第 章 粘性流層流と乱流 運動している流体中に働く力 静止している流体中では，流体が面に及ぼす力は垂直成分である圧力のみ であった．しかし，流動している流体中では，流体は面に垂直な圧力の他 に，面に平行な成分をもつ．面に平行な力の成分は流体の粘性によって生 じる摩擦力である．また，流速が大きくなると流れは層流から乱流に遷移 し，乱流においては流れの中の小さな渦運動が粘性と同じように運動量を 運ぶため，見かけの上で粘性が増したように考えることができる．この見 かけの粘性を渦粘性と呼ぶこともある．この節で説明する力の性質は流体 内部に仮想的に考える面についても，流体内に実際に存在する物体の表面 についても成り立つ． 圧力とせん断応力 静止している流体内に，ある面を考えたとき，流体がその面に及ぼす力は面 に常に垂直であったが，流体が運動しているとき，流体内の面に働く力は一般 にはその面に垂直ではない．図 のように，単位法線ベクトル をもつ面 に働く力を とする．正確にはこの図で描かれている力 は面の下側の流 体が面の上側の流体に及ぼす力であるとしておこう．力の作用反作用の法則よ り，面の上側の流体は下側の流体に の力を及ぼしていることになる．力 を面に垂直な成分 と面に平行な成分 に分解し， 9 と表す．式 の分解の方法を考えよう．与えられている物理量は であるとすると，力の垂直成分の大きさ は と 第 章 粘性流K層流と乱流K で求められ，これより，平行成分 は と計算できるので，このようにして得られた を形式的に，その大きさ と単位接線ベクトル の積として表現する．力 が となす角を とする と， 0% ， % . の関係がある． 流体中の面 に働く力と応力．垂直応力 接線応力 ． は面 の単位法線ベクトル． は単位接線ベクトル． 図 流体が面に及ぼす力 の法線成分 は粘性にはよらず，面の両側から押 し合う力のみである．この成分の大きさを面 の面積 で割って， とおくと， は面に働く法線応力であり，圧力 と呼ばれる．この圧力は静止 流体中に働く力と同じ性質をもつが，その大きさは流体の運動状態によって変 化する．このことを理解するのはベルヌーイの定理を思い起こすだけで十分で ある． 層流状態では，力 の接線成分 は流体がもつ粘性によって生じる力で ある．力の成分 を面積 で割って得られる はせん断応力であり，ニュートン流体では速度の法線方向空間微分に正比例す る大きさをもつ．このことを理解するために，流速 の方向に 軸をとり， 軸と垂直な方向に 軸をとって， 方向に図 のような速度の分布をもつ速 度場を考えよう．この図で面 が の位置にあるとすれば，面に働くせ ん断応力 は #" # 第 章 粘性流K層流と乱流K と表される．ここで， は粘性係数と呼ばれる比例定数である．図 では における速度勾配は #" # . なので，この面に働くせん 断応力は . とも表せる． 図 " 流体中の面に働く粘性力 摩擦力． 図 をもう少し詳しく見ておこう．この図の横軸は面に平行な方向 方 向 の流速成分 " であり，縦軸は面に垂直方向の座標 である．今，考え る面は にある．この面の下側にある流体は面の上側にある流体よりも 遅い速度で右向きに運動しており，上側の流体から単位面積あたり右向き 軸正方向 の力 を受ける．作用反作用の法則より，上側の流体は下側の流 体より左向き 軸負方向 の力 を受けている．すなわち，速度の速い流 体は遅い流体を加速し，遅い流体は速い流体を減速させて，全体が同じ速度に なるように力を及ぼしあっている． これまでは，流体中の仮想的な面を考えてきたが，流体中にある物体表面や 管路壁についても同様の議論が成り立つ．たとえば，図 で を平板壁 であるとする．この面には流体から単位面積あたり の圧力が面に垂直方 向に及ぼされており，面に平行な方向にはせん断力 摩擦力 #" # . が作用している．すなわち，壁面は単位面積あたり の力で右向きに引っ張 られているのである．この面の面積を とすれば，面は流体から の力 を右向き 軸正方向 に受けている．また，流体は壁面から同じ大きさで逆 向きの力 を受けている． 第 章 粘性流K層流と乱流K 表 温度 水 空気 水と空気の粘性係数 ℃8 7 7 $ 7 $%8 7 %8 $ 7 $%8 と動粘性係数 %8 $ の値 標準気圧 定常平行流中の圧力と粘性力のつり合い 重力などの外力を無視すれば，流れの中にある任意の体積をもつ流体に働 く力は圧力と流体の粘性摩擦力である．流体が定常流であるときはこれら の力がつり合っている．この節ではある１方向に流速をもつ単純な流れを 考えて，力のつり合いの式より圧力勾配と速度空間微分との関係を導く． この関係は微分方程式であり，微分方程式を解くことにより，流速分布が 求められる．具体的な流れの流速分布は次章で求める． ２次元平行流 流れは流体内の各点 における速度 % 7 と圧力 % 7 によって規定さ れる．一般には流れは時間的に変化し，それに伴って各点の速度と圧力も時間 の関数である．しかし，速度と圧力が時間によらず一定の値をもつとき，流れ は定常であるといい，その流れを定常流と呼ぶ．定常流の取り扱いは定常でな い流れすなわち非定常流よりも容易である．ここでは，さらに取り扱いが簡単 な流れを考えて，速度ベクトル は流れ場全体を通してある１方向に向いて おり，しかもその方向に垂直な２方向の内，１つの方向には変化がないと仮定 する．すなわち，速度ベクトルの方向に 軸をとり，流れの変化がない方向に / 軸をとると，速度 "% % 4 は 成分 " のみをもち，" "% と表す ことができる 図 ．また，圧力は だけの関数となり， と表すことが できる．一般に流れ場が "% % 7% % % 7% のように， 方向と 方 向の２つの成分のみをもち，それらが と と 7 のみの関数であるとき，２ 次元流と呼ぶ．さらに，速度が 7 に依存しないときは，２次元定常流という． 第 章 粘性流K層流と乱流K ここでは，２次元定常流を考える． "% 9 # 9 ; 図 # 9 # 9 # / 流れの中の仮想的な体積に働く力のつり合い． 図 のように，流れ場の中に３辺の長さ # # #/ をもつ微小直方体を 考え，この直方体に含まれる質量と運動量の保存を調べてみよう．直方体の上 下面と両側面では速度がこれらの面に平行なので，これらの面からは流体の流 入はない．ここでは流体の密度が一定であるとして とおくと，立方体に含 まれる流体の質量 < は < # # #/ であり，その時間変化率は左の面から 流入する流量と右の面から流出する流量の差に密度 をかけた等しいので， #< #7 "% # #/ " 9 #% # #/ に等しい．ここで，# は小さいので，" 9 #% を 開すると， " 9 #% "% 9 6" 6 # についてテイラー展 # と表される．この式を式 に代入して整理し，ここでは定常流を考えてい て，直方体内の流体の質量は一定であることを考慮すれば， #< #7 6" 6 # # #/ が得られる．直方体の３辺の長さ # # #/ は任意なので，流速 " は座標 に依らず一定であること，すなわち，" " と表されることがわかった． 運動量の変化と力の関係を考えてみよう．直方体に含まれる 方向の運動 量 は " # # #/ である．直方体の左の面から流入する運動量 " # #/ と右の面から流出する運動量 " # #/ は等しくその差は である．直方体に左から働く圧力は # #/ であり，右からは 9 # # #/ が働くので，ここでもテイラー展開を用いて計算するとその差は # #/ 9 # # #/ # # # # #/ 第 章 粘性流K層流と乱流K となる．直方体の下面から直方体内の流体に働く粘性による摩擦力は #" # # #/ であり，上面から働く摩擦力は 9# # #/ # #/ #" # # #/ であり，その差は 9 9 # # #/ # " # # # #/ である．直方体に含まれる流体がもつ運動量の時間変化は流出入する運動量と 直方体にかかる力に等しいので，運動方程式 # #7 # # # # #/ 9 # " # # # #/ が導かれる．流れは定常流なので，運動量の時間変化は であり，直方体の 取り方が任意であったので，流体内部における圧力勾配 # # と速度の２階 微分 # " # との関係 # # # " # が導かれる．式 は２次元定常流でしかも１方向だけ速度成分をもつ限ら れた場合にのみ成り立つ式であることをもう１度注意しておこう． ３次元平行流 流れが２次元定常流であり，１方向だけの速度成分がある場合には，流れ 方向の圧力勾配 # # と速度 " の による２階微分 # " # との間に式 の関係が成り立つことをみてきた．ここで，もう少し一般的な場合とし て，流れ場の中で流速は常に１方向流れであるが，速度ベクトルと垂直な２方 向に変化している流れを考えよう．これは図 で / 方向にも流速が変化して いる場合である．したがって，流速は "% % / と表せるが，２次元平行流の ときと同様に， には依存しないことが示されるので，流速を "% / とおく ことができる．圧力は だけの関数で と表せる． 前に，２次元平行流について図 で流体中に体積 # # #/ の直方体を考 え，この直方体内の運動量の変化を調べた．このときは，紙面手前側と向こう 側の両側面においては力が働かなかったが，３次元平行流の場合には，これら 両側面においても粘性力が働く．式 を導いたときと同様に，直方体内の 運動量の時間変化と直方体に働く力が等しいとおくと， # #7 # # # # #/ 9 6 " 6 9 6 " 6/ # # #/ 第 章 粘性流K層流と乱流K が得られる．この式より，３次元定常流中では圧力勾配 微分 6 " 6 および 6 " 6/ の間に # # 6 " 6 9 6 " 6/ # # と速度の２階 の関係があることが導かれる． 軸対称流 ３次元平行流の特別な場合として，軸対称な流れを考えよう．直角座標 % % / の代わりに，円柱座標 % &% をとって，流れは座標 には依らずに， 軸の 方向にのみ速度成分 "& をもつとする 図 参照．ここで，" が & だけの関 数であり，7 に依らないとしたのは定常流を考えているからであり， に依ら ないとしたのは，１方向流では に依存しないことが証明できるからである． 同様に，圧力 は だけの関数であることも示すことができる．軸対称流の 場合について，圧力勾配と速度微分の関係を求めるには式 を座標変換 & 0% / & % . することによって求めることもできる．しかし，ここ では２次元平行流の場合と同様に運動量の変化と力の関係を用いて導こう． ２次元平行流の場合 図 と同様に，流れの中に半径 & と & 9 #& の２つ の円筒に挟まれた長さ # をもつ微小な環状の体積 を考え，この体積に含 まれる運動量の保存を調べる 図 ．流速は内外の円筒に平行なので，これ らの面を通して流体の流入はない．ここでも，流体の密度 を一定とする．