1.1 変数分離法
物理学補足資料
1.1 変数分離法
1 力学と微分方程式
微分方程式の解法には基本的に積分が含まれる．高校で
未知関数とその導関数を含む方程式は微分方程式 (differen-
習う積分法の範囲内で理解が可能な方法が変数分離法で
tial equation) と呼ばれ，その内，独立変数が一つのものを常微
ある．すなわち，
分方程式(ordinary d.e.) という．また，微分方程式に含まれる
dy
= f (y)g(x)
dx
導関数について最も高い階数を以って，微分方程式の階数と
いう．Newton の運動方程式，
m
d2 r
=F
dt2
(
t,
dr
,r
dt
)
(2)
の形の常微分方程式の両辺を f (y) で割って，x で積分す
ると，
(1)
∫
は r(t) についての 2 階の常微分方程式である．力学におい
ては，
1 dy
dx =
f (y) dx
∫
g(x) dx
(3)
となり，右辺は g(x) の定積分，左辺は 1/f (y) の置換積
( i ) 現象を観察・解析して数理モデルを立てて，式 (1) の右辺
分である．従って，左右の定積分を独立に実行し，一般
として適切な関数を与える（主として物理学）．
解は
∫
( ii ) 常微分方程式 (1) を解く（主として数学）．
という 2 つの段階に分けて考え，それぞれに習熟することが
大切である．第一段階の，数理モデル化の過程を学習するこ
1
dy =
f (y)
∫
g(x) dx + C
(4)
と求められる．
とが物理学の範疇であり，十分に時間を掛けて学習しなけれ
ばならない．第二段階の，数学により解析解を導く（解を既知
1.1.1 速度のべき乗に比例する抵抗力
の関数で表現する）ことは重要ではあるが，時間の制約により
( i ) 水平で滑らかな床面上を動く小物体に，速度 v(> 0) に比
例する粘性抵抗 −bv が働く場合の運動方程式は，
詳細に講義できない．そこで，簡単に常微分方程式の解き方
をまとめておく．厳密な扱いは，数学科目の「常微分方程式」
m
を履修されたい．
なお，多くの場合，常微分方程式の解が存在することは明
dv
dv
b
= −bv ⇔
=− v
dt
dt
m
(5)
であり，変数分離して
∫
らかではあるが解析解を求めることが困難であるといった状
1
dv =
v
∫
ているといっても過言ではない．実は，現在では解の挙動を
b
b
dt = − t + C ′
m
m
両辺を指数の肩にのせて，elog x = x より
数値計算によって把握できるので，解析解が得られなければ
v(t) = Ce− m t
log v =
況が生ずる．むしろ，解析解が得られるものだけを取り上げ
−
b
(6)
(7)
その力学現象が理解できないという風に悲観する必要はない．
なる一般解を得る．初期条件として v0 = v(0) > 0 を付
機会があれば「数値計算学」も是非履修されたい．
すると，
v(0) = C = v0 .
(8)
よって，特解
v(t) = v0 e− m t
b
(9)
を得る．なお，(9) が (5) を満たしているかどうかを確か
めることは，初等関数及びその積の微分は関数で表現で
きることから，以下のように容易である．
b
dv
b
b
= − v0 e− m t = − v
dt
m | {z }
m
v
( ii ) 地表付近で落下する小物体に，粘性抵抗 −bv が働く場合
の運動方程式は，鉛直下向きを v の正として，
m
1
dv
dv
b
= mg − bv ⇔
=g− v
dt
dt
m
(10)
1.1 変数分離法
物理学補足資料
である．これも変数分離が可能であり，
)
b
v−g
m
∫
∫
1
=−
dv
=
dt = t + C ′
b
v
−
g
m
両辺に −b/m を掛けた後に指数の肩にのせて
)
b
b
m( −bt
v − g = Ce− m t ⇔ v =
Ce m + g
m
b
−
m
log
b
なる一般解を得る．与初期条件に対しては，
(
v0 =
(19)
であるから，特解
(11)
v(t) =
(12)
b2
mt
1
+ v0−1
(20)
が得られる．検算は以下の通り．
− bm2
dv
1
b2
b2 2
=(
) = − · (b
) =− v
−1 2
−1 2
b2
2
dt
m
m
t + v0
m t + v0
| m {z
}
なる一般解を得る．自然な初期条件，v0 = 0 の場合には，
0 = C + g ∴ C = −g.
