数学遊戯 98E13028 高橋聡 98E13034 濱田俊輔１．はじめに継子立については文献研究を中心に行った。我々が普段から当たり前のように学んでいる数学はいったいいつ日本に伝わり、誰によって研究され、今に至ったのかを考えてみると、受験勉強のとき、歴史で見かけた｢関孝和｣の名が浮かんだ。関孝和といえば和算の大家として数々の業績を残した人物であるが、関孝和について次々と調べていくうちにある 1 つの数学遊戯（問題）に出くわした。数学にはいろいろな法則性、規則性など驚くべきものがたくさんあるが、この数学３．研究内容ままこだて遊戯の『継子立』は読めば読むほど、不思議で不可解で、この研究をしてみようと思い立ったのである。『継子立』は吉田兼好の『徒然草』（随筆･じんごうき鎌倉時代）、吉田光由（数学家）の『塵劫記』（和算書・江戸時代）に出てくる問題で、関孝和はこの『継子立』を完全に数学的に解決した人物である。関孝和はその解決方 (1) 関孝和について 1 ）関孝和について関孝和はさむらいの内山永明の 2 番目の子として、上州藤岡（現在の群馬県）で生まれた。孝和は、内山家から関家の養子となり、やがて、幕府勘定方吟味役となった。孝和の生まれ育つ寛永年間には，日本人の書いた始めての数学書が出版され，江戸初期の和算のスタートを切ったときであった。出版されたものの中で、吉田光由によるじんごうき『塵劫記』（和算書・江戸時代）は当時の数さんだつのほう法（計算方法）を『算脱之法』という著書の中で述べている。我々は、関孝和について調べるとともに、『継子立』の仕組みについて詳しく研究する。２．研究方法関孝和についてはインターネットの閲覧による情報収集、文献調査・研究を行い、学者を大いに刺激した。いうまでもなく，孝和も大いに刺激を受け，進んで中国の書物をも研究した。この中国の書物から学んてんげんじゅつだ天元術（代数学）に創意改良を加えて算木を用いて計算する独自の代数学を創始したのである。２）関孝和の業績についてここでは、関孝和の業績として、孝和が著した書物をあげる。 ○発微算法…代数をもちいて筆算で解く方法を示した。 ○三部抄…･･簡単な幾何学的図形や方程式の作り方、取り扱い方など三編を著した。 ○七部書…･･方程式の解法と解の吟味、問題の正誤の吟味、魔方陣と円陣の作り方、面積、体積を求める問題、回転体の体積に関するものなど七編を著している。その七編のうちの一つに『算脱之法』がある。この『算脱之法』が『継子立』の解法である。 ○開方算式…三部抄、七部書にも方程式について載せてあるが、ここには、方程式について全部まとまっている。おそらく、三部抄、七部書では十分でなかったからと思われる。 ○括要算法…円周率や球の体積などを著している。ちなみに孝和は円周率を１３桁まで計算した。 3 ）関孝和と江戸時代の数学日本では、江戸時代、そろばんを使って算数を勉強していたのだが、そろばんを使う算数では、解けないような難しい問題がたくさん出てくるようになった。そこで、孝和はもっと他に良い方法はないかと研究を重ねるうちに、中国で発明された数学に天元術というものがあることを知った。天元術とは、算木というものを並べて、方程式をたて、それを解く方法である。この算木は非常に興味深いものである。（しかし、ここでは取り扱わない）てんげんじゅつそこで、多くの人が天元術を研究したが、まだたくさんの不便な点があった。孝和は算木を並べて方程式をたてる代わりに筆算を使う方法を考え出した。この方法により方程式が自由に使えるようになった。この孝和の考えが日本の数学を発達させるものとなり日本の数学に偉大な功績を残した。４）天元術、和算の起源さんがくけいもうようきさんぽう中国の算書のうちで算学啓蒙と揚輝算法が孝和の数学に大きく影響したものである。算学啓蒙は 1300 年頃に出版されたことは明らかであるが、中国では明の時代の数学者で本書の存在を知っていた人はいなかった。 540 年後の 1840 年頃（秦の時代）に、朝鮮の復刻本によって中国に復刻された。すなわち、この算学啓蒙に発した天元術は 540 年もの間、中国ではまったく埋もれていて、その間に我が国で目覚しい発展を遂げたのである。揚輝算法は揚輝による発見であるが揚輝の生没年などはまったく分からない。この揚輝算法にしても中国では知られていなかったが、孝和が朝鮮の復刻本を写し取り今日に伝わったのである。我が国の天元術、和算はこの算学啓蒙と算法記の二書から起こり、これを理解するのにどんなに孝和が苦心したかは想像に絶するものがある。５）孝和と建部兄弟孝和の弟子には、建部賢明（兄）と建部賢弘（弟）の二人がいたが、兄賢明は１６歳のとき、弟賢弘は１３歳のときに孝和を師に仰いだ。２人が孝和の弟子であったことは、賢明の書いた「建部氏伝記」に記されている。