講義ノート (For Screen: PDF)

球面上の幾何
内藤久資 (Hisashi NAITO)
[email protected]
名古屋大学多元数理科学研究科
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 1/46
はじめに
数学の学習は数学の進歩を学んでいる
高校の数学：紀元前の数学から１８世紀頃までの数学
大学４年生までの数学：１９世紀頃の数学
大学院以降：２０世紀から現代の数学
数学の分野
代数学：種々の代数的な構造やその性質を調べる
幾何学：図形に代表される幾何学的な対象を調べる
解析学：微積分を用いて現象を探る・関数の性質を調べる
この分類はあくまで「便宜的」なものにすぎない
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 2/46
はじめに
数学と他の学問との関わり
物理学（力学・電磁気学・量子力学・相対論 · · · ）
経済学（ゲーム理論・均衡理論 · · · ）
計算機科学（言語理論・数値解析・暗号理論 · · · ）
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 3/46
内容と目標
内容
平面の幾何・
「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
到達目標
「曲線・曲面が曲がっている」ということの意味
「直線」や「距離」の一般化とはどんなものか
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 4/46
Section 1
平面の幾何・
「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 5/46
ユークリッド幾何
「平面の幾何学」＝「ユークリッド幾何」
ユークリッド幾何の公準
１平面上の任意の２点を結ぶ直線を引くことができる
２任意の線分は直線に延長することができる
３任意の点を中心とする任意の半径の円を描くことができる
４全ての直角は等しい
５平行な２直線は, 一致するか, 互いに交わらないかのいずれ
かである
これら５つの公準から平面の幾何学の定理が導かれる
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 6/46
平面三角形
「平面上の三角形の内角の和は２直角に等しい」
「三角形」＝「１直線上にない３点を直線で結んだ図形」
「平行線の２つの錯角は等しい」
← 平行線の公準から証明できる.
「平面上の三角形の内角の和は２直角」
← 錯角の性質から証明できる.
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 7/46
「直線」ってなに？
「ユークリッド幾何学」では「直線」は「無定義語」
「直線」＝「２点間を結ぶ曲線の中で長さが最小のもの」
「２点を結ぶ線分の長さ」＝「２点間の距離」
「直線（線分）」＝「２点間の距離を与える曲線」
＝「光が進むコース」
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 8/46
Section 2
平面の幾何・
「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 9/46
球面の幾何
球面の代表例として「地球の表面」を考えよう
「北極点から南極点までの距離」
＝「子午線（経線）に沿って測った長さ」
「同じ緯度の２地点間の距離」
= 「緯線に沿って測った距離」
（例外：赤道上の２地点）
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 10/46
球面上で「直線」に相当するもの
「球面上の２地点 A, B 間の距離」を測る
A, B と球の中心 O を通る平面と球の交線
＝ A, B を通る「大円」
「球面上の２地点 A, B 間の距離」
＝「A, B を通る大円に沿って測った長さ（の短い方）」
「A, B を通る大円」＝「球面上の『直線』」＝「測地線」
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 11/46
球面三角形
球面上の３点 A, B , C を頂点に持つ三角形
＝「球面三角形」（測地三角形）
＝
A, B を結ぶ測地線,
B , C を結ぶ測地線,
C , A を結ぶ測地線
で作られる三角形
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 12/46
球面三角形の内角の和の例
A: 北極
B : 赤道上の東経０度の地点
C : 赤道上の東経 α 度の地点
→ ABC の内角の和は？
→ ∠ABC = 90◦ , ∠BCA = 90◦ , ∠CAB = α◦
→ ABC の内角の和 = (180 + α)◦
A
B
C
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 13/46
球面三角形の内角の和に関する事実
「球面三角形の内角の和」 > 180◦
【知りたいこと】
この事実は球面のどのような性質を反映しているのか？
球面以外の曲面ではどうなるのか？
【予想】
この事実は球面が曲がっていることに起因しているだろう
「曲がっている」とはどういうことか？
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 14/46
Section 3.1
平面の幾何・
「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 15/46
平面上の曲線の「曲率」
曲線の曲率
＝曲線が「どのくらい曲がっているか？」を表す量
直線の曲率 = 0
半径 r の円周の曲率 = 1/r
曲線の曲率の物理的イメージ
質量 1 の物体が曲線上を速さ 1 で運動するときに働く力の大
きさ
＝
物体が曲線上を速さ 1 で運動するときの加速度の大きさ
直線上の速さ 1 の運動＝等速直線運動
→加速度＝ 0
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 16/46
★★ 曲線の曲率の正確な定義
X(t) = (x(t), y(t)): 曲線の時刻 t での位置ベクトル
V (t) = X (t) = (x (t), y (t)): 曲線の時刻 t での速度ベクトル
A(t) = V (t) = (x (t), y (t)): 曲線の時刻 t での加速度ベクトル
U (t): 速度ベクトルと直交する単位ベクトル
（U (t) は V (t) からみて左向きに取る）
|V (t)|2 = V (t), V (t) = (x (t))2 + (y (t))2 = 1: 速さが 1
(|V (t)|2 ) = 2A(t), V (t) = 0
