応用力学研究所研究集会報告 No.19ME-S2
「戸田格子 40 周年 非線形波動研究の歩みと展望」（研究代表者 西成 活裕）
Reports of RIAM Symposium No.19ME-S2
40 years Anniversary of Toda lattice - history and perspective of nonlinear wave research
Proceedings of a symposium held at Chikushi Campus, Kyushu Universiy,
Kasuga, Fukuoka, Japan, November 7 - 9, 2007
Article No. 1
再帰方程式の無限個の生成について
齋藤 暁（SAITO Satoru），齋藤 革子（SAITOH Noriko）
（Received March 5, 2008）
Research Institute for Applied Mechanics
Kyushu University
April, 2008
再帰方程式の無限個の生成について
齋藤 暁 (SAITO Satoru)
横浜国大応数 齋藤革子 (SAITOH Noriko)
概要
任意の初期値に対して解の全てが同一周期を持つ周期解となるような離散方程式は再
帰方程式と呼ばれ、これまで幾つかの例が知られている。当講演では可積分な離散写像の
周期点は、各周期ごとにそれぞれ多様体を成し、その多様体に付随して再帰方程式が一つ
ずつ得られることを示す。
1
再帰方程式とは
次のような再帰方程式が古くから知られている [1]。
a
,
a : constant
xn
1 + xn
=
,
xn−1
1 + xn + xn−1
.
=
xn−2
2 周期 xn+1 =
5 周期 xn+1
8 周期 xn+1
広田と矢作は無限個のシリーズを含む再帰方程式を数値計算を巧妙に駆使して多数発
見した [2]。
• 問い：再帰方程式を見つける一般的な方法はないのか？
• 答え：充分な数の保存量を持つ可積分写像があれば、その周期ごとに再帰方程式が
対応して存在する [3]
以下ではこのことを示す。
2
周期点の作る多様体について
x = (x1 , x2 , ..., xd ) ∈ Ĉd とし、p 個の保存量 H1 (x), H2 (x), ..., Hp (x) を持つ有理写像
xj → Xj = fj (x),
j = 1, 2, ..., d
(1)
の列 x → X(1) (= X) → X(2) → · · · を考えよう。初期値で定まる保存量の値を (h1 , h2 , ..., hp )
とすれば、軌道は d − p 次元多様体
V (h) = {x| Hi (x) = hi , i = 1, 2, ..., p},
1
(2)
上に在る。
V (h) 上で独立な n 周期条件 X(n) = x は
γα(n) (h1 , h2 , ..., hp ) = 0,
α = 1, 2, ..., l,
Γ(n)
α (h1 , h2 , ..., hp , x1 , x2 , ..., xd−p ) = 0,
(3)
α = 1, 2, ..., m
と書ける。ただし d − p ≥ l + m である。
これらの周期条件は一般に次の三つの型に分類することが出来る。
U 型 m = d − p ：孤立周期点の集合 (uncorrelated)
C 型 m < d − p : V (h) の部分多様体 (correlated)
F 型 m = 0 ：V (h) の全体 (fully correlated)
特に m = 0 の時、n 周期点は保存量の間の関係 (3) だけで決まり、従って d − l 次元
多様体
v (n) (⟨γ⟩) = {x| γα(n) (H1 (x), H2 (x), ..., Hp (x)) = 0}
を成す。これを不変周期点多様体と呼ぶ。
次の定理を示すことが出来る。
定理：一つの写像に於いて、U 型周期条件は min{p, d − p} ≥ l + m を満たす
異なる周期の C 型または F 型周期条件と共存しない。
証明
• n 周期条件は C 型または F 型、即ち l ̸= 0 として
γα(n) (h1 , h2 , ..., hp ) = 0,
α = 1, 2, ..., l,
Γ(n)
α (h1 , h2 , ..., hp , x1 , x2 , ..., xd−p ) = 0,
(4)
α = 1, 2, ..., m、
周期 k(̸= n) の周期条件は U 型とする：
Γ(k)
α (h1 , ..., hp , x1 , ..., xd−p ) = 0
α = 1, 2, ..., d − p
• (4), (5), (5) は d 個の変数 x1 , · · · , xd−p , h1 , · · · , hp に対する l + m + d − p 個の独立
な方程式であるから、p>l + m の時には常に解を持つ。
• 求まる解は k 周期の孤立周期点 x1 , x2 , ..., xd−p であるが、それは同時に周期 n の点
でもあり、従って n ̸= k の仮定に反する。（証明終わり）
2
再帰方程式
3
系：一つの写像に於いて、不変周期点多様体と孤立周期点集合は共存しない。
証明
m = 0 ならば d − p ≥ l であり、(4) は p ≥ d − p 即ち p ≥ d/2 の時に解を持つので
p ≥ l も満たされ、定理の条件 min{p, d − p} ≥ l は自明に成立。
系：不変周期点多様体上の点は再帰方程式を満たす。
証明
不変周期点多様体 v (n) (⟨γ⟩) を決める l 個の条件式 γα(n) (x) = 0 を用いて写像
xj → Xj = fj (x1 , x2 , ..., xd ),
j = 1, ..., d − l
から l 個の変数 xd−l+1 , ..., xd−p を消去すれば、得られる d − l 個の写像は n 周期再帰方
程式である。
更に次の経験則を認めれば以下の予想が成り立つ。
経験則： 非可積分写像は少なくとも一つの U 型周期条件を持つ
予想：任意の一個の周期について不変周期点多様体を持つ写像は可積分である。
予想：充分な数の保存量を持つ可積分写像は再帰方程式含む。
4
無限個の再帰方程式の生成
• 多くの高次元可積分写像が保存量を用いて双２次方程式
aX 2 x2 + b(X + x)Xx + c(X − x)2 + dXx + e(X + x) + f = 0.