どちらかといえば、数学に秀でているのは弟賢弘のほうで、孝和の業績を今日に伝えたのは、ひとつに賢弘の力であると兄賢明の伝記に記されている。弟賢弘の残した業績は多くのことが上げられるが、将軍徳川吉宗の命で日本地図を作るなど、一概に、孝和同様にすばらしいことをしてきたといえることは間違いないといえる。ままこだて (2) 『継子立』について ☆問題十五人の先妻ままこの子ども（継子）と十五人の継母じっしの子ども（実子）の合わせて三十人を池のまわりに輪になって並べる。ある人から数えて十人目ごとの人を輪からのけていく。二十九人までのけて、残ったひとりに家を継がせることにした。｢あまりにも片一方（先妻の子ども）ばかりのけられている。今度は、私から数えてください。｣継母は先妻の子ども一人、自分の子ども十五人であったからか、その提案を承知してのけていくと、継母の子ども十五人が皆除かれ、先妻の子が残ったという。１）継子立の本質『継子立』では継子が一人になって他がすべて実子になったときに継子が言った言葉を実行すると次のようになる。継子から数えて十番目十番目に当たるものを取り去ると、最後には数え初めの継子が残ることになる。ということは 16 人なら、十番目に当たる人を除き去っていけば数え初めの人が最後に残ることになるが 20 人の場合には成立しない。この問題が成立するためには並べる人数（総数とする）と取り去るときの第何番目だつすうの数（脱数とする）を決定しなければならない。しかし、この問題は総数を定めて脱数を決定することは不可能である。脱数を定めてこれに対する総数が決定されるのである。ままはは継母は、自分の実の子どもが最後に残るように三十人の配列に工夫して並べた。（右図参照）十人ごとにのけていき十四人をのけたところこの十四人は全部先妻の子どもであった。次の十番目も先妻の子どもになるように並んでいたが、ここで、ただ一人残っていた先妻の子どもは次のように提案した。２）継子立の歴史『継子立』は 1159 年の平治の乱で殺された藤原通憲が作ったらしいがその出典は明らかでない。吉田兼好の『徒然草』（随筆･鎌倉時代）に書かれている『継子立』の他にも鎌倉末期の作と思われる『二中歴』巻 13 に数字だけ書かれた『継子立』に類似したものがある。そして、吉田光由（数学家）の『塵劫記』（和算書・江戸時代）においても書かれておりこれによって『継子立』は有名になったのである。３）西洋の継子立西洋においても『継子立』に似た問題が古くからあり、最も古いもので４世紀の初めにさかのぼるものもあるらしいが、日本に伝わったという証拠は今日発見されていない。この問題を『ジョセハスの問題』または『トルコ人とキリスト教徒の問題』と呼んでいる。１５人のキリスト教徒と１５人のトルコ人が同船した船が難破したとき、船長は１５人を犠牲にして海に投じなければならないと宣言した。・・そこで、キリスト教徒はトルコ人を海に落とすため次のように円に並べた。４５２１３１１２２３１２２１ (人数) キトキトキトキトキトキトキト（人種）そして、９番目９番目に当たる人を海に投ずることにした。つまり、この順で選ばれるのはすべてトルコ人という結果になる。『ジョセハスの問題』は日本の『継子立』とは少し意味の違う点がある。『ジョセハスの問題』は全員の場所の決定が主であるが『継子立』は関係する人の人数すなわち「何人と何番目」が重要になってくる。この点で『継子立』のほうが『ジョセハスの問題』よりはるかに深みのあるものとなっている。（3 ）算脱之法（継子立の解決方法） (2)の 1)でも述べたように、『継子立』の問題で注目すべき点は十六人の子どもから、十番目、十番目を除いていくと数え始めの子どもが最後に残るということである。二十人の子どもの場合には成立しない。この問題が成立するためには、ならべる数（総数とする）、取り去るときの第何番目の数（脱数とする）を決定しなければならない。しかし、この問題は総数を定めて、脱数を決定することは不可能である。脱数を定めて、それに対する総数が決定される。 1 ）数学的解法いま、総数ｎと脱数ｍを与える。まず「ｎ，ｍを与えたとき、最後に残る石（この説明では石をならべることにする。）は数えはじめの石から何番目にあたるか」を考えてみる。最後に残る石は、数えはじめの石から第 Nn 番目に当たるとすれば、第一回の終りには、ｍ番目の石が一つ取り除かれるから、 n−１個の石が残る。そこでｍ＋１番目に当たる石が、つぎの数えはじめの石になる。ゆえに最後に残る石は、この新しい数えはじめの石から数えて Nn-1 番目になるから、最初に数えた数えはじめの石から数えて、（Nn-1＋ｍ）番目になる。ただし、（Nn-1＋ｍ）が n より大きくなれば n を引く。