8. 級数

８.
級数
アキレスと亀のパラドックス
アキレスが１００ｍ前方にいる亀を、秒速１０ｍで追いかける。
亀は秒速５m で逃げるとすると、追いつくまでの時間は？
これは小学生でも知っている旅人算で、答えを出すのは簡単であろう。代数的に解くなら、
追いつくまでの時間を t 秒として、10t=5t+100 （したがって t=20 秒）とすれば良い。
計算を簡単にするために、ずいぶん逃げ足の速い亀にしてしまったが、これについて
は、ギリシャ時代の有名なパラドックスがある。亀はアキレスの半分の速さで逃げている
から、アキレスが１００ｍ前方の亀のいた地点に到達すると、そのときには亀は５０ｍ前
進している。ふたたびアキレスが５０ｍ前進すると、また亀は２５ｍ先まで逃げている・・・
アキレスは亀に近づけるものの、決して追い越すことは出来ない・・・
高等学校で無限等比級数を習ったものであれば、このパラドックスは誰でも解決でき
るであろう。最初に亀のいた地点にアキレスが到達するまでの時間は、100/10=10 秒、次
に亀の逃げた地点まで到達する所要時間は 50/10=5 秒、次は 2.5 秒・・・という具合に、
所要時間は 1/2 ずつ減っていくから、これらを合計すると
t
= 10 + 10 " (1 / 2) + 10 " (1 / 2) 2 + 10 " (1 / 2) 3 + L
=
10
= 20
1 ! (1 / 2)
となって、追いつくまでの時間が正しく算出される。
アルキメデスやピタゴラスほどの天才を多数そろえながら、なぜ古代ギリシャの人々
が、無限級数の概念に到達できなかったのか。誰かが言い出せば、ギリシャの数学は一気
に近代数学まで進み、人類の歴史は２０００年ほど進歩が早まったかもしれない。江戸時
代の和算の大家であった関孝和は、ギリシャ時代と同程度の数学から出発し、テイラー展
開まで進んで４桁の三角関数表を作成し、単独でほぼ微分・積分や代数の手法にまで到達
したのであるから、決して有り得ない話ではなかった。
古代ギリシャの人々に欠けていたものは、「足し合わせる数が無限個であっても、その
和は有限になり得る」という認識である。このような無限個の和の認識は、先ほどの旅人
算の例に見るように、視点を変えて問題を見直す自由度を与える。また、案外初等的な物
理現象にも現れる。次の例題を考えてみよう。

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