを総称して強度定数という。
図5.8 破壊条件のイメージ
Mohr-Coulomb の破壊基準は，砂では三軸圧縮試験，粘土では一軸圧縮試験で求められること
が多い。三軸圧縮試験は，排水条件，非排水条件，または圧密非排水条件（試料を圧密するとき
だけ排水）で行われ，それぞれ d，cu，および u の添字をつけて試験条件を表す。一軸圧縮試験
は側圧0で行われる非排水圧縮試験である。異なる応力下で破壊条件を求め，モールの円を書く
と，図5.9に示されるように，共通の接線が引ける。これが，Mohr-Coulomb の破壊基準である。
23
図5.9 Mohr-Coulomb の破壊基準
地震応答解析に用いる土の強度は，排水条件と密接に関係している。粘土では透水係数が非常
に小さいので，地震の継続時間の間では間隙水圧の移動は完全に無視できるので，非排水条件の
試験を用いる。一軸圧縮試験の結果得られたせん断強度 qu から，強度定数は次のように決めら
れる。
(5.27)
c=
qu
, φ =0
2
すなわち，粘土は内部摩擦角が0の材料として扱われる。非排水条件を前提としているので，式
(5.26)は全応力について成立する式である。有効応力で表した粘土の強度定数では，内部摩擦角
もあるが，地震応答解析では，その値は意味がない。
一方，砂では，非排水条件を仮定するのであれば，圧密非排水せん断（cu）試験の結果を，水
と土を別々に扱う有効応力解析を行うのであれば，排水せん断（d）試験の結果を用いるのがよ
い。前者は全応力，後者は有効応力に対して成立する式である。
図5.10 砂の N 値と内部摩擦角の関係
地盤の地震応答解析の実務では，液状化の問題を除けば，地盤が破壊するような現象まで地震
応答解析に期待して解析を行うと言うことはなかったようで，そのため，強度定数に関してはそ
れほど関心を持たれてこなかったように考えられる。土の動的性質を扱った図書など（例えば文
献30)）でもほとんど記述はないことが多い。しかし，兵庫県南部地震のような非常に大きな地
震をダーゲットとした場合には，先にも示したように，動的変形試験の最大ひずみを越えるひず
みが発生することも珍しくなく，強度に対する知見も要求されるようになる。
実験で強度定数を求められない場合には，実験式を用いることになる。最もよく用いられる方
法は，N 値から推定する方法であるが，沓沢・森田が示しているように問題も多い。彼らは，最
24
近の内部摩擦角に関する三軸試験の事例などから，砂の内部摩擦角は N 値と明瞭な相関関係がな
く，35～45°の間にあること，多用されている実験式の間で，非常にばらつきが大きいことを示
している（図5.10参照）。
図5.10には，これまで多く用いられてきた大崎の式
(5.28)
φ = 15 + 20 N
も示されているが，実験値との対応は良くない。図から明らかなように，この関係を一意的な実
験式で示すことは困難である。これらを承知の上で，よく使われる実験式を挙げると次のような
ものがある。
(5.29)
φ = 15 + 15N （道路橋示方書）
(5.30)
⎧25 + 12 N
⎪⎪
φ = ⎨20 + 12 N
⎪
⎪⎩15 + 12 N
(5.31)
角張った粒子・粒度が良い
丸い粒子・粒度が良い，角張った粒度が悪い （Dunham31)）
丸い粒子・粒度が悪い
φ = 27 + 0.3N （Peck32)）
これらの現状を考えると，軟弱な土層がある場合で，大地震に対する解析を行う場合には，不
攪乱試料を採取し，強度定数を求めるための試験をすることが勧められる。なお，液状化試験を
する場合には，出力として応力経路図を要求すれば，図から読みとることが可能である。これに
ついては，次項で示す。
これまでは，静的載荷に伴う強度定数を示した。これを静的強度といい，これに対し，動的強
度という用語が使われることがある。高速載荷を受けた試料の強度などがこれに相当するが，地
震応答解析の範囲ではそれほど影響がないと考えられるので，ここでは扱わない。また，動的と
いう用語を繰り返し載荷と捉え，次に述べる液状化特性を動的強度と呼ぶことも多く行われる。
5.5
5.5.1
液状化特性（液状化強度）
液状化のメカニズム
前項で述べたのは，応力状態が Mohr-Coulomb の破壊基準を満たすと，それ以上せん断応力が
大きくなることが出来ず，したがって，ひずみが（無限に）大きくなると言う現象である。この
ような状態に至らなくても，ひずみが非常に大きくなったり，せん断強度が作用せん断力と同程
度のオーダーになる現象がある。これが液状化現象である。
液状化現象は，ダイレイタンシーが密接に関係している。このことをわかりやすくするため，
液状化のメカニズムを直観的に示したのが図5.11である。図5.11(a)は砂が骨格構造を形成してい
ることを強調して描いた模式図である。この状態からせん断変形を受けると（負の）ダイレイタ
ンシーにより図5.11(b)の様に，体積が減少する。しかし，間隙が水で飽和されているときには，
体積が減少するためには，間隙中の水が間隙の外に排出される必要がある。簡単のために，この
排水が出来ないようになっている（非排水条件）とする。すると，間隙水は土骨格が体積を減ら
そうとしていることにより圧縮力を受け，水圧が上がる。このような水圧は初期の静的な状態か
らの変化分で，過剰間隙水圧と呼ばれる。水圧が上がると，反作用として，土の粒子間に作用す
る力，すなわち有効拘束圧が減少する。繰返しせん断変形を受けていると，どんどん有効拘束圧
が減少し，最終的には，有効拘束圧は 0 になる。すると，粒子間に作用する力はなくなり，図
5.11(c)に示したように，粒子が水の中に浮いてしまった状態となる。このような状態となれば，
土は全体としては水の様に挙動する。これが液状化である。
25
図5.11 液状化のメカニズム模式図
この説明から分かるように，液状化は，体積の減少が起こりやすい土（緩く堆積している土）
で，地下水がある時に起こることが分かる。上の例では，排水が完全に拘束されているとしたが，
実際には少しずつ排水が行われる。したがって，最終的には，過剰間隙水圧は全て消散し，図
5.11(d)のように地表に水が浮き上がり，地盤は沈下する。
排水がどの程度起こりやすいかが液状化が起こりやすいかを決める一つの要素となる。一般に
礫のように透水係数の大きい材料では，排水は速やかに起こるので，液状化は起こらず，砂程度
の透水係数が一番液状化が起こりやすい。しかし，礫でも，上下を粘土層で囲まれているときの
ように排水が制限されれば液状化する。このような例は，発掘調査からよく発見されている33)。
また，細粒分が多くても，透水係数が小さくなるので，液状化が発生する。たとえば，1995年兵
庫県南部地震では埋立に用いられたまさ土が大々的に液状化した。まさ土は礫分の多い土で，そ
れまでは液状化しにくいと思われていたが，地震力が大きかったこともあって液状化したもので
ある。
5.5.2
液状化強度試験における試料の挙動
液状化が起これば，地盤はやはり破壊状態にあると言える。この破壊と，前章で示した MohrCoulomb の破壊基準とは実質的には同じ様なものである。つまり，有効応力が0になると（砂で
は粘着力は0），せん断強度も0になるわけである。違いは，Mohr-Coulomb の破壊基準では応力
状態がこの基準を満たしたときという応力を述べているのに対し，これから述べる液状化強度と
は，どの程度の載荷を行えば，このような破壊状態に至るかを定義するものであることである。
液状化強度を求める試験も，動的変形特性試験と全く同じである。ただし，動的変形特性試験
ではステージテストを行ったので，一つの試料で全ての実験を行ったのに対し，液状化強度試験
では，試料が破壊するまで試験を行うため，一つの試料から一点の情報しか得られない。
図5.12は液状化強度試験の際の試料の挙動を表している。図5.12(a)は応力，ひずみおよび過剰
間隙水圧の時刻歴である。応力振幅一定の載荷を行うと，最初は過剰間隙水圧が徐々に増加する。
ひずみ振幅は当初非常に小さいが，過剰間隙水圧が初期有効拘束圧（98kPa）の半分を越えるあ
たりから急に大きくなり始める。
液状化は，先に示したメカニズムによれば，過剰間隙水圧が初期有効拘束圧と同じになり，有
効拘束圧が0になる事により生じる。実務上は，初期有効拘束圧の100%ではなく，95%の発生量
を液状化としている34)。
このほかに，ひずみによる定義もある。つまり，細粒分が多い砂では，過剰間隙水圧は初期有
効拘束圧に至るほどは大きくなりにくいが，ひずみがどんどん大きくなる。ひずみが大きくなる
ことは，破壊現象と類似であるので，ひずみがある値になった時を液状化とするものである。判
定として，三軸試験機を用いた場合には，軸ひずみの両振幅が2%，5%，10%などに至った時を
用いる。ここで，両振幅とは聞き慣れない用語であるが，図5.12に示すように，ひずみの除荷点
から除荷点までのひずみ量の事である。図5.12は中空ねじり試験機による挙動を示しているが，
三軸試験機では，伸張側と圧縮側で挙動が異なるので，ひずみが一方向に蓄積していくことが
26
多々あり，このドリフト分を考慮しないようにするために，両振幅という定義が使われるわけで
ある。筆者の経験では，過剰間隙水圧による判定と，軸ひずみ5%の液状化強度はかなり似てい
ることが多い。なお，図5.12に示したように，せん断ひずみは軸ひずみの1.5倍なので，軸ひずみ
5%はせん断ひずみ7.5%に相当する。
なお，土は非排水条件下で繰返し応力を作用させると，劣化するので，たとえ粘土でもひずみ
が次第に大きくなる。つまり，ひずみによる液状化判定規範を用いると，粘土でもこの条件を満
たすことになる。これを持って，粘土でも液状化するという意見もあるが，筆者はこれは間違い
であると考える。液状化は，原則として過剰間隙水圧が大きくなることによって生じるので，ひ
ずみによる判定は，実被害ともにらみ合わせた，簡便法と考えるべきで，有効拘束圧が0に近く
なり，液体状になるということを前提としないひずみによる定義は真の液状化の定義ではない。
次に，この試験の応力－ひずみ関係および応力経路を示すと，図5.12(b)(c)の様になる。応力－
ひずみ関係は当初は紡錘形であるが（図ではひずみが小さいのでよく判断できないかもしれな
い），繰り返される度にひずみが大きくなり，同時に形状も変化する。液状化の基準を満たす程
度になると，応力－ひずみ関係の形状は逆 S 字型となる。つまり，除荷すると，急激にせん断応
力が低下し，せん断応力はほとんど0になるが，過去に受けた最大ひずみに近くなるところから
せん断応力が急激に大きくなる。
このような応力－ひずみ関係の変化は，図5.12(c)の応力経路図を見ると理解することが出来る。
載荷の最初の段階では，せん断応力の変化に伴い，有効拘束圧は単調に減少していく。この付近
では応力－ひずみ関係は紡錘形を保ちながら次第に劣化していく。有効拘束圧がある程度減少し
てくると，せん断応力が増えるときには応力経路が破壊線に近づいていくと有効拘束圧が大きく
なる現象が見られるようになる。せん断強度は有効拘束圧に比例しているので，やはり急激に大
きくなり，応力－ひずみ関係における急激な硬化現象が生じる。一方，除荷すると応力経路は有
効拘束圧が急激に小さくなるように移動し，せん断強度も急激に小さくなり，応力－ひずみ関係
のスリップ領域が生じるわけである。繰り返す度に有効拘束圧の最小値は小さくなり，対応して
ひずみ振幅が増えていくわけである。
27
図5.12 豊浦砂の中空ねじり試験機による液状化試験の例
応力経路で，有効拘束圧が増えるようになると言うことは，これまで負のダイレイタンシーを
していた試料が正のダイレイタンシーを始め，土骨格の体積が増加しようとしていることを意味
している。このようなダイレイタンシーの特性が変わる状況を変相するという35)。応力経路の変
相点を結ぶと図に示すように直線になるが，これを変相線といい，その横軸との角度を変相角と
いう。
変相は，密な材料ほど起こり易く，非常に緩い砂では変相状態には至らず，有効拘束圧が単調
に減少し，0に至ることもある。応力経路が変相線を越えると，材料は硬化したように挙動する。
このような挙動をサイクリックモビリティという。
図5.12は中空ねじり試験の結果であるが，実務では三軸試験が最も普通に使われる。中空ねじ
り試験と比べると，せん断ひずみが一方向に偏ってくること（これが，液状化の判定に両ひずみ
振幅を用いる理由である），応力経路でせん断応力の正負で挙動が異なることが分かる。これは，
三軸試験では，正負のせん断応力を与えるために，引っ張りと圧縮の軸応力を作用させる必要が
あるからである。つまり，一方は圧縮側，一方は引っ張り側（といっても初期の応力から見ての
話であり，応力値そのものは圧縮である。伸長側とも呼ばれる）の挙動であり，拘束圧の違いが
挙動の違いに反映されていると言える。
これら，変相やサイクリックモビリティ，この間のひずみの増加量などは，液状化以後の地盤
の挙動を解析するのに非常に重要なパラメータである。
5.5.3
液状化強度曲線
図5.12に示したような試験を，応力振幅を変えて次々繰り返していくと，図5.13に模式図を示
すように，せん断応力振幅と液状化に至ったときの繰返し数の関係が描ける。液状化強度は，初
期の拘束圧の大きさや初期応力の異方性の程度によって異なる。しかし，図5.14に示すように36)，
初期応力の異方性については，せん断応力振幅を初期拘束圧で無次元化すれば応力状態によらず
一つの線で表せるとされている。初期拘束圧の影響についても同じ事が言え，液状化強度は図
5.14(b)に示すように，縦軸をせん断応力振幅の初期有効拘束圧に対する比として表すのが普通で
ある。
液状化強度は，これまでに示したように，せん断応力振幅と繰返し数の関係で表される。しか
し，たとえば簡易液状化判定法のように，設計に使うには小数の指標で表した方が都合がよい。
そこで，代表的な繰返し数に対するせん断応力振幅比を液状化強度と呼ぶこともある。たとえば
道路橋示方書では20回の繰返しに対するせん断応力比を，基礎構造設計指針では15回の繰返しに
対するせん断応力比を液状化強度として用いている。
液状化の定義は先に述べたように，過剰間隙水圧によるものと，せん断ひずみによるものがあ
る。しかし実務では両者を明確に区別しては使っていないようである。また，設計指針などでも
28
一部の例外を除けば明確には区別されていない。特に定義に関する記述がないときには過剰間隙
水圧による定義と考えて良いし，先に述べたようにこれは，軸ひずみ5%の定義とよく似ている。
図5.13 液状化強度曲線の求め方模式図
図5.14 静止土圧係数の影響
液状化強度は，動的解析を行う場合には，原位置から採取した不攪乱試料に基づいて実験を行
い決定するのが筋である。しかし，このような試験は費用がかさむことなどの理由で，実験が行
われないときも多い。このような場合には，何らかの形で液状化強度を求める必要がある。また，
実用的な問題として不撹乱試料の採取が困難なことも挙げられる。たとえば，図5.15はほぼ完全
な不撹乱採取法である凍結サンプリングによる液状化強度と良く不撹乱試料の採取に用いられる
チューブサンプラーとの液状化強度を比較しているが，チューブサンプラーの結果は，各欄の影
響を大きく受けていることがわかる。
29
プーリー法に基づく換算 N 値 (N1)65
10
20
30
40
50
60
凍結サン
プリング
試料
1.0
0
液状化強度比 σd / (2σ'0)
0.8
0.6
0.4
グ試
リン
プ
サン
ーブ
ュ
チ 水圧ピストン
0.2
料
ロータリー式二重管
0
0
10
20
30
40
50
トンビ法に基づく換算 N 値 (N1)78
図5.15 各種不撹乱試料の液状化強度の差37)
液状化強度に関する提案式は数多く提案されている。また，地盤の地震時挙動を扱っている設
計指針では，必ずといっても良いほど，液状化の発生に対する判定法が示されており，そこで液
状化強度が示されている。図5.17は代表的な設計指針による液状化強度をまとめたものであるが，
指針により差がある。これは，もとになった実験データ（したがって材料も）が違うこと，液状
化の判定方法や繰返し数も異なること，設計に対する考え方が異なることなどに起因していると
考えられるが，地震応答解析ではこれらの点を考慮し，（ここに示していない式も含め）適切な
ものを使用するように心がけなければならない。
液状化強度に対する提案式では，通常特定の繰返し数に対する液状化強度しか求められない。
液状化解析に用いるには，これだけでは不十分で，液状化強度曲線のかなり広い範囲（問題にも
よるが，2～30程度の繰返し数）の液状化強度が必要である。液状化強度曲線の全体的な形状を
与えるような研究はそれほど多くない。実用的には次の二つの方法が使えよう。
表 5.8 マグニチュードによる繰返し回数の補正
図5.16
マグニチュード
等価繰返し数
8.5
7.5
6.75
6
5.25
26
15
10
5～6
2～3
Seed らの提案に基づく液状化強度曲線の作成
30
液状化強度
補正係数
0.89
1.0
1.13
1.32
1.5
Seed ら38は，地震のマグニチュードに応じた等価繰返し数と液状化強度の補正係数に関し，次
の表を挙げている。このうち，等価繰返し数と液状化強度補正係数との関係を示したのが図5.16
であるが，これをもとに，一点で分かっている液状化強度を掛ければ，液状化強度曲線を得るこ
とが出来る。
図5.17 各種指針による液状化強度の比較
村松ら39)は，両対数軸で液状化強度を書くと直線に近似できることを示し，次のように液状化
強度曲線を与えた。
⎛N
Rl ( DA, N c ) = [aRl ( DA = 5%, N co ) + c]⎜⎜ c
⎝ N co
⎞
⎟
⎟
⎠
b
ここで，a，b，c は定数で， Rl ( DA = 5%, N co ) ある。ここで，重要なのは b の値で，これさえ
あれば，一点の計測値からでも液状化強度曲線を引くことが出来る。
動的変形特性のところでも示したように，試料は原位置から採取するときや運搬時に乱れの影
響を受けやすい。
原位置の液状化強度を原位置で評価することはほとんど不可能であるので，通常は，原位置か
ら試料を取り出し，室内試験で求める。試料の取り出しは，通常はチューブサンプラーを用いて
行い，不撹乱試料と言われるが，厳密な不撹乱試料ではなく，凍結サンプリング試料と比べると，
特に N 値が大きいところでは液状化強度が過小評価される。設計的にはこれは安全側の評価とし
て受け入れられるが，挙動の正確な把握という観点からは問題もある。しかし，実用的に使える
代わりの方法があるわけではないので，液状化解析では材料特性の把握という観点からはある程
度の誤差が生じているのは仕方がないと考えられる。
凍結サンプリングの問題だけではなく，室内で調整して作った試料でも，現在の知識で得られ
る物理特性（たとえば間隙比）が同じでも液状化特性が異なることが知られている（たとえば
Ishihara の本）。したがって，室内調整試料の結果を実計算に用いることは大きな問題といえる。
液状化強度曲線は，初期有効拘束圧で無次元化すれば，初期の応力状態に関わらず一定である
と言われている36)。したがって，液状化強度を求める実験は，等方応力状態から載荷して行われ
る。しかし，実地盤は等方圧密状態ではない。また，一次元の液状化解析では，単純せん断状態
における液状化強度が要求される。有効上載圧を σ v′ とすれば
31
(5.32)
σ m′ =
1 + 2Ko
σ v′
3
の関係が成立するので，
(5.33)
τ d 1 + 2Ko τ d
=
3 σ m′
σ v′
となる。Ko=0.5とすれば，右辺の係数は2/3となる。したがって，実験で得られた液状化強度曲
線を2/3下方に移動させれば単純せん断状態の液状化強度が得られる。
32
6
応力－ひずみ関係のモデル化
動的変形特性試験で得られるのは，ひずみと対応する剛性，減衰の対応表である。しかし，多
くの解析コードでは応力－ひずみ関係を数式で表しているため，動的変形特性からこれらモデル
のパラメータの値を決める必要がある。
6.1
弾性定数と拘束圧依存性
有効応力の原理として知られているように，土の弾性定数と強度は有効応力によって変化する。
このうち，強度に関しては例えばモール・クーロンの破壊条件などを用いていれば自動的に変化
する。しかし，弾性定数は意識して設定する必要がある。まず，基本的な考えを示す。
せん断弾性定数 Gmax と体積弾性定数 K はそれぞれ次のように表される。
(6.1)
Gmax = G0σ c′m ,
K = K 0σ c′n
ここで，指数 m は多くの構成則で0.4～0.5の値をとり，最近では無条件で0.5として設定されるこ
とも多い。ところで，図6.1は動的変形特性試験で得られたせん断定数の拘束圧依存性をまとめ
たものである40)。動的変形試験であるので，厳密には弾性定数というわけではないが，べきが0.5
となるのはせん断ひずみにして10-4程度のところである。昔の三軸試験では余り小さいひずみを
精度よく計測できず，この程度のひずみが実用的に求まる最小のひずみであったことから，これ
が用いられるようになったと考えられるが，このようなデータを見ると0.4の方が正しそうに見
える。なお，拘束圧依存性については，これ以降も論文も発表されているし，データの公表も行
われているが，0.4～0.8程度の値となっている。
1.00
べき指数 m
0.75
オタワ砂 No.30,50
Drnevich (1966)
e=0.55
乾燥オタワ砂
No.20, 30(densa) オタワ砂 No.20, 30
Drnevich (1967)
e=0.46
砕いた石英砂
No.20, 30(densa)
Hardin-Richart
0.50
豊浦砂
0.25 Iwasaki-Tatsuoka
(1976)
0 -6
10
豊浦砂
e=0.64
Kokusho
e=0.83
e=0.71
シリカ砂 No.20
Silver-Seed (1971)
オタワ砂 No.20, 30
Drnevich (1967)
e=0.62
10-5
10-4
10-3
10-2
せん断ひずみ γ
図6.1 せん断定数のべきの拘束圧依存性（文献40を修正）
次に，指数 n については0.5を用いる構成則と1.0を用いる構成則がある。前者はポアソン比を
一定としてせん断弾性定数と同じべきを用いるという考え方である。一方，1.0を用いるのは圧
密解析でよく用いられる間隙比 e と有効拘束圧の対数の関係を直線におくものである。当然，ポ
アソン比の値は拘束圧によって変化する。図6.2は m=0.5，n=1.0とおいたときのポアソン比の拘
束圧依存性を，有効拘束圧100kPa で0.3となるように設定して計算したものである。このような
設定では拘束圧の減少とともにポアソン比が減少するようになる。一方，図6.3には既往の実験
から求めたポアソン比の拘束圧依存性が示されている。ポアソン比は拘束圧の減少とともに増加
する傾向にあり，モデル化に問題があることを示している。特に，液状化の変形と対応した小さ
い拘束圧のところでポアソン比が負の値となってしまっている。
33
Poisson's ratio
このように見れば，体積弾性係数のべ
0.3
きの選択は非常に大事そうに見える。と
0.2
ころで，図6.4は通常よく用いられそうな
拘束圧10kPa～100kPa に着目し，まず，ポ
0.1
アソン比を0.3と一定にしたとの仮定でせ
0.0
ん断弾性定数から体積弾性係数を求め，
-0.1
間隙比 e と有効拘束圧 σ m′ の関係を書き
（図の点線），次にこの関係の 10kPa と
-0.2
0.5
G=10000* σ'c
100kPa を通る直線，すなわち，n=1.0の関
-0.3
K=21667* σ'c
係を書いたものである。着目した拘束圧
-0.4
の範囲では両者はほぼ一致しており，た
1
10
100
ぶん実験の誤差の範囲ととらえることも
Effective mean stress (kPa)
できるオーダーである。従って，この結
果に基づけばべきの値はそれほど結果に 図6.2 m=0.5，n=1.0に対するポアソン比の拘束圧依存性
影響しないと考えることもできる。
0.5
Nakagawa
モンテレ粗
砂
モンテレ
中砂
珪砂（細砂
）
0.3
0.2
0.1
緩い砂
ν=0.26±0.06
e=0.80
e=0.69
e=0.64
0.645
Kokusho
密な砂
ν=0.15±0.08
0.630
100
1000
有効拘束圧 σ'm (kPa)
K∝σ'm
K∝σ'm0.5
ν=0.3
初期状態
σ'm=100 kPa
e=0.637
0.640
0.635
Lade
0.0
10
0.650
間隙比 e
ポアソン比 ν
0.4
ν=0.16～0.37
(10～100kPa)
10
100
有効拘束圧 σ'm(kPa)
図6.4 べきの違いによる圧密挙動の違
い
図6.3 ポアソン比の拘束圧依存性
地盤材料の力学特性は拘束圧に依存する。このことは，たとえ同じ土層といえども，下方ほど
拘束圧が高いので，材料特性は異なっていることを意味している。従来，多くの解析ではこの効
果は無視され，同じ土層では同じ材料特性が使われてきた。しかし，いくつかのケーススタディ
の結果によれば，この効果は無視できないケースも多々あることが分かっている。したがって，
弾性定数，非線形特性のそれぞれについて，拘束圧依存性は考慮すべきである。
地震前の材料特性の拘束圧依存性を考慮すると，各地盤はそれぞれ異なる材料特性を示すこと
となる。
PS 検層などでは，先にも述べたように，同じ土層については同じ波動速度を与えることが普
通である。このような場合には，層の平均値が同じになるようにして，前述の拘束圧依存性を考
慮して，解析の各層の値を決める。
なお，拘束圧依存性は，弾性定数のみならず，非線形特性においても重要である。
次に，除荷が起こった後の挙動を考える。除荷時の剛性に弾性剛性を用いる構成則は多い。し
かし，たとえは動的変形特性試験の結果を見ると，剛性は初期剛性より小さく見える。この点に
34
着目したモデルも提案されている41)。このモデルでは Hardin と Drnevich の提案した減衰と剛性
に対する式(6.3b)における Gmax を除荷時の剛性と読みかえ，動的変形特性試験で得られる減衰か
ら除荷時剛性を求めるのみならず，骨格曲線，履歴曲線とも除荷時剛性をパラメータとして表現
している。その手法は吉田らのモデルと同じ様な方法であるが，新しい式を介したため吉田らの
モデルのように動的変形特性の完全な一致を得ることが出来ていない。また，除荷時剛性の実験
との対比もはかられていない。
その後，吉田らは実験から除荷剛性を求めた42)。これによれば，除荷時の剛性 G0は最小値 Gmin
を持つ双曲線関数で次式のようにモデル化される。
(6.2)
G0
1 − Gmin / Gmax Gmin
=
+
Gmax
1+ γ /γ r
Gmax
この式は文献41)で仮定した式とは異なった傾向を示す。なお，吉田らのモデルで自然に考慮さ
れる除荷時の剛性で除荷時の剛性がほぼ表現されていることもあわせて示されている。
6.2
非線形特性のモデル化
非線形特性は，最も重要な事項の一つである。SHAKE のように表形式で入力する場合には，
モデル化で特に悩むことはないが，非線形解析を行おうとすれば，解析コードで用いている構成
則のパラメータを決める必要がある。
パラメータの決め方に，これは絶対という方法はなく，状況に応じて使い分ける必要がある。
ここでは，よく用いられる応力－ひずみ関係のモデルである，双曲線モデルと Ramberg-Osgood
モデルについて，パラメータの決め方を検討する。
6.2.1
履歴法則：Masing 則
土の挙動を処女載荷時の挙動と除荷が起こってからの挙動に分け，それらが表す応力－ひずみ
関係を骨格曲線，履歴曲線と呼ぶ。例として一つのせん断成分τとせん断ひずみγの関係を考える。
図6.5にはこの関係を模式的に示したものであるが，太線で書いた OAC が骨格曲線である。もち
ろん最初に負側の載荷を行えばこれと点対称な曲線 OE も骨格曲線となる。これに対して A で除
荷したとすれば，AB が履歴曲線であるし，B で再び除荷したとすれば BA も履歴曲線となる。
履歴曲線と骨格曲線を結びつける関係に Masing 則がある。この関係を用いると，履歴曲線は
骨格曲線を相似的に大きくすることで求めることができる。相似比はいくらでもよいが，2とす
るのが数値計算の都合上便利なので，地震応答の分野ではほとんど例外なく2が用いられる。そ
の場合，図6.5に示すように，ひずみγR1で除荷したとすると，対象位置–γR1で再び骨格曲線と交差
する（実は接する）。これ以降は骨格曲線上を状態点が動くことになる。ここで，履歴曲線が対
象点で再び骨格曲線に載るというのは，挙動を記述するのに便利な挙動であるので，除荷曲線の
相似比として2が用いられるわけである。
35
0
γR2
τR2