n より小さければ、そのままにする。このことを等余式を使って書けば、次のようになる。 Nn≡Nn-1＋ｍ（mod n）ここで n＝１なら、ｍのいかんにかかわらず、N1＝１である。ゆえに N１≡１ N２≡N１＋ｍ（mod ２） N３≡N２＋ｍ（mod ３） … … Nn≡Nn-1＋ｍ（mod n）が成立する。たとえば脱数ｍ＝10 とすれば N２≡１＋10 （mod 2） N２＝１ N３≡N２＋10 （mod 3） N３＝２ N４≡N３＋10 （mod 4） N４＝４（N４＝０としない） N５≡N４＋10 （mod 5） N５＝４ N６≡N５＋10 （mod 6） N６＝２ N７≡N６＋10 （mod 7） N７＝５ N８≡N７＋10 （mod 8） N８＝７ N９≡N８＋10 （mod 9） N９＝８ N10≡N９＋10 （mod 10）N10＝８ N11≡N10＋10 （mod 11）N11＝７ N12≡N11＋10 （mod 12）N12＝５ N13≡N12＋10 （mod 13）N13＝２ N14≡N13＋10 （mod 14）N14＝12 N15≡N14＋10 （mod 15）N15＝７ N16≡N15＋10 （mod 16）N16＝１その時の上級４を下級にする。この手続きを続けると次の表になる。ここで下級が１となったとき、そのときの上級が求める石数になる。上表では２と 16 である。以上のように、計算はとても面倒で、孝和は脱数を９まで、総数を 5 箇所しか計算しなかったが、我々は孝和の弟子・建部賢弘の計算した表を以下に示す。建部賢弘は脱数を３０まで、総数を７箇所も計算している。せいげんすう以下の表で、総数＝正限数＋１である。最後に残る石を数え初めの石とするためには Nn＝１でなければならない。脱数ｍ＝10 とすれば、上記の計算のように N２＝１、N16＝１に対応する総数 2 と 16 のときに、数え初めの石が最後に残る。２）簡単な方式 1)で考えた法則をここでは簡単な法式で示す。また 1)と見比べることができるように十脱の場合を計算する。上級には自然数を書く。これが並べる石の数となる。中級には脱数を書く。下級の最初は１とする。この１と 10 との和を次の上級２で割った残り１を次の下級にする。この１と 10 との和を次の上級３で割った残り２を次の下級にする。この２と 10 との和を次の上級４で割れば割り切れる。割り切れる場合は残り０を次の下級にせずに，たとえば５番目に当る人を取り去る場合を考えてみよう。このとき、脱数５の正限数２,５,11,14… に１を加えて、３,６,12,15…人をまるく並べて、5 人目 5 人目に当る人を取り去っていくと、数え初めの人が残ることになる。していくことの必要性も感じた。現時点で今回の『継子立』をどのように教材にしていくか考え出すことはできていないが、この研究を教員になったときに利用しない手はないと思う。いつかこの研究が役に立つときがくるだろうと確信している。 4 ．おわりに５．参考文献今回，我々は，関孝和の研究した『算脱之法』の一部を抜粋して、『継子立』の仕組みを数学的に考えてみた。数学の歴史は古く、中国，朝鮮と渡り、日本へ伝えられた。そして関孝和のような数学者などにより思考、考察が重ねられ現在に至っている。あらためて考えさせられたことは、不断の努力と研究をしていくことにより、新しい発見がなされたり、内容を把握できたりするということである。これは，いつの時代も変わりないことである。現代は技術の進歩が進み，コンピュータで難解な計算もできてしまう。しかし、関孝和の行った『継子立』の研究ではすべて自分の頭で考え地道な努力により，出てきた結果である。関孝和の人生は数学に捧げたものだったのだろう。今回の『継子立』の研究は我々自身が不思議だ、楽しそうだ、と感じたことから始めたものである。ある事柄に対して不思議だ、楽しそうだと興味をもち、その気持ちを大切にその事柄に取り組むことのよさを感じたような気がする。では、子どもたちが不思議だ、楽しそうだと興味をもつような算数、数学とはどのようなものだろう。ひと言で言える問題ではないが、関孝和のような人物が研究を重ねたその結果を我々が享受し、理解して、それらを授業に生かしていけるように研究 1)平山諦、関孝和、恒星社厚生閣、1974 2)平山諦、東西数学物語、恒星社厚生閣、 1973 3)佐藤健一、江戸庶民の数学、東洋書店 pp．187、1994 4)数学教育７月号、明治図書、pp．62−65 5)http:www.joho-gakushu.or.jp/kids/ sansu/data/tensai04.htm/ 6)http://isweb2.infoseek.co.jp/~tombow/ gakusya/seki.htm