14章

１４
平面図形 (２) の「偏差値２０アップ・指導法」
章
まとめ　２　例題で解説
１　導　入
根本
原理
基本図形を思い
描けるように！
関連づける
３　問題演習
関連づける
※　このように、「①導入で根本原理」をしっかり指導し、「②その根本原理を例題でイメージさせ」、その後に自習として「③
問題演習をさせる」と、うそのように簡単に成績は上がるのです。下の具体例で確認してください。
１
４．
１導入・例題 (角度・長さ・面積の基本図形を暗記！)
A
角度　１　…　角度の問題は、ほとんど、「外角」・「錯角」
・「二等辺三角形」が聞かれる！
例題１
ア
あ
B
E
右の図で、直線アと直線イは平行で、五角形 ABCDE は正五角形
C
です。角　あは何度ですか。
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法①
「角度」は ⇒「外角」・「錯角」・「二等辺三角形」が出る！
①　外角
ア
②　錯角
ア
ア＋イ＝ウ
イ
ウ外角
イ
エ
【ポイント】
●　「正 N 角形の１つの内角」 ⇒
＝１８０°ー３６０°÷ N
(１つの外角 )
●　「平行線」に⇒ 「錯角」あり　⇒
●　「三角形」に⇒ 「外角」あり　⇒
例題２
イ
D
20°
ウ
③ 二等辺三角形
A
イ＝ウ ( 錯角 )
ア＝ウ ( 同位角 )
イ＋エ＝180°
底角が
等しい
B
【解法】
正五角形の一つの内角は、
１８０°ー３６０°÷ ５＝１０８°
い＝１８０°－（２０°＋１０８°）＝５２°
あは「錯角」であり、
２つの　い＝１０８°( 「外角」 ) より、
あ＋　あ＝１０８°ー５２°＝５６°
C
A
ア
あ
B
108°E
C
108°
い
20° D
あ
F
イ
角度　２　…　角度の問題は、ほとんど、「外角」・「錯角」
・「二等辺三角形」が聞かれる！
右図のように、正方形の中に正三角形がかいてあります。
アの角度を求めなさい。
【ポイント】
●　同じ長さ・同じ角度に
「同じ印」をつけて、
「二等辺三角形」を発見
●　「平行線」に⇒ 「錯角」あり
ア
【解法】
三角形 DFC は「二等辺三角形」となるから、
イ
＝９０－６０＝
３０°より、
⇒ ＝
ウ（１８０－３０）÷２＝７５°
⇒ と　は「錯角」となり等しいから、
ア
ウ
＝　＝　７５°
ウ
ア
１４－１
A
D
イ
E
B
ア
F
ウ
ウ
C
例題３
D
角度　３　…　角度の問題は、ほとんど、「外角」・「錯角」
・「二等辺三角形」が聞かれる！
40°
x° E
右の図は、長方形状のテープを、折り目 DE にそって折り返した図です。
このとき、図の x°を求めなさい。
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法②
「折り返し」　⇒　聞かれるポイントがある！
ときたら
折り返し　⇒　①　合同　、　②　相似　、　③　二等辺三角形　が聞かれる！　D
【解法】
【ポイント】
右図で、　a° ＝１８０－（９０＋４０）＝５０°
●　「折り返し」の場合、
40° a°
a°
あ
い。
⇒　①必ず「錯角」、　⇒ 折り返しの前と後の角度で、　＝　F
また、あとう
は「錯角」で等しいから、
⇒ ②「二等辺三角形」
三角形 DEF は、
「二等辺三角形」となる。したがって
ができる場合が多い。
x°＝　＝
＝(180-50)
÷ 2 ＝　６５°
い
う
例題４
角度　４　…　角度の問題は、ほとんど、「外角」・「錯角」
・「二等辺三角形」が聞かれる！
H
いあ錯角
う
E
A
B
あ
G
右図のように、円周を８等分する点をとります。
C
あの角度を求めなさい。
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法③
F
「円周」⇒「二等辺三角形」をつくれ！
ときたら
円周　⇒　どこも　「半径が等しい」　ので⇒　二等辺三角形が聞かれる！
H
【解法】
G
OBD
BOD＝９０°の
三角形
は、角
① 中心から「半径を書き」　⇒
「直角二等辺三角形」となるから、
②　「二等辺三角形」を作る
○ ＝９０÷４＝２２.５°。したがって、
F
あ＝２２.５°×３＝　６７.５°
【ポイント】
例題５
角度　５　…　角度の問題で、「合同」・「相似」が聞かれ　ることもある！
右の図で、三角形 ADB と三角形 ACE は両方とも正三角形です。
角 x の大きさを求めなさい。
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法④
D
E
A
B
あ
C
O
D
E
D
ア
A
63°
E
x
B 52° 65°
C
「等しい長さ」⇒「合同」
・
「相似」
・
「二等辺」が聞かれる！
ときたら
等しい長さ　⇒　①　合同　、　②　相似　、　③　二等辺三角形　が聞かれる！　D
A
【解法】
【ポイント】
● AB＝AD、AE＝AC、角 BAE＝角 DAC より、
63°
「等しい長さ」がある
ABE
ADC
と、三角形
は「合同」となるから、
三角形
場合
xF
● 角 AEB＝角 ACD（　の角）より、
G
① 「合同」がある　⇒
三角形 AEF と、三角形 GCF は「相似」となる。
B 52° 65° C
② 「相似」がある
● したがって、
③ 「二等辺三角形」
x
＝
角 EAF（　の角）＝６０°
１４－２
E
例題６
面積　１　…　「３０°、１５０°の三角形」の面積は求まる！
10cm