B
-τR1
E
γ
γR1
τ-τR1 = f(γ−γ R1 )
2
2
履歴曲線
τ-τR2 = f(γ−γ R2 )
2
2
1.2
0.6
Masing's rule
1.0
0.8
0.5
0.4
Skeleton curve
0.6
0.3
0.4
h max =0.3
0.2
0
-6
10
10
-5
-4
10
10
Strain, γ
-3
10
-2
0.2
0.1
Damping ratio, h
τR1
骨格曲線 τ = f(γ)
-γR1
C
A
Shear modulus ratio, G/Gmax
D
τ
0
10
-1
図6.6 減衰特性の違い
図6.5 骨格曲線と履歴曲線
また，除荷曲線の途中，例えば B 点で除荷すれば，BA の間は履歴曲線である。ここで，A 点
以降の挙動に関し，本来の Masing 則には含まれないが，実用上 Masing 則といったときにもう一
つの法則が付け加えられていることが多い。A 点で骨格曲線と交差し，そのまま曲線を延長する
と BAD となる。これは二つの意味で実情とは異なっている挙動である。一つは，処女載荷時の
せん断応力を超える応力が発生していることである。もう一つは，もし，AB の動きが無限小で
あったとすれば骨格曲線上の挙動は OAC と連続しているはずであるが，BA を連続させるとそこ
で挙動が不連続となる。
そこで，新しい履歴法則として，以前の除荷点と交差したときには，以前の曲線の延長上を通
るという法則を付け加える。すると B 点で除荷して以降も BAC という挙動をすることになる。
ところで，このような処置を使用とすれば，過去の除荷点（厳密にはひずみが小さくなったと
きだけ）をすべて記憶しておく必要がある。地震応答解析における著者の経験によれば，通常の
計算では最大で約30の除荷が発生する。これは，有限要素法の計算で要素数が多くなるとコンピ
ュータにとって負担である。また，一次元では上記の定義は明瞭であるが，多次元では定義しに
くい事もある。そこで，骨格曲線に対してはこの法則を使うが履歴曲線についてはこの法則は使
わないという構成則も多い。多次元の構成則はほとんどそれであるし，一次元でもそのような構
成則もある。なお，動的変形特性試験や液状化試験のシミュレーションを行っているだけであれ
ば，このような差異は余り問題にならないので，論文によっては書いていないものもある。
もう一つの問題は，Masing 則が実験によりサポートされているかという点であるが，この答
えは明瞭に No である。例えば，動的変形特性に関する初期の研究である Hardin と Drnevich43)は
実験式として次の式を提案している。
Gmax
1+ γ /γ r
(6.3a)
G=
(6.3b）
h = hmax (1 − G / Gmax ) =
or
τ=
Gmaxγ
1+ γ /γ r
hmax
1+ γ /γ r
ここで，γr は基準ひずみである。一方，式(6.3a)に Masing 則を適用すると次式が得られる。
(6.4)
h=
4 ⎛ γr
⎜1 +
π⎝ γ
⎞⎡ γr ⎛
γ
⎟ ⎢1 − ln ⎜1 +
⎠⎣ γ ⎝ γr
⎞⎤ 2
⎟⎥ −
⎠⎦ π
この式は式(6.3b)とは全く異なった式である。そこで，この違いを見るために hmax=0.3として比
較したのが図6.6である。おおむねひずみが10-3までは両者は一致しているがそれ以降は差が大き
い。ところで，兵庫県南部地震で大きな地震動が設定されるまでの多くの地震応答解析では最大
ひずみはおおむねこの範囲程度であった。従って，そのような計算では Masing 則は妥当であっ
たが，非常に大きな入力が必要な現在にあっては，問題がないとはいえないであろう。
36
一方では，Masing 則を用いると，例えば図6.5の A 点で除荷すると対称点 E で再び元の骨格曲
線に戻るという性質があり，取り扱いが非常に便利である。この Masing 則の便利な点を生かし，
かつ，減衰特性を自由にコントロールする方法が提案されている44)。この方法は，除荷したとき
対称点を通る，履歴により吸収されるエネルギーが指定された減衰比に対応しているという二つ
の条件を満たす，つまり二つ以上のパラメータを持つ関数で履歴曲線を表すものであり，減衰特
性に離散化された実験値を入力しても，完全にその条件を満たすことができる。最近，一次元の
構成則で使われ出してきている。
さて，一次元解析ではひずみの方向の逆転で除荷を定義したが，多次元の問題では応力の反転
で除荷を定義する。これは，除荷，載荷は降伏と除荷の概念と一致しているからである。一次元
解析でも液状化解析のように降伏強度が変化するケースではひずみによる判定が困難となるケー
スもある。
図6.7(a)は通常の Masing 則の適用を表している。ところで，同じひずみ履歴でも有効応力解析
で図6.7(b)において，A 点で除荷が起こり，B 点で再載荷したとする。B→C の区間で過剰間隙水
圧が発生したとすると，A→B の間の応力の変化量に比べ B→C の応力変化は小さいから，以前
の除荷点と同じひずみに至ったとき応力は以前の除荷点 A には至らず，それより小さい C 点で
ある。従って，従来の通り除荷前の履歴曲線（この場合は骨格曲線）に移行しようとすれば応力
が不連続に変化することになり，不都合である。
モール・クーロンの破壊条件を使い，応力比で除荷を定義するのであれば不都合さは解消する
ように見えるが，実はひずみが同じ値にあるとは限らない。そこで，応力－ひずみ関係を無次元
化し，式の中に有効拘束圧を陽に含まないようにする方法が一つの解決策として用いられる（例
えば，文献45）。ひずみにあくまでこだわるのなら次の方法もある46)。
以前の除荷点ひずみ C 点に至ったとき，その時点の有効応力状態を一定と保ったままこれまで
と同じひずみ履歴を受けたとする。すると，図6.7(c)の様に仮想の骨格曲線と履歴曲線が得られ，
C 点では応力の値は，この仮想の履歴曲線（この図では骨格曲線）と同じになる。従って，C 点
を超えて以降は仮想の履歴曲線の延長上を動くとすれば応力に不連続が起こる事なく履歴曲線を
描くことができる。
多次元になると，構成則によって色々違いはあるが，上記の考えは多くのケースで使われてい
る。
τ
τ
A
C
γ
B
(a)
6.2.2
τ
A
γ
γ
B
(b)
(c)
図6.7 有効応力解析における Masing 則の適用
双曲線モデル
双曲線モデルは，骨格曲線を次式で与え，履歴曲線をメージング則を用いて作るモデルである。
(6.5)
τ=
Gmaxγ
1 + Gmaxγ / τ max
式(6.5)より，G-γ関係は次のようになる。
37
(6.6)
G
1
1
=
=
Gmax 1 + Gmaxγ / τ max 1 + γ / γ r
このモデルの等価減衰定数は
(6.7)
h=
4 ⎛ γr
⎜1 +
π ⎜⎝
γ
⎞⎡ γ r ⎛
γ
⎟⎟ ⎢1 − ln⎜⎜1 +
γ
γ
⎠ ⎣⎢
r
⎝
⎞⎤ 2
⎟⎟⎥ −
⎠⎦⎥ π
と表され，最大値は2/πと非常に大きい。
図6.8(a)に双曲線モデルの骨格曲線を示す。このモデルの特徴は，せん断応力がτmax を越えない
ことである。モデルのパラメータは Gmax とτmax の二つであるが，Gmax は弾性定数なので，非線形
挙動を調整出来るのはτmax だけである。したがって，このモデルでは G-γ関係のみに着目してパ
ラメータを決めるのが普通である。その際，τmax にモール・クーロンの破壊条件から得られる値
を用いることも考えられるが，得策では無いことも多い。それは，このモデルの適用性が材料の
破壊に至るような大ひずみ域で確認されているわけではないからで，強度を問題にするような場
合でなければこの方法は用いない方がよい。
式(6.5)にγ=γr=τmax/Gmax を代入すると，τ=τmax/2となる。すなわち，γ=γr のとき，G/Gmax=0.5であ
る。ここで，γr は基準ひずみと呼ばれている。この性質を利用し，G-γ関係から G/Gmax=0.5の位置
のひずみ（基準ひずみ）を読み取り，τmax を決める。この決め方では初期剛性と基準ひずみ位置
で実験値とモデルが完全に一致するのでこの間ではかなり良い一致が期待できる。実験値と合わ
せるひずみは基準ひずみに限ることはない。対象とするひずみ域が広がればそれだけ実験値との
一致度は悪くなるので，解析で予想される最大ひずみまでを検討の対象とすればよりよいパラメ
ータの値を求めることが可能になる。
変形の大きいところの挙動を対象にするのであれば，場合によっては弾性定数 Gmax も単なる
パラメータと考えてもよいかも知れない。つまり，対象ひずみ域の両端の G の値が実験値と一致
するようにパラメータの値を決めればよい。2つのひずみをγ1，γ2，対応する割線剛性を G1，G2
とすれば，パラメータの値は次のようにして求められる。
(6.8)
Gmax =
(γ 2 − γ 1 )G1G2
,
G2γ 2 − G1γ 1
τ max =
(γ 2 − γ 1 )G1G2
G2 − G1
双曲線モデルでは Gmax，τmax は弾性定数，せん断強度という物理的な意味が明瞭なパラメータ
である。しかし，実務では使い方によっては単なるパラメータとして扱い，ターゲットとしてい
る挙動をなるべく再現するような考え方も重要であり，いわゆる工学的判断力が必要とされる部
分である。
図6.9に，豊浦標準砂による実験値のシミュレーション結果を示す。(a)を見ると，基準ひずみ
を基にして決めた方がよく実験結果と一致していそうな気もする。(b)は骨格曲線表示したもので
あるが，基準ひずみを基にして決めた方法では，実際にはかなりの差となっている。全体をなが
めてフィッティングで決めた方法の方が全体の一致度はよい。(c)は減衰比である。双曲線モデル
では最大減衰は2/πであり，ひずみが大きくなると急激に大きくなる。ここでターゲットとした
のは排水試験であるが，非排水実験ではもっと減衰が小さく，減衰の不一致度が大きくなる。
38
(b) Ramberg-Osgood モデル
(a) 双曲線モデル
図6.8 モデルの骨格曲線
(a) G/Gmax-γ関係
(b) τ-γ関係
(c) h-γ関係
図6.9 双曲線モデルのシミュレーション結果。
6.2.3
ランベルグ・オスグッド（Ramberg-Osgood）モデル
このモデルは，鋼材の応力－ひずみ関係を表すために開発されたもの47)を地盤材料に適用した
ものである。骨格曲線は
(6.9)
γ =
τ ⎡⎢
Gmax
⎛τ
1+ α⎜
⎜τ f
⎢
⎝
⎣
⎞
⎟
⎟
⎠
β −1
⎤
⎥
⎥
⎦
で表され，履歴曲線は Masing 則を用いて作成する。骨格曲線を G-γ関係で表すと次のようになる。
(6.10)
β −1
⎛ G γ ⎞ ⎤
G ⎡
⎟ ⎥
⎢1 + α ⎜⎜
1=
⎟
Gmax ⎢
⎝ Gmax γ r ⎠ ⎥⎦
⎣
ここで，γr=τf/Gmax はやはり基準ひずみと呼ばれる。
図6.8(b)はこのモデルの骨格曲線を示したものであるが，このモデルでは，点 ( (1 + α )γ r τ f ) を
必ず通る。また，βの値によって曲線の曲率が異なり，図6.8(b)で影をつけた範囲を動く。なお，
式(6.9)では4つのパラメータが使われているが，独立なパラメータは3つである（つまり，α/(τf)β-1
を一つのパラメータに置き換えることでパラメータの数が一つ減る）。双曲線モデルよりパラメ
ータの数が一つ多いので，減衰特性にも注意を払ってパラメータを決めることも可能である。
モデルパラメータの決め方は幾つか提案されている2948)49)50)が，パラメータの値を幾つか変え
た図を用意しておき，それを基によく一致するものを決める方法が多い。しかし，パラメータの
性質をみれば一意的に決める方法も考えられる51)。
このモデルの等価減衰比は
39
(6.11)
h=
G
2 β −1⎛
⎜1 −
π β + 1 ⎜⎝ Gmax
⎞
⎟
⎟
⎠
と表せる。この式は，ハーディンとドルネビッチの提案した h-γ関係の式15)と同じ形をしている
ので，減衰特性に関してよい一致が見込める。また，最大減衰比 hmax は
(6.12)
hmax =
2 β −1
π β +1
と表され，βのみの関数であるので，hmax よりβの値を一意的に求めることが可能である。
残りのパラメータは，双曲線モデルと同様，G/Gmax=0.5のひずみを基準ひずみγr とすることに
すれば，
(6.13)
τ f = γ r Gmax , α = 2 β −1
により求めることが出来る。
図6.10に，豊浦標準砂の実験値にシミュレーション結果を示す。このシミュレーションでは減
衰特性も同じに見ているのが特徴である。βの値をもう少し大きくすれば骨格曲線での一致度は
あげることが出来る。しかし，その時には減衰特性の一致は悪くなる。なお，(a)ではγ=10-4付近
でモデルの一致度が悪いようにみえるが，(c)の様な実軸の表示とするとほとんど目立たない。こ
の付近の挙動を特に問題にするケース（その場合にはモデルパラメータの決め方も異なってい
る）以外では特に問題にはならないと考えられる。
(a) G/Gmax-γ関係
(b) h-γ関係
(c) 骨格曲線
図6.10 ランベルグオスグッドモデルのシミュレーション。
6.2.4
パラメータ決定のための基本的な考え方
双曲線モデル，R-O モデルの二つのモデルを用いて，パラメータの設定方法を説明した。ここ
で示した基本的な考え方は次の通りである。
1) 応力－ひずみ関係を完全に合わせることは困難である。動的応答解析を行うのであれば，最大
ひずみより大きいひずみ領域の挙動は解析には全く使われないので，最大ひずみ以下のひずみ
領域に着目すればよい。
2) 構成則で用いられるパラメータには，たとえば内部摩擦角などのように物理的な意味がはっき
りしているものと，R-O モデルのαやβの様に，調整用のパラメータがある。まず最初に物理的
なパラメータの値を決め，次に調整用のパラメータで所定の挙動を再現するのが手順である。
しかし，場合によっては物理的な意味のはっきりしているパラメータでも，全体の挙動を眺め
て必要であれば変更すれば良い。
3) ターゲットがいくつかある時は，どの要因が結果に敏感に反映するかを見極めることが重要で
ある。そして，そのようなパラメータの値を精度良く決めて行くべきである。
40
6.2.5
複素剛性法
後に述べる等価線形法のためのモデル化である。
図6.11に示すようなマックスウエルモデル（Maxwell model）を考える。このモデルでは，ばね
とダッシュポットは直列につながれている。ひずみγは二つの要素に生じるひずみの和として，
次式で表される。
(6.14)
γ=
τ
G
+∫
τ
C
dt
ここで，τはせん断応力，G はばね定数，C は粘性係数である。式(6.14)を微分すると次式が得ら
れる。
(6.15)
τ +
G
τ = Gγ
C
式(6.15)が以後用いる応力－ひずみ関係である。
図6.11
γ
G
C
τ
Maxwell 型のモデル
図6.11の系が，円振動数ωの調和振動をしているとし，応力を次式で与える。
(6.16)
τ = Gγ 0 sin ω t
式(6.15)に代入すれば，ひずみとして次式を得る。
(6.17)
γ = γ 0 sin ω t −
Gγ 0
cos ω t
Cω
式から分かるように，応力とひずみには位相差があり，このため応力－ひずみ関係は図6.12に示
すようなヒステリシスを描くことになる。
τ
a
θ
b
図6.12 定常振動時の応力－ひずみ関係
式(6.16)と(6.17)よりωt を消去するとループの形状が得られる。
41
γ
2
(6.18)
2
2
⎡ ⎛ G ⎞2 ⎤ ⎛ τ ⎞
⎛ τ ⎞⎛ γ ⎞ ⎛ γ ⎞ ⎛ G ⎞
⎢1 + ⎜
⎟ − 2⎜
⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ ⎥⎜
⎟
⎢⎣ ⎝ Cω ⎠ ⎥⎦ ⎝ Gγ 0 ⎠
⎝ Gγ 0 ⎠⎝ γ 0 ⎠ ⎝ γ 0 ⎠ ⎝ Cω ⎠
ループは楕円形をしており，位相角θと長軸，短軸の長さ a，b はそれぞれ次のようになる。
θ = tan − 2
1 ⎡⎢ ⎛ G ⎞
⎛ G ⎞
−⎜
⎟+ 4+⎜
⎟
2 ⎢ ⎝ Cω ⎠
⎝ Cω ⎠
⎣
⎛ G ⎞
2⎜
⎟
⎝ Cω ⎠
a=
2
⎤
⎥
⎥
⎦
2
2
⎛ G ⎞
⎛ G ⎞
2+⎜
⎟ − 4+⎜
⎟
⎝ Cω ⎠
⎝ Cω ⎠
2
b=
⎛ G ⎞
2⎜
⎟
⎝ Cω ⎠
2
2
⎛ G ⎞
⎛ G ⎞
2+⎜
⎟ + 4+⎜
⎟
⎝ Cω ⎠
⎝ Cω ⎠
2
この応力－ひずみ関係により生じる履歴減衰を求める。まず，ループの面積は次の式で求めら
れる。
(6.19)
ΔW = π ⋅
G 2γ 02
Cω
また，図6.12に示した斜線部の面積（ひずみエネルギー）は次式である。
(6.20)
1
W = Gγ 02
2
したがって，履歴減衰による減衰定数 h の大きさは次のようになる。
(6.21)
h=
1 ΔW 1 ⎛ G ⎞ α
⋅
= ⎜
⎟=
4π W
2 ⎝ Cω ⎠ ω
α=
1 G
⋅
2 C
ここで，
(6.22)
この減衰は，ωを含んでいることから，周波数に依存している。一方，土の非線形挙動に伴う履
歴減衰は，地震時に生じるようなひずみ速度に関しては，周波数に依存しないことが知られてい
る52)。したがって，ここで定義した減衰は土の履歴減衰を表すのには適当ではない。しかし，地
盤材料の不均質さに起因する散乱の減衰はちょうどこのような周波数に依存する（周波数の逆数
に比例する）減衰を持つとされており，地盤の解析上必要と考えられる。
非線形挙動に伴う，周波数に依存しない減衰を扱うには少し工夫が必要である。後に述べるよ
うに，地盤の非線形特性を表すには，いわゆる G-γ，h-γ関係が用いられる。ここでは，履歴曲線
の形状は余り問題にされていない。そこで，ここでも履歴曲線の形状については議論しないこと
にする。すると，形式的には，粘性係数の値を
(6.23)
C=
G
2 βω
とおく事で周波数に依存しない減衰を得ることが出来る。すなわち，粘性係数が周波数に依存す
ると考えるわけである。すると，次式となる。
(6.24)
h=β
履歴曲線の形状には議論しないとしたが，図6.13に代表的な履歴曲線を示すように，図6.12の
形状とはかなり異なっている。
42
Shear stress, τ (kPa)
0.6
-0.6
Shear strain, γ (%)
0.15
図6.13 土の応力－ひずみ関係の例
式(6.23)を式(6.15)に代入すると，応力－ひずみ関係は次式の様に表すことが出来る。
(6.25)
τ + 2 βωτ = Gγ
または，式(6.24)を代入して
(6.26)
τ + 2hωτ = Gγ
これが，減衰定数を用いた応力－ひずみ関係である。DYNEQ では式(6.23)に示した一定の減衰以
外にも粘性係数を一定とした Maxwell モデルや Voigt モデル，さらには散乱の減衰なども考慮で
きるが，それらを用いても式(6.26)は変わらない。
これまでは，応力とひずみは実数であり，実数の範囲の議論を行ってきた。しかし，次節では
運動方程式を複素フーリエ変換で解くことから，応力－ひずみ関係も複素表示を示しておくのが
便利である。
調和振動を考え，応力とひずみをそれぞれ次のようにおく。
(6.27)
τ = τ 0 eiω t ， γ = γ 0 eiω t
ここで，係数はτ0，γ0は複素数であるし，τやγも複素数であり，その実部が実際の応力とひずみ
である。式(6.26)は応力とひずみが複素数としても成立するので，式(6.27)を式(6.26)に代入する
と，次式を得る。
(6.28)
τ0 =
G
γ 0 = G* ⋅ γ 0
1 − 2ih
ここで，
(6.29)
G* =
1 + 2ih
G
G ≈ (1 + 2ih)G
=
1 − 2ih 1 + 4h 2
は複素剛性と呼ばれている。なお，式(6.29)の最後の変形は4h2が1に比べて充分小さいとして無
視したものである。
43
γ
同じ問題を Voigt モデルを用いて定式化することも可能で
ある。図6.14に示すモデルを想定する。前と同じ方法を用い
て式を誘導することも可能であるが，これまでの議論により
性質はわかっているので，必要部分のみを簡単に誘導する。
モデルの応力－ひずみ関係は次のようにかける。
(6.30)
τ = Gγ + Cγ
ここで，τはせん断応力，G はばね定数，C は粘性係数である
系が，円振動数 ωの調和振動をしているとし，ひずみを次
式で与える。
(6.31)
C
τ
G
図6.14
Voigt モデル
γ = γ o sin ω t
式(6.30)に代入すれば，応力として次式を得る。
(6.32)
τ = Gγ 0 sin ω t + Cγ 0ω cos ω t
この応力－ひずみ関係が1サイクルの載荷で吸収するエネルギーΔW は次のように求められる。
簡単のためωt=φとおく。
(6.33)
ΔW = v∫ τ d γ = v∫ ( Gγ 0 sin φ + Cγ 0ω cos φ ) γ o cos φ dφ
= γ 02 ∫
2π
0
( G sin φ cos φ + Cω cos φ ) dφ = Cωγ
2
π
2
0
従って，減衰定数は次のようになる。
h=
ΔW
1 Cωπγ 02 1 Cω
=
=
= αω ,
W
4π 1 Gγ 2
2 G
0
2
α=
1C
2G
これによれば，やはり h は円振動数に依存しており，実験事実と整合しない。そこで，粘性係
数の値を
(6.34)
C=
2hG
ω
と置くことにすれば周波数に依存しない減衰特性を得ることが出来る。減衰特性は Maxwell モデ
ルのケースと比べて円振動数や h が分母と分子で入れ替わった式となっている。
次に，前と同様，複素表示で考える。
(6.35)
γ = γ 0 eiωt , τ = τ 0 eiωt
これを，式(6.30)の応力－ひずみ関係に代入すると，次のようになる。
(6.36)
τ 0 = Gγ 0 + iω Cγ 0 = (G + iω C )γ 0
これに，式(6.34)を代入すると次式となる。
(6.37)
τ 0 = (G + 2ihG )γ 0 = G (1 + 2ih)γ 0
すなわち，複素剛性は次のように表される。
(6.38)
G * = G (1 + 2ih)
これを，Maxwell モデルに対する式(6.29)と比べると，以前は4h2が1に比べて十分小さいとして
無視した結果と同じになっている。
これからわかるように，減衰定数 h を入力とする現在の方法では Maxwell モデルと Voigt モデ
ルでは複素剛性の値は少し異なるが，h が小さい値であることを考えると両者の差は大きくない
といえる。
こ の 減 衰は初 期 の SHAKE で 用 いら れ て いた。 し か し， SHAKE の 新 し い バージ ョ ン や
FLUSH53)ではこれに代わり次の複素剛性が用いられている54)。
44
(6.39)
h = 1 − 2h 2 + 2ih 1 − h 2
これは，履歴曲線における振幅を同じにするものと説明されている。
式(6.29)や式(6.38)では複素剛性の絶対値は実際の剛性とは一致しない。このことはあるせん断
ひずみ振幅を与えた場合せん断応力振幅は実際の振幅と一致しないことを意味している。せん断
応力振幅を同じにするには複素剛性の絶対値を実際の剛性と合わせておけばよい。例えば式
(6.38)でこの条件を満たすためには G の後の複素数の絶対値が1であればよい。絶対値は 1 + 4h 2
となるので，これで式(6.38)の右辺を割ればよいわけである。ただし，このままでは使いにくい。
そこで，実部を f (h) = 1/ 1 + 4h 2 と置き，これをマクローリン展開する。
(6.40)
f (h) = f (0) + h ⋅ f ′(0) +
h2
f ′′(0) + ..... ≈ 1 − 2h 2
2
これに対応して絶対値が 1 になるように虚数部を求めると，式 (6.39)が得られる。この修正は，
Voigt モデルとして定式化した応力－ひずみ関係をより現実の応答に近いものに改良したものと
考えることができる。ただし，振幅をあわせた代わりに位相に差が発生する。一質点系の運動方
程式について，各種減衰を用いた場合の振幅と位相角の違いは表6.2.1のようになる。位相角の誤
差は
(6.41)
θ error ≈
2h
1+α
と表される。最大誤差は静的載荷（ α = ω / ω 0 = 0 ）のとき生じ，2h である。また，固有振動数付
近（ α = 1 ）では h，これより高い振動数では誤差はどんどん小さくなる。
表6.2.1 一質点系モデルの定常運動における減衰の違いの影響
実領域の減衰
複素剛性
改良複素剛性
減衰の表現
C − 2β mk
G* = (1 + 2ih)G
G* = ⎛⎜⎝ 1 − 2ih 2 + 2ih 1 − h 2 ⎞⎟⎠ G
運動方程式
mU + 2h mGU + GU = − mY
mU + G * U = − mY
mU + G * U = − mY
振動数領域での運
−ω 2u + 2ihω0ωu + ω02u = − y
動方程式
−ω 2 u + (1 + 2ih)ω02 u = − y −ω 2u + (1 − 2h2 + 2ih 1 − h2 )ω02u = − y
応答変位
u
−1
= 2
y ω0 (1 − α 2 + 2iα h)
u
−1
= 2
y ω0 (1 − α 2 + 2ih)
u
−1
=
y ω02 (1 − α 2 − 2h 2 + 2ih 1 − h 2 )
応答変位の振幅
u
−1
=
y ω02 (1 − α 2 )2 + (2α h)2
u
−1
=
y ω02 (1 − α 2 )2 + (2h) 2
u
−1
=
y ω02 (1 − α )2 + (2ah) 2
応答変位の位相角
θ = tan −1
−2αh
1− α2
θ = tan −1
−2h
1− α2
θ = tan −1
−2h 1 − h 2
1 − α 2 − 2h 2
注） α = ω / ω0
6.3
ダイレイタンシー特性
液状化がダイレイタンシーによって生じることは既に示したが，これまで，ダイレイタンシー
の話はメカニズムの部分で紹介しただけで，特に述べなかった。液状化がダイレイタンシーで発
生するものであるなら，ダイレイタンシー特性を計測すればより実用的に見えるが，実はこれは
ほとんど行われない。これは，実務で興味の対象となるのは，液状化が発生するか否かというこ
とだというのが最も大きな原因である。ダイレイタンシーは，乾燥状態や完全に排水が行われる
場合に生じる体積変化であるが，多くのケースでは，乾燥状態における地盤の沈下量はそれ程問
題とならない。また，飽和状態では，多くの液状化解析で非排水条件が仮定されることからも分
45
かるように，完全に排水が許容されることは無い。したがって，ダイレイタンシー特性が分かっ
ていたとしても，それだけでは役に立たないわけで，これに，例えば非排水状態における膨潤曲
線と組み合わせて，過剰間隙水圧の発生量を求めなければならない。ということは，過剰間隙水
圧の発生量は，ダイレイタンシーと膨潤曲線の二つの組合せで決められることになるので，個々
の部分を個別にモデル化するように，両方を調整する方が実用的である。このような考えからも，
個々のダイレイタンシー特性をモデル化するより液状化特性をモデル化した方が実用的であるこ
とが分かる。
もう一つの問題は，排水試験をすることは時間が掛かることが挙げられる。つまり，実用的で
はないわけである。この辺は，動的変形特性試験が非排水条件で行われるのと同じ様な事情であ
ろう。
6.3.1
Stress-dilatancy 則
しかし，多次元の解析ではダイレイタンシー関係も必要とされる。多く用いられるダイレイタ
ンシー関係として次の式がある。
(6.42)
dε vd
q
=μ−
dγ
p
この式は，三軸試験の結果を基に確立されており，q は応力比（σ1-σ3)，p は平均応力（σ1+σ3)/2
で あ る 。 ま た ， μ は 変 相 時 の 応 力 比 ， つ ま り ， 図 5.12 の 応 力 経 路 の 変 相 線 の 角 度 の 正 接
（μ=tanφs）である。
変相角の大きさは，同じ材料であれば密度の有無にかかわらずあまり変化しない。豊浦砂では
おおよそ27～28度である。
ダイレイタンシーによる体積ひずみを提案する式は他にも提案されているが，ここでは紹介し
ない。例えば，文献55)を参照されたい。
6.3.2
Martin-Finn-Seed モデル
乾燥状態で単純せん断状態で一定ひずみ振幅で繰返し載荷をしたときの実験式で，ダイレタン
シーによる体積減少を次の式で表す56)。
(6.43)
Δε vd = C1γ − C2ε vd +
C3ε vd2
γ + C4ε vd
ここで，γはせん断ひずみ振幅，εvd はこれまでに蓄積したひずみ増分，Δεvd は1サイクルあたりの