こ の体積に含まれる流体の質量 < は < &# #& である．また， 方 向の運動量 は &" # #& である．流速 " が に依存しないので， 流入する運動量と右の面から流出する運動量は等しくその差は である．体 積 の左から働く圧力は & #& であり，右からは & 9 # #& が 働き，その差は & 9 # #& & # # # #& となる．円環状体積の内側の面から直方体内の流体に働く粘性による摩擦力 は & & 9 #& & # & #" #& # & 9 #& # & 9 #& & & 9 & 9 #& であり，外側の面から働く摩擦力は #" #& # & 9 #& # で，その差は # #& & #" #& # #& 第 章 粘性流K層流と乱流K となる．したがって，運動量の時間変化は # & #7 # # # #& 9 # & #& & #" # #& #& となり，流れが定常流であり，運動量の時間変化は であることより，圧力勾 配 # # と速度の１階微分 #" #& および２階微分 # " #& との関係 # # # & #& & #" #& #" & #& 9 # " #& が導かれる． "& # #& & / 図 軸対称流中の仮想的な体積に働く力のつり合い． 乱流の構造と渦粘性 流速が遅い流れは一般には内部に大きな乱れを含むことなく，層状の速度分 布をもつ規則的な流れであり，層流と呼ばれる．流速をしだいに大きくしてい くと層流は不安定となって，より複雑な別の流れへと遷移する．これらの不安 定性により遷移が何回か生じた後に流れは乱流となる．乱流は不規則で複雑な 速度分布をもち，その詳細な速度分布は予測不可能であり，時間あるいはア ンサンブル 平均速度分布が議論されてきた． 層流から乱流へ遷移する条件は流れの種類によって異なるが，境界の形と境 界での条件が同じ流れであれば， レイノルズ数と呼ばれる無次元パラメータ *9 $ の大きさにより，層流であるか乱流であるか判断できることが多い．ここで， は代表流速， は代表長さ，$ は動粘性係数である．レイノルズ数 *9 は流 第 章 粘性流K層流と乱流K 体がもつ慣性 慣性力ともいう と流体に働く粘性力の比であると考えること ができる．レイノルズ数が小さいとき流れは層流で，大きいとき乱流となる． その遷移点を *9 と表し， 臨界レイノルズ数 と呼ぶ． これまでにもさまざまな流れについて層流から乱流に遷移する臨界レイノ ルズ数を求めるための研究が行われてきたが，まだいずれの流れについても その遷移点について十分にはよく分かっていない．その原因の一つは，層流が 何回か不安定となって乱流に移行するとき，どの段階から乱流と呼ぶか明確で はないからである．たとえば，一様流中におかれた１本の円柱を過ぎる流れは *9 程度である．２枚の平行平板間流れや円形断面の管内流れについ てはその流入条件や乱流の定義の仕方にもよって臨界レイノルズ数は異なるが， およその目安として，２平板間流れは *9 ，円管内流れは *9 としておこう． ; " / 図 乱流中の渦運動と乱流粘性の起源． 前項では，層流状態において流速 に平行な面を考え，その面に働くせん 断応力と速度微分との関係を導いたが，乱流は時間的にも空間的にも複雑な速 度分布をしているので，そのような面を考えることができない．したがって， 流速 の代わりに平均流速 を定義し，平均流速に平行な面を考える．平均 の取り方についてはいろいろな方法があるが，ここでは十分長い時間 にわ たる平均を取ろう．すなわち，流速を % 7 と表すと，平均流速は % 7#7 と書ける．ここで，平均流速 は定常であり，座標 のみに依存すると仮定 した．このように仮定すると層流の場合の " と " を比べてみればほぼ 同様な議論ができることになる． 第 章 粘性流K層流と乱流K 図 は乱流状態を模式的に表している．層流の場合には流れと平行にとっ た面 たとえば に沿った面 に働くせん断応力はこの面を通過する分子 がもつ運動量に起因するものであった．すなわち，この面の上方から下方へ流 速の大きな気体分子が通過することは面の下にある流体が上にある流体から 軸正の向きに力を受けることと見なされる．また，液体の場合には分子間力に より下側の流体は上側の流体に引っ張られて結果的に 軸正の向きに力を受 ける．乱流では流れの中に多くの小さな渦が存在して，これらの渦が に沿う面を通過する．このとき，小さな渦は運動量をもっており，渦が面を通 過すると運動量も通過することになる．運動量が面を通過することは面を通し て，上下の流体が力を及ぼし合ったことと同じであり，乱流中の小さな渦は流 体の粘性と同様な役割を果たすことになる．これを乱流の渦粘性と呼ぶ． 面を通過する運動量を定量的に調べるために，乱流状態で流速 % 7 を % 7 9 % 7 と表す．ここで， % 7 7 " % % 4 8 は乱流成分あるいは撹乱と呼ばれる． に平行な面の面積を とすれば，>7 の間にこの面を下から上に通過 する流体の流量 ; は ; >7 であり，通過する運動量の 成分 > は > " >7 である．この運動量を時間平均し，さらに時間 >7 と面積 で割ると，この 面の上側の流体が受ける応力 " となる．したがって，面の下側の流体が受 けるせん断応力を とすれば， はこの応力の反作用なので 負符号 をつ けて， " と表される． はレイノルズ応力と呼ばれる．下側の流体にはこの乱流に渦 粘性以外にも流体の粘性が働くので，それらの和は 9 と表される．式 で #" # " " #" # と書くとき ブシネスクの仮説， を渦粘度 乱流粘度，乱流粘性係数 とい う．乱流状態では流体の粘性によるせん断応力 は乱流によるせん断応力 レ イノルズ応力 よりもずっと小さいので，無視されることが多い． 第 章 粘性流K層流と乱流K 渦粘度の値を評価するには流体力学の基礎方程式を解かなければならない が，乱流の性質を簡単に導くための工夫がこれまでに数多くなされてきた．そ れらの方法を用いると，正確ではないが実験結果と比較的よく一致する流れの 振る舞いを記述することが可能となる場合もある．その代表例として，プラン トルの混合距離理論 /.1 がある．プラントルは乱流状態での小さ な渦を気体粒子と同じようにみなした．気体分子運動で粘性は平均自由行程 と分子のもつ速度の２乗平均の平方根との積で表される．乱流でも，乱流渦の 平均自由行程 を考え，ある位置 にあった渦はその位置での物理的性質を 失うことなく だけ移動して 9 に達して初めて，その位置での物理的性 質と同じ性質をもつようになると仮定する．ここで， は小さいとして，距離 離れた場所では物理量の変化率は一定であると考える．したがって， の面を通過する渦は からやってくるとすれば， 方向の平均流速 " をもっていた流体粒子が だけ移動して において平均流速 " の流体粒子と相互作用して同化する．このときの平均流速の差が乱流成 分 " を生じる原因となるので， " " " #" # である．また，乱流成分はほぼ等方的であり，渦は楕円形に近いと考えると， ." . 定数 とおけるので， . #" # となる．式 と を式 に代入して が得られる．ここで， . #" # #" とおいた．このとき，渦粘度 # #" # は となる．ここで， はプラントルの混合距離と呼ばれる．後で説明するよう に，プラントルは混合距離 は壁付近で壁からの距離 に比例して， ? ? と表せると仮定して，壁付近の速度分布を求めた．これを式 に代入して #" # について整理すると， #" # ? 第 章 粘性流K層流と乱流K となる． ここでは，滑らかな壁面近傍での平均流速 " がどのような分布をするか 調べてみよう．平均流は流れ方向に一様で，壁からの距離のみに依存すると仮 定する．壁にきわめて近いところでは厚さ Æ 程度の非常に薄い層があり，平 均圧力はほぼ一定で乱流による混合の効果も大きくなく，乱流粘性を無視する ことができる．圧力勾配も無視できるので，平均流は流体の粘性による応力を 受けるのみである．したがって，この薄い層の内部では粘性応力 は壁面に おける粘性応力に等しい．すなわち， #" # が成り立つ．この式で左辺を一定として積分すると， " $ となるが， は速度の次元をもつので，これを " とおく．" を用いて， 式 を書き換えると， " " " % $ " $ となり，壁にきわめて近いところでは平均流速 " は壁からの距離 に正比例 して大きくなる．このような薄い層は層流底層と呼ばれたが，現在では粘性底 層と呼ばれている． 対数領域 " " Æ 0#" $ 9 " " " $ 粘性底層 ; 図 ! 壁面近傍の乱流中における平均流速． 粘性底層よりも外側の領域では，逆に乱流粘性のみが作用し，流体粘性の効 果を無視できると仮定しよう．ここでも，粘性応力は一定であり， が 成り立つとすると，式 を積分して， " " ? 0# 9 . 第 章 粘性流K層流と乱流K が得られる．ここで， Æ で " "Æ . "Æ " ，すなわち "Æ ? " Æ $ とおくと， 0# Æ となるので，この式を式 に代入して， " " ? ? ? 0# Æ 0# 9 "Æ " ? 9 0# " $ " 0# " 9 % 0# $ "Æ 9 "Æ "Æ " 9 "Æ " ? "Æ " ? 0# 0# "Æ " 9 " $ と表すことができる．この式で，定数 ? と は実験により決めることにする． 実験より，平板に沿う流れでは，? ， であり，滑らかな内壁 の円管内流では ? ， であるとされている．このような速度分布 をもつ層を対数領域と呼ぶ．粘性底層と対数領域を図示すると図 のように なる．対数速度分布が成り立つのは仮定により壁近傍のみであるが，実験結果 と比較すると円管流の場合には中心軸近くまで比較的良く近似していることが わかっている． 第 章 管路流れと潤滑理論 ２平板間流れ ２枚の平板の間を流れる定常流れは平面ポワズイユ流と呼ばれる．ここで は，最も単純な粘性流の例として平面ポワズイユ流をとりあげて，流体と 壁面に働く力のつり合いについて詳しく見てみよう． ２平板間流れの流速分布 ２次元定常流の簡単な例として，２枚の平板間を流れる密度 が一定の定 常流を考えよう．図 のように，間隔 # の２枚の平行平板間を流体が流れ る．この流れは平板に平行な方向にのみ流速をもつとする．平板間の中心面に 沿って 軸をとり，平板に垂直に 軸をとる．仮定より， 方向の圧力勾配 # # は一定であり， 方向の流速成分 " は " と表される．流れが 軸の 正の向きであるとき，圧力は 軸の正の向きに小さくなっているはずである． したがって，圧力勾配 # # は負の値をもつので，これを # # : とお く．流速 " と圧力勾配 # # は式 の関係にあるので，この式を # " # : と書き換えておく．式 の右辺は定数なので，この式を 積分するのは簡単であり， " : 9 . 9 . について２回 となる．ここで . と . は積分定数である．