1
1
∴ C=
C
v0
(13)
v2
よって，
)
b
mg (
1 − e− m t
v=
b
問題 1 （粘性抵抗と動摩擦力が働く水平運動） 粗い水平床
(14)
面上を動く小物体に，速度 v(> 0) に比例する粘性抵抗 −bv
が働く場合の運動方程式を立てなさい．ただし，床と小物体
を得る．なお，(14) は以下に示すように，確かに (10) を
との動摩擦係数を µ とする．また，初期条件 v0 = v(0) > 0
満たしている．
に対する特解を変数分離法により導きなさい．ま検算もしな
[ (
)]
b
dv
mg
b −bt
m
=
− − e
= ge− m t
(†)
dt
b
m
)
(
)
b
b
b
b mg (
− v=− ·
1 − e− m t = −g 1 − e− m t
m
m b
b
dv
= −g + ge− m t = −g +
| {z }
dt
さい．
問題 2 （慣性抵抗と動摩擦力が働く水平運動） 粗い水平
床面上を動く小物体に，速度 v(> 0) の 2 乗に比例する慣
性抵抗 −b2 v 2 が働く場合の運動方程式を立てなさい．ただ
し，床と小物体との動摩擦係数を µ とする．また，初期条件
(†) より dv
dt
v0 = v(0) > 0 に対する特解を変数分離法により導きなさい．
以上，(i) (ii) いずれも解は指数関数となる．(ii) の落下運動
ま検算もしなさい．
については抵抗が働かない自由落下を記述する 1 次関数とは
明らかに関数が異なる．しかし，自由落下を b → 0 の極限と
例題 2 （慣性抵抗が働く落下運動） 地表付近で落下する小
考えて，近似式 ex + 1 + x (x ≪ 1) により計算すると，
v+
mg
b
{
(
)}
b
mg b
1− 1− t
=
· t = gt
m
b m
物体に，慣性抵抗 −b2 v 2 が働く場合の運動方程式を立てなさ
い．また，自然な初期条件 v0 = v(0) = 0 に対する解を導き
(15)
なさい．
となって形式的には一致する．
[解] 下向きに正を取って，運動方程式は
例題 1 （慣性抵抗が働く水平運動） 水平で滑らかな床面
m
上を動く小物体に，速度 v(> 0) の 2 乗に比例する慣性抵抗
√
β
β−v
log √
−
g
β+v
√ [
]
√
√
β
− log( β − v) + log( β + v)
=
g
]
∫ [
1
2β
1
1
√
· √
=
+√
dv
g 2 β
β−v
β+v
∫
∫
dv
=
dt = t + C ′
=
g − bm2 v 2
√
両辺に −g/ β を掛けて後に指数の肩にのせて，
√
β−v
− √g t
√
= Ce β
β+v
− √g t
1 − Ce β √
∴ v(t) =
β
− √g t
1 + Ce β
√
件 v0 = v(0) > 0 に対する特解を変数分離法により導きなさ
い．また，得られた解が与微分方程式を満たすことを検算し
なさい．
[解] 運動方程式は，
dv
= −b2 v 2
dt
(16)
であり，変数分離によって
∫
dv
=
v2
1
∴ v(t) = b2
mt + C
1
=−
v
∫
b2
b2
dt = t + C
m
m
(21)
であり，変数分離によって，
−b2 v 2 が働く場合の運動方程式を立てなさい．また，初期条
m
dv
= mg − b2 v 2
dt
(17)
(18)
2
(22)
(23)
1.2 同次と非同次
物理学補足資料
なる一般解を得る．ここに，β = mg/b2 である．自然な初期
両辺に ω を掛けて，sin をとれば，
条件 v(0) = 0 より，明らかに C = 1 であるから，特解
− √gβ t
v(t) =
1−e
− √gβ t
√
β
1+e
が得られる．また，
√ t → ∞ 極限では v →
ωx
± √ = sin(ωt + ωB)
A
√
A
⇔ x=±
sin(ωt + ωB)
ω
∴ x(t) = C1 sin(ωt + C2 )
(24)
√
β すなわち，終速
mg
度 v∞ = β =
に漸近する．なお，終速度は速度の変
b2
化がなくなる定常値と考えられるから，式 (21) の左辺を 0 と
√
問題 6
運動を解析しなさい．
問題 7 （水平釘に掛けられた紐の運動） 滑らかな細い釘に
問題 4 （粘性抵抗が働く放物運動） 一様重力 g が働く水平