増分量，C1～C4はパラメータである。非排水条件ではこれに一次元膨潤係数をかけることで過剰
間隙水圧の発生量Δu が求まる。
(6.44)
Δu = Er Δε vd =
σ v′n − m
Δε vd
mK 2σ v′1− m
ここで，m，n，K2はパラメータである。このモデルは，Martin-Finn-Seed モデルと呼ばれる。な
お，最近は，この式に代わり，パラメータを二つにしたモデル（Two parameter model）57)が使わ
れる。
(6.45)
Δε vd = C1γ ⋅ e− C2ε vd / γ
このモデルは，1サイクル毎の体積ひずみを予測するモデルのであるので，地震応答解析に用
いるにはさらに新たなルールを加える必要がある。DESRA では式(6.45)の半分を半サイクル毎の
体積変化量とし，さらにひずみの大きさが増えるときには体積ひずみは発生せず，除荷が起きる
とひずみ振幅がわかるので，そのサイクルが終わるときの体積ひずみがわかるので，それをひず
46
み増分に比例して配分するという方法を用いている。
体積ひずみの代わりに過剰間隙水圧を用いるモデルもある。例えば，文献58では次の式を提案
している。
1
(6.46)
⎛ N ⎞ 2α
u
2
= sin −1 ⎜
⎟
σ m′ 0 π
⎝ NL ⎠
図6.15はこの関係を文献59の実験とともに示したものであるが，ばらつきはあるもののα=0.7が平
均的な値を与えている。なお，曲線の形状が始め急で，一旦緩やかになり，さらに急になってい
るが，これは図6.16に液状化強度試験の事例を示しているがその過剰間隙水圧の発生量と対応し
ている。すなわち，載荷の初期には過剰間隙水圧の発生は大きく，次第に小さくなっていくが，
応力点が変相線を横切る付近から再び過剰間隙水圧の発生量が大きくなること対応している。
このモデルにかかわらず，1サイクルあたりの体積ひずみや過剰間隙水圧の発生量を扱う実験
式は多くある。地震応答解析に用いるには上記のような工夫が必要である。しかし，それをして
も，まだ不十分なところがある。それは，体積ひずみや過剰間隙水圧が単調に変化することであ
る。例えば，地震応答解析用に改良された Martin-Finn-Seed モデルの解析事例が図6.17(a)に示さ
れているが，最終的に応力点が破壊強度に近づく時点でひずみが急激に大きくなる一方，過剰間
隙水圧の発生は止まる。一方，図6.16の様な結果を見ると，いわゆるサイクリックモビリティ現
象のため過剰間隙水圧の時刻歴は波打つ。しかも，地震応答にはこの挙動が影響することが知ら
れている。従って，このようなモデルが有効なのはたぶん液状化が発生する付近までで，液状化
の発生後には計算誤差が大きくなるであろう事は容易に想像できる。
このような欠点は，応力経路に無理やりサイクリックモビリティを入れ込めば挙動の改善は可
能である。例えば図6.17(b)は Martin-Finn-Seed モデルを基本として，一般の載荷時には，載荷の
はじめで体積ひずみを発生させ，除荷時には発生させない様に履歴法則を変更し，さらに，サイ
クリックモビリティを経路に入れ込んだ改良モデルである60)。図6.16と同じ条件のシミュレーシ
ョンではないが，この図と比べればずいぶん改良されていることがわかる。図6.17(a)と(b)の両方
とも式(6.43)，式(6.44)の関係を示しているが，履歴ルールの改良だけで挙動は全く違ったように
見える。
1.0
u
2 sin-1( —
N )1/(2α)
——
σ'm0 = —
π
NL
0.8
+
+
u/σ'm0
α=1.3
+ +
+ +
0.4
+
0.2
+
+
0
0.1
ra
Toyou
+
+
+ +
+
+
+
sand
50%)
(Dr =
+
+
0.0
+ ++
+
α=0.4 α=0.7
0.6
+
+
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
N/NL
図6.15 液状化に至るまでの過剰間隙水圧の発生量（文献58，59をまとめる）
47
30
30
変相線
20
せん断応力 (kPa)
せん断応力 (kPa)
20
10
0
-10
10
0
-10
破壊線
-20
-30
0.0
-20
20
40
60
80
-30
-6
100
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
せん断ひずみ (%)
有効拘束圧 (kPa)
図6.16 液状化強度試験で得られた応力経路と応力－ひずみ関係の例
0
-10
-20
Shear strain (kPa)
10
10
0
-10
-20
-1.0
-0.5
0
0.5
20
Shear strain (kPa)
20
20
Shear strain (kPa)
Shear strain (kPa)
20
10
0
-10
-2
50
100
Effective stress (kPa)
Shear strain (%)
-1
0
6.3.3
1
2
Shear strain (%)
(a) オリジナルモデル
図6.17
0
-10
-20
-20
0
10
50
100
Effective stress (kPa)
(b) 改良モデル
Martin-Finn-Seed モデルによる挙動
YUSAYUSA のモデル
YUSAYUSA ののところで説明する。
6.3.4
Bowl モデル
乾燥砂に繰返しせん断を加えたときの体積ひずみの発生は，例えば図6.18の様になる。福武ら
はこの関係を単調に増加する成分と定常的な部分とに分け，次のようにモデル化した。
(6.47)
ε vd = ε Γ + ε G
ε Γ = AΓ B ,
ここで，
εG =
Γ = γ xy2 + γ yz2 （合せん断ひずみ）
G
, G = ∑ Δγ xy2 + Δγ yz2 （累加せん断ひずみ）
C + DG
Volumetric strain (%)
ここでも，軸差応力を考慮していないことからくる客観性が成立しないという問題が発生する。
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-2
0
2
Shear strain (%)
図6.18 乾燥砂のダイレタンシーによる体積ひずみ
48
4
6.3.5
東畑・井合のモデル
東畑らの提案した過剰間隙水圧の発生量が塑性仕事の関数として表されるという実験式61)を満
たす様な応力経路を井合らが設定したものである62)。まず，過剰間隙水圧の発生量 S0は次式で表
される。
(6.48)
S0 = 1 − 0.6 ( w / w1 )
p1
( w ≤ w1 )
S0 = ( 0.4 − S1 )( w / w1 )
p2
( w > w1 )
τ/σ'm
m1=sinφ'f
1.0
S0
1
1
1
m2=sinφ'p
変相線
m3=0.67m2
Liquefaction front
S
S2
S0
0.4
S1
0
w1
w
図6.19 応力経路と液状化フロント
この関係は図6.19の右側に表されている。これに，せん断応力の変化に伴うサイクリックモビ
リティを考慮するための経路を図6.19の左の図のように設定したものがモデルとなっている。
6.3.6
モデル化のメモ
ダイレイタンシーをモデル化する必要があるのは液状化解析である。通常の液状化解析では，
液状化の発生の有無が重要であることが多いので，液状化強度曲線をターゲットとしてパラメー
タの値を決定するのが良い。しかし，このこと自体がそれほど易しいことではない。図6.20は平
成元年に行われた地盤工学会での委員会の一斉解析の結果であるが，ターゲットとして与えた2
点を正確に通らない構成則が非常に多いことが分かる。また，実験では，液状化の定義は，過剰
間隙水圧の発生量が初期有効拘束圧の95%になったときや，両ひずみ振幅が5%になった時である
が，たとえば図6.21に示した構成則では，サイクリックモビリティ以降挙動が安定してしまい，
これらいずれの条件も満たすことは出来ない。このときの構成則では，降伏関数とポテンシャル
関数を定義し，非関連流動則を用いた，理論的に最も由緒正しいと考えられる構成則は全てこの
ような傾向を持っていた。このような構成則では，実験と同じ液状化の定義を使うことは出来な
いので，別の規範，たとえば変相したとか，履歴曲線が定常化したとかいう事によって液状化の
判定をする必要がある。
平成元年の一斉解析以降，この問題を解決するために，多くの努力が払われ，現在では，より
多くの構成則が，もっとひずみが大きくなる。しかし，このためには，塑性剛性を履歴に応じて
低減するなど，より複雑な定式化が必要で，ただでさえ複雑なパラメータの決定がより困難にな
ってきていることも事実である。また，ひずみが大きくなると言っても，応力－ひずみ関係や応
力経路を眺めると，かなり実験とは異なる様相を示すものもあり，その適用には注意が必要であ
る。
49
図6.20 地盤工学会一斉解析での液状化強度のシミュレーション結果
図6.21 液状化試験のシミュレーション結果の例63)
50
7
空間的モデル化
地震応答解析では，モデル化は二つの面から行う必要がある。すなわち，地盤の幾何学的（空
間的）なモデル化，地盤材料のモデル化である。
7.1 解析次元
地盤のモデル化手法は，図7.1に示す4つの種類がある。ここでは，このうち，①，②について
説明する。
①水平成層モデル：解析領域を水平成層と考る。
②一次元モデル：解析領域をいくつかの一次元地盤の挙動として評価する。
③2次元モデル：解析領域を一つまたはいくつかの2次元モデルで評価する。
④3次元モデル：解析領域全体を三次元にモデル化する。
図7.1 地盤のモデル化のイメージ
7.2 地層のモデル化
二次元，三次元解析では，地層断面図に従って地層をモデル化することは自然である。しかし，
一次元解析では，柱状図に基づいて地盤をモデル化することが必ずしも最善のモデル化とは限ら
ないことがある。その典型的な場合が，薄い軟弱層，レンズ状の土塊である。
一次元解析では，波動の伝播は上下方向に起こるだけであり，水平方向のせん断変形が支配的
な要因である。ところで，一部に軟弱な層があると，この層が早く降伏し，これより上の加速度
応答が小さくなると言う現象が普通に観察される。例題で示す，ポートアイランドのように，厚
く堆積した沖積粘性土や液状化した層があるのであれば，このような結果も納得できる。しかし，
実計算では，非常に薄く軟弱な層があることがある。たとえば旧河道で粘性土質の薄い堆積層が
あるなどである。この場合にも，この層をまともに考慮すると同じ様な現象が生じる。しかし，
このような薄い層が水平に広範囲に広がっている事は考えにくい。この場合には，地震動は他の
部分から回り込んでくる。したがって，実計算においても，このような層は無視する方が実用的
なことも多い。
軟弱な地盤が傾斜しているときや，土塊がレンズ状に入っているときなども同じ現象が起きる。
すなわち，対象としている地盤だけの挙動よりも，周辺地盤と全体として動く要因が多くなるわ
けである。このような場合には，多次元解析を行うことを検討するほか，一次元解析でも，周辺
の影響を考慮したモデル化をするべきであろう。
7.3 層分割，メッシュ分割
一次元解析における層分割，有限要素法解析におけるメッシュ分割（以下ではこれらを単に層
分割と呼ぶこともある）は二つの目的から必要である。一つは波動伝播を，もう一つは材料特性
の変化を考慮するためである。
51
有限要素法に基づく方法では，節点の間の変位は節点の変位に補間関数を掛けて求める。多く
の解析コードでは，変位関数は直線である。このことは，節点間の変位を非常に拘束している事
になり，高周波成分の波動を通すことが出来ない。したがって，高周波成分の波動を通すために
は，節点変位が高周波数成分に対応するものになっている必要がある。波長をうまくなめらかに
表現するためには，波長の1/5～1/6程度には層の分割を小さくする必要がある。
地盤のせん断波速度を Vs，対象とする周波数を f とすれば，波長λは次式で表される。
(7.1)
λ=
Vs
f
したがって，地盤が軟弱，すなわちせん断波速度が小さいほど，また，考慮する振動数が高いほ
ど層分割は小さくしなければならない。地震応答解析の結果は主として，上部構造などの構造物
の設計に用いられる。その際の安全側を見ても，10～15Hz までの波動が再現できていれば十分
と考えられる。
軟弱な地盤として，Vs=100m/s を考え，周波数として15Hz を想定すると，波長は
(7.2)
λ = 100 /15 ≈ 6.7m
となる。したがって，層分割は最小でも1.5m 程度となる。ここでは弾性挙動を仮定したが，地
震動が大きくなると非線形性のため，剛性は低下し，その結果せん断波速度も小さくなる。せん
断 波 速 度 は 剛 性 の 平 方 根 に 比 例 す る の で ， 剛 性 が 1/2 に な っ た と す れ ば せ ん 断 波 速 度 は
1/ 2 = 0.707 倍となる。したがって波長も0.707倍短くなり，要求される層分割は約1m となる。
多くの問題ではこの程度の層分割で十分な事が多いが，ケースによってはもっと層分割を小さく
する必要がある。
SHAKE では，異なる観点からの評価も必要である。SHAKE は重複反射理論，すなわち波動方
程式を直接解いているので，先に述べたような離散化に伴う誤差は生じない。しかし，非線形解
析を行う場合には次に述べる，もう一つの理由から層分割は必要になる。それは，地震時におけ
る非線形挙動である。つまり，非線形挙動が起こると，元々均質であった材料でも，場所によっ
て剛性が変わることになる。このような場合には各層の材料の違いを代表できるように層分割を
決める必要がある。筆者の経験から言えば，先に示した考慮すべき波長（周波数）によって層分
割を決めておけば問題がない。
52
8
8.1
運動方程式の作り方
一次元の運動方程式（Biot の式）
土は，土粒子および間隙物質である空気や水で構成されている。このうち，土は図8.1に例を
示すように，密に詰まっているわけではなく，骨格を構成しており，したがって，土の変形では
骨格の変形の影響が支配的である。また，間隙物質が水の場合には，その体積変化も考慮される
ことがある。しかし，土粒子そのものの変形や空気などの気体の剛性は無視されるのが普通であ
る。土骨格と水を考慮した，飽和した土の支配方程式は Biot により最初に提案された4)ことから，
Biot の式と呼ばれることが多い。また，二つの異なる相の材料を扱うことから，二相系の式と呼
ばれることもある。Biot の式は，当初は圧密現象に対する提案であったが，その後多くの研究者
により改良が加えられている。Biot の式では間隙水で飽和している状態を扱っているが，間隙水
がない場合（乾燥状態）には，通常の固体の力学と同じ定式化となる。実際の地盤では，このよ
うな完全飽和や完全乾燥の状態が完全に満たされる事はない。地下水位以下の地盤でも間隙水に
空気が溶け込んでいたり，微小な気泡が残っていることは普通である。例えば，水の P 波速度は
約1500m/s であるので，PS 検層を行えば，地下水位以下では，完全飽和していれば P 波速度はこ
れより大きいはずであるが，表層地盤ではこのようなことはほとんど起こらない。このような場
合でも，水の体積圧縮係数を水の空気の混合体として表現できるようなオーダーであれば式が適
用できる。この中間，すなわち不飽和の問題は，飽和－不飽和理論7)で扱うことができると考え
られるが，動的な問題に対しては用いられていない。
なお，ここで述べる式の展開をより詳しく，文献64)に示した。興味のある方は参照されたい。
図8.1 土の骨格構造の例65)
S 波の伝播を扱う場合，通常の材料のように，せん断変形が発生しても体積変化が生じないの
であれば，その挙動は，水平変位だけで表すことができるが，ダイレイタンシーを伴う場合には，
体積変化も発生するため，一次元の解析でも一般的な式を扱う必要がある。ここでは，テンソル
表示ではなく，マトリックス表示で式を展開する。この方が，よりプログラムの内容との関係が
直接的である。基本的な量は次のように表される。
3次元状態における（全）応力とひずみはマトリックス表示で次のように表される。
(8.1)
{σ } = {σ x
(8.2)
{ε } = {ε x
(8.3)
{σ ′} = {σ ′x
(8.4)
{m} = {1
σ y σ τ xy
ε y ε τ xy
}
τ xy τ yz τ zx T ：全応力
}
γ xy γ yz γ zx T ：ひずみベクトル
σ ′y σ ′z τ xy τ yz τ zx }T ：有効応力ベクトル
1 1 0 0 0}
T
{m}はテンソル表示で表した場合の Kronecker（クロネッカー）のδに対応するベクトル。
また，有効応力と全応力の関係は次式で表される。
(8.5)
{σ ′} = {σ } − {m}p
53
ここで，p は間隙水圧（porewater pressure）である。
図8.2に応力とひずみの正の向きを示す。土質力学の通常の方法として，応力は圧縮力の時正，
ひずみは縮む時を正としている。また，ひずみは工学ひずみ（すなわち，せん断成分はテンソル
ひずみの2倍）である。
σy
τxy
τxy
εy
σx
γxy
y
εx
x
図8.2 応力とひずみの正の向き
液状化の問題では，非線形挙動を扱う必要がある。したがって，構成則（応力－ひずみ関係）
は非線形である。ここではこれを増分形式で記述する。すなわち，増分量として d をつけるか，
ドット（・）をつけることにより表す。
土骨格の構成則は，増分形で次の形で表す。
(8.6)
{dσ ′} = [D]{dε }
ここで，[D]は接線剛性マトリックスである。ダイレイタンシーによる体積ひずみを分離して求
める構成則では，式(8.6)の代りに増分形で次の様に表される。
(8.7)
{dσ ′} = [D]({dε } − {dε d })
しかし，この式は最終的には式(8.6)の形にできる（脚注参照）。
水はせん断変形に抵抗しない材料として扱う。また，粘性等の速度に依存する項は考慮しない。
したがって，構成則として必要なのは水の体積ひずみεwv と間隙水圧 p の関係式である。この関
係は次式のように表される。
(8.8)
p = K wε wv
ここで Kw は水の体積弾性係数である。水の体積は全体の間隙比（n）倍であるので，
(8.9)
ε wv =
εv
n
したがって，次式が得られる。
(8.10)
p=
Kω
εv
n
ひずみを微小ひずみとすると，ひずみ－変位関係式は，マトリックス表示で次のように表され
る。
(8.11)
{ε } = −[L]{u}
ここで，[L]は微分オペレータで，
(8.12)
⎡∂
⎢∂ x
⎢
⎢
[ L] = ⎢ 0
⎢
⎢
⎢ 0
⎣⎢
0
0
∂
∂y
0
0
∂
∂z
∂
∂y
∂
∂x
0
0
∂
∂z
∂
∂y
∂ ⎤
∂ z ⎥⎥
⎥
0 ⎥
⎥
∂ ⎥
⎥
∂ x ⎦⎥
54
T
(8.13)
{u} = {u x u y u z }T ：変位ベクトル
ux，uy，uz：x，y，z 方向への変位
なお，式(8.11)の右辺に負の符号がついているのは，縮むひずみを正としているからである。
8.1.1
基礎微分方程式
土と水の混合体を一体のものとして考える。土と水の混合体全体の釣合式は次のようになる。
(8.14)
[L]T {σ } − ρ {b} + ρ {u} + ρ f {w} = {0}
ここで，{b}は物体力を生じさせる加速度（符号は作用方向とは反対－慣性力）の意味で，実
際の物体力はこれに質量密度を掛けたものである。しかし，この違いは基礎式の理解を混乱させ
るものではないと考えられるので，以後{b}を物体力ということにする。また，左辺第3項は，考
えている微小要素全体が土粒子と同じ加速度で動いているとした項，第4項はそれに対する水の
動きを土粒子の動きからみて補正するための項である。
水に作用する力に関する釣合式は次のようになる。
{∇}p + {R} + ρ U − ρ {b} = {0}
(8.15)
f
{}
f
ここで，
(8.16)
{∇} = ⎧⎨ ∂
∂
∂y
⎩ ∂x
∂ ⎫
⎬
∂z ⎭
T
また，R は水が土粒子中を流れることによる抵抗力で，次のように表される。
(8.17)
{R} = ρ f g [k ]−1 {w }
ここで，k は透水係数，w は土骨格に対する間隙水の相対速度，U は水の絶対変位である。土粒
子の変位および水の見かけの相対変位とは次の関係にある。
(8.18)
{U } = {u} + {w}
n
これらの式を式(8.15)に代入すると，水の釣合式として次式が得られる。
(8.19)
{∇}p + ρ f g [k ]−1 {w } + ρ f {u} +
ρf
n
{w} − ρ f {b} = [0]
ここで，要素の位置を表すベクトルを{x}とし，{∇}{x}T{b}={b}という関係に着目すると，式
(8.19)は次のように書くことも出来る。
(8.20)
ρ
⎛
⎞
{w } = − [k ] {∇}⎜⎜ p + ρ f {u} + f {w} − ρ f {b}⎟⎟
ρf g
n
⎝
⎠
この式は，一般に用いられる Darcy の法則である。この事は，全水頭 h を次式で表す事で明瞭に
なる。
(8.21)
h=
p
ρf g
−
{x}T {b} + {x}T ⎛ {u} + 1 {w}⎞
g
⎜
g ⎝
n
⎟
⎠
ここで，{x}は位置ベクトルである。式(8.21)の右辺第1項は圧力水頭，第2項は位置水頭である。
また，3項は運動エネルギーによる水頭で，通常の問題では考えられていない。式(8.21)を式
(8.20)に代入することにより，通常用いられる Darcy の法則の式が次のように得られる。
(8.22)
{w } = −k {∇}h
土と水の混合体に水の出入りがあると，これに伴って体積変化が生じる。連続の式とは，この
ような水の出入りと体積変化の関係を述べたもので，質量保存の式と呼ばれることもある。土骨
55
格の体積変化を生じさせる要因は，水の流入，流出の結果としての残留水分と，水圧の変化によ
る水の体積変化の二つである。
T
単位時間に単位体積に流入した水と流出した水の体積の差（減少量）は， {∇} {w} である。流
れ出した水による体積変化（減少）と，水圧の変化による水の体積変化（減少）の和が，混合体
全体の微小要素の体積変化（減少）に等しいと言うのが連続の式で，結局次のようになる。
(8.23)
{m}T {ε} = {∇}T {w } +
n
p
Kw
これまでに示したものが，Biot の式の厳密な表示である。しかし，液状化解析では必ずしも厳
密な式を解く必要はない。多くの問題では，間隙水は骨格の間を，水の土骨格に対する相対加速
が土骨格の加速度に比べて無視できる程度に遅くしか流れないと仮定することが可能である。
度w
= 0 と表すことが出来，式(8.14)，式(8.19)はそれぞれ次のように書け
この仮定は， U = u または w
る。
(8.24)
(8.25)
[L]T {σ } − ρ {b} + ρ {u} = {0}
{∇}p + ρ f g [k ]−1 {w } + ρ f {u} − ρ f {b} = {0}
式(8.25)を式(8.23)に代入し，水の速度項を消去すると次式が得られる。
(8.26)
{∇}T
=
[k ] (− {∇}p − ρ {u} + ρ {b}) = {m}T {ε} −
f
f
ρf g
n
p
Kw
これに加え，式(8.26)のρf{u}，すなわち，運動エネルギーによる水頭も無視されることもある。
(8.27)
{∇}T
=
[k ] (− {∇}p + ρ {b}) = {m}T {ε} −
f
ρf g
n
p
Kw
式(8.24)と式(8.27)が基礎式の一つの組合せである。
液状化の問題では，地震の継続時間が短いとして，水の流れを無視することがある。この様な
条件を非排水条件という。非排水条件は，上記の仮定に基づけば近似式の位置づけであるが，室
内試験ではこの条件が満たされているし，例えば，上下を粘土のような不透水材料で囲まれてい
るような条件下では，液状化層の層厚が薄ければ，ほとんどこの条件が満たされるようなケース
もある。
非排水条件は，土骨格と水の変位が同じと言うことで表され，w=0である。従って，厳密化解
から出発しても，u-p 形式から出発しても，同じ基礎式となる。
連続の式の時間に関する微分は，速度の項がないので増分に置き換えることができる。
(8.28)
dp =
Kw
{m}T {dε }
n
また，有効応力の定義式を増分形で表すと次のようになる。
(8.29)
{dσ ′} = {dσ } − {m}dp
式(8.29)に構成則式(8.6)，および式(8.28)を代入すると次式となる。
(8.30)
{dσ } = [D]{dε } + {m} K w {m}T {dε } = [D ]{dε }
n
ここで， D は，非排水条件下の接線剛性マトリックスで，次の式で表される。
(8.31)
8.1.2
[D ] = [D] + {m} Kn {m}
w
T
FEM への定式化
前項で得られた基礎式を，一次元解析を言う特殊性（ ε x = ε z = γ yz = γ zx = 0 ）を用いて，定式
56
化する。なお，地盤の一次元解析では，地盤は，せん断ばねモデルや，串団子モデルなどと言わ
れる，質点とこれをつなぐばねでモデル化されることが多い。これは，有限要素法の考えから見
れば，要素の補間関数を一次式に置き，かつ集中質量を仮定したことと等価である。
重み付残差法を用いれば，式(8.24)より有限要素法解析に用いる運動方程式は次のように表さ
れる。
(8.32)
[K ]{u n } = {F }
ここで，
(8.33)
(8.34)
(8.35)
(8.36)
(8.37)
[K ] = ∫ v [B]T [D][B]dV ：剛性マトリックス
{F } = ∫ s [N ]T {T }dS + ∫ v [N ]T ρ {b}dV − − ∫ v [N ]T ρ {u}dV ：節点外力ベクトル
[B] = [L][N ] ：ひずみマトリックス（strain matrix）
n
[N]：補間関数で，変位は節点変位により {u} = [N ] = {u }と表される。
[T ] = −[n]T {σ } ：表面力ベクトル（traction vector）
なお，応力と変位はそれぞれ次のように表される。
(8.38)
(8.39)
{ε } = −[L]{u} = −[L][N ]{u n }
{σ } = [D]{ε } = −[D][B ]{u n }
ここで，式(8.38)，式(8.38)等に負の符号がついているのは，応力やひずみは圧縮を正にしている
からである。
次に，これを有効応力による定式化に変更する。また，非線形の構成則を使うことも考え，増
分型の方程式とする。すると，静的な物体力{b}の増分は{0}であるので，式には現れなくなる。
全ひずみ型と増分型の定式化の差はこの項のみである。
増分型で表された基礎式を重み付き残差法により緩和した釣合式は次のようになる。
(8.40)
− ∫ v ([L][N ]) {dσ }dV − ∫ s [N ] {dT }dS + ∫ v [N ] ρ {du}dV = {0}
T
T
T
このうち，全応力増分{dσ}は，式(8.38)，式(8.6)，式(8.5)より，次のように表さされる。
(8.41)
{dσ } = {dσ ′} + {m}dp = −[D][B ]{du n } + {m}dp
これで，{dσ}が求まったので，式(8.40)に代入すると，離散化された式が次のように得られる。
(8.42)
[M ]{dun }+ [K ]{du n }− ∫ v [B]T {m}dpdV = {dF }
ここで，
(8.43)
(8.44)
(8.45)
[M ] = ∫ v [N ]T ρ {N }dV
[K ] = ∫ v [B]T [D][B]dV
{dF } = ∫ s [N ]T {dT }dS
：質量マトリックス
：（接線）剛性マトリックス
：節点外力ベクトル
次に，要素内で過剰間隙水圧増分を一定値 dpm と考える。すると，全体の釣合式(8.42)の間隙
水圧に関する積分の被積分関数である間隙水圧は定数となり，次のように表すことができる。
(8.46)
∫ v [B ] {m}dpdV = ∫ v [B ] {m}dVdp = {K p }dp m
T
T
ここで，上添字 m は間隙水圧が要素の代表値であることを示している。
(8.47)
{K } = ∫ [B] {m}dV
T
p
v
：間隙水圧ベクトル
間隙水圧を後方差分式で展開する。
(8.48)
dp m = p m t − p m t − dt
57
ここで，2番目の添字は対応する時刻を表している。
式(8.46)，式(8.48)を，式(8.42)に代入すると全体の釣合式は次のようになる。
(8.49)
[M ]{dun }+ [K ]{du n }− {K p }p m t = {dF } − {K p }p m t −dt