２枚の平板は静止しており，平板 に接する面 # においては流速が " # でなければならない．この 条件を式 に代入して得られる２つの式を . と . に関する連立方程式と みなして解くと， . % . : # 第 章 管路流れと潤滑理論 と求められ，これらを式 に代入して，整理すると " :# # # となる．式 の最右辺で :# # ## とおいた．す なわち，２平板間流れの最大流速は ２平板間の中心面 で " で ある． # " ; # 図 ２枚の平行平板間流れ． 流速分布 " 7 #% #8 が式 で表されるとき， 軸に垂直なある 断面を単位時間に通過する体積を流量 体積流量 1 と定義して，1 を求めて みよう．２平板の幅 奥行き方向 7/ 方向8 の長さ を 4 とする．流量 1 はこの 速度分布を について # から # まで積分して幅 4 をかければ， 1 4 # # と求められる．流速 " を２平板間 速 " は体積流量 1 を #4 で割って， " 1 #4 7 :# #4 #% #8 :# 4 にわたって平均した平均流 となり，最大流速の である．流量を単位時間に通過する流体の質量で定義す る質量流量 1 は 1 1 であり，体積流量の代わりに使われることもある． 単に流量といえば体積流量を意味する．式 から，圧力勾配 : # # が平均流速 " に正比例していることが分かる． ２平板間流れにおける力のつり合い ２平板間を流体が流れるとき，力はどのようにつり合っているのか調べてみ よう．図 のように，流れの方向に の長さにある２平板の体積 #4 第 章 管路流れと潤滑理論 を考える．この体積に含まれる流体の質量 < は < #4 である．この流 体がもつ 方向の運動量 は質量 < と平均流速 " の積でもあるが，計算 の練習として定義にしたがって計算すると， 4 " # #4 である． 体積 に流入する運動量とこの体積内の流体に働く力の和は運動量 の 時間変化に等しい．単位時間に左側 の断面からこの体積に流入する 方向の運動量 ; は ; 4 " # #4 であり，これは右側断面 から流出する流量に等しいので，この体積に 流出入する 方向の運動量は差し引き である．体積内の流体が左側 の断面で受ける圧力による力 は #4 であり，右側 の断面 から受ける力 は #4 である．ここで， 9 # # : であることを用いて，体積 内の流体に働く力 を計算すると， 9 :#4 となり， 軸の正方向に力を受けている．また，体積 内の流体が上の平板 から受ける力 は下の平板から受ける力と等しくて，その和 は #" 9 4 # 4 # である．ここで，図 をよく見て，面のどちら側の流体が 軸の正方向に 力を受けるか注意する必要がある．式 は流体が 軸の負の方向に力を 受けることを表している．これらの運動量の流入と力の和が流体がもつ運動量 の時間変化 # #7 に等しいので， # #7 ; ; 9 9 :#4 4 # が成り立つ．ここで，式 に :# を代入すると，# #7 となって，流体がもつ運動量 は一定であることが確かめられる． また，壁面に働く摩擦力 は #" # # " # 第 章 管路流れと潤滑理論 であるが， と 平均流速 係数 @ " を用いて定義した動圧 ，すなわち， @ " との比を壁面摩擦 " とすれば， @ と表せて，壁面摩擦係数 きる． @ "# *9 % *9 はレイノルズ数 *9 "# に逆比例するということがで 潤滑理論 平行でない 小さな角度をなす ２つの壁面の間を流体が流れると，その 間に大きな圧力が生まれそれらの壁面に力を及ぼす．これが潤滑作用の原 理である．速度微分と圧力勾配の関係を表す微分方程式を簡単な仮定のも とで解くことによい，非常に単純な議論で潤滑の原理を説明することがで きる． 定常流の中では圧力勾配と粘性力がつり合っていることを学んだ．その応用 として，薄い油膜や水の層が潤滑作用をする物理的な機構について考えてみ よう．氷の上でストーンを滑らせ，目標点のなるべく近い位置に止める競技は カーリング呼ばれている．この競技に限らず，少し融けた氷の上では小さな力 で重い物体を滑らせて動かすことができる．また，実用的には軸と軸受けの間 に薄い油膜を作り摩擦による仕事損失を小さくして，軸がなめらかに回転でき るようにする軸受けはジャーナル軸受けと呼ばれている．あまり大きな力がか からない小さな軸受けにはベアリングが使用されるが，船のスクリューの軸を 受ける軸受けなどの大きな力がかかるときにはジャーナル軸受けが使用される． 水平な床面の表面に水もしくは油の薄い層があるとする．その上を重い物体 が滑っていく．図 では，逆に静止している物体の下を床面が右方に滑って いる状態を表している．このような問題を考えて，その理論を最初に作ったの はレイノルズ D+,.01% である．図 では物体と床面の間隙を広く描 いてあるが，ここで想定している長さのスケールは物体の大きさ がおよそ数 メートルで，床面と物体との間の間隙は数ミリメートルである．したがって， 流体はほぼ床面 軸 に沿って流れることになり，前項で仮定した１方向速 度をもつ２次元定常流の仮定が成り立つ．ただし，ここでは流路間隔 ! が 第 章 管路流れと潤滑理論 " ! ! 図 度 潤滑油の流れ．物体と床面の間の流れ．物体は静止し，床面は一定速 で右方に動いている． とともに変化するので，式 は成り立たず，流速は にも依存して "% と表される．式 の左辺と右辺を入れ替え，" が にも依存していること を考慮し， による微分を偏微分におきかえて 6 " 6 # # と書くと，右辺の # # もまた の関数である．流体の層が非常に薄いので， 圧力は にはよらずに， のみの関数であるとみなせる．式 の両辺を で２回積分して， "% # # 9 . 9 . が得られる．境界 床面 では " ， ! 物体の底面 では " であることを用いて式 の積分定数 . と . を決めると，それぞれ . % . # # ! ! となる．これらの式を式 に代入して整理すると，"% が "% # # ! 9 ! ! と求められる．この式で圧力勾配 # # は の未知関数である．# # を の関数として求めるために，流量保存則を用いる．単位幅 奥行き / 方向に の幅 を考えると，流量 1 は "% # 1 第 章 管路流れと潤滑理論 で定義されるので，式 に式 を代入し， についての積分を行うと， 1 ! # ! 9 # が得られる．ここで，1 は によらず一定で定数とみなせるので，式 は # # と ! との関係を表している．この式を # # について整理すると， # # ! ! ! % ! 1 となる．物体の底面の高さ ! は左の流路入り口で で ! でその間は線形関数なので， ! ! ! ! ! であり，右の流出口 と表される．流路両端で圧力は大気圧 に等しい で 式 を について積分すると位置 における圧力が． # # # 9 として， のように表される．ここで， # # #! #! ! ! #! を用いて，式 を書き変えて，積分すると # # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! #! 9 ! ! ! 9 ! ! ! ! !! #! 9 9 ! ! ! ! 9 となる．圧力 は で大気圧 でなければならないので，式 の右辺第１項に ! ! を代入すると，この項が となる条件から ! ! ! ! 9 ! 第 章 管路流れと潤滑理論 が導かれる 1 が決まる．この式を式 に代入して ! ! ! が得られる． 物体が底面において液膜から受ける力 まで積分して， ! ? ! ! ! ! ! ! ! は圧力 9 を について から # !! ! ? ! ! ! !! 0# ? ! ! ! ! ? 9 ! 9 ! ! ! ? % #! 9 ! #! ! のように求められる．ここで，0# ? は 自然対数であり，その底は 9 で 0# ? 0# ? . ? であることに注意をしておこう．圧力 が最大となるときの ! と ! の比を求めるため， を ? で微分して，# #? とおくと， # #? ? ? ! ? 9 9 ? 0# ? ? が得られる．式 の解は非線形方程式と呼ばれ，その解は手計算では簡単 には求められない．ニュートン法などの数値計算法によりその解を数値的に求 めると，およそ ? であり，このときの最大値 は となる． 一方，床面が流体から受ける摩擦力 で表される．この式に 6" 6 # 6" 6 ! は # ! 9 ! ! たとえば，水島・柳瀬著： 「理工学のための数値計算法」を参照． 第 章 管路流れと潤滑理論 を代入し，式 を用いると ! ! ! 0# ! ! ! 9? ! ! ? ! 9 ! #! ! ! ! ! ! 0# ? と計算できる．ここで， - である．ここでは，床が動く場合を考えたが， 静止した床の上にある物体を 軸の負の方向に動かし続けるのに必要な押す 力は に等しく，質量 の物体に働く垂直抗力 + は そのものであり，こ れが重力 とつり合っている．物体を動かす力と垂直抗力の比 は動摩擦係数と呼ばれる物理量であり， ? となる．たとえば，式 に ! ? 9 0# ? ? 9 0# ? ? ? ? を代入して計算すると， ! となって，仮に物体の底面の長さが であり，物体底面と床面の間隙が であるとすれば，動摩擦係数は となって，たとえば，乾 燥したカシ材とカシ材の間の動摩擦係数 の 程度である．すなわ ち，物体と床面の間に油膜などがあれば，乾燥した物体を押す力の約 で物体を動かすことができる． の力 円管内流れ 円形断面の管すなわち円管を流れる流れは日常生活や工業において最もよ く見られる流れである．この節では円管内流れが層流である場合と乱流で ある場合のそれぞれについてその基本的な性質を学ぶ． 円管内流れの流速分布 軸対称流の例として，円管内流れを考えよう．この流れは円管ポアズイユ流 あるいは単にポアズイユ流と呼ばれている．ここでも，密度 が一定の定常 第 章 管路流れと潤滑理論 流を仮定する．図 のように，半径 & の断面をもつ円管内を断面に垂直な 方向の速度成分をもって流体が流れるとする．円管の中心軸に沿って 軸を とり，半径方向に & 軸をとる．断面内のある半径からの偏角 には依存しな い軸対称な流れを考える．このとき， 方向の圧力勾配 # # は一定であり， 方向の流速成分 " は "& と表される．ここでも，圧力勾配 # # は負の 値をもつので，これを # # : とおく．流速 "& と圧力勾配 # # は式 で表される．この式を "& & 図 円管内流れ． # & #& & #" #& : と書く．式 の右辺は定数であり，この式を #" #& について整理すると， #" #& となる．ここで . :& 9 & について１回積分して， . & は積分定数である．さらに，もう１回積分して， "& :& 9 . 0# & 9 . となる．ここで . と . は積分定数であるが，もし，. であれば & で流速は無限大となってしまうので，. でなければならない．