速度ベクトルと加速度ベクトルが直交
A(t) は U (t) と平行
ある κ(t) が存在して A(t) = κ(t)U (t) をみたす
この κ(t) を曲率と定義する
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 17/46
★ 半径 r の円周の曲率
半径 r の円周上の速さ 1 の運動（反時計回り）
t
t
, r sin
X(t) = (x(t), y(t)) = r cos
r
r
t
t
V (t) = (x (t), y (t)) = − sin
, cos
r
r
t
t
, − sin
U (t) =
= − cos
r
r
t
1
t
1
, − sin
A(t) = (x (t), y (t)) = − cos
r
r
r
r
1
A(t) = U (t)
r
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 18/46
★ 楕円の曲率
楕円
x2
a2
+
y2
b2
= 1 の曲率
X(t) = (x(t), y(t)) = (a cos(t), b sin(t)),
ab
κ(t) = 2 2
(a sin (t) + b2 cos2 (t))3/2
a < b の時
曲率の最大値： a/b2
曲率の最小値： b/a2
0.6
4
0.4
3
0.2
-1
-0.75 -0.5 -0.25
0.25
0.5
0.75
1
2
-0.2
-0.4
1
-0.6
1
2
3
4
5
6
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 19/46
★ 双曲線の曲率
楕円 x2 − y 2 = 1 の曲率
X(t) = (x(t), y(t)) = (cosh(t), sinh(t)),
−1
κ(t) =
(sinh2 (t) + cosh2 (t))3/2
t = 0, (x, y) = (1, 0) で曲率 −1.
2
1.5
1
0.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
-0.5
1
1.5
2
-1
-0.5
0.5
1
-0.2
-0.4
-1
-0.6
-1.5
-2
-0.8
-1
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 20/46
★ 曲率の正確な定義
一般公式：
x (t)y(t) − x(t)y (t)
κ(t) =
((x (t))2 + (y (t))2 )3/2
0.6
0.4
4
0.2
2
-1
-0.75 -0.5 -0.25
0.25
0.5
0.75
1
1
-0.2
-0.4
-2
-0.6
-4
2
3
4
5
6
X(t) = (sin(t), sin(t) cos(t))
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 21/46
曲線の曲率の応用 (1)
応用
高速道路のカーブの作り方
ジェットコースターのコースの作り方
「直線」と「円」をつないではなぜいけないのか？
「力」の掛かり方が急に変化する
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 22/46
曲線の曲率の応用 (2)
「クロソイド曲線」
＝起点から「長さ t」の位置での曲率が t となる曲線
(x(t), y(t)) =
t
0
cos(s2 /2) ds,
t
0
sin(s2 /2) ds
「力」の掛かり方がなめらかに変化する
2
1.5
1
1
0.5
0.8
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
0.6
-0.5
0.4
-1
0.2
-1.5
-2
0.25
0.5
0.75
1
1.25 1.5 1.75
2
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 23/46
★ 曲線論の基本定理
２つの曲線 X1 (t), X2 (t) が平面上の合同変換（平行移動, 回転, 鏡
映）で一致する
⇐⇒
２つの曲線の曲率 κ1 (t), κ2 (t) が全ての t に対して等しい.
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 24/46
Section 3.2
平面の幾何・
「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 25/46
球面上の物体の運動と曲率
「球面上の曲線上を運動する物体に働く力］
＝
「球面に直交する方向の力」＋「球面に接する方向の力」
「球面に接する方向の力」＝ 0
⇐⇒ 「最短線」⇐⇒ 大円上の運動
例：人工衛星の軌道
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 26/46
曲面の曲率
曲面の「曲率」
＝曲面が「どのくらい曲がっているか？」を表す量
「平面の曲率」 = 0
「半径 r の球面の曲率」 = 1/r2
曲率
= 全ての方向の測地線の曲率の最大値と最小値の積
平面：全ての直線は「曲率 0」
半径 r の球面：全ての大円の曲率は 1/r
半径 r の円筒：
測地線は円（曲率 1/r）または直線（曲率 0）
=⇒ 曲率 = 0
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 27/46
曲面の曲率の例 (1)
曲率 = 0
曲率 = 1/r2
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 28/46
曲面の曲率の例 (2)
楕円体
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
(x, y, z) = (0, 0, c) での曲率は
x2
a2
+
z2
c2
=1と
y2
b2
+
z2
c2
c c
b2 a2
=
c2
a2 b2
=1
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 29/46
曲面の曲率の例 (3) : 曲率が負
x2 + y 2 − z 2 = 1
x2 + y 2 = 1 と y 2 − z 2 = 1
図の２つの曲線の交点での曲率 = −1
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 30/46
曲面の曲率の例 (4) : 場所によって曲率の符号が異なる
交点での曲率 > 0
交点での曲率 = 0
「オレンジ」の曲線は測地線ではない
交点での曲率 < 0
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 31/46
曲面の曲率の「意味」と地図の作り方