また，数値計算に際して生じた不釣合い力{dR}は次のようになる。
(8.50)
{dR} = {dF } − {K p }( p m t − p m t −dt ) − [M ]{dun }− {df e }
ここで，
(8.51)
{df } = ∫ [ B] {dσ ′} dV
T
e
：有効応力と等価な節点力
v
なお，一次元の問題では，層厚をλとすれば，次の関係がある。
0⎤
⎡0 0 0
1⎢
0
1
0
−
1⎥⎥
⎢
A
⎢⎣1 0 − 1 0 ⎥⎦
(8.52)
[ B] =
(8.53)
⎡ D22
⎢
1 D
[ K ] = ⎢ 12
A ⎢− D22
⎢
⎣ − D21
D21
− D22
D11
− D12
− D11
− D12
D22
D21
− D21 ⎤
− D11 ⎥⎥
D21 ⎥
⎥
D11 ⎦
ここで，係数は，応力－ひずみ関係を次のように表したときの成分である。
(8.54)
⎧σ y ⎫ ⎡ D11
⎨ ⎬=⎢
⎩τ xy ⎭ ⎣ D21
(8.55)
⎧0⎫
⎪ ⎪
{K p } = ⎪⎨ 10 ⎪⎬
⎪ ⎪
⎪⎩− 1⎪⎭
D12 ⎤ ⎧ ε y ⎫
⎨ ⎬
D22 ⎥⎦ ⎩γ xy ⎭
なお，液状化の問題では，構成則は非対称であるので，剛性マトリックスも非対称である。
したがって，i 番目の層に関する運動方程式は次のように表される。
(8.56)
⎡ mi
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣⎢ 0
0
mi
0
0
0
0
mi
0
0 ⎤ ⎧ dui ⎫
⎡ D22
0 ⎥⎥ ⎪⎪ dvi ⎪⎪ 1 ⎢⎢ D12
⎨
⎬+
0 ⎥ ⎪dui +1 ⎪ A i ⎢ − D22
⎥
⎢
mi ⎦⎥ ⎩⎪ dvi +1 ⎭⎪
⎣⎢ − D21
D21
D11
− D12
− D11
− D22
− D12
D22
D21
− D21 ⎤ ⎧ dui ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎧0⎫
⎪1⎪
− D11 ⎥⎥ ⎪⎪ dvi ⎪⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ i
⎪ ⎪ i
p
−
−
=
⎨ ⎬ pt − dt
⎨
⎬ ⎨ ⎬ t
D21 ⎥ ⎪dui +1 ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎪0⎪
⎥⎪
⎪⎩−1⎪⎭
⎪
⎪
⎪
D11 ⎦⎥ ⎩ dvi +1 ⎭ ⎩−1⎭
ここでは，mi=ρλi 集中質量を考えている。また，u，v は水平および鉛直変位である。
次に連続の式を考える。この場合，多次元有限要素法解析と一次元解析では扱われ方が異なる
ことが多い。すなわち，多次元の解析では，厳密な Biot の式に基づいて，節点の水の変位を未知
数にしたり，u-p 形式の近似法を用いて節点の水圧を未知数にすることが多い。しかし，通常，
水圧に関して興味があるのは，各要素の値である。多次元解析ではこのような定式化は Christian
形式と呼ばれる。一次元解析専用のプログラムではこの方法を用いることが多い。
要素間の水の流れを線形で補間することは，変位を線形で補間する事よりも，近似度が荒いと
考えられている。そこで，一次元専用のプログラム，DESRA や YUSAYUSA では，水の流れに
関しては要素内部にも未知数を考慮していることが多い。これは，Biot の式を同時に解くのでは
なく，運動方程式の部分と浸透の部分を分けて解析することからできる方法であり，多次元解析
では行われない。要素の水圧を未知数にする方法では，有限要素法の定式化から出発せず，もう
少し原点に立ち返って式を展開する。
58
ある時間増分における体積変化（減少）は次のように表される。
(8.57)
{ }
{ }
∫ v {m} {dε }dV = − ∫ v {m} [B ] du n dV = −{K p } du n
T
T
次に，水の要素への流入，流出に伴う体積変化を求める。時間 dt のうちに近隣要素に流出す
る水量 dQ は次のように計算できる。
(8.58)
⎧
hi − hi −1
hi − hi +1 ⎫
+ k i +1
dQ = dt ⎨ki
⎬
(A i + A i +1 ) / 2 ⎭
⎩ (A i + A i −1 ) / 2
ここで， k は平均透水係数で，次式で表される。
(8.59)
A i + A i −1
ki
=
A i A i −1 A i + A i +1 A i A i +1
+
,
=
+
k i k i −1
k i k i +1
k i +1
ここで，水頭 h は，式(8.21)で表されているが，近似化の過程で最後の項は無視されている。
また，間隙水圧 p を静水圧 ps と過剰間隙水圧 pe に分けると，水頭は次式のように表現できる。
(8.60)
h=
{x}T {b} ⎞⎟
pe ⎛⎜ ps
+
+
ρ f g ⎜⎝ ρ f g
g ⎟⎠
地下水位の変化が無いとすれば，第2項は定数である。したがって，水量に寄与するのは過剰間
隙水圧のみであり，上式は，次のように書くことが出来る。
(8.61)
⎧
pi − pi −1
pi − pi +1 ⎫
dQ = dt ⎨ki
+ ki + 1
⎬
(A i + A i +1 ) / 2 ⎭
⎩ (A i + A i −1 ) / 2
なお，ここで水圧は過剰間隙水圧であるが，以後記号の混乱の恐れはないことから，p を過剰間
隙水圧として表す。また，地下水位は排水境界であり，過剰間隙水圧の値は0である。この場合
には，上方の境界に関しては次のようになる。
(8.62)
⎧
p
p1 − p2 ⎫
dQ = dt ⎨k1 1 + k2
⎬
(A 1 + A 2 ) / 2 ⎭
⎩ A1 / 2
また，最下層（基盤直上）では非排水境界であり，境界面を通る水の変化はない。したがって，
水量は次のようになる。
(8.63)
dQ = dtk i
p i − p i −1
(A i + A i −1 ) / 2
最後に，水圧の変化に伴う間隙水の体積変化は次式で表される。
(8.64)
nA
nA
dpi =
( pi ,t − pi ,t − dt )
Kw
Kw
連続の式は，水の流出による体積変化が土骨格と間隙水の体積変化の和として表されるという
条件から求められ，次のようになる。
(8.65)
⎧
p i − p i −1
p i − p i +1 ⎫
nA
n
dt ⎨k i
( p i ,t − p i ,t − dt )
+ k i +1
⎬ = −{K p } du −
(A i + A i +1 ) / 2 ⎭
Kw
⎩ (A i + A i −1 ) / 2
{ }
または，書き直すと次のようになる。
(8.66)
⎧
2dt ⋅ ki
⎨− 1 1
A
i + A i −1
⎩
−
2dt ⋅ ki 2dt ⋅ ki +1 nA
−
−
A i + A i −1 A i + A i +1 K w
⎧ vi ⎫
⎪v ⎪
i +1
⎫
2dt ⋅ ki +1 ⎪⎪ ⎪⎪
nA
pi ,t − dt
p
⎬⎨ i −1 ⎬ = −
A i + A i +1 ⎭⎪ ⎪
Kw
p
⎪ i ⎪
⎪⎩ pi +1 ⎪⎭t
非排水条件下では，水の流入，流出が無いとすれば良いので，dQ=0となり，連続の式は次の
59
ようになる。
(8.67)
⎧ vi ⎫
⎧
nA
nA ⎫⎪ ⎪
−
1
1
−
pi ,t − dt
⎬⎨vi +1 ⎬ = −
⎨
Kw
K w ⎭⎪ ⎪
⎩
⎩ pi ⎭
なお，この定式化による，非排水条件下の式は，他の方法による非排水の式とは非常に異なっ
ている。まず，節点変位を未知数とする FEM では，非排水条件を解くことはできない。これは，
非排水条件下では，隣接する要素間で間隙水圧の値が異なることがあるが，節点水圧を未知数と
する方法では，節点で二つの水圧を持つことができないことから簡単に理解されるであろう。
式(8.23)で w = 0 と置くと，次式が得られる。
(8.68)
{m}T {ε} −
n
p = 0
Kw
これを，式(8.5)，式(8.6)と組み合わせて，水圧の項を消去すると，次の式が得られる。
(8.69)
{dσ } = ⎡⎢[D] + {m}
⎣
Kw
{m}T ⎤⎥{dε }
n
⎦
つまり，支配方程式は，土骨格の体積弾性係数 K の代わりに，水の項も考慮し K+Kw/n を用いれ
ば，二相系の式を使うことなく，解くことが可能である（もちろん有効応力を求める際には，全
応力から水圧分を引く操作が必要で，その意味では二相系の扱いはきちんと行われている）。二
つの式の最も大きな違いは，式(8.67)では支配方程式を解くと，土骨格の変位と，水圧が同時に
求まるのに対し，式(8.69)では一旦土骨格の変位を求め，内部的に水圧を求める必要があること
であるが，物理的にはもっと大きな違いがある。圧密解析では，水の体積弾性係数は無限大
（Kw=∞）と置くことが多いが，式(8.67)ではこのように置いても支配方程式を作ることができる
が，式(8.69)ではこのようにはおけないことである。つまり，式(8.67)の Christian 流の定式化を行
うと，静的，圧密，液状化の問題がどんな条件下でも同じ基礎式で掛けるが，その他の方法では，
非排水条件に対しては，特別なルーチンを作ったり，解けない事があるわけである。なお，式
(8.69)の方法を用いると，既存の全応力の有限要素法プログラムをほんの少し変えるだけで，有
効応力解析ができるようになるので，地震応答解析専用のプログラムでは，非排水条件だけを可
能にしているものも結構ある。
8.1.3
境界条件
一次元解析で用いられる境界条件では，地震波が入射してくる，基盤のモデル化が重要である。
剛基盤と弾性基盤が用いられる。
剛基盤とは，地震波の入射してくる基盤がまるで剛体のように同じ動きをすると仮定した基盤
である。教科書に載っているような質点系の解析は，全て剛基盤に対応している。
いま，基盤以外の変位{u}を基盤の変位{ub}と基盤に対する相対変位に分けることにする。
(8.70)
{u} = {u r } + {ubr }
ここで，{ubr}は基盤の変位に対応する相対変位で，
(8.71)
{ubr } = [I b ]{ub } = [I x
⎧u bx ⎫
Iy ⎨ ⎬
⎩u by ⎭
]
[Ib]は2列のマトリックスで，その各列を構成するベクトル{Ix}，{Iy}は，それぞれ x，y 方向の自
由度に対応する成分が1でその他の成分が0のベクトル，また，{ub}の成分 ubx，uby は x，y 方向の
変位である。
式 (8.71)を式(8.69)に代入し，基盤の変位成分とその他の変位成分に分けると式 (8.69)は次のよ
うに書き直すことができる。
60
⎡M r
⎢ 0
⎣
(8.72)
0 ⎤ ⎧ur + ubr ⎫ ⎡ C r
⎨
⎬+
M b ⎥⎦ ⎩ ub ⎭ ⎢⎣C rb
C br ⎤ ⎧u r + u br ⎫ ⎡ K r
⎨
⎬+
C b ⎥⎦ ⎩ u b ⎭ ⎢⎣ K rb
K br ⎤ ⎧u r + u br ⎫ ⎧0⎫
⎨
⎬=⎨ ⎬
K b ⎥⎦ ⎩ u b ⎭ ⎩0⎭
変位{ub}は既知であるので，式(8.72)の上の式を書き下すと次のようになる。
[M r ]{ur } + [Cr ]{u r } + [K ]{ur }
(8.73)
= −[M r ][I b ]{ub } − ([Cr ][I b ] + [Crb ]){ub } − ([K r ][I b ] + [K rb ]){ub }
式(8.73)の右辺で{ub}が剛体変位であるから，右辺第３項は{0}となる。右辺第2項は，Rayleigh 減
衰（10.2.7項参照）のうち剛性マトリックス比例減衰を用いている場合や，相対的な速度差に比
例するような減衰（すなわち構造減衰）を用いている場合には{0}となる。質量比例減衰を用い
ている場合のように，質点の絶対速度に比例した減衰（粘性減衰）を用いている場合にはこの項
は{0}にはならないが，通常この項の影響は小さいとして無視される。これら2項を無視すると，
式(8.73)は次のようになる。
[M r ]{ur } + [C r ]{u r } + [K ]{u r } = −[M r ][I b ]{ub }
(8.74)
式(8.74)が剛基盤に対する運動方程式である。
剛基盤では，表層から基盤に入射した波動は，基盤で完全に反射して表層に戻ってくる。従っ
て，いわゆる地下逸散減衰（10.2.3項参照）の効果が考慮できない。弾性基盤は，基盤より下は
弾性体であるとして，地下逸散減衰を考慮できる手法である。ここでは 2 次元問題に対し，
Joyner66にしたがって弾性基盤のモデル化手法を示す。
図8.3a に示すようにに解析範囲の基盤に地震波が境界に直交して入射してくる二次元問題を考
える。座標系 x-y は y が基盤と直交（鉛直上向き）しているとする。地震波の進行方向が y 軸方
向であるから，x 軸は S 波の振動方向である。
(a)
(b)
(c)
図8.3 弾性基盤のモデル化の模式図
添字 I，R を入射波（incident wave），反射波（reflected wave）を表す量とする。すると，境界
上の点（実際には境界より少しだけ下の点）の速度は次のように表せる。
(8.75)
v x = v SI + v SR
次に，図8.3(b)に示すような，図8.3(a)のモデルの解析範囲を除いたモデル，すなわち基盤が解放
しているモデル（解放基盤）を考える。ここにも同じ地震波が入射してくるとし，このモデルの
解放基盤上の点の量に添字 F をつけることにする。解放基盤に直角に入射する波は位相が180°逆
転して反射するので，解放基盤の速度は次のように表される。
(8.76)
v Fx = 2v SI
ここで考えている波はいずれも平面波であり，その変位 u はいずれも位置と時間の関数として
次のように表される。
(8.77)
u SI = u SI ( y − Vs t )
61
(8.78)
u SR = u SR ( y + Vs t )
ここで，Vs はせん断波の速度である。この関係を利用すれば，ここで考えている３つの波により
生じるひずみはそれぞれ次のように表せる。
(8.79)
γ xyI = −
∂u SI v SI
∂u
v
, γ xyR = − SR = SR
=
VS
∂y
VS
∂y
ここで，VS は基盤のせん断弾性係数 G と，質量密度ρを用い
(8.80)
VS =
G
ρ
の様に表されるので，境界に発生する応力はそれぞれ次のようになる。
(8.81)
τ xyI =
v SI
G = ρVS v SI
VS
τ xyR = −
v SR
G = − ρVS v SR
VS
境界に作用する応力は入射波による応力と反射波による応力の和であるから，
(8.82)
τ xy = − ρVS (v SR − v SI ) = − ρVS (V x − VFx )
これまでの議論では1点の応力を考えたが，実際の解析ではこれを節点力に直す必要がある。
式(8.82)の応力を境界に作用する表面力と考えれば式(1.51)，(1.57)によりこれを行うことが可能
である。境界が直線であれば，節点に作用する力は両隣の節点の中点までの部分の合力であり，
奥行き単位幅当りについて次のようになる。
(8.83)
F = ρV S A(v x − v Fx ) = μ x (u x − u Fx )
λは基盤の長さ，μx は境界につける等価な境界であるダッシュポットの粘性係数である。
上記の式の誘導では無限地盤が弾性であること以外には，入射波，反射の進行方向が境界に直
交しているということしか仮定しなかった。このうち，入射波が境界に直交していることは，入
力地震動の与え方から成立しているが，反射波は解析範囲での応答の結果であり，必ずしも境界
に直交しているとは限らない。この意味で，式(8.83)は近似式である。しかし，1次元解析では反
射波も境界に直交しているので，式(8.83)は厳密なモデルである。
1方向に振動する地震波のみを考え，式(8.83)による節点力を運動方程式(8.69)に組み込むと，
次のようになる。
(8.84)
[M ]{u} + [C ′]{u} + [K ]{u} = μ {I }u f
ここで，{I}は基盤上の節点で地震波の振動方向の自由度成分が1で他の成分が0ベクトル，uf は解
析基盤が解法基盤であったときの変位である。また，
(8.85)
[C ′] = [C ] + [μ ]
[m]は対角マトリックスで，ダッシュポットのついている自由度だけ式(8.83)で定義されるダッシ
ュポットの減衰係数が入っている。
式(8.84)では，入力として速度を与えている。一般的には地震入力としては加速度が用いられ
ることが多いので，これは少し使いづらい。そこで，変位を基盤が解放基盤であったとしたとき
の変位とそれに対する相対変位に分ける。
(8.86)
{u} = {u r } + {I b }u f
ここで，{Ib}はダッシュポットのついている自由度方向の成分が1で他の成分が0のベクトルであ
る。式(8.86)を式(8.85)に代入すると次式が得られる。
(8.87)
[M ]{ur } + [C ′]{u r } + [K ]{u r } = −[M ]{I b }u f − [C ]{I b }u f
これで，解放基盤の動きの速度の項が消え，代わりに加速度の項が残った。すなわち，入力とし
て加速度が使えることになったわけである。なお，この式でも減衰が要素内の相対的な動きに比
62
例するような場合には右辺第2項は｛0}となる。
63
9
運動方程式の解き方
前章では，運動方程式の作り方を示した。ここでは，これを解く方法を説明する。解き方とし
て時間領域で解く方法と周波数領域で解く方法がある。前者は逐次積分と呼ばれ，後者は Fourier
変換と呼ばれることもある。
9.1
逐次積分型の運動方程式の解法
運動方程式は，時間と空間に関する偏微分方程式である。これを解く際には，空間と時間のそ
れぞれについて解を求める必要がある。この項では，有限要素法を前提として説明する。基とな
る運動方程式を次のように表す。
(9.1)
+ Cu + K u = −
Mu
∑ MI u
i
gi
ここで，M は質量マトリックス，C は減衰マトリックス，K は剛性マトリックス，Ii は対角マト
リックスで地震動 ugi の作用方向の自由度成分が1，その他が0である。FEM の定式化の部分を省
略したので，前項の支配方程式との関係がわかりにくいが，形式的にはどの定式化でも式(9.1)の
形に置くことができる。この場合，u は変位（基盤に対する相対変位）と水圧に関する自由度を
持っているし，k は剛性マトリックス以外に土骨格と水の連成項なども含まれるなど，実際の物
理的な意味と呼び名が異なるし，水圧が未知数の場合には解法も異なることがある。しかし，以
下の理解のためには，式(9.1)を単に土全体に対する（通常の固体の力学で扱うような）運動方程
式と考えた方がわかりよい。なお，式(9.1)の減衰マトリックスは，Biot の式から来る成分も含ま
れているが，通常はこれに速度に比例する減衰項を考えるのが普通である。この項は，前項の支
配方程式では説明されなかったので，少し説明しておく。
減衰には，内部減衰と外部減衰の二つがある。例として，ばね要素のような2節点の要素につ
いてその成分を書くと，次のようになる。
(9.2)
⎡ c − c⎤
内部減衰： C = ⎢
⎥
⎣− c c ⎦
⎡ c 0⎤
外部減衰： C = ⎢
⎥
⎣0 c ⎦
つまり，内部減衰は両節点の相対速度に比例して生じる減衰で，材料の内部にダッシュポットで
モデル化されるような減衰機構がある場合に生じる。これに対して，外部減衰は，たとえば物体
が水の中で振動するときのように，考えている領域外との力のやりとりで生じる減衰である。前
項の定式化ではこのような機構を最初の支配方程式を作る際に考慮しなかったので，前項で示し
た FEM に定式化された支配方程式にはこれらの項は含まれていない。内部減衰は釣合式を作る
際に変位に対応する応力以外に速度に対応する応力を導入しておけば要素剛性マトリックスとほ
とんど同じ手順で作ることができるし，外部減衰は右辺の F の中に速度に比例する境界力を考え
れば導入することができる。しかし，実務では，このような実際の物理量として導入されること
はほとんどなく，別の方法で計算されたり，別の目的で用いられる。
逐次積分法では，差分法を用いて運動方程式を解く。解法を示す前に，解法の基本的な考え方
を示す。運動方程式は物理現象を記述しているので，その解は一つのはずである。しかし，我々
が扱う問題では，①外力である地震力は離散化された点（時刻）で与えられている，②離散化さ
れた時刻の応答値を求めることが要求されている，という条件があり，この範囲では，運動方程
式の解は無限にある。たとえば，特定の時刻について式(9.1)を書き，変位と速度に任意の値を入
れ，式が成立する様に加速度の値を求めればそれは，運動方程式の一つの解となっている。これ
ら無限の可能性のある解のうち，最も本当らしいものを求めようとするのが，逐次積分法による
求め方である。
近似化の程度として，最も受け入れられるのは，与えられた外力（地震入力）の離散点の間を
直線で結んで時間に関し連続した外力を作ることであろう。すると，一自由度の場合には運動方
64
程式は解析的に解くことができる。このような解法を Nigam の方法67)といい，後に説明するよう
な不安定の問題がないので，応答スペクトルの計算などではよく用いられている。しかし，多自
由度系では解析解を求めることが困難になるので，それ以外には用いられない。
差分法として著名なのは，中央差分で，時間の関数 u(t)を用いて，速度，加速度を次のように
表す。
(9.3)
u (t ) =
u(t + dt ) − u(t − dt )
2dt
(9.4)
(t ) =
u
u(t + dt ) − 2u(t ) + u(t − dt )
dt 2
これは，3点 u(t-dt)，u(t)，u(t+dt)を通る応答を2次式に近似したことになる。式(9.1)を時刻 t につ
いて書き，運動方程式を代入すると，次式が得られる。
(9.5)
C ⎞
C ⎞
⎛M
⎛ 2M
⎞
⎛ M
⎜ 2 +
⎟u(t + dt ) = ⎜ 2 − K ⎟u(t ) + ⎜ − 2 +
⎟u(t − dt ) −
2dt ⎠
2dt ⎠
⎝ dt
⎝ dt
⎠
⎝ dt
∑ MI u
i
gi
(t )
すなわち，時刻 t と t-dt の値を基にして t+dt の値が陽に計算できる。特に，M が集中質量マトリ
ックスで C が0（または対角マトリックス）であれば，連立方程式を解くことなく運動方程式を
解くことができる。また非線形の応力－ひずみ関係を用いたときには，運動方程式の変位項は
Ku ではなく，f(u)と表されるが，この場合でも変位が既知であるので，その計算は簡単である。
このように中央差分は運動方程式を解くのが簡単であるという特徴がある。このほか，差分法の
一般的な解法としては Runge Kutta 法などもあるが，非線形の応力－ひずみ関係を用いる際には
コーディングが複雑になるなどの欠点もあり，通常はそれほど用いられない。
運動方程式は二階の微分方程式であるので，これ専用の差分式が実務ではよく用いられる。先
に Nigam の方法の際には外力を部分線形関数と置く近似法であるとした。これに対して，差分法
では応答値を近似する。この際，最も単純な近似は，離散点で与えられる応答の加速度が線形で
変化するというものであろう。すなわち，
(t + dt ) − u
(t )}
τ {u
(t + τ ) = u
(t ) +
u
(0 ≤ τ ≤ dt )
(9.6)
dt
変位と速度はこれを積分すれば得られる。時刻τ=dt について，変位，速度，加速度を求め，式
(9.1)に代入し，整理すると，変位増分 du に関する連立方程式が得られる。
(9.7)
⎛ 6u (t ) ⎞
⎛ 6M 3C
⎞
(t ) ) +
+ K ⎟du = M⎜
⎟ + C(3u (t ) + 0.5 dt u
⎜ 2 +
dt
⎝ dt
⎠
⎝ dt ⎠
∑M I
i
dugi
この方法は，加速度応答を部分線形関数に仮定しているので，線形加速度法と呼ばれる。中央差
分法との大きな違いは，解くべき時間の応答値を含んだ近似化を行っているので，必ず連立方程
式を解く必要があることである。中央差分のような方法を陽解法，これに対して線形加速度のよ
うな方法を陰解法という。線形加速度法は数値積分に伴う誤差も小さく優れた方法であるが，実
務ではそれほど用いられない。これは，後に述べる数値積分の安定性の問題があるからである。
この方法をより一般化したものに，Newmark のβ法と Wilson のθ法がある。Newmark のβ法では，
時刻 t+dt について速度および変位を次のように表わす。
(t ) + γ dt u
(t + dt )
u (t + dt ) = u (t ) + (1 − γ ) dt u
(9.8)
(9.9)
(t ) + βdt 2 u
(t + dt )
u(t + dt ) = u(t ) + dt u (t ) + (0.5 − β )dt 2 u
この方法は，γとβにより各種の補間関数形が選べる。ここで，γ = 0.5，β = 1/6と置くと線形加速
度法となる。実務的には，γ = 0.5とβ = 1/4の組合せがよく用いられる。この組合せでは，積分区
間で加速度を一定に仮定したことに相当し，中点加速度法などの名前で呼ばれることがある。
Newmark のβ法が，積分区間での関数形を変えようとしたのに対し，Wilson のθ法では，応答
を線形であると仮定する区間を t～t+θ dt まで広げるもので，θ=1であれば，線形加速度法と同じ
65
となる。この方法では，式(9.6)の dt をθ dt と置き換えた式を作り，解いた後で，t+dt までの応答
を求める。
系が非線形の場合には，これ以外に，予測子・修正子法というのもよく使われる。これは，非
線形の応力－ひずみ関係モデルによっては，接線剛性が計算できず，したがって，Newmark のβ
法などの適用が困難なケ－ス（接線剛性の計算を主体的に行わない考えもある），Newmark のβ
法を適用する際に仮定した剛性と実際の剛性の差が大きくなるので不釣り合い力を計算を行って
いる時間増分の中で小さくしたいケース，などに用いられる解法で，時刻 t から t+dt までの応答
を既知の量で推測し（予測子），次に時刻 t+dt で運動方程式が成立するようにイタレーションを
行う方法である。イタレーションの際には，時刻 t における応答値以外に，イタレーションの途
中の結果なども反映し，なるべく早く収束する様な応答予測が（修正子）行われる
逐次積分の方法がこのようにいくつもある理由は，手法の選択の基準が一つではないからであ
る。通常，①計算やコーディングの手間，②計算の精度，③安定性が考慮すべき要因である。こ
のうち，計算の精度は数値積分の時間間隔を小さくするなどすれば，よくすることが出来るので，
プログラムのコーディングの際の検討事項に入ることは少なく，一方，実務では，数値積分の時
間増分は与えられた地震動により決まってしまうのが普通で，最もなおざりにされている事項で
あるし，判断することも困難である。したがって，実務では①と③が重視される。このうち①に
ついてはこれまでの説明である程度明らかであろう。この面では陽解法である中央差分は陰解法
よりずっと優れている。しかし，数値積分の安定性という面ではとても優れているとは言えない。
なお，数値積分法の詳細に付いては，たとえば，文献68)，69)などを参照されたい。また，文献
70)や71)にはわかりやすい説明もある。
数値積分を行っていると，急に応答値が無限大に大きくなることがある。これが不安定現象で
ある。不安定現象は，数値積分の時間増分と密接に関係しており，不安定現象が起こらない数値
積分の時間間隔は，減衰の無い系で，中央差分法，Newmark のβ法でそれぞれ次のようになる。
(9.10)
dt ≤
2
ω
,
dt ≤
2
ω 1 − 4β
ここで，ωは系の最大円振動数である。Newmark のβ法でβ = 1/4がよく用いられるのは，これが
不安定現象が起こらない（無条件安定）最小のβの値である。中央差分法では無条件安定の方法
は無い。また，線形加速度法が，数値積分の精度もよく，昔の文献にはよく出てくるにも関わら
ず，現在ほとんど使われないのもこれが原因である。つまり，コンピュータがそれほど発達して
いなかった時代では，たとえば建物の地震応答を計算するのに，一つの階を一つのばねに置き換
えたり，いくつかの階を一つのばねに置き換えたりした。このようなモデルでは最大円振動数は
小さく（最小固有周期は長く），線形加速度法でも式(9.10)の条件を満たすことが出来た。しか
し，FEM が使われるようになり，メッシュのサイズが小さくなると最小固有周期は小さくなり，