また，円管 は静止しているので，& & で流速が "& でなければならないので， . :& が得られる．これらを式 に代入して，整理すると "& :& & & となる．ここで， :& ても最大流速は & 中心軸上 で & である．円管内流におい である． # #& " & 第 章 管路流れと潤滑理論 円管のある断面を単位時間に通過する流体の体積すなわち流量 1 は速度分 布 に & をかけて， & について から & まで積分すると， 1 & となる．平均流速 " は体積流量 1 & を & & :& で割って， & #& & 1 " :& となり，最大流速の である．平面ポアズイユ流の場合は平均流速は最大 流速の であった．その違いに注意しておこう．また，式 は圧力勾 配 : # # が平均流速 " に正比例していることも表している． 円管内流れにおける力のつり合い 円管内流れにおける力のつり合いについて調べよう．概略は２平板間流れの 場合と同様である．図 のように，流れの方向に の長さの体積 & を考える．この体積に含まれる流体の質量 < は < & である．この流体 がもつ 方向の運動量 は <" である．ここでも，計算の練習として定義 にしたがって計算すると， となる． 単位時間に左側 は &"& #& & の断面からこの体積に流入する ; & "& #& & 方向の運動量 ; であり，右側断面 から流出する流量に等しく，この体積に流出入する 方向の運動量は差し引き である．体積内の流体が左側 の断面か ら受ける圧力による力 は & であり，右側 の断面から 受ける力 は & #4 である． 9 # # : なので，体積 の流体に働く力 は 9 & : 第 章 管路流れと潤滑理論 となる．この力は 軸の正の方向に働く．一方，体積 壁から受ける力 は & #" #& 内の流体が円管の内 となり，この力は 軸の負方向に働く．これらの運動量の流入と力の和が流 体がもつ運動量 の時間変化 # #7 に等しいので， # #7 ; ; 9 9 & : が成り立つ．式 に :& を代入すると，# #7 となって， 流れが定常であり，流体がもつ運動量 は一定であることが確かめられる． 円管内流れにおける壁面摩擦係数 @ " を求めておこう．ここで， は円管の内側壁に働く摩擦力であり #" #& & である．ただし，# は円管の直径であり，# に代入して， @ & " "# *9 % & " # である．この式を式 *9 " # と求められる． 円管内乱流の流速分布 レイノルズ数が大きいときには，流れは乱流になる．円管内流れも例外では なく，およそ *9 以上では乱流であると考えておこう ．流れが乱流に なると渦による運動量の移動が活発となり，壁面から離れた場所では平均流は 一様に近くなり，後で述べるように壁面近傍では速度の剪断 速度の空間微分 が大きくなって，境界層と呼ばれる薄い層が形成される．円管内流れは層流の ときには速度分布が２次曲線である放物線 図 の点線 で表されたが，乱流 になると中心部で平らで管壁近くで急勾配をもつ図 の実線のような速度分 布となる． 前にも述べたように，乱流への遷移点についてはその定義が難しく，レイノルズ数だけで 乱流であるか層流であるか判断が困難なこともある．特に円管内流はその判断が難しい例で ある． 第 章 管路流れと潤滑理論 & & "& "& ; & 図 円管内乱流の流速分布． プラントルの現象論によると，円管内乱流の平均速度 "& Ò & % & "& は管壁近傍で & と表される．ここで， & & は壁面からの距離である．また， はおよ そ *9 - の範囲では であり，レイノルズ数が大きくなると， の値 も 0# *9 のように大きくなる．この式に従えば，*9 で ，*9 で である．この速度分布は円管の中心部での 速度を良く近似するわけではない．ただし，ここでは仮に中心部に至るまで式 が正しいものとしてその性質を調べよう． 平均速度 "& の最大流速は中心軸 & で " である．ある断面 を単位時間あたりに通過する流量 1 は 1 &"& #& と計算できる．流量 & & & & 1 を管の断面積 " 1 & #& & で割って，平均流速の断面平均 & " が のように，最大流速のおよそ 倍であることが分かる．層流の場合には最 大流速と平均流速の比は であったが，乱流の場合には の間の数 値となる． 円管内層流においては，圧力勾配は平均流速 " に比例した．すなわち， # # " *9 であった．流れが乱流になると，圧力勾配は平均流速 " の２乗に比 例して増加することが，レイノルズの実験により示された 図 ．長さ の 円管に含まれる 方向の運動量 の平均は時間によらず一定であると仮定 し，層流の場合に行ったのと同様にこの部分の流体に働く圧力を計算すると， 9 # & # 第 章 管路流れと潤滑理論 であり，この力が管壁での摩擦力 & 9 とつり合うので， 9 # # & が成り立つ．ここで， は粘性による摩擦応力， は渦粘性による摩擦応力 である．ここで，乱流壁面摩擦係数 @ を @ と定義すれば，@ はおよそ @ 9 " の範囲で - *9 - *9 % *9 "& という実験結果があるので，式 を式 に代入し，# # について " 整理すると，この範囲のレイノルズ数で # # は " に比例することにな る．レイノルズの実験では # # が " に比例しており，わずかに異なっては いるが，近い関係が得られる． # # 乱流 ; 層流 図 平均流速と圧力勾配の関係．& " ，$ ． $% 第 章 管路流れと潤滑理論 管路における圧力損失 ベルヌーイの定理によれば，流体がもつ運動エネルギー・位置エネルギー および圧力エネルギーの和が保存する．しかし， 節および 節で説明 してきたように，管路壁面の摩擦によってエネルギーが減少する．また， 管路に急拡大部があるときにも圧力損失 エネルギーの減少 が生じる．こ の節ではこれらの圧力損失の大きさを評価する方法を説明する． 管壁における摩擦応力による圧力損失 流体がもつエネルギーは運動エネルギー・位置エネルギーおよび圧力エネ ルギーであり，ベルヌーイの定理によれば，これらのエネルギーの和は保存さ れる．しかし，前節まででみてきたように，流体が管路を流れるときには壁面 から受ける摩擦応力によって，流体がもつエネルギーが減少する．このエネル ギーの減少を補っているのが，圧力勾配である．ここでは，管路壁面から受け る摩擦応力による圧力損失について考える． ２平板間流れにおける圧力損失 ２平板間流れにおける圧力勾配 # # : と平均流速 " との関係は，式 で与えられている．この式を # # について表すと， # # となる．したがって， 方向に は " # だけ離れた点での圧力の減少 圧力損失 > " # > である．この圧力損失 > を で割って，長さの次元で表すとき， ! > を損失ヘッドと呼ぶ．この式に式 を代入すると，損失ヘッド ! は ! " # となる．ここで，! を " # で無次元化して得られる無次元量を， A ! #" 第 章 管路流れと潤滑理論 で定義すれば， A " # # " #" と表すことができる．この無次元量 A *9 % *9 "# は管摩擦係数と呼ばれる． 層流円管内流れにおける圧力損失 円管内流れについても，２平板間流れの場合と同様に圧力損失を評価するこ とができる．半径 & 直径 # & の円管を平均流速 " で流れるときの圧力 勾配 # # は，式 より， # # である．これより， 方向に " & だけ離れた点での圧力の減少 圧力損失 > " & > は であり，損失ヘッド ! は ! と表される．ここで，半径 て，管摩擦係数 A を & > " の代わりに直径 A ! & # を用いて式 を書き改め #" で定義すると， A " # # " #" *9 % *9 "# となる． 乱流円管内流れにおける圧力損失 円管内流れが乱流となったときの圧力損失は解析的には求められていないの で，乱流壁面摩擦係数 @ についての実験式 を用いて評価する．式 と より，圧力勾配 # # は # # 9 & " @ & 第 章 管路流れと潤滑理論 となる． 方向に だけ離れた点での圧力の減少 圧力損失 " @ > > は & となり，損失ヘッド ! は を用いて， ! > " & と表される．これより，乱流のときの管摩擦係数 範囲で， A ! #" となる．ここで，レイノルズ数 *9 *9 は *9 A は *9 *9 "# *9 の で定義される． 円管流入部における圧力減少 水槽内で静止していた流体がベルマウス状の流入口から円管に流入し，やが て式 で表されるような発達した円管ポアズイユ流となるときには，圧 力減少が生じる． 図 のように，水槽内の 点 での圧力を とする．この点で静止し ていた流体がなめらかなベルマウス状の流入口から円管に流入して，円管内の 点 で断面内で一様な流速 " をもったとする．点 では，流体は単位体 積あたり " の運動エネルギーをもつ．２点 と の間では流体のエネ ルギーは保存するので，ベルヌーイの式が成り立つ．これら２点が同じ高さに あるとして，ベルヌーイの式から " 9 の関係がある．すなわち， での圧力 は での圧力 よりも，" だ け低くなっている． 流体は点 から下流に流れるにしたがって，一様な速度分布から円管ポア ズイユ流に近づいていき，点 で速度分布 "& " & # で表される発達したポアズイユ流となる．式 では，円管の半径 & を直 径を用いて，& # と表し，最大流速 を平均流速を用いて， " と 第 章 管路流れと潤滑理論 & # " "& ; # 図 助走流と発達した円管ポアズイユ流． 表している．ここで，流量の保存より，" " であることは容易に分かる．ま た，点 を含む断面を単位時間に通過する運動エネルギー は "& &"& #& & " # & " となる．同様に，単位時間にこの断面を通過する流体の流量 1 は 1 & " である．これらの比を，点 定義すると， において流体がもつ平均運動エネルギー =# 1 " =# と となる．点 で一様であった流速分布が で円管ポアズイユ流の速度分布 となって，式 で表される運動エネルギーをもつ．このことを考慮して， ベルヌーイの式を表すと， " 9 となり， " 9 " が得られる．すなわち， における圧力 は での圧力 よりも " だけ低く， における圧力 よりも " だけ低い．すなわち，水槽内部の 点 で静止していた流体が，発達したポアズイユ流になるまでに低下する圧 力を > とし，その圧力低下をヘッド ! > で表すと， ! > " 第 章 管路流れと潤滑理論 となる．ただし，摩擦などの要因による圧力低下や損失の効果も考慮して，式 を ! B と表す．実験によれば，層流の場合は 度とされている． " B ，乱流の場合は B 程 急拡大部における圧力損失 断面積が急に拡大している管路を流体が流れるとき，流体がもつエネルギー が減少する．