トロピカル多項式における因数分解について
理学部 情報科学科 加古研究室 水野加津 平成 24 年 8 月 3 日
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はじめに
1. P の辺上の全ての整数点 IP を計算し、A0 = Ø
とする
トロピカル代数は通常の四則演算の代わりに
x ⊕ y = min(x, y),
2. // Ai , 1 ≤ i ≤ m − 1 を求める。これは、辺
e1 ...ei によって到達する IP 内の点を計算する。
x¯y =x+y
で和と積を定義する。0¯x = x である。また、x⊕0 6= x
(a) v = v0 + kei , k ≤ ni が IP にふくまれるな
ら、Ai に v を加える。
であることに注意しなければならない。
通常の演算と同じく、交換法則や分配法則は適用さ
(b) Ai−1 の全ての頂点 u について、u+kei , k ≤
ni が IP に含まれるなら、Ai に u + kei を
れる。ただし、トロピカル演算では減算は存在しない。
例えば、a = 10 ª 3 のとなる a は 3 ⊕ a = 10 を満たす
加える。
ものであるが、そのような a は存在しない。
2
3. // Am を計算
一変数の因数分解
Am−1 に含まれる全ての頂点 u について、もし
u+kem , k ≤ nm が IP に含まれるなら、u+kem
を Am に加える。
一変数のトロピカル多項式、例えば、
f (x) = a ¯ x2 ⊕ b ¯ x ⊕ c
4. Am が v0 を含むならば、与えられたポリトープ
は分解可能である。
は
min{2x + a, x + b, c}
を意味するので、折れ線グラフになっている。線分の
交点は、b − a と c − b より
このアルゴリズムで分解可能な場合、始点 v0 から始
まり、v0 に戻る頂点の列
{v0 ,
f (x) = a · (x ⊕ (b − a)) · (x ⊕ (c − b))
と因数分解出来る。ただし、b − a < c − b としてい
る。もし、b − a ≥ c − b がなりたって居るならば、
f (x) = a ¯ x2 ⊕ c = a ¯ (x ⊕
c−a 2
2 )
となる。
このように、一変数のトロピカル多項式は一次の因
が求められるが、これがポリトープの分解になって
いる。
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多項式の可約性既約性
多変数の多項式はニュートンポリトープと呼ばれる整
数的なポリトープと関連づけられることが発見されて
いる。もし多項式の因数がミンコフスキー和の意味で
ニュートンポリトープの分解であるなら、因数にもな
v0 + k1 e1 + k2 e2 , . . . ,
v0 + k1 e1 + · · · + km em = v0 }
子に完全に因数分解出来る。
3
v0 + k1 e1 ,
結果
f (x) = x6 ⊗ y 3 ⊕ x3 ⊗ y 2 ⊕ x ⊗ y ⊕ x6
について、ニュートン多角形を求めると、
{(0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (0, −3), (−6, 0)}
る。結果、ポリトープが分解可能で分解を構築するか
を頂点とする多角形になる。これに分解アルゴリズ
どうかを判定するアルゴリズムは、多項式の因数分解
ムを適用すると、分解として {(0, 0), (1, 1), (1, 0)}、
にも有用であるという見解が得られる。今回は応用と
{(0, 0), (1, 1), (3, 2), (3, 0)} が得られる。これから f (x)
して、二変数の多項式を与え、ニュートンポリトープを
は因数分解が可能であれば、
計算し、ポリトープの全ての整数サマンドを発見する。
このサマンドは多項式の全ての可能な因数のニュート
ンポリトープに対応する。
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判定アルゴリズム
二変数の多項式の係数を取り払い、ニュートン多角
形に変換する。頂点 v0 = (0, 0) を始点とする辺の列
f (x) = (x ⊗ y ⊕ x ⊕ · · ·) ⊗ (x5 ⊗ y 2 ⊕ x2 ⊗ y ⊕ x5 ⊕ · · ·)
あるいは
f (x) = (x3 ⊗ y 2 ⊕ x ⊗ y ⊕ x3 ⊕ · · ·) ⊗ (x3 ⊗ y ⊕ x3 ⊕ · · ·)
のように因数分解されるはずであるということがわか
{ni ei }1<i≤m が形成する整数凸多角形 P が分解可能か る。ここで · · · は凸多角形の辺あるい内部の点に対応
を判定する。
する項である。
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