よく用いられる0.01秒というような時間増分では式(9.10)を満たすことが出来なくなってきたので
ある。
Wilson のθ法では，無条件安定の条件は，θ ≥ 1.37である。この方法ではθを大きくすると，数
値積分の誤差が急激に大きくなるので，せいぜい1.4までの値しか使われない。
式(9.10)の条件が満たされていないと必ず発散する（不安定現象が起きる）かというと，必ず
しもそうではない。さらに，発散が起こらなければ正解であることが知られている。これは，計
算結果を見ていると，発散するときにはほんの数ステップの計算で，応答が無限大になってしま
うので，このようなことが起こらなければその結果は数値積分の観点からは信用してよいという
ことを意味している。つまり，たとえば最大応答が1020の様な大きな値が得られたとしても，こ
れが有限な値であれば，それは不安定現象が起こったためではなく，実際にそのような挙動をし
ているのか，コーディングやデータ作成に誤りがあったためと考えられる。なお，式(9.10)には
無条件安定のための条件が示されているが，特に非線形解析では，この条件を満たしているにも
関わらず，発散した例が（特に Wilson のθ法では）少なからず報告されている（たとえば文献
66
72)）。この原因は筆者には不明である。また，安定していることが良い近似解ではないことは
当然であるが，たとえば文献73)には極端な例も示されている。
逐次積分法による数値積分では，変位の時間に関する関数形を規定したわけで，その代わりと
して，人為的な減衰が発生する。つまり，無減衰の系を解いたとしても応答は次第に小さくなっ
ていく。これを数値減衰と呼ぶ。数値減衰は，高次の振動ほど減衰が大きく，通常の実務の範囲
では，興味のあるような振動数領域ではその影響はかなり小さい。また，特に Wilson のθ法は減
衰が大きい73)。これは，数値積分の誤差という観点から見れば問題であるが，数値計算の安定性
という観点からは好ましいこともある。たとえば非線形計算などで，不釣り合い力を考慮すると，
数値計算上は衝撃的な力を加えたことになり，加速度がノイズのように乱れる現象がよく見られ
る。これは，実現象とは異なることなので，応答から消した方が好ましい。数値減衰が大きけれ
ば，自然にノイズを抑えてくれる。Wilson のθ法は，同じ無条件安定の手法である中点加速度法
に比べれば数値計算の誤差も大きく，安定性の問題があるときもあるにも関わらず，液状化解析
ではしばしば使われるのは，この辺の事情によると考えられる。
9.2
周波数領域の解法
運動方程式を周波数領域で解く方法は，一次元解析では重複反射法と呼ばれる。まず，周波数
領域で解くことの物理的な意味を考える。
時間 t と空間 x に関する変数である変位 u を次のように変数分離する。これは，後に説明する
フーリエ級数展開である。
(9.11)
u(x, t ) = ∑ u i (x)e iω t
i
i
すると， u は空間のみの関数となる。式(9.11)を運動方程式に代入し，各振動数ごとの振動の直
交条件を用いれば，各振動数成分についての空間のみに関する常微分方程式が得られる。各振動
数成分ごとに運動方程式を解き，後で，式(9.11)に基づき重ね合わせて解を得ようと言うのが周
波数領域の解法の基本的な考え方である。
この方法は，式(9.11)が成立する，すなわち，線形の系（応力－ひずみ関係が比例関係にある
と理解するとよい）である場合にしか適用できないという大きな制限がある。一方では，空間に
関する常微分方程式が得られることから，支配方程式が解析的に解けるようになったり，そこま
ではいかなくても解くのが楽になったりするという長所がある。また，高速フーリエ変換
（FFT）の利用，興味の対象となる振動数成分だけしか計算しない，増幅関数の補間などといっ
た計算時間を節約できるテクニックも使える。
線形の系にしか使えないと言うことは，非線形の応力－ひずみ関係を表現する事ができないと
言うことである。この問題を解決するために，複素剛性という考えが導入される。しかし，液状
化に伴う問題までも，有効な近似の範囲で定式化することはできないので，次章で述べる全応力
解析の範囲までの解析となる。
周波数領域の解法を理解するには，最低限二つの事項を理解する必要がある。一つはフーリエ
級数展開，もう一つは複素剛性である。ここでは，これらの基本的な事項を述べた後，周波数領
域の解法を示す。
9.2.1
フーリエ級数展開
フーリエ級数展開については，文献67)が詳しいので，必要に応じてこれを参照されたい。こ
こでは，基本的な考えのみを示す。
時間間隔Δt で，N 個のデータが与えられたとき，これを周期 T = NΔt の周期関数とすれば，有
限フーリエ級数により元の関数を次のような有限フーリエ近似 u~(t ) で表すことが出来る。
67
(9.12)
A N / 2 −1
A
N
u~ (t ) = 0 + ∑ ( Am cos ω m t + Bm sin ω m t ) + N / 2 cos( ω N / 2 t )
2
2
2
m =1
ここで，
(9.13)
ωm =
2π
m
NΔt
は各周波数成分に対応する円振動数である。有限フーリエ級数の各成分は互いに直交している。
(9.14)
(9.15)
Am =
Bm =
N −1
2
N
∑u
2
N
∑u
k
cos(ω m kΔt ) k = 0,1,2," N / 2
k
sin(ω m kΔt ) k = 1,2," N / 2 − 1
k =1
N −1
k =1
一方，複素フーリエ級数では式(9.12)に対応する式を次のように表す。
(9.16)
1 N −1
1 N −1
u~ * (t ) = ∑ ( Am − iBm )e iωt = ∑ C m e iωt
2 m=0
2 m=0
ここで，
(9.17)
Cm =
Am − iBm
2
は複素振幅である。
複素フーリエ変換では，N 個の複素数の和として関数が定義されているので合計2N 値の自由
度があるが，元の関数が実数である場合には
(9.18)
Am − iBm = AN −m + iB N −m m = 1,2," N / 2
(9.19)
B0 = B N / 2 = 0
という関係があるので，最初の N/2+1項（m=0, 1, 2, ･･･,N/2）を計算すれば残りの部分は計算す
る必要がない。
フーリエ級数展開された，各周波数成分の振幅と周波数との関係を，フーリエスペクトルと呼
ぶ。すなわち，フーリエスペクトルとは，基になる波形に含まれる各周波数成分の大きさを表し
ている。ただし，一般には，フーリエ級数展開の係数にその周期を掛けたものをフーリエスペク
トルと呼ぶ。
9.2.2
減衰モデルと応力－ひずみ関係
すでに，複素剛性として説明した。
9.2.3
重複反射法
一次元問題を周波数領域で解く解法を重複反射法と言うことがある。この言葉の意味を理解す
ることは重要である。
基盤から入射した地震波は層の境を通過するとき，一部は透過し，一部は反射する。次々と波
が入射するとき，波動論に基づいて応答を求めるには，各波動成分について，このような波動の
伝播の際の透過，反射を次々追跡する過程を順番に求める必要がある。しかし，周波数領域の問
題にすることでこのよう手間の掛かる過程を避けることができる。
周期 T に対してフーリエ級数展開したと言うことは，非定常の波形を図9.1に示したように，
周期 T の周期関数に置き換えたことになる。そして，これを各周波数成分に置き換えるのである
から，各周波数成分は，図9.1の下の図に示したように，連続した関数である。つまり，各周波
数成分についてみれば，定常状態を扱っていることになる。すると，反射，屈折も定常敵に起こ
っている事になり，上に挙げたような面倒な手続きを行い必要がなくなる。また，議論は，各周
68
波数成分の振幅だけに着目すれば良いことになる。以下ではこの過程を説明する。
図9.1 フーリエ変換のイメージ。フーリエ変換では積分時間 T で周期的に変化する
関数を考えたことになる。
図9.2に示すような地盤の中の角柱を考えると，運動方程式（釣合式）は次のようになる。
図9.2 地盤の中の角柱に作用する応力
(9.20)
∂τ
∂ 2u
=ρ 2
∂z
∂ t
次に，前節で考えた減衰モデルを考慮したときの応力－ひずみ関係は式(6.26)に示されている
が，再掲すると次のようである。
(9.21)
∂τ
∂γ
+ 2hωτ = G
∂t
∂t
これらより，波動方程式を導く。まず(9.21)を深さ z に関し微分する。
(9.22)
∂ ∂τ
∂τ
∂ 2γ
⋅
+ 2hω
=G
∂ t ∂z
∂z
∂ t∂ z
一次元解析で現れるせん断ひずみγの定義式は次式である。
(9.23)
γ =
∂u
∂z
式(9.22)に式(9.23)および(9.20)を代入すると次式を得る。
69
(9.24)
∂ 3u
∂ 2 u G ∂ 3u
ω
+
2
h
−
=0
∂ t3
∂ t 2 ρ ∂ t∂ z 2
式(9.24)が変位で表した波動方程式である。
式(9.24)を一般的に解くことは困難である。そこで，まず，地盤はいくつかの均質な層の集合
で構成されていると考える。また，材料性状は時間には依存しないとする。ある均質な層を取り
上げ，z 軸の原点をその層の上部にとる。また，後の述べるフーリエ級数展開された各周波数成
分のみを扱うことにする。すなわち，変位 u を次式のように空間と時間に関し変数分離する。
(9.25)
u = U ( z ) e iω t
式(9.25)を式(9.24)に代入し，ωおよび eiωt は0ではないという性質を利用すれば，次式が得られ
る。
(9.26)
d 2U ρω 2
+
(1 − 2h 2 )U = 0
G
dz 2
または，式(6.29)で定義した複素剛性を用いれば次式のようにも表される。
(9.27)
d 2U ρω 2
+ * U =0
dz 2
G
また，複素波数（complex wave number または伝播定数 propagation constant）k を
(9.28)
k =ω
ρ
G*
用いれば，次のように表すことも出来る。
(9.29)
d 2U
+ k 2U = 0
dz 2
式(9.29)の一般解は次のように表される。
(9.30)
U ( z ) = Ee ikz + Fe − ikz
式(9.25)に代入し，次式を得る。
(9.31)
u ( z , t ) = Ee i ( kz +ωt ) + Fe − i ( kz −ωt )
この式の右辺第1項は z 軸の負（すなわち上方）に進む波動，第2項は z 軸の正（すなわち下方）
に伝播する波動を表し，E，F はそれぞれの波の振幅を表している。これらの値は解析範囲の両
端における境界条件および異なる媒質の境における連続条件より求めることが出来る。
式 (9.31)により変位が得られれば，せん断ひずみおよびせん断応力は式 (9.23)および式(6.28)よ
り求めることが出来，次のようになる。
(9.32)
(9.33)
γ = ik (Ee ikz − Fe −ikz )e iωt
τ = iG * k (Ee ikz − Fe −ikz )e iωt
これらを用いて，成層地盤を解く。図9.2に示した地盤を均質な地盤の集合で表し，その上か
ら m 番目の層と m+1番目の層を図9.3に示す。m 番目の層と m+1番目の層の境界では変位および
せん断応力は連続している必要がある。
70
図9.3 成層地盤のモデル化
変位の連続条件は次のように表される。
(9.34)
u m ( z = hm , t ) = u m +1 ( z = 0, t )
式(9.31)を代入して，次式を得る。
(9.35)
E m e ikh + Fm e − ikh = E m +1 + Fm +1
m
m
同様に，せん断応力の連続条件は次のように表される。
(9.36)
(
)
Gm* k m Ee ikh − Fe − ikh = Gm* +1 k m +1 (E m +1 − Fm +1 )
m
m
式(9.35)と式(9.36)より，次式が得られる。
(9.37)
E m +1 =
1
E m (1 + α m )e ik
2
m hm
+
1
Fm (1 − α m )e −ik
2
(9.38)
Fm +1 =
1
E m (1 − α m )e ik
2
m hm
+
1
Fm (1 + α m )e −ik
2
m hm
m hm
ここで，
(9.39)
αm =
k m Gm*
k m +1Gm* +1
は二つの層のインピーダンス比の複素表現である。
次に地表における応答を考える。地表では式(9.33)より
(9.40)
E1 = F1
がえられる。式(9.37)，式(9.38)は漸化式となっており初期条件として式(9.40)を与えれば，各層
の入射波，反射波の振幅比を得ることが出来る。したがって，もう一つの境界条件として，地震
波の大きさを与えれば，全地盤の応答を求めることが出来る。
地震波として与えるのは，入射波（E）でも反射波（F）でも，また，複合波（E+F）でも構わ
ない。実務的に用いられるのは，入射波（E）または複合波（E+F）であるが，これ以外に解放
基盤複合波が用いられることがある。解放基盤とは，表層地盤が無く，基盤がちょうど地表面と
なっているような条件のことである。式(9.40)よりこのような面では入射波と反射波の大きさは
等しいので，波動の大きさは2E と書くことが出来る。
ここで示したのは，波動を入射波と反射波に分け，連続条件を用いることで，隣接する層の波
動が漸化式として与えられる事を巧みに利用して偏微分方程式を厳密に解く方法である。このよ
うな解法を重複反射理論という。
71
9.3
等価線形化解析
周波数領域の解析では，最初にも示したように，線形の系しか解析できない。履歴減衰は複素
剛性で近似的に考慮できることは以前に示したが，これまでは，ひずみに依存した非線形の考慮
方法そのものは述べてこなかった。
周波数領域の解析で，ひずみに依存した非線形を考慮する方法として，等価線形化解析がある。
この方法では，解析に用いる剛性と減衰は，G-γ関係と h-γ関係で有効ひずみγeff における値を用い
る。有効ひずみは最大ひずみγmax に対して
(9.41)
γ eff = α γ max
で計算される。式(9.41)の関係は陽には決まらないので，これを満たすまでイタレーションを行
う。また，αの値は0.65を使うことが普通である
72
10 注意事項
10.1 応力の扱いと数値積分
表10.1に各種の解法に用いられる基本的な考えをまとめている。なお，ここで，ダイレイタン
シーの考慮の項は，地震応答の途中にダイレイタンシーによって起こる材料特性の変化を陽に考
慮することを意味している。4章で示すように，せん断ひずみに伴う材料の非線形性を表すのに
最も普通に使われる G-γ関係，h-γ関係には，ダイレイタンシーの効果が含まれているが，このよ
うなケ－スを指しているわけではない。
表10.1 地震応答解析に用いられる解析法と支配方程式・材料特性の関係
解析法
ダイレイタンシ
ー
材料特性
非線形の扱い
考慮
有効応力解析
全応力解析
考慮しない
考慮しない
逐次変化
一定
（地震前の値）
支配方程式
二相系
非線形法
一相系
等価線形法
最初に非線形法で用いられる仮定を考える。最も厳密な方法は，有効拘束圧が変わるごとにこ
れを反映して材料特性を変える方法である。これを有効応力解析と呼ぶ。有効応力解析を行うた
めには，Biot の式を支配方程式とする必要がある。
これに対し，地震動は，正負の繰返し載荷を伴うので，有効拘束圧も平均値の付近で正負の振
動をしているだけだと考えれば，最初の近似として，材料特性は平均値（正確には地震前の値）
で評価し，地震中は変わらないと仮定することが出来る。このような手法を全応力解析と呼ぶ。
名前は全応力が使われているが，材料特性は有効応力で評価されていることに注意されたい。材
料特性を全応力で評価することは絶対といってよいほど行われない。たとえば，材料試験のうち，
三軸試験では，繰返し軸方向応力を加えているので，試験中に有効拘束圧は振動している。しか
し，これを整理するときには，初期有効応力下における材料特性として表現している。この考え
と，全応力解析は，基本的に一致する考えであろう。平均値の回りで有効拘束圧が変化する場合
であれば，全応力解析は有効な近似であるといえる。この近似の精度が落ちるのは，振動の中間
値が時間とともに変化する場合である。たとえば液状化や圧密解析の場合がこれに相当し，前者
では時間とともに有効応力が減少するし，後者では増加する。したがって，これらの解析では，
全応力解析の精度は悪く，挙動追跡の目的では実用的には用いられることは無い。
地震応答解析に議論を絞れば，有効応力解析が絶対に要求されるのは，液状化解析のように構
成則でダイレイタンシーを考慮している場合である。乾燥状態でも，ダイレイタンシーを考慮す
ると有効拘束圧（の中央値）は単調に変化することが多い。しかし，ダイレイタンシーを考慮す
ると，構成則は煩雑になる。したがって，液状化のようにダイレイタンシーの考慮が必須なケ－
スを除けば，地震応答解析で重要なのはせん断挙動であることから，ダイレイタンシーを考慮し
ない構成則を使うことも考えられる。この場合，支配方程式は二相系，一相系どちらも使い得る。
しかし，ダイレイタンシーを考慮しないと，地震の作用時間程度では間隙水の流れる要因は余り
ない（圧密解析ではある）ので，二相系の式を使う必然性は少なく，実用的にも行われていない。
一相系の式では，間隙水との連成を考えていないので，透水により有効応力が変化する場合には
誤差は非常に大きいが，たとえば構造物の直下で構造物のロッキングによる拘束圧の変化を考慮
したいケ－スなどでは理論的には使われてもよい解法であろう。また，この方法は，一次元解
73
析・非線形全応力解析と相通じるものがあり，完全に使われないわけではない。その意味では，
本来全応力解析に分類すべきものかもしれない。したがって，地震応答解析では，有効応力解析
といえば，材料のダイレイタンシーを考慮して Biot の式を非線形法で逐次積分しながら解いてい
ることを意味すると捉えるのがわかりやすい。
全応力解析では，非線形法と等価線形法がある。非線形法は有効応力解析のダイレイタンシー
を考慮しない，一相系の式との違いは，材料特性を地震前の有効応力に基づいて決めているか，
地震中の有効応力の変化を考慮しているかである。一次元の問題では，鉛直方向と水平方向の運
動方程式が（ダイレイタンシーを考慮している場合でも）分離できるので，非線形法が使われる
ケ－スは多々ある。実際，多くの一次元の液状化解析プログラムでは，全応力解析というフラグ
を用意し，この解析を行なうことが出来る。ところで，一次元の問題では，構成則にダイレイタ
ンシーを考慮しなければ，有効拘束圧は変わらない。したがって，非線形法に基づく全応力解析
は，ダイレイタンシーを考慮しない有効応力解析と呼ぶこともできる。このように，ダイレイタ
ンシーを考慮しないケ－スでは，有効応力解析と全応力解析の境界はかなり曖昧なものである。
中間的という意味では，たとえば液状化に伴う過剰間隙水圧や有効拘束圧の変化を別の方法で計
算し，これを入力として取り込みながら一相系の全応力解析を行う手法も提案されている24)25)。
この手法は，応答変位法のように地盤と構造物の相互作用をばねで代表させるような手法で，液
状化の過程を追跡するような解法では主流となっている。
等価線形法を使う場合には，材料特性は線形に限られるので，必然的に材料特性は地震前の値
で代表せざるを得ない。ということは，全応力解析しか使えないことになる。液状化の効果も考
慮して行う試みも無いわけではないが，現在でも曖昧な「等価」の意味1がさらにはっきりしな
くなるし，一意的に線形な系を作ることは困難なようである。
10.2 減衰
減衰は，系の応答を支配する重要な要因の一つである。減衰については，これまでもたびたび
示してきた。ここでは，これらをまとめて示す。
10.2.1 減衰係数と減衰定数
例えば一自由度系の運動方程式は次のように書ける。
(10.1)
mx + cx + kx = − mug
また，両辺を m で割ると，次のようになる。
(10.2)
x + 2hωo x + ω02 x = − mug
ここで，m は質量，k はばね定数である。
(10.3)
ω0 =
(10.4)
h=
k
m
cω
c
= 0
2mω0
2k
このように書くとき，c を粘性係数，h を粘性定数と呼ぶ。すなわち，c は速度を掛けると力にな
る単位を持った量であるのに対し，h は無次元量である。減衰定数は，式(10.1)の右辺が0，すな
わち自由振動を考えたとき，振動を示さない減衰定数 cc に対する比として定義されている。すな
1
数学的は，等価という用語は，見掛けは違うが本質は同じであるものに対して用いられるが，
ここでは近似解法を等価と呼んでいるだけである。最近では，これに輪を掛けて，地盤工学の分
野では，線形の系に置き換えることを等価と呼ぶことも多く，実際の意味とはかけ離れたイメー
ジとなっている。
74
わち，
(10.5)
h=
c
,
cc
c c = 2 mk
実務では，減衰係数が使われることはほとんど無いと言って良い。全て減衰係数が使われる。
これは，減衰には色々な要因が影響していること，無次元量の方が使いやすいことなどが原因と
考えられる。
10.2.2 履歴減衰
履歴減衰は，応力－ひずみ関係がヒステリシスを描くためにエネルギーを吸収することで生じ
る減衰である。周波数領域の解析では，複素剛性の中に，また，逐次積分型の解析では応力－ひ
ずみ関係の非線形性の中に考慮されている。
10.2.3 逸散減衰
（地下）逸散減衰は，地震波動が解析対象範囲から周辺の地盤に伝わることによって，解析対
象範囲のエネルギーが減少するために生じる減衰である。重複反射理論に基づく解析では自然に
考慮されている。また，逐次積分型の解析では，弾性基盤を使うことで考慮できる。上部構造の
解析で，プログラムがこのような機能を持っていないときには，系全体の減衰を大きくするなど
して考慮された事もあったが，地盤の地震応答解析専用のプログラムでは，ほとんど，弾性基盤
を考えることができる。
弾性基盤を使うと，まれに，基盤位置の加速度が非常に大きくなる現象が起きる。これは，非
線形解析で最下層の不釣り合い力を配分する際の起きる現象と考えられる。つまり，基盤に相当
する節点の質量は，基盤直上の層の集中質量の半分であるのに対し，その上側では上の層の質量
も加えられる。不釣り合い力は層の上下に振り分けられるが，下の層が質量が少ないためにパル
ス的な波動が起きやすいためと考えられる。状況は地表も同じように見えるが，地表ではせん断
強度が小さいため不釣り合い力もずいぶん小さくなる。
10.2.4 散乱減衰
地盤は，同じ地層といえども均質ではなく，局所的にも大局的にも不均質であるのが普通であ
る。このような地盤に波動が入射すると，剛性の変わるところで波動は反射，屈折するので，ま
っすぐ進むことはできない。一方，解析では，同じ地層は均質であるとしている。均質であれば
波動はまっすぐ進むが，実際には曲がりながら伝播するのであるから，経路が長くなっている。
これを均質な地盤として見ると，経路が長くなる分，減衰が生じていることになる。このような
減衰を散乱減衰という。
散乱減衰は，周波数に依存して減衰定数が変わり，高周波数成分ほど減衰が小さくなる。この
ような減衰を適切にモデル化する方法は（DYNEQ に用いられているような周波数依存の減衰を
考慮しない限り）ない。一定減衰としてモデル化する際には，3～5%の減衰を用いるのが良いと
されている74)。
10.2.5 粘性減衰
速度に依存した，通常の運動方程式で最も普通に仮定される減衰である。例えば，構造物が水
中で振動するときには粘性減衰は大きな役割を果たす。しかし，空中で振動するときには，ほと
んど影響がない。実務ではこの減衰が意味を持つことはほとんど無い。
75
10.2.6 数値減衰
数値積分とは，実現象に起因する減衰ではなく，逐次積分型の数値積分の過程で自然に入って
いる減衰である。Newmark のβ法では，βの値が大きくなると，Wilson のθ法では，θの値が大き
くなると，数値減衰の値は大きくなる。余り大きくなることは，解の精度上問題もあるので，数
値減衰は小さくする必要がある。
数値減衰が作用するのは，主として高周波成分に対してである。そこで，わざと小さい数値減
衰を考慮し，高周波成分の応答を押さえる（非線形の逐次積分法では高周波成分の加速度が暴れ
ることは良くある）ことも行われる。例えば，Wilson のθ法ではθ=1.37以上は無条件安定である
が，θ=1.4での解析が多く行われている。ただし，この方法では1.4以上の値とすると，誤差が大
きくなりすぎて好ましくない。
10.2.7 Rayleigh 減衰
これまでに，色々な減衰を示した。履歴減衰，逸散減衰，散乱減衰，粘性減衰などが，解析時
に考慮すべき減衰であるが，このうち，散乱減衰以外は，地震応答解析プログラムでは直接的に
その減衰をモデル化することが可能である。しかし，散乱減衰は，通常のプログラムでは，直接
考慮することはできない。
特に，散乱減衰をターゲットとしたものではないが，逐次積分法に基づく地盤の地震応答解析
では，粘性減衰を直接指定する方法として，ほとんどのプログラムが Rayleigh 減衰という減衰を
装備している。実務における計算では，この減衰を上手く使うことが非常に重要である。
Rayleigh 減衰は，減衰マトリックスを次の式で作るものである。
(10.6)
[C ] = α [ M ] + β [ K ]
つまり，質量マトリックスと剛性マトリックスの重み付和で減衰マトリックスを作るものである。
一項のみを考慮するときには，質量比例減衰とか剛性比例減衰と呼ばれることもある。重みに相
当する係数，a，b は次元のある量で，次元も異なる。
これらの係数と，系の固有振動モードとの間には次のよ
うな関係がある。
(10.7)
hi =
βω i
α
+
2ω i
2
ここで，hi は i 次の固有モードに対する減衰定数，ωi は
i 次の固有モードの円振動数，すなわち，
(10.8)
ωi =
2π
= 2πf i
Ti
である。従って，次元量に関する議論をしなくても減衰
係数から値を決めることができる。
図10.1 Rayleigh 減衰
式 (10.7) の関係を図示すると，図 10.1 の様になる。つ
まり，αは低周波数の振動成分に影響が大きく，βは高周波数成分に影響が大きい。
実務で，この減衰を考慮するのは，主として二つのケースに限られる。一つは数値計算の安定
の目的で使われるものである。高周波成分の安定を良くするために，通常，剛性比例減衰として，
0.1～0.5%程度の減衰を考える。もう一つは散乱の減衰に対応するものである。減衰が一次モー
ドと二次モードの減衰が3～5%程度となるように入れるのがよい。
76
11 YUSAYUSA の理論と使い方
11.1 理論
YUSAYUSA-2は，水平成層地盤の地震時挙動を求めるためのプログラムで，その特徴は次の
通りである。
① 全応力解析と有効応力解析の両方を扱うことができる。
② ひずみに依存する非線形性を考慮することができる。
③ 繰り返しせん断を受けることによる過剰間隙水圧の発生を考慮することができる。
④ 過剰間隙水圧の消散，その過程における地下水の流れ，地下水位の変化などを考慮する
ことができる。
⑤ 弾性基盤，すなわち，地下逸散減衰を考慮することができる。
YUSAYUSA では，水と土の２つの材料からなる成層地盤を，全応力解析，または Biot の式に
基づく基礎式（有効応力解析）を用い，１次元有限要素法で解析している。これら基礎式の誘導
は，文献75)に詳しく示されているが，透水の部分についてはその後東畑により改良が行われて
いる。
１次元解析の場合，Biot の式は，水平方向の運動方程式と，鉛直方向の水の移動を表す方程式
に分けられる。YUSAYUSA-2では，これらを別々に解いており，その大まかな手順を図11.1に示
す。図から分かるように，YUSAYUSA では，運動方程式と，透水方程式を別々に解いているが，
それぞれの計算結果はもう一方の方程式を解くために必要なので，各積分ステップごとに結果の
やりとりをしているのが特徴である。
応力－ひずみモデル
間隙水圧モデル
水平方向運動方程式
鉛直方向透水方程式
加速度
速度
変異
過剰間隙水圧
液状化
図11.1
YUSAYUSA-2による解析の流れ図
11.1.1 せん断応力－せん断ひずみ関係
YUSAYUSA-2では双曲線モデルと Ramberg-Osgood モデル（修正 R-O モデルと呼ばれることも
ある）を採用している。それぞれのモデルは既に説明したので，ここでは説明しない。
YUSAYUSA-2で用いている双曲線モデルと Ramberg-Osgood モデルは，モデルパラメータの一
部である，微小ひずみ時のせん断弾性係数（Gmax）とせん断強度（τmax）が，有効応力（ σ v′ ）の
関数として次のように表されている.