このエネルギー減少は管路中央線に沿う圧力の低下として現れ る．流体がもつエネルギーの保存式を表すベルヌーイの定理を式 におい て長さの次元 全ヘッド で表したように，ここでも，管路の急拡大による圧 力損失 減少 > を で割って，! > とおく．この ! は管路の 急拡大による圧力損失ヘッドと呼ばれる． ! I 図 II 急拡大部における圧力損失． 図 のように，管路が断面積 から急に拡大して断面積 となるとき の圧力損失ヘッド ! を求めてみよう．管路内に急拡大部の上流と下流のそれ ぞれの代表点として２点 と をとる．点 より上流での平均流速はほ ぼ であり，この点での管路断面積を ，圧力を とする．同様に，点 より下流では平均流速はほぼ一様で ，この点での管路断面積を ，圧力を とする．また，２点 と は同じ高さにあり，これらの点で流体がもつ 第 章 管路流れと潤滑理論 位置エネルギーは同じであるとすると，エネルギーの保存式は，ベルヌーイの 式 に圧力損失の影響を加えて， 9 9 > 9 となる．この式を ! について表すと， ! が得られる． 流れは非圧縮性流れ から 9 9 9 ! 一定 で，定常流であるとすると，流量保存の式 が成り立つ．また，図 において破線で表される領域の流体がもつ運動量は 不変であることより，この領域の右側から流出する運動量 と左側から 流入する運動量 の差は両側から受ける圧力の差に断面積をかけて得ら れる力 に等しいこと 運動量の保存 より， の関係が得られる．ここで，検査領域内の流体が左側境界から受ける圧力 による力は でなく， とするのは，急拡大部の垂直壁面からも圧力 を受けるからである．これは，圧力は管断面ではほぼ一様であり，急拡大部 では管断面にわたって点 での圧力 に等しいとみなせるからである．式 より， が得られ，式 より， となる．式 と を式 に代入すると，! が ! と表される．これが，急拡大管における圧力損失ヘッドである．実際の管路に 適用するときには，式 の右辺に修正係数 B をかけて， ! B 第 章 管路流れと潤滑理論 と表し，実験結果と良く合うように B の値を決める． 管路がゆるやかに拡大しているときにはこのような圧力損失は生じない．そ のときの点 での圧力を とすると， > ! である．この 圧力損失は，流体が狭い管路から広い管路へジェットのように噴き出して，ま わりの流体と衝突し，混合することによって，エネルギーを失うことによって 生じる．その機構の明解な説明はまだ与えられていない．アナロジーとして， ２つの物体が非弾性衝突をするとき，それらの運動量の和は保存するが，エネ ルギーは減少することを想像することもできる．前にも説明したように，実験 でも，この圧力損失を確かめることができ，これより B を決めるが，実際に 実験を行うと，流れの対称性が失われたり，振動流が発生したりして，複雑な 現象が観測されることが多い． 開水路流れ これまで考えてきた管路流れでは，流体は管壁から受ける摩擦力に抗して圧 力勾配が働くとき，一定の流速で流れる．この節では，管路の上方が大気圧に 接している流れ，すなわち，開水路流れについて考える．水路底面から水面ま での高さが一定の開水路流れでは，圧力勾配は生じず，流体に働く重力の流れ 方向成分と管壁摩擦力がつり合うことにより，流体は一定流速で流れる． < > ! > 図 > 4 開水路における重力と摩擦応力のつり合い． 側面． 正面． 図 のように，水平面と角度 をなす開水路を流体が流れるとき，距 離 だけ隔てた２つの検査面 と < を考える．この検査面の正面断面が 図 であり，その流体面積を とする．検査面 と < に挟まれた流体の 質量は であり，流体に働く重力の大きさは である．したがって，そ の流れ方向の成分の大きさ > % . と管壁摩擦力 ( とがつり 第 章 管路流れと潤滑理論 合うとき，すなわち， % . ( が成り立つとき，流体は一定の流速で流れる．ここで， は壁面摩擦応力であ り，壁面摩擦係数 @ と流速 を用いて， @ と表される．また，( は検査面内の流体が壁面と接する面積であり，濡れ面 積とも呼ばれる．図 では， ( ! 9 4 である． / 9 ! / 9 / / 図 開水路流れ． 円形断面の管路を隙間なく流れる円管ポアズイユ流などでは，流量 1 が決 まれば，流速 は 1 と管路断面積 との比で表され， 1 のように一 意的に定まる．しかし，開水路流れでは，流速 だけでなく，水面高さ ! も 未知変数となるので，流速も水面高さも常に一意的に決まるとは限らない．図 のように，開水路を流れる流体中の１点 において流体がもつエネルギー を考える．点 は水路底面から高さ / の位置にあり，その点での流速を ， 圧力を とする．また，この点の真下における底面の高さを / とし，真上 における水面の 底面からの 高さを ! とする．ベルヌーイの式に，壁面から の摩擦力を付け加えて， 9 9 / 9 / ( / % . 一定 が成り立つ．ただし，上式の左辺第 項は / の位置より，壁面摩擦力に 抗して単位体積の流体を / の位置まで運ぶのに要する仕事である．式 第 章 管路流れと潤滑理論 で % . 用い， とおくことにより，/ ( / % . となり，この関係を 9 ! / であることを考慮すると，式 は / となる．ここで，大気圧 = とおいて， 9 9 ! 一定 は一定なので，これを右辺に移し，その一定値を = 9 ! と表せば，= は単位体積あたりの流体がもつエネルギーであると考えること ができる． 一方，流体の質量保存式より，この開水路を流れる流体の流量 1 は 1 !4 と表され，流量も保存する．式 で，流速 ると， = 1 に 1 !4 を代入す ! 4 9 ! が得られる．式 は流体がもつエネルギー = と流量 1 および水面高さ の関係を表している．その関係をグラフにすると，図 のようになる． ! = = = ! = ! ! 図 ! 1 4 ! ! 正常流と射流． 式 あるいは図 で，たとえば 1 と = を与えると水面高さ ! が決 まる．ただし，式 は ! について３次の代数方程式であり，解の公式 た とえばカルダノの方法 などを用いると解くことができるが，図 を用いた 図式解法の方が容易に解の性質が分かる．図 で，たとえば，= = のと きには，水面高さとして，! と ! の２通りの解が可能である．このように， 第 章 管路流れと潤滑理論 一般には， と 1 ただし，= が しないので 決まり，! ! が与えられたとき，水面高さ = = 1 4 $ は一意的には決まらない． よりも小さいときは，そのような流れは存在 の値は求まらない．また，= ! ! = のときは，! はただ一通りに % となり，そのときの流速 は 1 4 ! である．図 で，! 5 ! を正常流と呼び，! を射流という．ある開水路 の下流にせきなどの障害物があったり，水路の傾斜角が小さくなっているとき には，図 のように，上流からの射流がある地点で正常流に遷移すること がある．このとき，射流と正常流の間には急な水面高さの変化があり，これを 跳水と呼ぶ．なお，正常流から射流に変化するときにはこのような跳水は生じ ない． 射流 ! 図 正常流 ! ! 正常流と射流および跳水． 正常流 射流 ! 図 ! ! ! 跳水による圧力損失． 開水路流れが，射流から正常流となって，跳水が生じるときには，同時に圧 力損失が生じる．このときの圧力損失の大きさを見積もってみよう．開水路底 面の傾斜と管路壁からの摩擦力が常につり合っていると考えると，開水路とし て図 のような水平な水路を考えれば十分である．この図で流体は左から 右に流れている．上流では上半分がせき止められており，流れはせき もぐり せき の下から射流として流れ出している．射流中に底面からの高さ / の点 をとり，その点での流速を ，圧力を ，水面高さを ! とする．同様に， 正常流中に点 をとり，その点の高さを / ，流速を ，圧力を ，水面高 第 章 管路流れと潤滑理論 さを ! としよう．流量を 1 ，水路の幅を 1 ! 4 4 とすると，流量保存の式より， ! 4 が成り立つ．壁面摩擦力と水路底面の勾配による重力とがつり合っているの で，これらの力を除き，跳水による圧力損失 ! をつけ加えると，ベルヌーイ の式は 9 となる．式 に ! について表すと， 9 / 9 ! ! 9 9 / 9 ! ， / 9 ! 9 ! / を代入し， ! となる．式 では，圧力損失 ! が と および ! と ! で表されて いる．ここでは， と を ! および ! を用いて表すことにより，! を ! と ! のみの関数として求めてみよう．そのために，点 および を通る ２つの断面で挟まれた流体がもつ運動量の保存式を考える．ただし，跳水の位 置は不動であることを仮定する ．点 を通る断面の左側の流体が考えてい る領域内の流体に及ぼす全圧力 は 4 ! であり，同様に，点 / #/ 4 ! / / を通る断面の右側の流体が及ぼす全圧力 4! は 4! である．流れは定常流なので，今考えている領域から流出する運動量と流入す る運動量の差は， に等しい．したがって， 14 が成り立つ．これより， り ! ! 14 が得られ，質量保存の式 よ が得られるので，これらを式 に代入して，圧力損失を ! と表すことができる． 跳水は原理的には重力波なので， ! ! ! ! の位相速度で伝播する．ただし，ここでは上流と 下流の境界条件より跳水が静止している系を考えている． 第 章 物体表面に沿う流れ 境界層 速い流れの中に物体があるとき，多くの場合には流体は物体表面に沿って 流れる．このとき，物体表面近くでは非常に薄い境界層が生じ，境界層内 部では粘性の影響があるが，その外部はほぼ非粘性流に近い性質をもつ． この節では境界層が生じる理由とその性質について学ぶ． 境界層の生成と性質 高速で飛行するジェット機の翼に代表されるように，層流状態にある速い流 れの中に物体があるとき，流体は物体表面に沿って流れる性質がある．流速の 速い流れは相対的に粘性の効果が小さい．したがって，物体の近傍を除けばほ ぼ非粘性流の近似が成り立つ．ただし，物体表面では流速は物体の表面速度と 同じにならなければならないので，静止している物体の表面に沿って流れる流 体の速度分布は物体表面で であり，表面から少し離れると高速となる．この 結果，図 のように，物体の表面に沿って薄い層が生じて，その内部では流 速の変化が大きく，その外側では物体が存在しないときの流速分布に近い速度 をもつ．このような薄い層を境界層という．境界層は非常に薄いので，座標軸 として物体表面に沿って，( 軸をとり，表面に垂直に 軸をとると，流速は ( の緩やかな関数であり， については急に変化する関数となる．すなわち，速 度の ( 方向成分 "(% の ( 方向微分 6" 6( は小さくて，6" 6 は大きい． ここでは流体のもつ粘性率 は非常に小さいと考えているが，6" 6 が非常 に大きいので，その積 6" 6 は有限の値となる．