曲率が異なる曲面は「長さ」, 「面積」, 「角度」を全て保っ
て写すことができない
「長さ」, 「面積」, 「角度」を全て保った地図を書くことが
できない.
メルカトル図法：全ての地点で「角度」が正しい
(United States Geological Survey
より転載)
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 32/46
地図の例
立体射影：全ての地点で「角度」が正しい
ランベルト正積図法：全ての地点で「面積」が正しい
(United States Geological Survey
より転載) Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 33/46
球面三角形の内角の和と曲率の関係
球面三角形の面積 = 360◦ − 外角の和 = 内角の和 − 180◦
「球面三角形の面積」> 0 より「内角の和」> 180◦
注意：この公式を使うときは, 角度は「弧度法」で与える
360◦ = 2π = 半径 1 の円周の長さ
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 34/46
★ より一般的な定理（ガウス・ボンネの定理）
閉曲面上の測地三角形に対して
K(x) dx = 内角の和 − 180◦
∆
が成り立つ.
K(x) < 0 ならば「測地三角形の内角の和」< 180◦
曲率 > 0
曲率 < 0
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 35/46
例の計算
A: 北極
B : 赤道上の東経０度の地点
C : 赤道上の東経 α 度の地点
→ ABC の内角の和 = (180 + α)◦
1
α
ABC = 半径 1 の球面の面積 × ×
2 360
α
=π
180
ABC の内角の和 − 180◦ = ABC の内角の和 − π
α
ABC の内角の和 = π(
+ 1) = (180 + α)◦
180
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 36/46
★ より詳しい説明と注意
曲面の曲率の正しい定義はもっと難しい
ここでは直観的に分かりやすい説明を行った
円環面の曲率の図は適切ではないかも...
曲面の曲率の別の説明（曲率一定の曲面の場合）
K > 0 ⇐⇒「円周率」< π
K = 0 ⇐⇒「円周率」= π
K < 0 ⇐⇒「円周率」> π
K = 0 の時には「半径と円周の長さの比」は半径によって
異なってしまい, 「円周率」とは言えなくなる
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 37/46
Section 4
平面の幾何・
「直線」
球面の幾何・球面上の「直線」
曲線と曲面の「曲がりかた」を測る
曲線の「曲率」
曲面の「曲率」
「距離」を一般化しよう
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 38/46
一般的な「距離」の定義
２点 x, y の間の「距離」
＝ x と y を結ぶ（最短）測地線の長さ
以下の性質を持つ関数 d を「距離」と呼ぶ
d(x, x) = 0, (x から x までの距離は 0)
d(x, y) = 0 =⇒ x = y ,
(x から y までの距離が 0 ならば x = y )
d(x, y) = d(y, x)
(x から y までの距離は y から x までの距離に等しい)
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
(三角不等式)
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 39/46
グラフと距離
「グラフ」とは「頂点」と「辺」でできたもの
「グラフの頂点 x, y の間の距離」＝ x と y を結ぶ最短経路の
辺の数
辺の両端の頂点間の距離＝１
1
3
2
4
5
d(1, 2) = d(1, 3) = d(1, 4) = d(1, 5) = 1
d(2, 3) = d(2, 4) = 1,
d(2, 5) = d(3, 4) = 2,
d(4, 5) = 3
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 40/46
グラフの例 (1)
「頂点」＝「世界中の人」
ＡさんとＢさんがお互いに知り合いなら辺で結ぶ
ＡさんとＢさんがお互いに知り合いなら d(A, B) = 1
d(笹原先生, 内藤) = 1,
d(内藤, 仲間由紀江) ≤ 5
d(笹原先生, 仲間由紀江)
≤ d(笹原先生, 内藤) + d(内藤, 仲間由紀江)
≤6
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 41/46
グラフの例 (2)
「頂点」＝「ウェブのページ」
ページ A からページ B へのリンクがあれば A から B へ矢印
を引く
「辺」に向きがついたグラフ（有向グラフ）
1
3
2
4
5
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 42/46
グラフを数学的に表す
頂点に番号をつける
行列 X の成分 xij を, 頂点 i から頂点 j への辺（矢印）があれ
ば 1, そうでなければ 0
「（有向）グラフ」＝「行列」
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 43/46
グラフを行列で表す
1
1
3
2

0
1

1

1
1
5
4
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1

1
0

0

1
0
3
2

0
1

1

1
1
5
4
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1

0
0

0

0
0
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 44/46
Google Page Ranking
ウェブページのリンクの情報からなる有向グラフ（＝巨大な
サイズの行列）
この行列に対して「計算」をおこなう
各ページの「重要度」を表す「ランキング」を計算する
「リンクが集まっているページ」ほど重要であると考える
重要なページの順に並べると 1, 3, 2, 4, 5 となる
1
3
2
4
5
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 45/46
Any Question or Comment ?
Dec. 14 2006, 彦根東高校 – p. 46/46

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