( B − e) 2 ⎛ 1 + 2 K o ⎞
σ v′ ⎟
⎜
1+ e ⎝ 3
⎠
(11.1)
Gmax = A
(11.2)
τ max = c + σ v′ tan φ
ここで， e
K0
C
：間隙率
：静止土圧係数
77
c
：粘着力
φ
：内部摩擦角
A，B，C ：材料に固有のパラメータ
なお，砂質土では常に c=0が仮定されている。
11.1.2 運動方程式
水平方向の波動方程式は，式(11.3)で与えられる。
(11.3)
γ ∂ 2u x
g
⋅
∂t
2
=
∂τ
∂z
ここで， ux ：水平方向変位
γ ：単位体積重量
g ：重力加速度
z ：深さ
応答計算を行う際には，地盤を図11.2に示すような，せん断ばね－集中質点系に離散化する。
地盤の逸散減衰を考慮する時は，さらに基盤に弾性境界を設ける。すなわち，解析範囲下端と解
放基盤の間をダッシュポットで繋ぐ。
数値積分は，Newmark のβ法によって行なう。
ρ 1 , G1
ΔZ1
k1 , C1
ρ i , Gi
ΔZi
ki , Ci
ρ n , Gn
ΔZn
CR = ρ RVR
kn , Cn
m1
m2
mi
mi+1
mn
mn+1
図11.2 水平地盤のモデル化
11.1.3 間隙水圧モデル
間隙水圧の上昇は，有効応力径路法で求める。この方法は，せん断応力の変化に対する過剰間
隙水圧の発生量を，τ- σv′ 曲線上であらかじめ決めた径路にそって応力点が動くと考えることによ
り予測するものである。応力径路は，次のように決められている。図11.3に応力経路を模式的に
示す。
①水平面上のせん断応力τと，鉛直有効応力 σ v′ との比τ/ σ v′ ＝一定なる降伏条件を仮定する。降伏
曲面は，正負のτに関し独立とする。
②降伏時の σ v′ -τ平面上の応力径路を，次のような放物線で表す。
(11.4)
ここで， Bp
σ v′ = m −
Bp
m
τ2
：水圧のあがりやすさを表すパラメータ
78
m
：τ- σ v′ 平面上で放物線の位置を決めるパラメータ
なお， σ v′ の減少量は，非排水条件での過剰間隙水圧発生量に等しい。
破
壊
線
変
低
拘
束
圧
下
の
破
壊
線
τ
相線
⎞
⎛ τ
τ ⎞⎛ σ ′
Δσ ′v = − Bu ⎜
− R ⎟ ⎜ v − κ ⎟ Δτ
⎝ σ ′vo σ ′vo ⎠ ⎝ σ ′vo
⎠
接する直線
σ ′v
σ ′v = m −
Bp
m
τ2
2
2
⎞
τ
⎛ σ ′v ⎞ ⎛
⎟ =1
⎜ ⎟ −⎜
⎝ m ⎠ ⎝ m tan φ L ⎠
図11.3 有効応力経路の模式図
③除荷時でも，水圧はわずかに上昇する。このときの応力径路は，式(11.5)，(11.6)で表す。
(11.5)
σ v′ ≥ κσ vo′ のとき
(11.6)
σ v′ < κσ vo′ のとき
ここで， Bu
σ vo′
κ
⎛ τ
⎞
τ ⎞⎛ σ ′
Δσ v′ = − Bu ⎜⎜
− R ⎟⎟⎜⎜ v − κ ⎟⎟Δτ
′ σ vo
′ ⎠⎝ σ vo
′
⎝ σ vo
⎠
′
dσ v
=0
dτ
：水圧の上がり易さをコントロールするパラメータ
：初期有効応力
：水圧の発生量をコントロールするパラメータ
④変相角（θs）が存在し，一旦τ/ σ v′ が tanθs を越えると次のような応力径路をたどる。
τが増加するとき，応力経路は双曲線で表され，過剰間隙水圧 ug は減少する。
2
(11.7)
ここで， θL
(11.8)
⎞
⎛ σ v′ ⎞ ⎛ τ
⎟⎟ = 1
⎜ ⎟ − ⎜⎜
⎝ m ⎠ ⎝ m tanθ L ⎠
：有効応力が小さいときの内部摩擦角で，次のように与えられている。
tan θ L = 1.4 tan θ s
一方，τが減少するとき，それまでたどってきた，双曲線の接線上を動く。このとき過剰間隙水
圧は上昇する。
⑤ σ v′ が初期応力に比べて充分小さくなった場合に完全液状化と見なし，以後τが増えるときも，
減るときも，応力経路は双曲線上を動く。
11.1.4 透水方程式
YUSAYUSA では，Biot の式に基づく定式化をしているが，前述のように，支配方程式を運動
方程式と，透水・圧密の部分に分けて考慮しているのが特徴で，従って，透水の部分を考える際
には，慣性力の項は含まれていない。YUSAYUSA の透水方程式の解き方は，それほど一般的で
はないことから，ここではその詳細は示さない。必要に応じてマニュアルを参照されたい。
79
11.2 土質定数の決め方
11.2.1 基本的な考え方
この節では，解析に用いる土の定数の決め方について，その関係を整理する。
①変相角θs，低拘束圧下での内部摩擦角θL
三軸試験，単純せん断試験結果より，変相角と低拘束圧下での内部摩擦角との関係は，次のよ
うになることが知られている。
(11.9)
tan θ s =
5
tan φ L
8
また，低拘束圧下での内部摩擦角は，通常定義される拘束圧100kN/m2～ 300kN/m2 での内部摩
擦角φよりは大きくなる。おおよそ次の関係が成立する。
(11.10)
tan φ L = 1.4 tan φ
したがって，内部摩擦角φと変相角θs との関係は次のように表される。
(11.11)
tan θ s = 0.875 tan φ
②κ
κは，繰返し数が多くなっても液状化しない応力比を示すパラメータである。せん断応力振幅
τa（応力比 R∞）より小さい応力振幅では液状化が発生しないとすると，κとτa は次のような関係
がある。
(11.12)
R∞ =
τ a κσ vo′ tan φ
,
=
σ vo′
σ vo′
κ=
τa
σ vo′ tan φ
応力比
κは，通常，0.06～0.1の範囲の値となる。
R∞ =
τa
σ ′vo tan φ
R5
R20
R∞
5
20
繰返し数
図11.4 液状化強度曲線の模式図
③Bp，Bu
載荷時および除荷時の間隙水圧の上昇の程度を表すパラメータ Bp，Bu は，実際の液状化現象
をシミュレーションできるように決めるのが原則である。ところで，実際の現象をシミュレーシ
ョンするといっても，合わせるべき要因は，有効応力経路，応力－ひずみ関係，液状化強度曲線
等多数あり，これらを全て同時に合わせることは一般的には不可能である。これらのうち，応力
－ひずみ関係については，次項でその値の決め方を示しており，ここで問題としている Bp，Bu
の役割ではないと考えられる。また，有効応力経路の詳細まで合わせようとする事は，困難でも
80
せん断応力
あり，また，実用的にはそれほど意味のあることではない。実用的な観点からいえば，液状化強
度曲線と過剰間隙水圧の発生量－繰り返し数関係がシミュレーションできればほぼ完璧といえよ
う。実際には，それだけを完全に合わせることも難しいし，また，実際の適用ではそこまでデー
タが与えられることも少ない。
これらの値は振動三軸試験結果を基に決めることができる。ここではまずこの方法を説明する。
水平成層地盤の解析に用いるためにはさらに静止土圧係数 Ko を考慮して修正する必要があるが，
これについては，後で説明する。両者を区別するために，以下では振動三軸試験の結果に基づく
Bp，Bu の値はそれぞれ B'p，B'u と，「'」をつけて表すことにする。
まず，B'p の値は，第１サイクル目の過剰間隙水圧の発生量を元にして決める。すなわち，図
11.5に示すように，第１サイクル目の引っ張り，圧縮両側での載荷時の過剰間隙水圧の発生量，
′
Δuc とΔue の平均値より決めることができる。式(11.4)でせん断応力振幅をτd とし，さらに m= σ vo
を代入し，Bp について解くと，次式が得られる。
圧縮側処女載荷
時間
過剰間隙水圧
引っ張り側処女載荷
Δue
最初のサイクルで
発生する間隙水圧
Δuc
図11.5
(11.13)
B ′p =
時間
Bp の決定
′
u g σ vo
τ d2
ここで，ug はΔuc とΔue の平均値である。
次に， Bu′ の値は20サイクルの繰り返し載荷により液状化（両振幅５％）するときの液状化応
力比 R20をもとに決める。そのために，あらかじめ，特定の B′p の値と変相角の値に対して B′p と
R20′ の関係を示す実験式を決めておく必要がある。図11.6はそのような一例であり，変相角 θs＝
26.6°（tanθs=0.5）に対する実験式である。この図は今後の基準となるため，その値をここでは*
*
をつけて示すことにする。図11.6より， B*p と R20
の値より Bu* の値を求めることができる。この図
*
を使うためには，振動３軸試験結果より得られた B p′ と R20′ より B*p と R20
を求める必要がある。こ
の変換は次のように行う。
2
(11.14)
⎛ tan θ s′ ⎞
B =⎜
B p′ = 4 tan 2 θ s′ ⋅ B p′
* ⎟
tan
θ
s ⎠
⎝
(11.15)
*
=
R20
*
p
tan θ s*
1
R20′ =
R20′
tan θ s′
2 tan θ s′
なお，図11.6は，原論文を写したものである。ところで，図11.6は特定の条件に対する値を求め
たわけであるが，任意の条件下に対してはこの値を補正する必要がある。このうち，変相角に関
しては，式(11.16)のようになる。
81
B′p =
B*p
( 2 tan θ s′ )
2
*
′ = 2 tan θ s′ R20
R20
(11.16)
Bu′ =
Bu*
( 2 tan θ s′ )
2
なお，式(11.16)の上の二つの式は使うここで挙げた手順に従えば，既に求めているので，使う必
要はない。
次に，静止土圧係数 Ko に対する補正は次のようになる。
1 + 2Ko
tan θ s′
3
(11.17)
tan θ s =
(11.18)
2
B*p
⎛ 1 + 2Ko ⎞
′
=
Bp = ⎜
B
⎟ p
2
⎝ 3 ⎠
( 2 tan θ s′ )
(11.19)
Bu*
⎛ 1 + 2Ko ⎞
′
Bu = ⎜
B
=
⎟ u
2
⎝ 3 ⎠
( 2 tan θ s′ )
2
以上をまとめて，パラメータの求め方を図11.7に示す。
100
*
u
B
50
20
10
5
2
1
0.16 0.14
0.20 0.18
0.24 0.22
0
0.28 .26
0.32 0.
30
0 .3
6
0 .3
8 .4 0
0.42
0.3 0
0.2
0.1
0.05
4
0.5
R∞ = 0.05
0.06
0.08
0.10
0.12
0.44
0.02
0.005 0.01 0.02
0.05 0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
B
図11.6
Bu を決めるための計算図表
82
*
p
三軸試験
振動三軸試験
内部摩擦角φ
液状化強度R'20
変相角θ's（式3.3）
過剰間隙時刻歴
ugを読みとる
B'p（式3.5）
液状化強度R*20（式3.6）
B*p（式3.6）
B*uを読み取る（図3.3）
Koの推定
B'u（式3.7）
θs、Bu、Βpの計算（式3.8）
図11.7 パラメータを求めるための流れ
ここで示したのは，パラメータを決める一つの方法であるが，誘導に際しいくつかの仮定を行
っているため，実際の解析時にはこの方法で得られた値がベストとはいえない。確かに，一定応
力振幅の載荷を受ける場合であれば，この方法はベストな選択の一つといえるが，地震時には載
荷はランダムであり，すべての応力振幅の載荷に対しこの方法で求めたパラメータの値がベスト
とはいえないからである。従って，実用的には実際の地盤条件に基づき材料のシミュレーション
を行い，パラメータの値を決めるほうが合理的である。ここでは，このために SIMMDL-2という
プログラムを用意している。SIMMDL-2では特定のパラメータのもとで要素試験をシミュレーシ
ョン出来るようになっているので，ここで求めたパラメータを初期値として与え，これを改訂し
ながら，最も実験にあうパラメータの値を求めることが出来る。
11.2.2 液状化パラメータ早見表
前節で示した液状化パラメータの決め方は，かなり手順もあり，また，いくつかのステップで
簡易化も行っているので，誤差もある。SIMMDL は単純せん断試験をシミュレートする目的で
作られたものであるので，これに基づき解析を行いパラメータの値を決めるのが好ましい。この
際，解析に用いる初期値を与えるために，早見表を用意した。YUSAYUSA のモデルの特長は，
有効応力経路は応力－ひずみ関係によらずに決まることである。従って，応力経路のみから決ま
る液状化の判定を用いれば，液状化パラメータのみを決めることができる。早見表の作成につい
ては，いくつかの仮定をしているが，通常この早見表から出発するのが便利である。
11.2.3 YUSAYUSA の改良
最新版の YUSAYUSA は，二つの改良が加えられている。一つは，文献76)に基づく修正であ
る。これは，式(11.9)で示される低拘束圧下の内部摩擦角を用いない方法で，変相の前後で内部
摩擦角を同じにするものである。既往の方法が標準となっているが，フラグをたてることによっ
て新しい方法も選べるようになっている。もう一つは，地震波の読み方を変えたもので，これま
では一つのデータファイルにすべての情報を入れる必要があったが，地震波についてはファイル
名を指定することで別のファイルから読みとることを可能にしている。
83
12 DYNEQ の理論と使い方
DYNEQ は，筆者が公開している，等価線形地震応答解析プログラムである。等価線形プログ
ラムとしては SHAKE が著名で，多く使われてきている。しかし，通常は，文献として引用され
る SHAKE77)と実際に SHAKE と称して使われているプログラムとは異なることがふつうである。
それは，オリジナルの SHAKE には，実験式なども使われているが，多くの場合にはそれより，
計測した値を使いたいという要求や出力を便利にしたいなどがあり，ソースが公開されているこ
とから，これを改良したり，または，全く新しく書き直したりして新しい要求に応えてきたため
である。そして，それらのプログラムが考えることなく，単に SHAKE と呼ばれてきている。つ
まり，SHAKE はプログラムの名前というより，SHAKE の持っている基本的な機能で作られた解
析手法を代表する普通名詞のように使われてきたわけである。
SHAKE で代表される手法とは，次の特徴を持っている。
①重複反射理論による厳密解
②複素剛性法を用いることによる履歴減衰の考慮
③等価線形化手法を用いることによる非線形性の考慮
これらについては，すでに理論のところで紹介した。
DYNEQ は，筆者が研究のために，全く新しく書き起こしたコンピュータコードで，基本的に
は上記の手法を用いているが，その後の研究の成果を取り入れ，色々な機能を付け加えたもので
ある。したがって，計算時間も SHAKE よりは相当多くかかるが，最近のパソコンでも計算時間
そのものが問題になるケースはほとんどないと考えられる。
DYNEQ は，当然，SHAKE，FDEL と同じ計算をすることができるが，これ以外に次のような
特徴を持っている。
・散乱の減衰の考慮
・周波数に依存した減衰（Maxwell, Voigt）
・周波数依存性を考慮した非線形特性
・各種動的変形特性の実験式の内蔵
・拘束圧依存特性の自動考慮
・簡易法による応答
・各種応答値（スペクトル，計測震度など）の自動計算
以下では，なぜ DYNEQ が必要となるのかという点に焦点を当て，理論的な背景を説明する。
このことは，SHAKE や非線形解析の結果を理解する上でも重要な事項となる。
12.1 SHAKE の必要性
SHAKE の，重要ではあるが目に見えない欠点については後に示すが，表にみえる欠点として
も，非線形挙動に伴う材料特性の経時変化を考慮できないという問題がある。SHAKE の特徴の
一つとして非線形解析では応力－ひずみ関係のモデル化のためにパラメータの決定が必要で，人
により差があるのに対し，与えられた動的変形特性をそのまま入力でき，データ入力が簡単であ
るという事が挙げられてきた。しかし，筆者らの提案するモデル24)を用いれば，SHAKE と同じ
入力が可能であるし，その他にも実用的なモデルも提案されている。逐次積分非線形解析が発達
した現在，上記のような大きな欠点を持つプログラムをなぜ，使う必要があるのかということは
きちんと認識しておく必要がある。
①周波数に依存する挙動
波動が地盤を伝播する際に発生する大きな減衰に，履歴減衰と散乱減衰がある。前者はこれま
84
で示してきた応力－ひずみ関係の問題である。後者の散乱の減衰は周波数に依存した減衰である。
また，地下逸散減衰なども周波数に依存した減衰である。このような，周波数に依存する挙動は
逐次積分型の非線形解析では困難である。
②逆増幅解析
地震計は地表近くに設置されていることが多いので，地表の材料特性の影響を大きく受けてい
る。より普遍的な地震動は，少なくともこれよりサイトの影響を受けない工学的基盤で定義する
必要があるが，そのためには，地表で観測された波形から基盤の波形を求める必要がある。逆増
幅（deconvolution）と呼ばれるこの作業は，重複反射理論を用いることで簡単に行うことができ
る。この目的のため，一次元の等価線形解析は必ず必要な武器といえる。
③周波数特性
地盤の地震応答解析は，それ自身が最終目標ではなく，構造物への入力を求めるために行われ
ることも多い。この際，たとえば配管機器などであれば固有周期は非常に小さい（周波数が大き
い）。高周波数領域の解析は，逐次積分型の非線形解析では困難である。それは，たとえば
Rayleigh 減衰のような高周波数で減衰が非常に大きくなる減衰が通常使われているためであるし，
数値計算法そのものが高周波数領域で減衰を示すこともある。等価線形解析であれば，高周波数
の応答も制御可能である（ただし，後に述べるように SHAKE では無理である）。
このように見ると，重複反射理論に基づく一次元解析は今後とも必要であり，場合によっては
多次元の等価線形解析もニーズがあると考えるのが自然である。すなわち，等価線形解析と非線
形解析はどちらか一方が駆逐されるというものではなく，補完的に用いるべきものである。
12.2 散乱の減衰
地盤は本質的に不均質な材料である。不均質な媒質に波動が入射すると，波動は直進すること
ができず，散乱する。一方，解析では，地盤は均質な物体として扱っている。このような観点か
ら見ると，散乱しながら伝播する波動はあたかも減衰を生じているようにみえ，このような減衰
を散乱減衰と呼ぶ。地盤の減衰を評価する方法には，表12.1に示すように，室内試験，S 波検層，
鉛直アレー観測記録の逆解析の3通りがある。
表12.1 各種減衰評価法の比較
測定場所
ひずみレベル
振動数
測定成分
波動
周波数依存性
室内試験
室内
Ｓ波検層
原位置
地震記録
原位置
小～大
低～高
小
高（数十～百数十 Hz）
中
中（数～数十 Hz）
ひずみ，応力
－
速度
球面 SH 波
加速度
平面 SH 波
なし
有り
有り
室内試験では，減衰の周波数依存性は見られない78)。これは室内試験では履歴減衰が卓越して
いるためである。一方，Ｓ波検層では，減衰定数は高振動数よりも低振動数側で大きく，周波数
依存性が見られる78)。1970年代後半に鉛直アレー観測記録が得られるようになり，質点系モデル
を用いたスペクトル・フィッティングにより，高次になるに従って減衰が減少することが指摘さ
れている。太田79)は一次元重複反射理論を用いた S 波速度と減衰定数の最適化手法を提案してい
85
る。その後，多くの研究者により太田の手法に基づき，h=ho f αの形で振動数が高くなるにつれ減
衰が小さくなるという周波数依存性が指摘されてきた。これは原位置では散乱減衰の影響が大き
いためであると言われている。
DYNEQ では，このような減衰の周波数依存性を考慮した解析も行える。鉛直アレー観測記録
の分析においては，その観測記録を用いて逆解析を行ってパラメータを決定すればよい。しかし
ながら，実務においては，そのような例はむしろ稀であり，何らかの地盤情報に基づき，減衰の
周波数依存性に関するパラメータを評価する必要がある。以下に，そのような研究例を紹介する。
Kobayashi et al.80)は，仙台市内に展開されている高密度鉛直アレー観測網の記録を用いて，土質
毎に S 波速度の関数として以下のように与えている。
10
Damping constant, h (%)
roc
k
1
0.1
( d>
10
grav 0m)
el
sa
nd
silt
roc
k
clay
(d<
10
0m
)
0.01
1
Frequency (Hz)
10
図12.1 福島・翠川81)による土質に応じた減衰モデル
(12.1)
Q=
VS
α
f
αの値は，粘土・シルトで20，砂で60，泥岩で200，砂礫で400，砂岩で400である。
他にも多くの研究例があるが，福島・翠川81)は既往の研究を取りまとめて，次のように減衰モ
デルを提案している。図12.1にこれらをまとめて示す。
粘土：
シルト：
砂：
礫：
堆積岩(100m 以浅)：
堆積岩(100m 以深)：
log Q −1
log Q −1
log Q −1
log Q −1
log Q −1
log Q −1
= −0.57 log f
= −0.53log f
= −0.73log f
= −0.46 log f
= −0.51log f
= −0.68log f
− 0.83
− 1.02
− 0.87
− 0.80
− 0.63
− 1.56
しかし，この実験式では，周波数の小さいところでは異様に大きな減衰となってしまう。実は，
このようなことは周波数のべき乗でおいた式を全周波数領域に対して適用したために生じている。
散乱の減衰の理論に従えば，長周期（低振動数）では再び減衰は小さくなってくる。このような
現象を簡単に表す式として，次の式がある82)。
(12.2)
h = α f 2 e− β f
この式を元にして後に述べる東大生研のサイトで計算した減衰特性を図12.2に示す。
86
図12.2 減衰の同定結果
12.3 SHAKE の欠点
非線形化による逐次的な力学特性の変化を考慮できないと言う点についてはすでに説明した。
その他に，表にはみえにくいが，SHAKE には次に示すような大きな欠点がある。
①加速度の過大評価
SHAKE では最大ひずみから有効ひずみを計算する際，式(9.41)に示したように，係数αを掛け
るが，この値は1より小さく，0.65が用いられることが多い。図12.3の実線を入力した G-γ関係よ
り求めた応力－ひずみ関係，最大ひずみγmax に対応する点を B とする。すると，有効ひずみは図
の A となり，等価線形解析では，OA を結ぶ直線が応力－ひずみ関係（実際には，複素剛性を考
えているので，この直線を長軸とする楕円が応力－ひずみ関係となる）となるので，最大ひずみ
に対する最大せん断応力は図の C 点となる。つまり，最大せん断応力－最大せん断ひずみ関係は
常に入力した応力－ひずみ関係より上になる。α=0.65を用いれば，その差は応力－ひずみ関係が
完全塑性状態の時最大で，1/0.65=1.54倍の過大評価となる。これが加速度の過大評価に結びつく
わけである。
τ1
τ2
τ
C
Relationship between
Maximum strain and stress
A
B
Stress-strain relationship computed
from specified G-γ relatinship
γ
O
γeff
γmax
図12.3 入力した応力－ひずみ関係と最大応力－最大ひずみの関係
②加速度の過小評価
図 12.4 は東京湾埋立地における鉛直アレーサイトにおいて得られた地震動の増幅特性を
87
SHAKE による結果を比較したものである。低周波数領域は両者は良い対応をしているが，高周
波数領域では SHAKE が過小評価していることがわかる。地震動がそれほど大きくないケースで
は高周波成分は最大加速度にかなりの影響を与える。したがって，このような地震動に対しては
加速度は過小評価される。
GL-1.5 m
Amplification factor
10
1
0.1
Observed
SHAKE
0.01
0.1
1
10
Frequency (Hz)
図12.4 地震動の増幅に関する観測値と SHAKE による計算値の比較
1.0
10
0.5
0.3
No. 11 (NS)
0.2
No. 16 (EW)
0.1
0 -6
0
10
10-5 10-4 10-3 10-2
20
γ
Range of strain
30
No. 16 (EW)
40
SHAKE
FDEL
50
No. 11 (NS)
60
0
100
200
300
400
Peak acceleration (cm/s2)
図12.5
SHAKE による基盤波の過大評価事例
88
h
0
G/Go
Depth (m)
この欠点は，逆解析の際もっと重要となる。つまり，順解析で減衰が大きいということは逆解
析では下方に行くに従って応答が大きくなるわけである。図12.5は台湾の羅東サイトにおける鉛
直アレーで地表の波形から逆増幅計算をしたものである83。No.11の小さい地震では実線で表した
SHAKE の結果は観測とよく一致している。しかし，No.16の地震で最大ひずみが0.1%程度になる
と，下方に行くに従って最大加速度が急激に大きくなり，明らかに異常な記録となっていること
がわかる。前に，等価線形解析は逆増幅解析のために必要であることを述べたが，これでは使い
物にならない。これ以上ひずみが大きくなると，SHAKE による計算では収束しなくなる。兵庫
県南部地震における強震域の記録を逆増幅解析しようとしても，発散してしまう。
2
Acceleration (cm/s )
500
GL-32m
0
Observed
SHAKE
-500
0
5
10
Time (sec.)