一方，圧力 (% の 方向微分 # # は有限なので， 方向に非常に薄い境界層内での圧力分布は， 物体表面の垂直方向にほぼ一定であると見なせる．また，速度の 方向成分 (% は ( 方向成分 "(% に比べて非常に小さい． 流れ方向の物体の長さに比べて，境界層は非常に薄いので境界層流れは２次 第 章 物体表面に沿う流れ " ( 図 速い流れの中にある物体表面の速度分布．境界層． 元的で１方向流と見なせることが多い．また，地平線がほぼ直線に見えるよう に，境界層は平面で近似できることもある．しかし，球や円筒周りの境界層の ように，その曲率を無視すると適切な流速分布や圧力分布が得られないこと がある．その主な理由は，流れ方向に圧力が変化することにある．すなわち， 一様流 の中に平板があるときには，境界層の外側では圧力はほぼ一定で， 6 6( と近似できることが多いが，大きな曲率をもつ物体表面の境界層外 側では 6 6( の大きさを無視できないからである．円管や２平板間に一様な 流れが流入するとき，管路入り口でも境界層が発生する．このような流れは助 走流と呼ばれる． 境界層の遷移 流速の速い層流が物体にあたり境界層が生じるとき，境界層の上流では層 流であるが，層流境界層は下流に行くにしたがって不安定となる．図 のよ うに，層流境界層は遷移領域を経て，その下流では乱流状態となる．次節では 平板に沿う層流境界層と乱流境界層について説明する．先にも述べたように， 平板境界層は曲率をもつ物体表面に沿う流れの近似であると考えることもで きる． 層流境界層 遷移領域 乱流境界層 図 境界層の層流から乱流への遷移． 第 章 物体表面に沿う流れ 平板境界層 一様流中に流れと平行に置かれた平板に沿って形成される平板境界層は簡 単な境界層の例であるが，現実の流れをよく近似している場合もある．ま た，この流れを良く知ると現実に起こる境界層を調べるときの参考になる． この節では平板境界層の性質について学ぶ． 境界層厚さの定義 最も簡単な境界層の例として，速さ の一様流中に流れと平行に半無限に 長い平板が置かれているときに平板に沿ってできる境界層について考えよう． 前にも説明したようにこのような理想的な状況は極めてまれにしか起こらな いが，現実の流れをよく近似していることが多い．また，この流れを良く知る と，現実に起こる境界層を調べるときの参考になる．ここでは，非圧縮流を考 え，流体の密度を とする． 図 のように，平板の先端を原点として平板に平行に 軸をとり，それと 垂直に 軸をとる．ここで求めようとしているのは，境界層の厚さ Æ がど の程度の大きさで のどのような関数なのかという点である．また，平板上 の位置 における粘性摩擦応力 の大きさである．そのために使用する法則 は質量保存の法則と運動量保存の法則である． < ! "% Æ ; 図 平板境界層． ここで，境界層の厚さとして，３つの異なる境界層厚さを定義しておく．そ の１つは，図 で示されている境界層厚さ Æ で，単に境界層厚さといえばこ 第 章 物体表面に沿う流れ の厚さをいうことにしよう．境界層厚さ は Æ "% Æ で定義される．すなわち，境界層内では流速は平板上での から境界層の外 側へ向かって急激に回復して に近づくが，その : まで回復したときの の値を境界層厚さ Æ という．Æ は の関数であり，Æ とも表す．排除厚さ と呼ばれる境界層厚さ Æ の定義は Æ "% # である．境界層を流れる流量が仮に であり，境界がその分だけ膨らんだと すれば Æ だけ膨らんでその外側は急に の流速になっていると考えるとき の厚さである．もう１つの境界層厚さ Æ は運動量厚さと呼ばれ， Æ "% "% # により定義される．この境界層厚さも Æ とほぼ同様に考えられるが，そのと きに境界層内を流れる運動量が であり，その外側を流れる運動量が で あると仮定している． 境界層における質量の保存則と運動量の保存則 図 で < G で囲まれた長さ ，高さ ! の領域中の流体の質量保存則に ついて考える．図の奥行き方向 / 方向 の幅は 4 であるとすると，この領域 の体積 は !4 であり，領域内にある流体の質量 < は < !4 である．単位時間に，; から領域 < であり，< から流出する質量は & % !# に流入する流体の質量は ; ; 4 からも流出する．その流出質量 ; は ; 4 ; "% # !4 である．流体は 方向の速度成分を % < と表すと， である．流れが定常であるとすると，これらの流体の流 入と流出はつり合って， #< #7 ; ; ; 第 章 物体表面に沿う流れ が成り立つ．この式を ; について解き，; と ; ; ; 4 ! の式を代入すると， ; "% # が得られ，< からこの領域を出ていく流量 ; を求めることができた． 次に，運動量保存の法則より，長さ の壁面に働く摩擦力を求める．体積 に含まれる流体がもつ 方向の運動量 は 4 & "% # である．一方，単位時間に ; から領域 < !4 と表され，< # から流出する運動量 ; に流入する運動量 1 は 1 1 は 1 4 "% # で ある．また，< から流出する運動量 1 は 1 ; と表せる． か ら までの間の平板に働く力を 8 をすれば，流体に働く力は 8 で あり，運動量の変化率 # #7 は単位時間に流出入する運動量と力の和で表さ れるので， # 1 #7 が得られる．この式に 1 ，1 と 1 1 8 を代入し，8 について表せば， 1 8 4 "% "% # が得られる．ここで，; は式 で表されることを用いた．位置 における 摩擦応力を と表し，長さ は任意であったことから を を置き換え て式 を 8 4 "% と書き改める．式 の両辺を #8 4 B #B 4 # # # で微分して幅 "% 4 "% # で割ると， "% # を得る．この式は摩擦応力 と流速分布 "% の関係を表している．も し，流速分布 "% が分かっていれば摩擦応力が求められるが，流速分布は 未知の関数なので，これ以上に先に進むことができない．ただし，式 の 最右辺は運動量排除厚さの定義 を含んでいるので，これを代入して， と書ける．ここで，積分の上限 置き換えた． ! #Æ # に は十分に大きいと仮定しているので， 第 章 物体表面に沿う流れ 速度相似則と近似計算 ここでは，半無限に長い平板に沿う境界層を考えている．このように半無限 に長い平板には代表的な長さスケールがなく，したがって，流れ場にも特定の 長さスケールが存在しない．このような流れ場は相似解をもつことが期待でき る．そこで，速度 "% は相似解 "% Æ % Æ をもつと仮定する．これ以上に詳しい計算は粘性流体の運動方程式を近似して 解くか，直接に数値計算で解を求める必要がある．しかし，流れ学の精神は複 雑な現象でも大胆な仮説のもとで実用上使える程度の精度で解を求め，その 性質を知ることにある．ここでは，式 に現れる境界層の形 を２次 曲線 : 9 0 9 . で近似する．速度 "% が壁面 で であり， すなわ ち Æ で "% Æ および #"% # Æ # # ' で あるという境界条件のもとで，式 の係数 :，0 と . を求めると，: ， 0 ，. が得られ，これらを式 に代入して，さらに を式 に代入すれば， "% となる．この式を式 に代入して，摩擦応力 # # Æ # #Æ # # を評価すると， # # 9 # #Æ # が得られる．一方， #" # と表されるので， #"% # # # ' # # Æ となる．ここで，式 と が等しいとおくと，微分方程式 #Æ # Æ 第 章 物体表面に沿う流れ が得られる． くと，Æ は で であることを考慮して，この微分方程式を解 Æ Æ と求められる．すなわち，境界層厚さ Æ は平板の先端からの距離 と粘性 係数 の平方根に比例し，一様流の流速 の平方根に反比例する．この式を 式 に代入すると， となり，摩擦応力は平板先端からの距離 の平方根に反比例して小さくなる ことがわかった．また，２平板間流れについて求めた壁面摩擦係数 @ を境界層についても評価すれば， @ % *9 *9 となって，２平板間流れでは壁面摩擦係数 @ がレイノルズ数 *9 に逆比例し たのに比べれば，境界層の場合にはレイノルズ数 *9 の平方根に逆比例して いるので，レイノルズ数が大きくなっても壁面摩擦係数はさほど小さくならな いことになる．ただし，ここで定義したレイノルズ数 *9 は平板先端からの 距離に比例して大きくなる． 長さ の平板全体に働く摩擦力 8 は式 に幅 4 をかけて， から まで積分をすれば， 8 & # 4 4 4 & 4 8 ( 4 ( # *9& となる．ここで， と表せば，( は % *9& となる．この値は層流の場合であり，層流境界層は *9& 流へ遷移する．乱流境界層については次節で説明する． 程度で乱 第 章 物体表面に沿う流れ ブラジウス境界層 前節では，流れ学の精神に従って実用上使える程度の近似で境界層の性質を 調べたが，境界層の厚さ Æ と平板の長さあるいは先端からの距離 の比が非 常に小さい Æ ときにはもう少し厳密な議論をすることができる．ブラジ ウス <% L% は相似変数 C を C ととると，流速 "% "% $ は C % % $ C と表されることを導いた．ここで， は C の関数であり， は C の微分 などは 関数 C を の数と同じ回数だけ微分し # #C を表す．同様に， たものを表す．また，関数 C は３階の微分方程式 9 を境界条件 % % % C のもとで解いた解である．この微分方程式は について非線形の微分方程式で あり，境界値問題になっているため解析解を求めるのは容易ではないが，数値計 算により求めることができる．数値計算をした結果，この解は で あることがわかり，解 の概形が図 のように得られる．"% となる C の値はおよそ である．したがって，前項で定義した Æ は Æ $ となり，同様に Æ と Æ はそれぞれ Æ $ Æ % $ と表される 図 参照．式 で表される境界層をブラジウス境界層とい う．特に，壁近傍ではブラジウス境界層の速度分布は直線で近似できて， "% $ $ 第 章 物体表面に沿う流れ と表される． 壁近傍での速度分布 が求められたので，この速度分布より摩擦応力 は 6" 6 $ と求められる．このとき，式 で定義される壁面摩擦係数 @ *9 % *9 @ は となる．この式 を式 と見比べると，係数の値がほぼ近く，前節で 行ったように境界層の速度分布を式 のような２次曲線で近似しても壁面 摩擦係数 @ は比較的良い近似で評価できることがわかった． 長さ の平板全体に働く摩擦力 8 は & 8 4 # 4 と求められ，( は ( & $ *9& % *9& となる． Æ C Æ 図 Æ ) * + 平板に沿うブラジウス境界層． # 4 第 章 物体表面に沿う流れ 乱流境界層 乱流境界層においてもその速度分布は図 のように，壁面近傍に粘性底層 があり，その外側に対数領域が接しており，さらにその外側には後流領域と呼 ばれる領域がある３層構造をなしている．