長さ 2L，線密度 λ の細い紐が掛けられている．左右の長さを
面上において，初速 v0 ，傾角 θ で投げ上げられた質点に速度
少しずらして静に手を離すとすべり始める．紐の先端の位置
v に比例する抵抗力が働く場合の運動を解析しなさい．また，
x(t) を求めなさい．なお，左右同じ長さになっている時の先
到達距離 χ(θ) 及び最大到達距離 χm とそれを与える傾角 θm
端の位置を原点にとると計算し易い．
を求めなさい．
問題 5 （万有引力下での落下運動） 地表からの高さ h が大
た万有引力
1.1.3 積分公式
Mm
F = −G 2
r
変数分離法では不定積分が必要不可欠である．以下の基本
的な公式は導き方も併せてしっかりと覚えるべきである．
を受ける．ここに，G は万有引力定数，R, M は地球の半径と
質量である．この場合の質点の運動を解析しなさい．ただし，
∫
dx
1
x
=
arctan
(a ̸= 0)
x2 + a2
a
a
∫
x − a
dx
1
(a ̸= 0)
(iii)
=
log 2
2
x −a
2a
x + a
∫
dx
x
x
√
( iv )
= arcsin = − arccos
(a > 0)
a
a
a2 − x2
∫
√
dx
√
(v)
= log x + x2 + a
2
x +a
∫
dx
( vi )
2
ax + bx + c
2ax + b − √b2 − 4ac
1
√
√
log
2 − 4ac
2 − 4ac
b
2ax
+
b
+
b
(b2 −4ac > 0)
=
2
2ax + b
√
arctan √
(b2 −4ac < 0)
2
2
4ac
−
b
4ac
−
b
−2
(b2 −4ac = 0)
2ax + b
1.1.2 単振動
単振動の微分方程式
(25)
は，このままでは変数分離ができないが，両辺に v = dx/dt
を掛けて t で積分すると，
∫
(26)
(27)
(28)
と変形できる．さらに，両辺の平方根をとって
(29)
これは変数分離が可能であり，
)
(
ωx
1
± arcsin √
ω
A
∫
∫
dx
= dt = t + B
=± √
A − ω 2 x2
dx
= log |x + a|
x+a
( ii )
これはかなり煩雑な計算になる
√
dx
= ± A − ω 2 x2
dt
∫
(i)
地球の中心を通る直線上で運動しているものとする．
v=
紐の質量は一定であるが，紐の片側の質量が変化するので，それに応じて
力すなわち加速度も変化するという問題．少し難しい．
きい所では，質点 m は地球の中心との距離 r = R + h に応じ
∫
dv
1
dt = vdv = v 2
dt
2
∫
∫
1
dx
x dt = xdx = x2
dt
2
∴ v 2 = −ω 2 x2 + A
次に示す 2 階の常微分方程式の一般解を求めな
d2 x
= +ω 2 x
dt2
v および速度の 2 乗 v 2 に比例する抵抗力が働く場合の，落下
v
(33)
さい．
問題 3 （粘性抵抗，慣性抵抗が同時に働く落下運動） 速度
d2 x
= −ω 2 x
dt2
(32)
が得られる．
して求めることができる．
(31)
1.2 同次と非同次
例題 2 の微分方程式は例題 1 のそれに定数項 g が加わった
(30)
だけなのに，随分と面倒な計算をすることになった．二つの
3
1.2 同次と非同次
物理学補足資料
常微分方程式を
dv b2 2
+ v =0
dt
m
dv b2 2
+ v =g
dt
m
(34)
(35)
のように書き直してみると，右辺の項が 0 と非 0 の場合に分
類できる．0（という特別な場合）と非 0 とでは挙動が異なっ
ていても不思議はないと何となく想像できるであろう．一般
に，以下のように，関数 y(x) およびその n 次導関数 y (n) を
左辺に整理し，右辺には独立変数 x のみを含む関数を記すこ
とにして，
F (y (n) , y (n−1) , · · · , y ′ , y, x) = g(x)
(36)
• g(x) ≡ 0 である場合を同次（または斉次）方程式
• g(x) ≡ 0 でない場合を非同次（または非斉次）方程式
と分類する．
4
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