15
20
図12.6 ポートアイランド記録の逆増幅解析結果（GL-32m，30Hz でカット）
極端な例を紹介しよう。図12.6は1995年兵庫県南部地震の際にポートアイランドで観測された
鉛直アレー記録を用いて，地表の記録から GL-32m の記録を求めたものである。先に述べたよう
に通常の条件でこの解析を行うと発散してしまうので30Hz 以上の高周波成分をカットし，何と
か解を求めたものである。本震とは全く異なる初期の高周波部分が異常に増幅していることがわ
かる。これが，逆増幅解析で SHAKE が失敗する原因である。
この二つの欠点のうち，前者を改良するためにはαの値は大きい方がよい。一方，後者を改良
するためにはαは小さい方がよい。したがって，これらを同時に改良する事はできない。また，
後者は増幅の過小評価であるので，減衰を小さくすれば良いという考えもあるが，末富らが行っ
たケーススタディ84)から，増幅に大きな影響を与えるのが減衰ではなく剛性であることが明らか
になっている。
このような SHAKE の二つの欠点のうち，高周波数領域に対する増幅を改良する方法は，萩原
ら85，杉戸ら86により行われた。その手法はいずれも周波数に応じて剛性や減衰を変えるもので
あるが，萩原らは地盤をモード分解するもので，そのため，重複反射理論の枠組みから離れてい
る。杉戸らの方法は，ひずみのフーリエスペクトル F(ω)とその最大値 Fmax を用いて，有効ひず
みを次のように表すものである。
(12.3)
γ eff = αγ max
F (ω )
Fmax
この方法は FDEL と呼ばれる。彼らはα=0.65が最適としている。
この方法は，図12.5に示されるように，中程度の地震に対する応答をよく改善した。しかし，
α=0.65がよいということは，大地震に対する欠点はそのままであるということである。FDEL が
加速度を SHAKE に比べ大きく評価することを考えると，大地震に関しては SHAKE より加速度
を過大評価する。α=1.0にすれば加速度の過大評価は改善されるが，それでは，中程度の地震に
対する応答が悪くなることは元の論文から明らかである。また，地震動に応じてαの値を変える
のでは，その具体的な方法が示されない限り，実用的とはいえない。さらに，式(12.3)は，高周
波数領域で有効ひずみが小さくなるように設定されているものの，その物理的な意味が明瞭では
ないのもこの方法の欠点といえる。
12.4 DYNEQ による改良
まず，大地震に SHAKE を適用するためには，α=1.0が必要条件であることは，これまでの経
過から明らかである。一般にαの様な調整代の様なパラメータは挙動がわからないときに結果を
あわせるには都合のよいが，任意性があるということは解に一意性がないという意味で使いやす
いとはいえない。
改良法を考える上で，まず，なぜ高周波数領域では有効ひずみを小さくとるとよいかを考えて
89
みよう87)。
図12.7はせん断応力－せん断ひずみ関係を模式的に示したものである。ここで，A で示した大
きいひずみ振幅を受けるときには見かけの剛性は小さく減衰は大きい。一方，B で示した小さい
ひずみ振幅の際には見かけの剛性は大きく減衰は小さい。これらの現象に要する時間は同じでは
ない。地盤材料は，通常の地震応答で考える範囲であれば，力学特性に周波数依存性がないこと
が知られている。しかし，応力－ひずみ関係のこのような性質を見ると，挙動には周波数依存性
が現れる。つまり A の様な挙動に対しては周期が長いし，B の様な挙動に対しては周期が短いわ
けである。そこで，せん断ひずみの時刻歴から，振幅の周期の関係を求める。ここで，振幅と周
期の求め方には図12.8に示す二つの方法が考えられる。このうちゼロクロス法は最大ひずみとも
対応して都合が良さそうであるが，ひずみが一方向にドリフトして0軸を横切らなくなると周期
が計算できないという不都合がある。ピーク法はこのようなおそれがないが，振幅は最大ひずみ
と対応しているわけではない。そこで，両方について計算した事例が図12.9に示されている。ば
らつきはあるが，周波数と振幅の間には周波数依存性があり，高周波数ほど振幅が小さいという
一般的な傾向があることがわかる。
τ
A: large amplitude
behavior
A
2A
γ
O
T/2
B: small amplitude
behavior
図12.8 振幅と周期の取り方
図12.7 応力－ひずみ関係
-1
10
Shear strain (%)
T/2
Peak-to-peak method
Zero-cross method
Zero-corss
Peak-to-peak
Fourier amp.
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
1
2
3
4 5 6 7
10
Frequency (Hz)
2
3
4 5
図12.9 ひずみ振幅－周期関係の例
図12.9は時刻歴の挙動から求めた関係である。もし，この関係が周波数領域の挙動と何らかの
関係があれば，周波数領域での挙動が可能になる。図に FDEL の方法で求めたひずみのフーリエ
スペクトルを重ねたのが実線で示されている。これを見ると，確かに何らかの関係があることが
わかる。しかし，ひずみのフーリエスペクトルが完全に説明しているかというとそうでもない。
特に，最大ひずみの誤差は大きく，これが最大加速度の過大評価となっている。
90
図12.9に対して，適当な関数で表現することを考える。まず，これまでの経緯から最大ひずみ
はそのまま有効ひずみになる必要がある。その周波数をどこに設定するかであるが，ゼロクロス
法で求めた最大せん断ひずみは重要なので，その点 ( f 0 , γ 0 ) は必ず通ることを条件とし，多項式
で設定すると，たとえば次の形が考えられる。
(12.4)
log γ = A(log f − log f 0 ) m + log γ 0
ここで，m は任意の定数であるり，通常2である。係数の A はピーク法で求めたひずみ振幅－
周波数の関係から最小自乗法で求める。しかし，試行の結果，これより，縦軸に実軸をとった次
式の方がよいことがわかった。
(12.5)
γ = A(log f − log f 0 )m + γ 0
ここで，係数 A の決め方には二通りの方法が考えられる。一つは，これまでに述べた最小自乗
法により決める方法である。しかし，これが必ずしも最良とは限らない。たとえば明らかに
Nyquist 周波数ではひずみ成分はないので剛性は初期剛性と等しい。これらを考えると，係数 A
を決める条件として Nyquist 周波数（またはその他のある周波数）で有効ひずみ0という決め方も
ある。この場合，この周波数を fn で表せば，係数 A は次のように決められる。
(12.6)
A=
r0
( f n − f 0 )m
ここで，fn は10～20Hz が適当である。標準的には10～15Hz を用いるのがよいが，一意的とい
う手法の性質を考えて，15Hz をとることにする。
91
13 DYNES の使い方
DYNES は地盤と構造物に関する汎用解析ソフト STADAS88)より一次元の地震応答解析の部分
を切り出したものである。最新版では水平2方向と鉛直の3方向の入力が可能になっているので，
3次元解析コードといえる内容になり，名前も，DYNES3D と変更されている。
DYNES3D は汎用の解析コードから切り出されたこともあり，多くの構成則を用いることがで
きるようになっているのが特徴である。構成則の詳細は，マニュアルを参照されたい。また，使
用の際の入力データの設定法などは，これまでの知識で基本的に設定可能である。ここでは，特
に知っておいた方が良い事項に着目して説明する。
13.1 拘束圧依存性
地下水位の入力は，有効応力解析では必須であることは理解できるが，全応力解析でも必要で
ある。それば，地盤材料では拘束圧依存性を考慮することが多く，拘束圧依存性を考慮するため
に地下水位が必要である。地下水位と単位体積重量，層厚がわかれば，有効拘束圧は計算できる。
しかし，これだけの情報では有効拘束圧は計算できない。これを決めるためには，さらに，静止
土圧係数の入力も必要である。従って，拘束圧依存を全く考慮しないのであれば地下水位や静止
土圧係数の入力は不要であるし，入力したとしても使われることはない。
地層の材料特性を入力する方法には，層ごとに定数を入力する方法と，層ごとの材料特性番号
を設定し，別途材料特性ごとに設定する方法がある。前者は一次元専用のの地震応答解析ではし
ばしば見られるが，一般の FEM では後者が普通である。DYNES は汎用ソフトから切り出された
ものなので，後者の入力である。前者では拘束圧依存性を考慮しようとすれば，各層ごとに自分
で計算して入力する必要があるが，後者ではもう少し楽ができる。
たとえば，せん断波速度100m/s，単位体積重量20kN/m3の材料で，層厚が3m の地盤を考える。
これを1m ごと，三つの層に区切るとすると，一つの設定方法は，全層で Vs=100と設定すること
である。しかし，拘束圧依存性を考慮する場合にはこのような設定法ではだめで，各層ごとの拘
束圧依存性を考慮した値を求める必要がある。
まず，この地盤のせん断弾性係数は， 20 / 9.8 × 1002 = 20408 kPa である。この値を，深さ 1.5m
の値と想定し，せん断弾性定数は拘束圧の0.5乗に比例するとすると，各層のせん断弾性定数は
それぞれ，11782，20408，26347kPa，また，Vs は，76，100，114m/s となり，これを入力する必
要がある。一方，後者の方法では，拘束圧の0.5乗に比例することと，20408または100を入力す
るだけでよい。
ただし，話はそれほど簡単ではない。入力として要求されるのは
(13.1)
Gmax = G0σ m′0.5
で示される，G0の値である。上の方法では Gmax の値を決めたので，これから式(13.1)を解いて
G0を求めるわけであるが，多くの層があるときその値を計算するのは結構面倒である。そこで，
DYNES では便利は設定方法として，ある深さの拘束圧を使って設定できるようになっている。
13.2 減衰特性
DYNES には一般のプログラム無い減衰の与え方としてモード比例減衰の機能がある89)。多く
のコードで用いている Rayleigh 減衰はパラメータが二つしかなく，多様な要求に応えることがで
きないが，モードごとに減衰を与えるこの方法を用いれば，手順はちょっとやっかいであるが，
実減衰を精度良く設定することができる。手順は以下の通りである。
①固有値解析をする。この際，モード比例減衰マトリックスを作るという指示をしておく。
②モード比例減衰マトリックスを読み込んで解析を実行する。
モード比例減衰は，性能は良いが使うのには注意が必要である。
92
①計算時間：モード比例減衰を使うと，減衰マトリックスの全部の項に数字が入る。従って，
バンドマトリックスなどのマトリックスの一部が0であるという性質を利用して計算時間の短縮
を図ることができないので，計算時間がたくさんかかる。一次元解析ではそれほど影響はないが，
多次元解析では非常に影響は大きい。
②パルス：高振動数で小さい減衰を使うと，加速度のパルスが多く現れる。従って，数値積分
時間を短くするなどの工夫が必要である。また，必ず，加速度の時刻歴を書いて，パルスが影響
していないかをチェックする必要がある。なお，パルスがでたからといって計算がおかしいわけ
ではなく，その影響は局所的なものでまた，すぐに復旧されるので，通常は計算そのものは大丈
夫で，加速度応答のみが影響を受けているが，あまりにパルスが大きくなると，全体挙動に影響
を与えることになる。その判断は，慣れないと難しいことがあるので，原則としてパルスは発生
させないようにする。
93
14 計算例
14.1 例題1
1987年の千葉県東方沖地震では，千葉にある東京大学生産技術研究所の地震観測アレーで記録
が得られた。
図14.1 計算に用いた材料のひずみ依存性
図14.2 地盤構造と最大応答値
等価線形法による解析を行った。動的変形特性は図14.1に示されている。また，計算の結果の
内最大応答値が図 14.2 に，時刻歴と観測値の比較が図 14.3 に示されている。最大応答値，地表
（GL-1m）の時刻歴を見ると，よく再現できているように見える。しかし，詳細に見ると，問題
もある。
①大きな地震力が来る前の応答を見ると，解析値は非常に小さい。
②最大応答加速度の予測値がやや大きい。たとえばαを0.65から0.80に変えてみても全体の傾
向は変わらないが，最大値に関しては確実に良くなっている。
次に，周波数特性を考慮して改良した手法で解析してみる 90) 。図 14.4 は SHAKE ， FDEL ，
DYNEQ の三つの加速度時刻歴を比較したものである。どの解析も，全体としてみると，傾向は
押さえられている。しかし，最大応答値をみると，明らかに差がみられる。これを明瞭にするた
94
めに，図では観測値のピーク位置に矢印を付けている。SHAKE の過大評価はすでに前に示した
が，これに，高周波成分の増幅を大きくした FDEL はさらに大きな最大値をしている。これに対
して，DYNEQ の手法では最大値も含めてよく表現されていることがわかる。
400
D
E
0
-200
C
B
-400
9
10
400
GL-1m
11
Observed
SHAKE
12
Time (sec.)
13
14
15
A
200
D
E
0
-200
C
B
-400
9
10
400
2
Acceleration (cm/s )
A
GL-1m
200
2
Acceleration (cm/s )
2
Acceleration (cm/s )
図14.3 加速度時刻歴の比較。上段が観測値，中段は通常行われる等価線形，下段
は係数を0.8にしたものである。
11
Observed
DYNEQ
12
Time (sec.)
13
14
15
A
GL-1m
200
E
D
0
-200
-400
9
C
B
10
11
Observed
FDEL
12
Time (sec.)
13
14
15
図14.4 加速度時刻歴の比較。矢印は観測値のピーク位置に付けられている。
図14.5は，応答のキーとなる層の応力－ひずみ関係を比較している。入力した骨格曲線と比較
すると，最大加速度の過大評価がせん断応力の過大評価と対応していることがわかる。
図14.6は地表の基盤に対する増幅比を示しているが，SHAKE が高周波成分の応答を過小評価
していること，FDEL と DYNEQ ではこれに対してい改良効果がみられることがわかる。図14.7
95
は，図14.5に示した層の剛性と減衰の周波数依存性を示している。各手法によりかなりの差があ
ることがわかる。
20
20
Skeleton
5
0
-5
-10
0
0.05
Strain, γ (%)
10
5
0
-5
-10
SHAKE
-0.05
15
Stress, τ (kPa)
10
-15
20
Skeleton
15
Stress, τ (kPa)
Stress, τ (kPa)
15
-15
0.10
図14.5
0
0.05
Strain, γ (%)
10
5
0
-5
-10
DYNEQ
-0.05
Skeleton
-15
0.10
FDEL
-0.05
0
0.05
Strain, γ (%)
0.10
GL-4～5m の層の応力－ひずみ関係
Amplification factor
SHAKE
FDEL
DYNEQ
Observed
10
1
1
10
Frequency (Hz)
図14.6 増幅比の比較
SHAKE
DYNEQ
FDEL
Damping ratio (%)
2
Shear modulus (kN/m )
8
24000
22000
20000
18000
SHAKE
DYNEQ
FDEL
16000
0
5
10
15
Frequency (Hz)
20
6
4
2
0
0
5
10
15
Frequency (Hz)
20
図14.7 ひずみに依存した材料特性
14.2 例題2
この節は文献91)を引用している。
14.2.1 はじめに
地盤の非線形地震応答解析は，実務的には重複反射理論に基づく等価線形法が使われることが
多い。等価線形法は，あまりひずみが大きくない領域で有効な手法であり，大きなひずみを伴う
大地震時の挙動を扱うことは出来ないとされている（例えば文献92)）。理論的には非線形の応
96
力－ひずみ関係を逐次追跡しながら数値積分を行う非線形解析が優れていることは論を待たない。
しかし，解析手法の検証に使えるような強震時のデータはほとんどない。
本報では，比較的軟弱な地盤に設置された鉛直アレーによる地震観測で得られた記録のうち，
地盤が非線形域に入ったと考えられる記録をシミュレーションすることによって，各種の非線形
地震応答解析手法の適用性を検討する。なお，筆者の一人は，以前にも同じ試みを行っている93)
が，本報では基本的にはこの試みの手順を踏み，これに新しい手法を加えたり，別の考察を行っ
たりしている。
14.2.2 解析地盤と地震波
図14.8に地震観測地点の地盤を示す。地表から GL-7m までが Vs が130m/s 以下の軟弱な地盤で
ある。地震計は地表と GL-28m の地点に設置されている。図14.9に解析の対象とした地震の地中
および地表の記録を示す。この記録は，1983年8月8日の神奈川県・山梨県境地震（M=6.0，震源
深さ22km）の際のもので，震央距離は18km である。また，図14.8に示したモデルを用いたとき
の一次固有周期は0.31秒である。
14.2.3 解析手法
2つの等価線形手法，3つの非線形手法の計3つの解析を行った。等価線形手法は重複反射理論
に基づく周波数領域の解析で，一つは SHAKE と同様の方法（図では Eq. linear と表示。以下，単
に等価線形と呼ぶ），もう一つは，杉戸ら94)によるひずみ依存性の周波数依存の考えを取り入れ
たもの（図では Eq, linear (fq)，以下周波数型等価線形）で，有効ひずみをγeff=αF(ω)/Fmax（αは係
数で0.65を用いた。F(ω)はせん断ひずみのフーリエ級数，Fmax はその最大値）としたものである。
非線形法では，Newmark のβ法を用いた数値積分を行い，応力－ひずみ関係として双曲線モデル，
Ramberg-Osgood モデル（以下 R-O モデル），吉田・石原らによるモデル95)（以下吉田モデル）
を用いた。なお，吉田モデルは，材料のせん断定数と減衰定数のひずみ依存性を完全に満たすこ
とが出来る。
Depth
(m)
-5
-10
Soil
type
γt
Vs
3
(m/s) (tf/m )
Upper
scoria
w/rome
125
1.46
Andosol
130
1.48
Upper
Rome
w/scoria
252
1.68
Upper
Rome
w/scoria
425
1.69
SPT
N-value
20 40
2
αmax (m/s )
2
4
2
δmax (cm)
6
1
τmax (tf/m )
2
2
4
-15
-20
-25
Upper
scoria
780
Eq. linear
Eq. linear (freq. depend)
Hyperbolic model
Ramberg-Osgood model
Yoshida-Ishihara method
1.95
図14.8 解析に用いた地盤のモデルと最大応答値
97
γmax (%)
6
0.2
0.4
GL-28m
1
Acceleration (m/s)
Acceleration (m/s)
2
0
-1
-2
0
1
2
3
4
5
6
time (sec.)
7
8
9
6
4
2
0
-2
-4
-6
Ground surface
0
10
1
2
3
4
5
6
time (sec.)
7
8
9
10
図14.9 観測された地震記録
0.6
15
0.4
10
0.2
5
0.0
1E-4
1E-3
0.01
0.1
Shear strain, γ (%)
1
25
0.8
0.6
15
0.4
10
0.2
5
0.0
1E-4
0
10
20
Iwasaki et al.
R-O
Hyperbolic
1E-3
0.01
0.1
Shear strain, γ (%)
1
Damping ratio, h (%)
0.8
1.0
Shear modulus ratio, G/G max
25
Iwasaki et al.
R-O
20
Hyperbolic
Damping ratio, h (%)
Shear modulus ratio, G/G max
1.0
0
10
図14.10 材料のひずみ依存性（1層と5層）
14.2.4 地盤のモデル化
前報93)に習い，材料のひずみ依存性は，岩崎らの提案5)による G/Gmax-γ，h-γ関係を用いた。等
価線形法で，および吉田モデルではこの関係を直接データとして用いることが出来る。双曲線モ
デルでは G/Gmax=0.5となるひずみを基準ひずみとしてモデル化した。R-O モデルでは二つのパラ
メータがあり，先の基準ひずみとひずみが0.1%程度のところの減衰特性に着目して決めた。結果
として，最上層の最大減衰比は17%とし，これ以外の層では最大減衰には20%とした（基準ひず
みの大きさは深さによって異なるので，非線形特性は全層で異なる）。図14.10に比較の一部を
示すが，R-O モデルでも減衰特性の一致はそれほどよくない。これは採用したひずみ依存減衰の
最小値が4%であるのに対し，R-O モデルの減衰はひずみが小さくなると0に近づくためである。
減衰の一致度を上げようとすれば，最大減衰比を大きくするしかないが，それでもひずみの小さ
いところの一致度を上げることは出来ないので，深いところについては常識的な値を採用してい
る。
14.2.5 解析結果と考察
解析は記録のうち最初の10秒について行った。図14.8に最大応答値を，図14.11に地表の加速度
時刻歴（3～9秒）の比較を，図14.12に第3層の応力－ひずみ関係（等価線形法では複素剛性によ
る位相のずれを考慮）の比較を，図14.13に解析基盤に対する地表の増幅スペクトルを，図14.14
に地表の最大加速度による加速度応答スペクトルをそれぞれ示す。
まず，最大応答値を検討する。非線形挙動は第3層で大きく，0.25～0.4%程度のひずみが発生
している。これより地表側のせん断ひずみは第3層より小さいが，これは第3層の非線形挙動のた
め，上部への地震動の伝播が押さえられたためと考えられる。このことは，最大加速度が第3層
で減少していること，最大変位が急激に大きくなっていることとも対応している。図14.12で第
層3の応力－ひずみ関係を示しているのはこのためである。
観測値の地表最大加速度（4.35m/s2）ともっともよく一致しているのは R-O モデルと吉田モデ
ルである。二つの等価線形解析はこれより大きい最大加速度を与える。この二つは第3層までは
98
6
4
2
0
-2
-4
-6
Acceleration (m/s)
3
4
6
time (sec.)
7
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
4
5
6
time (sec.)
7
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
6
4
2
0
-2
-4
-6
9
Hyperbolic
Observed
3
Acceleration (m/s)
5
Acceleration (m/s)
Eq. linear
Observed
Eq. linea (freq. depend)
Observed
3
Acceleration (m/s)
Acceleration (m/s)
ほとんど差のない挙動をするが，地表部では差が現れ，周波数型等価線形の方が大きな加速度と
なっている。これは，周波数依存型等価線形は高周波数域の応答を大きくするようなモデル化で
あるので，当然の結果といえる。
全体として，R-O モデルは他の方法に比べ特殊な応答をしている。これは，図14.9に示したよ
うに，R-O モデルでは，ひずみの小さいところで剛性が大きいという特徴があり，小ひずみ域で
の剛性を大きめに評価しているためと考えられる。小ひずみ域での挙動は，例えば図14.12に示
したような実数軸で表現すると全く差が分からないが，挙動に大きく影響するようである。また，
中ひずみ域では，本計算では R-O モデルのみが減衰が小さめに入っているので，これが結果に影
響した可能性もある。
4
5
6
time (sec.)
7
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
Ramberg-Osgood
Observed
3
9
9
4
5
6
time (sec.)
7
8
9
Yoshida-Ishihara
Observed
3
4
5
6
time (sec.)
7
8
9
図14.11 地表の加速度時刻歴
2
3
Eq. Linear
Skeleron
2
Eq. Linear (freq. dep.)
Skeleton
2
Shear stress (tf/m )
2
Shear stress (kgf/cm )
3
1
0
-1
-2
-3
0
-1
-2
-3
-0.4
-0.2
0.0
Shear strain (%)
3
Hyperbolic
0.2
0.4
-0.4
-0.2
0.0
Shear strain (%)
3
Ramberg-Osgood
2
2
0.2
0.4
Yoshida Ishihara
Skeleton
2
Shear stress (tf/m )
2
Shear stress (tf/m )
2
2
Shear stress (kgf/cm )
3
1
1
0
-1
-2
1
0
-1
-2
-3
-3
-0.4
-0.2
0.0
Shear strain (%)
0.2
0.4
1
0
-1
-2
-3
-0.4
-0.2
0.0
Shear strain (%)
0.2
0.4
図14.12 第3層の応力－ひずみ関係
99
-0.4
-0.2
0.0
Shear strain (%)
0.2
0.4
30
Observed
Eq. linear
Eq. linear (fq.)