しかし，ここではモデルとして円管 内乱流において観測で式 で説明した " Æ % Æ を速度分布の近似式として用いることにする．この近似式は比較的低いレイノ ルズ数では平板に沿う乱流境界層の速度分布を良く近似している．この近似で は，Æ と排除厚さ Æ の関係は Æ "% # Æ # Æ となる．ただし，式 は Æ でのみ速度分布を近似するので，積分 を 7% Æ 8 で打ち切っている．式 より，乱流境界層では排除厚さと境 界層厚さ Æ の比は であり，層流境界層の場合の に比べると に近 い値である． 近似式 を用いて，摩擦応力 を式 より計算すると # # Æ "% "% # # # Æ #Æ # # が得られる．ここでも，積分範囲を 7% Æ 8 としていることに注意すること． 乱流においては摩擦応力 を #" # で評価することはできないので， 実験による結果を用いる．実験結果は研究者により多少異なるが，ここでは $ Æ を採用する．式 と式 を等しいとおいて， で積分すると， となる．ただし， うと， Æ Æ #Æ で $ # Æ であることを用いた．式 の積分を行 Æ $ 第 章 物体表面に沿う流れ となり，Æ について整理すると， Æ $ が得られる．層流では境界層厚さが に比例して増大したが，乱流境界層は に比例するので，層流の場合よりも乱流の場合の方が境界層厚さの成長 が速い． 乱流境界層において幅 4 をもつ長さ の平板全体に働く摩擦力 8 は 8 & 4 Æ & # 4 4 #Æ 4 Æ 4 と求められ，( は ( *9& となる． % *9& 第 章 流れと物体の相互作用 流れの中の物体に働く力 流れの中に物体があるとき，物体は流れから流体力を受ける．流体力は抗 力と揚力に分けられる．この節では物体が受ける流体力について説明し， 流れ場の速度と圧力から流体力を評価する方法を紹介する． 抗力と揚力 風が強くないとき，航空機や自動車はほぼ静止した流体中を運動していると 見なすことができる．これらのモデルとして，図 のように静止した物体に 前方から一様流が当たる場合を考える．一様流の方向に 軸をとり，それと 垂直に 軸をとる．一様流は 方向の単位ベクトル を用いて と表せ る．流体が物体に力 を及ぼしているとき，その力を一様流の方向 8 と 垂直方向 に分解して， 8 9 と表す．このとき，航空機の翼に働く力との類推から，一様流の方向の成分 8 を抗力と呼び，垂直成分 を揚力と呼ぶ．もちろん，これらの呼び方は航空 機の翼に働く力以外にも用いる．このときの力の分解法は式 を導いたと きと同じである． 8 図 一様流中にある物体に働く力．抗力 8 と揚力 ． 第 章 流れと物体の相互作用 物体に働く抗力を議論するときは，抗力 , 8 を無次元化して 8 で定義される抗力係数 , を用いる．ここで， は物体を一様流と垂直な面 に投影した面積であり， は流体の密度である．すなわち， は物体を風上か ら見たときの面積である．ただし，翼形物体や平板などの場合には として 最大投影面積をとることがある．抗力係数は物体の形状やレイノルズ数により 異なる．このような無次元量 , を用いて抗力を議論する理由は，物体の大き さや流れの速度などの個々の物理量に依らず，抗力を物体の形状とレイノルズ 数の関数としてのみ見ようとしているためである．代表的な物体の抗力係数に ついては後に議論するが，乗用車の抗力係数はおよそ , 程度で あり，形が流線型に近いスポーツカーでは , である． 抗力係数と同様に，揚力係数 & は & で定義される．一般には一様な流れの中に対称な物体が流れと平行に置かれて いるとき，抗力係数は であると予測されるが，実際には物体を過ぎる流れが 振動流となって抗力係数が有限の振幅で時間的に振動する場合も多い．航空機 の場合には揚力と抗力の揚抗比 8 , & が大切な指標となる．航空機 の質量を とすると，重力は は重力による加速度 であり，重力と揚 力がつり合っている状態 での巡航状態では，ジェット機の推進力 は 8 8 なので，揚抗比の逆数と との積となる．一般の 旅客機では揚抗比は 8 程度である． 圧力と粘性摩擦力 物体が流体から力を受ける原因は２つである．１つは流体が物体表面を押す 圧力であり，もう１つは物体表面に沿って流れる流体の粘性摩擦力である．前 項では，物体に働く流体力はその方向によって抗力と揚力に分けられることを 説明したが，流体力 はその原因から分類すると，圧力による流体力 と 粘性摩擦による流体力 ( に分けて， 9 ( 第 章 流れと物体の相互作用 と表せる．式 を式 のように流れの方向とそれに垂直な方向の成分 で表現すると， 8 8 9 8( 9 ( のように書ける． 式 と に現れる４つの力の成分はすべて物体表面に働く力である． 図 のように，速さ の一様流中にある物体を考え，物体の全表面積を で表す．また，表面の微小な面積を # で表す．# は小さな面積であり，平 面であると見なすことができる．# の単位法線ベクトル を物体内部から外 側へ向かう方向にとり，単位接線ベクトル を表面に平行にとる．流れの方向 である 軸と のなす角を とおく．微小面積 # に働く圧力は # であ り，その 方向成分は # 0% と表され， 方向の単位ベクトルを とす れば， # とも表せる．ここで，角 は微小面積の位置により異な ることに注意する必要がある．この # に働く力を全表面積 について積分 すると圧力による抗力 8 が求められる．すなわち， 8 0% # # である．一方，# に働く圧力 # の 方向成分は # % . # である．ここで， は 方向の単位ベクトルである．この力を積分して， % . # # が得られ，圧力による揚力成分 が求められる． 物体表面には圧力の他に，粘性による摩擦力が働く．微小面積 # に働く摩 擦力は # #" # # と表すことができる．ここで，" は物体表面に 沿う流速成分の大きさであり，#" # は " を物体表面に垂直な方向に微 分したときの，表面での値である．この摩擦力の 成分と 成分をそれぞれ 物体の全表面について積分すると， 8( ( % . # 0% # のように，摩擦力による抗力成分 8( #% と揚力成分 # ( が求められる． 第 章 流れと物体の相互作用 u # 図 一様流中にある物体に働く力．圧力 と粘性 摩擦 力 ． 運動量の保存則と物体に働く力 節では運動量の変化は力積に等しいことを用いて，平板壁面に働く力 を求めた．同様に，流れの中に検査面を考えて，その検査面を通過する運動量 の差から物体に働く力を評価することができる．図 のように物体を取り囲 むように検査面 < G をとる．具体例として，図 のような翼を過ぎる流 れについて考えてみよう．この翼は 軸について対称な形で，厚さ # の対称 翼であるとする．この翼の幅 紙面奥行き幅 を 4 とする．面 < 幅 !，奥 行き 4 には，流体は一様な 方向流速 で流入する．また，面 G から流 出する流体はほぼ 成分の流速のみをもち，その流速は " と表されるとす る．時刻 7 において検査面 < G 内にある流体の質量を < とすれば，質量 < の時間変化率 #< #7 は検査面を通して流入する流量の和に等しいので，面 < から単位時間に入ってくる流量 体積流量 を ; とし，同様に他の３つの 面 G，< ，G のそれぞれから出て行く流量 ; ，; ，; とすると， #< #7 ; ; ; ; が成り立つ．ここでは，流れが定常流であり，#< #7 であるとすれば， ; 9 ; 9 ; ; となる．ここで，; と ; ; はそれぞれ， !4 と表され，式 より，; と ; ; ; % ; ; 4 は ; 4 " # " # 第 章 流れと物体の相互作用 ; < ; 図 ; 8 ; G 運動量の変化と物体に働く力． となる． 同様に，検査面 < G 内にある流体がもつ運動量を とすれば，運動量 の時間変化率 # #7 は単位時間にこの検査面に流入する運動量と < G 内の流体に働く力 の和であるから， # #7 と表される．ここで， は流体が物体に及ぼす力であり，流体は物体から の力を受けているとしている．また， は面 < から流入する運動量であ り， ， ， は他の３つの面 G < ，G のそれぞれから出て行く運 動量である．式 で定常流を仮定し，# #7 とおくと，物体に働く 力は と求められる．式 はベクトル式なので，この式の各成分を考えると，そ れぞれの方向成分の力を求めることができる． 流れの方向を 軸にとり， 軸と垂直に 軸をとる 図 参照．式 を 成分と 成分に分けて書くと，抗力 8 は の 成分なので， 8 1 1 1 となる．ここで，1- D % % % は - の の 成分を考えると，揚力 が 1 と表せる． 1 1 1 成分である．同様にして，式 1 第 章 流れと物体の相互作用 ! G U " # < 図 ! 面 度 流れの中の物体に働く力． から単位時間に流入する と流速 を掛けて， < 1 方向の運動量 ; と求められる．この面に流入する 分だけであるという仮定より， !4 G から流出する 1 4 に流体の密 ; 1 は，< で速度が は流量 1 方向の運動量 1 である．同様に，面 ぞれ， 成 方向の運動量 " #% および 1 1 1 はそれ と表される．また，面 < と G から流出する流体は 方向速度のみをもち， その流速が であると考えると，これらの面から流出する運動量 1 と 1 および 1 と 1 はそれぞれ 1 1 ; ; ; ; 4 " #% および 1 1 となる．これらを式 と に代入すると，抗力 8 4 " " #% 8 と揚力 が 第 章 流れと物体の相互作用 と表される．ここで， となり，翼に揚力が働かないのは，翼が対称形で あり，流れと平行にあるからである． 具体的に抵抗 8 を計算するためには，位置 における流速分布 " を知る必要がある．ここでは，" が " 9 と与えられているとする．このとき，式 より，< から流入する流量と G から流出する流量の差 ; ; は ; ; !4 4 " # 4 9 # 4 となる．ここでは，! # であるとして，積分範囲 7 % 8 で近似した．変数変換，B # を行い， . 9 #B ; ; 4 # . 9 7 9 #B # !% !8 を であることを考慮すれば，式 は 4# と求められる．この式を式 に代入すれば， ; ; となる．また，1 1 1 4 は 1 " となるが，ここでも，変数変換 7 % 8 で近似すれば， 1 1 4 9 4# # 4 9 . となる．また， 1 1 9 #B 4# 8 と得られる． 4# 9 4# 7 4# # !% !8 を である．式 と を式 に代入すれば，抗力 を行い，積分範囲 B # . 8 が 第 章 流れと物体の相互作用 翼に働く抗力と揚力 翼が流れの方向とある角度 迎い角 をなしているときや非対称な翼には抵 抗 8 の他に揚力 が働く．