(5)
に帰着する。ただし q = (a, b, c, d, e, f ) は保存量のみで決まる量である。
例：３次元 LV map, ３次元 KdV map, Euler top, 対称 QRT map etc.[4]
• x の n 番目の像 X (n) は
an (X (n) )2 x2 +bn (X (n) +x)X (n) x+cn (X (n) −x)2 +dn X (n) x+en (X (n) +x)+fn = 0. (6)
を解いて求まる。新しい係数 qn = (an , bn , ..., fn ) は qn−1 と q とから漸化的に決
まる。
3
• 不変周期点多様体は周期条件 qn+1 − q = 0 より
γ (3) (q) = af − be − 3c2 + cd,
(7)
γ (4) (q) = 2acf − adf + b2 f + ae2 − 2c3 + c2 d − 2bce,
γ (5) (q) = a3 f 3 + (−cf 2 d + 2cf e2 + f de2 − 3ebf 2 − e4 − c2 f 2 )a2 + (−13c4 f + 18c3 f d
+de3 b + 2cf 2 b2 + 7dc2 e2 − ce2 d2 − 2ce3 b + 2c2 f eb − 7f d2 c2 − 14c3 e2
+cd3 f + f b2 e2 + f 2 db2 − ebd2 f )a − cd2 b2 f − b3 e3 − 4c3 deb + cdb2 e2 + 13ec4 b
−f 2 b4 + 7f b2 c2 d + c4 d2 − 5c5 d + 5c6 − 2f b3 ec − e2 c2 b2 + eb3 df − 14f b2 c3 ,
etc..
5
対称 QRT 写像の場合
対称 QRT 写像は次式で与えられる [5]。
³
(x, y) → (X, Y ) = y,
´
η ′ (y)ρ′′ (y) − ρ′ (y)η ′′ (y) − x ρ′ (y)ξ ′′ (y) − ξ ′ (y)ρ′′ (y)
ρ′ (y)ξ ′′ (y)
−
ξ ′ (y)ρ′′ (y)
−x
³
ξ ′ (y)η ′′ (y)
−
´
η ′ (y)ξ ′′ (y)
ここで q ′ = (a′ , b′ , c′ , d′ , e′ , f ′ ), q ′′ = (a′′ , b′′ , c′′ , d′′ , e′′ , f ′′ ) を 12 個の任意定数として
ξ ′ (x) = a′ x2 + b′ x + c′ , η ′ (x) = b′ x2 + (d′ − 2c′ )x + e′ ,
ρ′ (x) = c′ x2 + e′ x + f ′ ,
ξ ′′ (x) = a′′ x2 + b′′ x + c′′ ,
η ′′ (x) = b′′ x2 + (d′′ − 2c′′ )x + e′′ , ρ′′ (x) = c′′ x2 + e′′ x + f ′′
• この写像は次の保存量を持つ。
H(x, y) = −
ξ ′ (x)y 2 + η ′ (x)y + ρ′ (x)
,
ξ ′′ (x)y 2 + η ′′ (x)y + ρ′′ (x)
(8)
• 保存量 H(x, y) = h を用いて変数 y を消去すると写像は
ξ(x)X 2 + η(x)X + ρ(x) = 0
(9)
となる。ただし q = q ′ + hq ′′ と置いて
ξ(x) := ax2 + bx + c,
η(x) := bx2 + (d − 2c)x + e,
ρ(x) := cx2 + ex + f,
とした。この q = (a, b, c, d, e, f ) を (5) の係数と見做せば、対称 QRT 写像は双２
次方程式を満たす。
4
• 不変周期点多様体は全ての周期 n について前章で既に求めてある：
n
¯
¯
³
´
o
v (n) = x, y ¯ γ (n) q ′ + H(x, y)q ′′ = 0
(10)
• 各不変周期点多様体に対応した再帰方程式は、
γ (n) = 0 と QRT 方程式とから変数 y を消去して得られるが、今の場合 y = X に
よってこの消去は自明に実行できる。従って得られる再帰方程式は
³
´
γ (n) q ′ + H(x, X)q ′′ = 0,
n = 3, 4, 5, ...
• これを X について解けば全ての周期の再帰方程式が得られる。
• 例えば 3 周期の場合、(7) により
(a′ + H(x, X)a′′ )(f ′ + H(x, X)f ′′ ) − (b′ + H(x, X)b′′ )(e′ + H(x, X)e′′ )
−3(c′ + H(x, X)c′′ )2 + (c′ + H(x, X)c′′ )(d′ + H(x, X)d′′ ) = 0.
コメント： 津田氏は幾何学的な方法を用いて QRT 写像のパラメーターを制限すること
により得られる再帰方程式はその周期が２∼６の場合に限られることを示した [6]。これ
らの再帰方程式は２次元方程式であるのに対して、QRT 写像の場合に我々の得た再帰方
程式は１次元であり、その代わりにすべての周期、すべてのパラメーターについて成り
立つ。
References
[1] Graham R L, Knuth D E and Patashnik O 1994 Concrete Mathematics (AddisonWesley)
[2] Hirota R and Yahagi H 2002 J. Phys. Soc. Jpn. 71 2867
Hirota R and Takahashi D 2003 差分と超離散 (共立出版)
[3] Saito S and Saitoh N, J. Phys. A: Math. Theor. 40 (2007) 12775-12787
[4] Saito S and Saitoh N 2007 J. Phys. Soc. Jpn. 76 024006
Saito S and Saitoh N 2006 SIGMA 2 098
[5] Quispel G R W, Roberts J A G and Thompson C J 1988 Phys. Lett. A 126 419,
1989 Physca D 34 183
[6] Tsuda T 2004 J. Phys. A: Math. Gen. 37 2721
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