20
Amplification ratio
Amolificatoin ratio
30
10
0
0.1
1
Period (sec.)
10
Observed
Hyperbolic
Ramberg-Osgood
Yoshida-Ishihara
20
10
0
0.1
1
Period (sec.)
10
図14.13 周波数増幅関数
30
Observed
Eq. linear
Eq. linear (fq.)
Hyperbolic
Ramberg-Osgood
Yoshida-Ishihara
Acceleration (m/s2)
25
20
15
10
5
0
0.1
1
Period (sec.)
10
図14.14 応答スペクトル
時刻歴応答を見ると，主要動部分では双曲線モデルを除き，位相特性も含め，観測値との一致
はよい。しかし，ピーク時の高さに差があり，これが最大応答加速度の違いとなっている。図
14.12から，この付近では非線形挙動が現れていると考えられる。この際，非線形解析では耐力
の低下があり，加速度の低下が期待できる。一方，等価線形解析では図で Skeleton として示した
G-γ関係より求めた応力－ひずみ関係より高い剛性を示し（等価ひずみ位置で両者が一致する），
そのため加速度の低下が大きくは見込めないことが原因と考えられる。また，双曲線モデルがや
や異なる挙動をするのは，図14.12から，このひずみ域ではすでにせん断強度に近い応力が発揮
されており，上層へのせん断応力の伝播が小さくなっているための考えられる。
一方，主要動以降については，等価線形法の方がよい結果を与えている。これは，非線形解析
では小さい応答に対しては減衰が小さくなるのに対し，等価線形法ではここでも大きいの減衰が
作用しているからと考えられる。実地盤では散乱の減衰などがあり，小さい地震でもこの程度の
減衰があることがふつうであるが，非線形法ではこの効果が考慮されていないためと考えられる。
図14.13の周波数増幅関数を見ると，観測波では急激なピークがあるのに対し，等価線形法で
はピーク時周期はかなり対応するものの，全体に応答はなめらかである。一方，非線形法ではこ
のようなピークも含め再現できているものもあり，非線形法の優位さがうかがえる。最後に，図
14.14の応答スペクトルで見ると，一次の卓越周期付近では等価線形法が大きめ，非線形法が小
さめの値となっているが，二次以降では解析値は全体に大きめである。
14.2.6 まとめ
本解析で検討した地震では，最大せん断ひずみはもっとも大きい層で0.2～0.4%と，かなり多
100
きいとはいえ既往の研究から知られている等価線形法の適用範囲の限界近くにある。そのためか，
等価線形法でもシミュレーション結果は比較的よかった。しかし，いくつかの点で非線形法の方
がより観測値を説明できる可能性があることが示された。また，非線形法では応力－ひずみモデ
ルにより大きく影響され，よいモデルを使えばよい結果が得られるが，モデル化の選定が悪いと
よくない結果になるので，より解析者の判断が必要とされることが分かった。また，散乱の減衰
の考慮など残された問題もあることが分かった。
14.3 例題3
この節の内容は文献96)による。
14.3.1 はじめに
1995年兵庫県南部地震では，多くの土木・建築構造物被害が発生した。その被害原因の究明の
ために多くの地震応答解析が計画・実施されている。地震動が強かったことから，これらは必然
的に非線形解析となる。しかし，大きな非線形挙動を伴う地盤の非線形解析は未だ充分に安定し
た結果を得るレベルには至っておらず97），プログラムや，モデル化等の解析者の判断で大きな
差が出ることがしばしばである。
このような解析の参考になるような解析事例が出来ないかという執筆依頼を編集部より頂いた。
研究者としての筆者の立場からは，解析に要するデータは十分ではなく，自信を持って出せる結
果を出すのは困難である。しかし，一方では実務的に多くの地震応答解析が行われるのは事実で
あろうから，その参考のためにと，お引き受けすることにした。
解析対象として選んだのは，ポートアイランドである。ここでは，神戸市により鉛直アレー地
震記録298)が得られていることから評価が容易である。
地震応答解析では，結果が分かっていれば，（一般には構成則特有の）パラメータの値を調整
し解析結果をよくすることは可能である。極端な言い方であるが，解析を扱った論文で解析結果
が好ましくなかったという記述を見ることはほとんどないが，一方ではこれまでに行われた非線
形地震応答解析に関するブラインドテスト99)100)では，解析結果に信じられないような大きな差が
出ていることも事実である。ポートアイランドについて言えば，国生らがインバージョンによる
材料物性を決め101)，実測値とよく一致した計算値を示しているが，その定数を他のサイトに適
用できないことは明らかである。
結果を合わせることは，本論で筆者が要求されている事とは異なる。本論では，データを積み
上げて解析を行うこととした。また，解析に使用するプログラムも，筆者が研究用に使っている
ものは極力避け，多くの方が使えるプログラムや手法を用いた。
14.3.2 強震観測位置の地盤と観測記録
強震観測位置はポートアイランドの第1期造成地の北西部に位置する（図14.15）。敷地内では
図に示すように建物周辺にはコンパクションによる液状化対策が施されており，この部分は液状
化被害はなかったとされている102)。観測位置は敷地の南東端に位置し，この部分は対策は施さ
れておらず，液状化が発生したと想定されている。
101
N
地震計
地盤改良域
0
500
1000
1500m
図14.15 ポートアイランド第1期造成地平面図と地震計設置位置
Depth
(m)
0
Soil Type
GL
SPT-N value
0 10 20 30 40 50 60
7/32
5/32
6
4/33
3
5
6/31
5/32
6/31
7/32
6
7
7
16
3/40
14
5/32
3/32
3/31
3/32
4/34
4/34
4/33
4/34
4/31
4
5/36
7
7/31
38
15
10
17
19
14
16/24
47
60/19
59
8
33
32
40
37
20
43
43
15
60/22
64
60/24
47
26
60/26
60/27
31
60/22
60/20
60/16
17
14
12
13/31
12
11/32
12
11
11
12/31
11/31
11
11
11
12/31
12
12/31
13/31
13
14/31
14
24
60/27
60/20
60/31
60/20
-5
-10
-15
-20
-25
-30
-35
盛土
（砂礫）
GL-16.4
沖積粘性土
（Ma13）
沖積砂礫層
GL-32.4
-40
-45
-50
洪積砂礫層
-55
-60
-65
-70
洪積粘性土
（Ma12）
-75
-80
GL-83.4
洪積砂礫層
Vs
(km/s)
Vp
(km/s)
0.17
0.26
0.33
0.21
0.78
1.48
0.18
1.18
0.245
1.33
0.305
1.53
0.350
1.61
0.303
1.61
0.32
2.0
（注）地表面（GL）は KP+4m
地震計
図14.16 地震観測位置の柱状図（Vs，Vp は文献98)をもとに筆者が推定したもの。）
102
500
N-S
GL
E-W
GL
U-D
GL
N-S
GL-16.4m
E-W
GL-16.4m
U-D
GL-16.4m
N-S
GL-32.4m
E-W
GL-32.4m
U-D
GL-32.4m
N-S
GL-83.4m
E-W
GL-83.4m
U-D
GL-83.4m
0
加 速 度 (c m/s 2)
-500
500
0
-500
500
0
-500
500
0
-500
0
5
10
15
時刻（秒）
20
5
10
15
20
時刻（秒）
5
10
15
20
時刻（秒）
図14.17 ポートアイランドで得られた強震記録
図14.16に地盤の柱状図を，地震計位置とともに示す。厚さ約18m のマサ土の埋土の下部は，
沖積粘性土（Ma13）があり，さらに沖積砂礫層，第1洪積砂礫層，洪積粘土層（Ma12），第2洪
積砂礫層と続いている。強震計は地表と GL-16.4m，32.4m，83.4m に設置されている。
図14.17に本震の際得られた記録を，主要動を含む最初の20秒について示す。記録で特徴的な
のは，上下成分は地表に行くにしたがって増幅しているのに対し，水平成分は振幅が次第に小さ
くなり，また短周期成分が見られなくなることである。これは，強い水平動により非線形挙動が
卓越した結果と考えられる。
14.3.3 地盤のモデル化と弾性定数
地震計は GL-83.4m から設置されているので，これより上を解析することが好ましい。しかし，
Ma13と Ma12の粘性土層の間にある砂礫層の非線形特性に関するデータを入手することが出来な
かったことから，ここでは GL-32.4m の地震計位置より上を解析することにする。図14.15に示し
たように，観測位置のすぐ横は地盤改良が施されており，一次元のモデル化は単純には正当化さ
れないかもしれないが，多次元解析を行うに必要なデータが入手できないことから，解析は一次
元で行うことにした。
文献98)には図14.16に示した柱状図とともに PS 検層結果も示されているが，PS 検層の土質と
深度の関係は図14.16とはかなり異なっているので，そのまま用いることは出来ない。また，ダ
ウンホール法による PS 検層は地層の平均的な速度が得られ，局所的な値とは対応しないことも
知られている。ところで，図14.16の N 値分布を見ると，各層とも深さとともに N 値が増加して
いるが，これは N 値の拘束圧依存性が現れたものと考えられる。既往の地震応答解析では，同じ
地層は同じ定数を用いる事例が多いが，最近の研究によれば（例えば文献103)）弾性定数，非線
形特性とも拘束圧依存性を考慮した方がよい。地盤のモデル化に際してはこのような諸状況を考
慮した。なお，有効拘束圧 σ m′ が必要な場合には，静止土圧係数 Ko を0.5として計算した。また，
地下水位は GL-3m に設定し，単位体積重量は図14.23の値を用いた。
①沖積砂礫層（GL-28～37m，ただし解析では GL-32.4m までしか使わない）
N 値は深さとともに急激に大きくなる。層中央でせん断波速度が245m/s，微小ひずみ時のせん
103
断定数 Gmax が有効拘束圧の平方根に比例するとの仮定を設ければ，次の式が得られる。
(14.1)
Gmax = 831σ m′0.5
(kgf/cm2)
②沖積粘性土（GL-18～28m）
文献104)にはこの地域の沖積粘性土と圧密圧力がほぼ比例していることが示されている。しか
し，その関係から得られる Gmax の値は非常に小さく，PS 検層結果を説明できない。同じ文献に
は，この粘性土はほぼ正規圧密状態にあることが示されている。既往のデータでは正規圧密粘土
では Gmax は拘束圧の平方根に比例するというデータも多い。そこで，ここでは，層中央でせん
断波速度が180m/s となるよう，次式でモデル化する。
(14.2)
Gmax = 448 σ m′0.5
(kgf/cm2)
③埋土層（地表～GL-18m）
文献98)では GL-5m まではせん断波速度が170m/s，以下210m/s が示されている。しかし，前述
のように N 値分布には拘束圧依存性が見られる。そこで，次の様にモデル化する。
(14.3)
Gmax = 1000 σ m′0.5
(kgf/cm2)
式(14.3)によれば埋土層のせん断波速度は120～235m/s の分布となる。
14.3.4 非線形特性の設定
①沖積砂礫層（GL-28～37m）
参照できる動的変形試験結果を入手できなかったので，ここでは大崎の式に基づき内部摩擦角
φを N 値の関数として次式のように表す。
(14.4)
φ = 20 N + 15
層の平均値15を代入するとφ=32.3°を得る。
また，ひずみ依存性に関しては Hardin と Drnevich の式を用い，最大減衰比 hmax は22%とする。
すなわち，
(14.5)
G
1
=
Gmax 1 + γ / γ r
h = hmax (1 − G / Gmax )
（ h ≥ 2% ）
ここで，h は減衰比，γはせん断ひずみ，γr は基準ひずみでγr=τmax/Gmax で求められる。せん断強度
τmax は内部摩擦角とモールクーロンの破壊条件より求められる。
この層が液状化した可能性が指摘されている105)が，その影響は考慮しない。
②沖積粘性土（GL-18～28m）
文献104)には図14.18に示す G-γ，h-γ関係が示され，地域により余り差がないことが記述されて
いる。また，一軸圧縮強度 qu と Gmax の関係を表す実験値が示されている。ここでは，粘着力 c
を qu の1/2とし，この関係を次のようにモデル化する。
(14.6)
c = qu / 2 = 0.72 log Gmax − 1.12
(kgf/cm2)
104
1.0
0.8
20
0.6
15
実験
モデル
0.4
10
0.2
5
0.0
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
減衰定数比 h (%)
せん断定数比 G/Gmax
25
0
せん断ひずみ γ (%)
図14.18 沖積粘性土のひずみ依存性
せん断応力比 R
0.5
0.4
0.3
0.2
PWP
εa=±2.5%
0.1
εa=±5%
0.0
1
10
100
液状化繰返し数
図14.19 埋土の液状化特性
層中央におけるせん断弾性定数を用い，式(14.5)と同じモデルを用いれば（hmax=21%），図14.18
に実線で示す関係が得られ，実験値とよく一致している。なお，式 (14.6)から得られる qu は約
1.7kgf/cm2である。ポートアイランド内の別のサイトで地震前に行った一軸圧縮試験でも qu=1.6
～1.8kgf/cm2が得られており，式(14.6)の妥当性を示している。
③埋土層（地表～GL-18m）
この層は地震により液状化したと考えられる。この場合，地震後に採取した試料が地震前の材
料特性を表すとは限らない。筆者らは，地震の半年ほど前に，ポートアイランド北部で不撹乱試
料を採取した。その試料を用いた液状化試験結果は文献106)に示されている。しかし，本計算に
この結果を用いるには問題もある。
この試料採取には筆者も参加しており，KP-10m 程度の掘削底面の上部を少し排除し，シンウ
オールで採取したものであるが，礫の多い地盤で採取は非常に困難であった。いくつかの場所を
試み，かなり柔らかそうな部分でやっと採取に成功した。筆者らの当時の目的は不撹乱試料の過
圧密による影響を調べることであったので，その意味では問題はないが，液状化強度はかなり低
い可能性もある。そこで，本解析では，ポートアイランドで地震前に行われた図14.20の関係を
用いることにする。
ひずみ依存性については，二つの動的変形試験を行った。一つは先の述べた不撹乱試料を用い，
もう一つは同じサイトで掘削された材料である。試験には中空ねじり試験機を用いた。前者は飽
和状態で行った。一方，後者は粒径2mm 以下となるようふるいを掛けた試料で，乾燥状態で行
っている。いずれも初期有効拘束圧は1kgf/cm2である。
図14.20に試験の結果を示す。また，図14.21にはポートアイランドにおける埋土の粒径の範囲
と文献106)に示される粒径加積曲線の比較を示すが，実験に用いた試料は平均的な材料と考えら
れる。図14.20を見ると，せん断定数比は両者でほとんど差がない。減衰比は不撹乱試料の方が
105
やや小さい。不撹乱試料では過剰間隙水圧発生の影響があるかもしれない。
せん断定数比 G/Gmax
20
0.8
撹乱
不撹乱
モデル
0.6
0.4
15
10
5
0.2
0.0
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
減衰定数比 h (%)
25
1.0
0
せん断ひずみ γ (%)
図14.20 埋土のひずみ依存性
100
通過質量百分率 (%)
Port Island
80
ポートアイランドの
マサ土の分布範囲
不撹乱試料
60
40
20
0
0.001
0.01
0.1
1
粒径 (mm)
10
100
図14.21 粒径加積曲線の比較
埋土の平均 N 値は約5.5であり，大崎の式より内部摩擦角を求めると，25.5°となる。したがっ
て，上載圧 1kg/cm2 に対するせん断強度は 0.477kgf/cm2 ，基準ひずみは 0.0477% となる。一方，
G/Gmax=0.5となるひずみは0.035～0.039%である。両方に対し式(14.5)を用いてひずみ依存性を計
算し実験値と比較すると大きな差はないが，0.1%を越えるひずみ域では前者の方がよく一致して
いること，液状化の問題なので強度も重視すべきとの考えから，前者を用いてモデル化する。次
に，減衰特性については撹乱試料をターゲットに hmax=0.23とした。図14.20にはこのようにして
決めたひずみ依存性も示されている。
14.3.5 解析手法と対応するモデル化
二つの全応力解析と二つの有効応力解析の，計4つの解析を行った。解析手法は，実務でよく
使われるという観点から選び，筆者が最近の研究で用いているようなものは用いなかった。これ
は，はじめに述べた本論の目的に加え，より高度な構成則を使うために必要なデータが充分では
ないという理由による。精度の悪いデータを用いた解析では，結果の精度はあがらないので，高
度な解析を使う必然性は薄い。
14.3.5.1 等価線形手法
重複反射理論に基づく方法である。これまでに示した材料特性モデルのみで解析が可能である。
14.3.5.2 非線形全応力解析
せん断応力（τ）－せん断ひずみ関係に双曲線モデルを用いた非線形解析で，逐次積分法によ
り運動方程式を解いている。
双曲線モデルでは，前項のせん断剛性のひずみ依存性は正しく考慮できるが，減衰特性は自動
的に決まってしまうので，実験結果を取り入れることは出来ない。特にひずみが小さい所ではモ
デルの履歴減衰は0になり，前項のモデルとの差が大きくなる。これを補正するために Rayleigh
106
減衰を導入する。地盤の固有値解析を行うと，一次の固有周期が0.664秒となる。一次モード減
衰を2%とし，これを質量比例，剛性比例それぞれが均等に受け持つとすればそれぞれの比例定
数は0.19および0.0021となる。なお，有効応力解析でも同じ考え方を用いている。
14.3.5.3 有効応力解析-1
一次元の有効応力解析で，筆者らがソースを公開している YUSAYUSA-2107)を用いる。このプ
ログラムは応力空間上での応力経路を指定することにより過剰間隙水圧を発生させるモデルを用
いている。
粘性土および砂礫層については過剰間隙水圧の発生は考慮しない。
埋土は液状化の発生を考慮する。過剰間隙水圧発生量を制御するパラメータの値は，図14.19
に示した液状化強度をターゲットとして，単純せん断試験のシミュレーションを行い決定する。
図14.22にシミュレーション結果を示す。用いたパラメータの値は，Bp=2.5， Bu=0.18である。な
お，図14.22は図14.19と縦軸の座標値が異なっているが，これは図14.19ではせん断応力振幅を初
期有効拘束圧で無次元化しているのに対し，図14.22では初期有効上載圧で無次元化しているた
めである。一次元解析では側圧の影響を考慮できない（考慮していない）ことがふつうで，その
ためこのような処置が必要となる。
図14.21にも示されるように，マサ土は細粒分を多く含んでいる。したがって，透水性が小さ
いと考えられることから，解析は非排水条件下で行う。
Shear stress ratio τ/σ'vo
0.4
0.3
0.2
Test
YUSAYUSA
0.1
0.0
1
10
Number of cycles causing liquefaction
100
図14.22 液状化強度の比較（YUSAYUSA-2）
14.3.5.4 有効応力解析-2
過剰間隙水圧の発生に Martin-Finn-seed モデル108)を用いる。いくつかのプログラムが作成され
ているが，ここでは DESRA109を用いる。
Martin-Finn-seed モデルはダイレイタンシーにより生じるであろう体積ひずみをせん断ひずみ
振幅の関数として表し，これに一次元膨潤係数をかけることで過剰間隙水圧の発生を考慮してい
る。このモデルではサイクリックモビリティの影響による体積ひずみ発生量の減少は先の関数形
に含まれているが，これに伴う硬化現象は考慮されていない。図14.19の液状化特性をターゲッ
トとして決めた液状化強度を図14.22に示す。用いたパラメータの値は，C1=0.6，C2=0.8，C3=0.4，
C4=0.4，k2=1.5/Pan，m=0.4，n=0.6であり，Pa は大気圧である。
粘性土および砂礫層については，非線形全応力解析に用いたのと同じモデルを用いる。その他
の基本的な方針は14.3.5.3と同じである。
107
14.3.5.5 解析結果と考察
NS 方向を解析する。図14.23に最大応答値，図14.24に地震計設置位置である GL および GL16.4m の加速度時刻歴を計測値と比較して示す。
まず最大応答値を見ると，地表面加速度では等価線形解析が309cm/s2で他の解析より大きい。
また，せん断応力も大きい。これはこれまでにも指摘されている現象である。計算による最大加
速度はいずれの場合も観測値より小さいが，これは後に示すように観測値ではパルス上の非常に
大きい加速度の部分があるのに対し計算では全体になめらかな形状となっているためである。
全体としての特徴は，粘性土の部分で加速度の値が非常に小さくなっていることが挙げられる。
最大変位および最大せん断応力の分布を見ると，この部分ではひずみも大きく，大きな非線形挙
動をしたことが分かる。最大応答値は粘性土地盤の挙動に大きく影響されている。
最大せん断ひずみ分布では，埋土層で全応力解析と有効応力解析に大きな差が見られ，有効応
力解析が大きな値となっている。これは，有効応力解析では過剰間隙水圧の発生を考慮している
ので，剛性がより小さくなったからである。
次に，時刻歴を比較する。全体として見れば，どの解析も観測値との一致度はかなりよく，例
えば解析法を提案する論文であれば，いずれのケースも解析は観測値をよく説明できたという結
論が得られそうである。しかし，詳細に観察すると，解析ごとに特徴があることが分かる。
地震計は大まかに見て埋土と粘性土を挟むように設置されているので，以下の議論ではそれぞ
れの層を代表する応答値として捕らえる。
まず，5秒付近の最初の大きな波に対する応答を見る。等価線形解析では地表の位相はよく一
致しているが GL-16.4m では対応していない。これは，粘性土の剛性を小さく，埋土の剛性を大
きく評価したためである。後者については過剰間隙水圧の発生を考慮していないことから当然の
結果といえる。全応力非線形解析では，立ち上がりのみならず全体的に GL-16.4の位相の対応が
よく，粘性土の非線形挙動がよく表現できていると考えられる。しかし，地表では計算値の位相
が進んでおり，埋土の剛性が高く評価されていることは，等価線形解析と同様，全応力法の短所
が現れたものといえる。
深さ (m)
γ't
土質 (tf/m3)
0
最大加速度
(cm/s2)
200 400 600
最大変位
(cm)
10 20 30
最大せん断応力
(kgf/cm2)
0.5 1.0 1.5
1.7
5
埋土
2.0
10
15
20
25
30
粘性土
(Ma13)
砂礫
1.7
等価線形
全応力非線形
YUSAYUSA
DESRA
2.0
地震計
図14.23 最大応答値
108
最大せん断ひずみ
(%)
2
4
6
400
200
0
0
-200
-200
加 速 度 (cm/s2)
加 速度 (cm/s2)
400
観測
計算
GL
200
-400
400
観測
計算
GL-16.4m
200
0
-200
GL
観測
計算
GL-16.4m
観測
計算
-400
400
200
0
-200
-400
-400
0
5
10
15
20
0
5
時刻（秒）
(a)等価線形解析
400
200
0
0
-200
(cm/s2)
加 速 度
加 速 度 (cm/s2)
400
観測
計算
-200
-400
400
観測
計算
GL-16.4m
200
15
20
(b)全応力非線形解析
GL
200
10
時刻（秒）
GL
観 測
計 算
GL-16.4m
観 測
計 算
-400
400
200
0
0
-200
-200
-400
-400
0
5
10
15
20
0
時刻（秒）
(c)YUSAYUSA-2
5
10
時
刻
15
20
（ 秒 ）
(d)DESRA
図14.24 加速度時刻歴の比較
二つの有効応力解析でも GL-16.4m の位置の位相はほぼ一致しているので，粘性土のモデル化
は成功しているように考えられる。地表の位相は，全応力解析より改善されているが，これは過
剰間隙水圧の発生を考慮したためにせん断波の伝播速度が遅くなったためで，有効応力解析の優
位さが現れた結果となっている。しかし，観測値と比べると位相はまだ進んでおり，剛性を大き
めに評価している。この理由として，計算で考慮しなかった EW 方向の加振に伴う間隙水圧の発
生などが考えられる。
次に，GL-16.4m 記録の時刻7秒強と8秒強の挙動を見ると，観測値では急激な加速度の変化が
見られるのに対し，等価線形では7秒の挙動はほとんど再現されず，8秒の記録は振幅が非常に小
さい。全応力非線形解析では少しの改善が見られるのみである。これに対し有効応力解析ではこ
の部分はよく再現されている。
最後に，6秒以降の地表の波形を見ると，液状化の発生を示唆するような加速度の全体的な低
下と急激な加速度の増加現象が見られる。後者はサイクリックモビリティにより発生したもので
ある。サイクリックモビリティを考慮した YUSAYUSA ではこの間の経緯の多くをうまく説明し
ているようである。ただ，YUSAYUSA の加速度値は観測値よりかなり小さめであるが，これは
すでに指摘しているように YUSAYUSA では応力経路が変相線を横切って以降は急激に有効応力
が低下する傾向があり，これが結果に反映したものである。YUSAYUSA では振幅は小さいもの
の位相特性はよく一致している。しかし，サイクリックモビリティを考慮していない DESRA で
は結果に誤差が目立つようになり，全応力解析では差はさらに大きくなる。
図14.25で全層の二つの有効応力解析による過剰間隙水圧発生を比べると，YUSAYUSA では5
秒付近で急激に間隙水圧を発生するのに比べ，DESRA では過剰間隙水圧の上昇はより緩やかで
ある。この理由は図14.26で説明できそうである。すなわち，YUSAYUSA では前述のように応力
点が変相線に至って後急激に水圧を発生する。これに対し DESRA ではその様な現象は生じない。
109
さらに，図14.26で分かるように，この地震に対してはせん断ひずみが一方向に蓄積される傾向
がある。過剰間隙水圧発生量はせん断ひずみ振幅の関数として定義されているので，このような
挙動を示す場合には過剰間隙水圧の発生量は相対的に小さくなる。この二つの違いが過剰間隙水
圧変化の大きな差となったものと考えられる。
20
Acceleration(kgf/cm
(m/s) 2)
過剰間隙水圧
2
過剰間隙水圧 (kgf/cm )
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
5
10
15
15
10
5
0
20
0
5
10
time (sec.)
時刻（秒）
(a) YUSAYUSA
15
20
(b) DESRA
図14.25 過剰間隙水圧時刻歴
(a)YUSAYUSA（18層）
1.0
せん断応力 (kgf/cm2)
2
せん断応力 (tgf/cm )
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1
0
1
2
3
4
5
せん断ひずみ (%)
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
有効上載圧 (kgf/cm2 )
(b)DESRA（15層）
図14.26 応力経路と応力－ひずみ関係
14.3.6 まとめ
兵庫県南部地震の際のポートアイランドの挙動について非線形解析を実施し，観測値と比較し
た。いずれの解析も観測値との一致度は悪くはなかったが，この原因の一つは粘性土の非線形挙
動が支配的な要因になっているためである。しかし，有効応力解析の優位性がいくつかの面で認
められた。なお，ここではデータの制約からより高度な解析は行わなかったが，データが充実す
ればさらに観測値と一致した結果を得ることも可能であろう。
110
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