右の図は、１辺が１０cm の正方形と正三角形をつないだものです。
図の斜線部分の面積を求めなさい。
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法⑤
「３０°、１５０°の三角形」の面積は　⇒　求まる！
A
２
60°
30°
B
１
150°
や、
C
D
B
A
60°
の面積は求まることを覚えておく！
１
２
C
30°
E
【ポイント】
【解法】
「30°60°の三角定規」
右の図で、角 ABC は、 150° となり、
A ア
「45°の三角定規」を利用　⇒　三角形 AFB は、「30°の三角定規」となるから、
「30°150°」の面積は
AF ＝１０÷２＝５cm したがって、 5cm 60°
30°
求まる！
三角形 ABC ＝１０×５÷２＝２５cm2
F
例題 7
D
10cm
10cm
150°
B 10cm
C
面積　２　…　正三角形・正六角形の分割図形を覚えておく！
右図の正六角形の面積が４５cm2 であるとき、斜線の部分の面積は何 cm2 ですか。
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法 ⑥ 「正三角形」･「正六角形」⇒ 分割パターンを覚えろ！
正六角形の分割
正三角形の分割
1 1
3 3
1
3
1
4
1 1
1
4 4 4
1 1
1 6 6 1
6 1 1 6
6 6
1
6
1
6
1 1
6 6
1 1
6 6
1
6 1
6
1
1 6
6
1 1
6 6
1
3
1
3
1
3
1
3
【解法】
1
6
斜線部分は、正六角形の面積の　にあたるから
「正六角形の分割」と　⇒
18 ＝ 3
1
「正三角形の分割」の
４５ ×　＝　１５ cm2
3
基本図形を利用する！
【ポイント】
例題８
A
F
Q
R
E
C
D
面積　３　…　正六角形の分割（応用編；比の利用）！
右の図の正六角形 ABCDEF で、 P は AB の真ん中の点、 Q， R は FE の
３等分点です。斜線部分の面積は正六角形の何分のいくつですか。
P
B
【解法】
O
6 とし、
あ
斜線部分の面積を　、OA＝OF＝
「正六角形」の外側に
6 10
9 6
１
正三角形をつくると　⇒ 正三角形 OAF の面積を　とすると、
１
A
9
10
5
F
「正三角形の分割」になる
△OPR ＝　１ × 6 ×　6 ＝ 2
3
4
あ
5
3
P
１
あ＝　－　＝
R 2
2
2
3
正六角形
E
B
正六角形 ABCDEF ＝６となるから、
ABCDEF
1
3
＝６
あ＝　÷　＝
６
【ポイント】
2
4
１４－３
C
D
例題９
9cm
A
面積　４　…　「等積変形」は非常によく出る！
F
右の図の台形 ABCD で、三角形 FDC の面積を求めなさい。
B
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法⑦
D
4cm
9cm
C
E
「平行線」⇒「等積変形」　が出る！
右の図の台形ABCDで、△ABCと△DBC は、底辺 BC が共通で、高さも等しいから、
A
あ
い + う )。したがって
①　△ABC 面積 (　あ + う ) ＝ △DBC の面積 (　②　△ABE 面積 (　あ ) ＝ △DEC の面積 (　い )。
【ポイント】
● AB と DE が平行より　⇒
● AD と EC が平行より　⇒
D
B
【解法】
△FBE の面積＝ △FAE の面積。また、
△FAE の面積＝ △FDC の面積となるから、
△FDC ＝ △FBE
B
＝９×４÷２＝１８cm2
E
う
い
C
9cm
A
D
F
4cm
C
E
9cm
例題１０面積　５　…　「扇形」は非常によく出る！
右の図のように直径が重なった２つの半円があり、小さい円の中心は O で半径は
３cm、大きい円の中心は O’ で半径は４cm です。斜線の部分の面積を求めなさい。
45°
o o’
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法 ⑧ 「曲線」が出たら ⇒「中心」をとらえ「扇形」を作れ！
【ポイント】
【解法】小さい弓形を右に移すと、求める面積は、下のとおり
「曲線」⇒「扇形」ときたら
3cm
①「中心」
＋－
6cm
②「半径」　をとらえろ ⇒
45°
4cm
4cm
3cm o o’
1
1
1
③「中心角」
4cm
4 × 4 × 3.14 ×　－ 6 × 3 ×　＝ 4 × 4 ×　2 ＋
4
2
＝ 11.56 cm2
例題１１面積　６　…　「扇形」は非常によく出る！
右の図で、 P,Q は４分円の弧を３等分する点、 R は AO の真ん中の点です。
斜線部分の面積を求めなさい。
B
Q
P
O
A
3cm R 3cm
２０アップ
２０
アップ攻略
攻略法
法 ⑨ 「扇形」⇒ ①「中心」,②「半径」,③「中心角」をとらえろ！
【解法】
【ポイント】
B
Q
半径
OP を引くと、求める面積は、
「曲線」⇒「扇形」ときたら
①「中心」
6cm
6cm
6cm
3cm
②「半径」　をとらえろ ⇒　＋　－
60°
③「中心角」
30°
3cm
3cm
1
1
1
＝ 6×6×3.14×　＋ 3×3×　－ 3×6×　O 3cm R
6
2
2
＝ 14.34 cm2
１４－４
P
3cm
A

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