数学 I 後期 演習問題 8 年 学籍番号 クラス番号 氏名 戦闘開始時点での戦闘員の数を x0 と y0 とし、時刻 t での生存している戦闘員の 数をそれぞれ x = x(t) と y = y(t) とする。 dx dy 1. = −Ay, = −Ax0 /y0 とする。y0 = 2000 とする。x = 0 のとき y = 0 に dt dt なったという、このときの x0 の値を求めよ。 2. dx dy = Ay, = Bx, A, B < 0, とする。 dt dt (1) このときはランチェスターの二次法則 x20 − x(t)2 = E(y02 − y(t)2 ) が適用されることを示せ。 (2) E = 1, x0 = 120, y0 = 80 とする。y は x を 3 分割することに成功し、まず x の 1/3 と戦い滅ぼし、次に残りの半分と戦い滅ぼし、最後に残りと戦ったする。 x(t) = 0 のときの y(t) の値を求めよ。 数学 I 後期 演習問題 8 戦闘開始時点での戦闘員の数を x0 と y0 とし、時刻 t での生存している戦闘員の 数をそれぞれ x = x(t) と y = y(t) とする。 dx dy x0 1. = −Ay, = −A とする。y0 = 2000 とする。x = 0 のとき y = 0 になっ dt dt y0 たという、このときの x0 の値を求めよ。 x0 y 2 /2 − x を t で微分すると, y0 d 2 x0 dy dx x0 x0 x0 (y /2 − x ) = y − = −Ay + Ay = 0 dt y0 dt dt y0 y0 y0 2 x0 y − x = C(定数) より 2 y0 y02 x2 − 0 = C となり, 2 y0 y2 x0 y02 x20 y 2 − y02 x0 −x = − これより = (x − x0 ), 2 y0 2 y0 2 y0 両辺を 2y0 倍して, t = 0 のとき y(0) = y0 , x(0) = x0 より y0 (y(t)2 − y02 ) = 2x0 (x(t) − x0 ) x(t) = 0, y(t) = 0, y0 = 2000 とすると,2x20 = 20003 より x0 = 63, 245 √ x0 = 5000, y0 = 2000, x(t) = 0 とすると y(t) = 20002 − 25, 000 = 1993 dy dx = Ay, = Bx, A, B < 0, とする。 2. dt dt (1) このときはランチェスターの二次法則 x20 − x(t)2 = E(y02 − y(t)2 ) が適用されることを示せ。 dx dy Bx − Ay = ABxy − ABxy = 0 より dt dt ( 2 ) x y2 d B −A = 0 となり dt 2 2 Bx2 − Ay 2 = C x = x0 のとき y = y0 であるから、Bx20 − Ay02 = C これより Bx20 − Ay02 = Bx2 − Ay 2 となり、E = A/B とおくと、 x20 − x(t)2 = E(y02 − y(t)2 ) (2) E = 1, x0 = 120, y0 = 80 とする。y は x を 3 分割することに成功し、まず x の 1/3 と戦い滅ぼし、次に残りの半分と戦い滅ぼし、最後に残りと戦ったする。 x(t) = 0 のときの y(t) の値を求めよ。 最初の戦闘では x0 = 40 と y0 = 80 が戦った。このとき x の 40 が全 滅したとき 402 − 02 = 802 − y 2 より y 2 = 6400 − 1600 = 4800 となり、 √ y の戦闘員は y = 4800 次にこの戦闘員で x の 40 と戦ったとすると、402 = 4800 − y 2 より x √ の 40 が全滅したときの y の戦闘員の数は y = 3200 さらに残りの 40 と戦い x が全滅したとき y の戦闘員の数は √ y = 1600 = 40
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