翼は航空機以外でも，タービンや風車などでも用 いられる．このとき，たとえば風車を回すトルクが主に翼にかかる揚力による ものである場合を揚力型風車といい，抗力による場合を抗力型風車という．こ こでは，図 のような検査領域 < G を考え，対称翼について抗力を計算 したときと同様に，揚力と抗力を求めてみよう．検査面 < には一様流が流入 する．検査面 G における流速分布 " は " Æ9 であるとする．また，検査面 G および < では流速は一様な 方向流速 のみでなく， 方向にもそれぞれ流速 および ，すなわち & 9 % 9 & をもつとする．このように，一様流が翼によって曲げられて，検査面 G と < で 方向流速 および をもつことが，翼による揚力発生機構の 重要な点である． 検査領域を取り囲む４つの検査面から流出または流入する流量を調べよう． 流路の幅を 4 とすると，検査面 < から流入する流量 ; は ; !4 であ る．また，検査面 G から流出する流量 ; は ; 4 " # 4 !4 となる．検査面 ; G Æ4 9 & # 4 4 9 から流出する流量 # 4 ! # Æ# は ; 4 Æ9 & 9 # & 4 # となるが，; - なので，G からは流体が流入していることになる．同様に して，検査面 < より流出する流量 ; は ; 4 第 章 流れと物体の相互作用 と求められる．; 5 であるから，< 内の質量保存の法則より ; からは流体は流出している．検査領域 ; ; ; でなければならないので，この式に，前に求めた して，等式 !4 4 4 ! Æ# 9 Æ# 9 ，; ，; および ; ; を代入 4 4 が成り立っていなければならない． 翼が流体から受ける抗力は，検査領域内の流体がもつ 方向の運動量の保 存式より，式 のように求めることができるので，検査領域の各検査面か ら流入・流出する 方向の運動量を調べよう．対称翼の場合とほぼ同様に，検 査面 < から流入する運動量と G から流出する運動量の差 1 1 は 1 1 4 4 Æ " Æ9 Æ 4# # Æ 9 # である．また，検査面 G および < から流出する 方向の運動量 1 およ び 1 は，それぞれの面からの流出量 ; または ; と流体の密度 および 方向速度 の積であり，それぞれ， 1 ; 4 % 1 ; と表せる．これらを式 に代入して，抗力 8 1 1 1 1 4 Æ 8 4 は Æ # 9 と求められるが，この式は Æ ， する． 揚力 は， 方向の運動量の保存式より， 1 1 1 のときは，式 と一致 1 第 章 流れと物体の相互作用 と表すことができるが，仮定より 1 1 である．検査面 G からは 負の 方向運動量をもつ流体が流入するので，流出する 方向運動量 1 は 正であり， 1 < 4 # 4 4 となる．検査面 & からは負の 1 9 # 9 & # 4 方向運動量をもつ流体が流出するので， 4 となる．これらを式 に代入すると， 1 1) 4 と求められる． ! G " # ! < 図 翼に働く揚力と抗力． 第 章 次元解析と相似則 次元解析 ある物理現象がいくつかの物理量によって決まることがわかっているとき には，それらの物理量の間には関係式が成り立つ．この関係式の各項は次 元が等しくなければならない．各項の次元が等しいことを利用して物理量 の間に成り立つ関係式を求める方法を次元解析という． 少数の基本的な物理量をいくつか考えて，他の物理量をこれらの基本的物理 量の組み合わせで表すとき，その組み合わせを次元と呼ぶ．基本的な物理量と して，慣習的に質量，長さ，時間の次元 基本次元 が用いられ，それぞれを 7(8 7*8 7B8 と表す．ただし，電流や温度などを取り扱うときには，それに対 応した基本物理量 基本次元 を付け加えることもある． 基本次元以外の他の物理量の次元は，これら３つの次元のべき乗の積，すな わち 7( * B 8 のように表すことができる．たとえば，速度の次元は 7*B 8 で あり，エネルギーの次元は 7(* B 8 である．また物理量の中には次元がない ものがあり，これらの物理量は無次元であるという．たとえば角度は代表的な 無次元の物理量である．ただし，無次元の物理量にも単位はあり，角度の場合 は /1 ラジアン を単位とすることが多い．このように，単位と次元は異な る概念であるが，ある物理量の次元を考えるときは，その物理量の単位を思い 浮かべると考えやすい．あるいは，その物理量を含む関係式を思い浮かべて， 次元を計算することもできる． 物理法則は一般に式で表される．式には加減乗除の演算記号が含まれるが， 同じ次元の量同士でなければ加減算を行うことはできないから，加減算の項の 次元には注意する必要がある．また，式の左辺と右辺や，それぞれの項は同じ 次元でなければならない．これを次元の斉次性の原理あるいは同次元の法則と 呼ぶ． 式の中で使われる変数や定数は文字で表されており，それらの次元は文字の 中に隠れているので，誤って異なる次元の物理量の加減算をしても直ちには気 第 章 次元解析と相似則 づきにくいから，同次元の法則を十分念頭において式を表す必要がある．もち ろん，係数や定数および変数にも無次元量のものもあることはいうまでもな い．式の演算をする途中で間違えると，たいていの場合には同次元の法則に反 する無意味な式になる．したがって，次元を常に考えることはわずらわしいよ うに思えるが，物理量に次元があるために，式が間違っている場合はすぐに発 見できることが多い． 次元解析の例として，流速 の一様な流れの中におかれた直径 # の球に働 く抵抗 8 がどのような式で表されるか調べてみよう．ただし，流体の密度を とし，粘性係数 粘度 を とする．球に働く抵抗 8 の次元 78 8 は 7(*B 8 である．同様に，7#87*8，7 87*B 8，787(* 8，787(* B 8 である． ここで，. を定数として， Æ 8 . # と表されると仮定して，未定のべき定数 および 決める．式 に各物理量の次元を代入すると， 7(*B 8 7(* 8 7*8 7*B 8 7(* Æ を次元解析により， Æ B 8 となる．式 で各基本物理量のべきを等しいとおくことにより，４つのべ き定数に関する式が得られるが，その式の数は３つである．４つの未知数につ いて，３つの関係式のみが得られるので，１つのべきをパラメータとして，残 りのベキが定まる．このパラメータを Æ とすれば，べき定数の関係式 Æ% Æ% が得られる．これらを式 に代入して，8 は 8 . Æ # Æ Æ Æ .# と表すことができる．ここで，当然 # を , ，# を とおいて整理すると， 8 , Æ Æ # は無次元である．この式で，. となって，式 が導かれる．式 では，, が無次元量であり，8 と との比が無次元である．したがって，この式を２つの無次元量の間の 関係とみなすことも可能である．この例では，５つ < 個 の物理量の間の関 係を３つの基本次元 個 によって表し，２つ ? < 個 の無次元量の 間の関係式を導いた．これら，物理量の数と基本次元の数および無次元量の間 の関係を明確に表すのが，次節で説明するパッキンガムの 定理である． 第 章 次元解析と相似則 バッキンガムの 定理 物理現象が多くの物理量によって決まるときには，いくつかの無次元量を 考えて，それらの間の関係式を求めると簡単に物理量の間の関係式が求め られる．この方法の指導原理がバッキンガムの 定理である． ある物理現象に関係している物理量の数が < 個であり，その物理現象は質 量と長さおよび時間の３つの基本次元で表されることがわかっているときには， その物理現象を ? < < 個の無次元量 ! の間の関係 % % % ! として表すことができる．これをバッキンガムの 定理とい う．前節で考えた例すなわち，一様流中の球に働く抵抗の場合には，この現象 に関わる物理量は抵抗 8 ，流速 ，球の直径 #，流体の密度 および粘性係 数 の５つである．基本物理量は 7(8 7*8 7B8 の３つであり，? 個の無次元数 , 8 と *9 # の間の関係式が 式 であり， , % *9 , *9 あるいは， と表される． バッキンガムの 定理の応用例を考える．間隔 # 離れた２枚の平行平板間 を圧力勾配により駆動される流れにおいては，圧力勾配 # # は間隔の半分 #，最大流速あるいは平均流速 ，流体の密度 および粘性係数 に依存す ると考えられる．このとき，圧力勾配 # # が他の変数をもちいてどのよう に表されるか調べよう．この現象に関わる物理量は５つであり，基本物理量は ３つなので，無次元数は２つ見つけられるはずである．いうまでもなく，その うちの１つはレイノルズ数 *9 # であり，これを としよう．# # の次元を調べると，7(* B 8 なので，もう１つは # # と # との比 # # *9 # である．これより， すなわち， # # # *9 第 章 次元解析と相似則 と表される．少し計算すると，式 は式 と同じ形であることがわか る．なお， として， # と考えることもできるが，これにレイノルズ数 # をかけると， # となるので， # # *9 # *9 *9 # となって，再び式 が得られる．ただし， *9 *9 *9 *9 とおいた． 流れの相似則 幾何学的に相似な境界を流れる２つの流れ場は力学的な条件を満たすとき， 互いに相似な流れ場となる．特に，外力を受けない流れについてはレイノ ルズの相似則が成り立ち，レイノルズ数と呼ばれる無次元数が等しいとき 流れ場は相似的になることがよく知られている． 流れ学や流体力学では，流体を連続体と仮定する．連続体の仮定は，流体中 に含まれる分子や原子の構造を無視して，均一な媒質ととらえることを意味し ている．すなわち，流体はその内部構造の長さスケールをもたない．したがっ て，流れの中にある長さスケール # の物体があるとき，# と比較すべき長さ スケールが流体には存在していない．このことは，同じ形をした長さスケール # の物体が流れの中にあっても流れのパターンが同じであることを示唆して いる．これがレイノルズの相似則である．すなわち，流れの境界が相似的であ り，無次元数 *9 # # $ が同じであれば，流れのパターンは相似 である．ここで，無次元数 *9 はレイノルズ数である．レイノルズ数 *9 は単 位体積あたりの流れの慣性 力 <: # # #7 # < は質量，: は 加速度 と粘性 力 # #" #7 # との比であるとみなすことができる．す なわち， *9 # # # # $ である．多くの場合，レイノルズ数 *9 が小さいとき，流れは定常流であり， あるレイノルズ数 *9 より大きくなると定常流は不安定となって，振動流に 遷移し，さらにレイノルズ数が大きくなるとカオス的な流れを経て乱流へと遷 移する．乱流は予測不可能なランダムな性質をもつ流れである 項．
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