◎年●第−回 速さと比（１） 〈例題 1〉速さの比の基本 (1) 自転車で公園まで行くと 40 分かかり， そのあと， 20 分走ると駅につきます。家から公園まで の道のりと家から駅までの道のりの比を求めなさい。 (2) 兄が 4.8 ㎞進む間に弟は 4.2 ㎞進みました。このとき，兄と弟の速さの比を求めなさい。 (3) おじさんの家まで， Ａさんは 75 分，Ｂさんは 60 分かかりました。ＡさんとＢさんの速さの比 を求めなさい。 [解説](1) 同じ速さで進んだときには,かかった時間がそのまま道のりの比になります。公園までは 40 分,駅までは 60 分かかるから,道のりの比は 40 分：60 分＝2：3 になります。 答 2：3 (2) 同じ時間に進んだ道のりの比はそのまま速さの比になります。 兄の進んだ道のりと弟の進んだ道 のりの比は 4.8 ㎞：4.2 ㎞＝8：7 これがそのまま速さの比になります。答 8：7 (3) 同じ道のりにかかった時間と速さは逆比になります。かかった時間の比はＡ：Ｂ＝75 分：60 分 ＝5：4 だから，速さの比はＡ：Ｂ＝4：5 になります。答 4：5 〈例題 2〉道のり一定のとき,速さとかかる時間は逆比 のぶおくんは家から公園まで往復するのに，行きには分速 90ｍで，帰りは分速 150ｍでもどってき ました。往復にかかったのは 1 時間 20 分でした。家から公園までは何㎞ありますか。 [解説] のぶおくんの行きと帰りの速さの比は 分速 90ｍ：分速 150ｍ＝3：5 となります。道のりが同じなら， 速さとかかる時間は逆比になるから，行きと帰りにかかる時間 の比は ⑤：③ です。 比の⑧＝80 分になるので，①＝10 分です。行きにかかる時間 は⑤＝50 分になります。分速 90ｍで 50 分かかる道のりは 90×50＝4500（ｍ） したがって，答 4.5 ㎞ 分速90ｍ 分速150ｍ 〈例題 3〉平均の速さに比をつかうと… 24km はなれたＡ地点とＢ地点の間を往復するのに，行きは時速 8km で急いで歩き，帰りは時速 4km で歩きました。このとき，往復の平均の速さは時速何 km になりますか。 時速8㎞ [解説]（平均の速さ）＝（すべての道のり） ÷（かかった時間）で求めることができます。 平均の時速 行きに 3 時間，帰りに 6 時間かかるから， 1 1 24×2÷（3＋6）＝5 答 時速 5 ㎞ 3 3 右のように面積図を利用してもできます。 3 時間：6 時間＝①：② だから，③＝時速 4 ㎞ 4 4 1 ①＝ ㎞ となって， + 4 = 5 （㎞） 3 3 3 時速4㎞ 3時間 1 6時間 〈例題 4〉逆比になるのか、正比になるのか… (1) 100ｍをＡは 16 秒， Ｂは 20 秒で走ります。 ２人が同時にスタートすると， Ａがゴールしたとき， Ｂはゴール手前何ｍのところを走っていますか。 (2) 家から学校まで，歩くと 40 分，自動車では 10 分かかります。家から 8 分間自動車に乗って， 残りを歩いて行きました。歩いた時間は何分ですか。 [解説] (1) 道のり一定のとき，速さとかかる時間は逆比だから， ＡとＢの速さの比は ⑤：④ になります。⑤＝100ｍなので， ①＝20ｍです。答 20ｍ 8分 4 （2）8 分間自動車に乗ると家から学校までの道のりの ＝ 10分 5 のところまで行くことができます。残りの道のりは 1 1 ですから，歩くと 40 （分） × ＝（分） 8 かか 5 5 ります。答 8 分 〈例題 5〉予定より早く着いたり，遅く着いたり… 時速 80 ㎞の速さで進むと予定の時間より 18 分早く目的地に着き， 時速 32 ㎞の速さで進むと予定 の時間より 9 分遅く着きます。目的地までの道のりは何㎞でしたか。 [解説] 速さの比は 時速 80 ㎞：時速 32 ㎞＝⑤：② にな ります。道のり一定だから，かかる時間は速さの逆比になっ て，②：⑤です。18＋9＝27（分）が比の③にあたります。 ②＝18（分）になるから，目的地までは時速 80 ㎞で 18 分 18分 かかる道のりです。80 × ＝24 （㎞）答 24 ㎞ 60分 時速80㎞ 時速32㎞ 〈例題 6〉つるかめ算か進行グラフか… Ａ町からＢ町まで車で行くのに, 時速 60 ㎞で走って 2 時間でつく予定で出発しました。途中で， 道路工事があり, そこから先は時速 40 ㎞で走り，予定より 21 分遅れました。道路工事のあった地点 はＢ町から何㎞のところですか。 [解説] つるかめ算でも解くことができますが、 〈例題 5〉 の解き方をつかいます。速さの比は 時速 60 ㎞：時速 40 ㎞ ＝3：2 になります。かかる時間の比は逆にになって，②：③ です。右のグラフから，比の①＝21 分 ②＝42 分 となります から，道路工事のあったところから目的地までは，時速 60 ㎞ 42分 で 42 分かかる道のりです。 60 × ＝42 （㎞） 答 42 ㎞ 60分 2 21分 時速40㎞ 時速60㎞ 基本問題 （注意）基本問題の□には 0～9 までの数字が 1 つずつ入るものとします。 1 100ｍをＡは 18 秒，Ｂは 20 秒で走ります。2 人が同時にスタートすると，Ａがゴールしたと き，Ｂはゴールの何ｍ手前のところを走っていますか。 [解説] 100ｍを走るのにかかる時間の比は Ａ：Ｂ＝□□秒：□□秒＝□：□□ 速さの比は逆比になって，Ａ：Ｂ＝□□：□です。 Ｂは比の□だけＡに遅れる。比の□□は 100ｍだから， ＢはＡに□□ｍ答だけ遅れる。 答 10ｍ 2 家から学校まで，歩くと 45 分，自動車では 15 分かかります。家から 9 分間自動車に乗って， 残りを歩いて行くことにすると，家から学校まで何分かかりますか。 [解説] 9 分間自動車に乗ると家から学校までの道のりの きます。残りの道のりは □分 □ ＝ のところまで行くことがで □□分 □ □ □ ですから，歩くと 45 （分） × ＝□□（分）かかります。 □ □ だから，家から学校までは□□＋□＝□□（分）答かかります。答 27 分 3 毎分 160ｍの速さで進むと予定の時間より 2 分早く目的地に着き，毎分 120ｍの速さで進むと 予定の時間より 5 分遅れます。目的地までは何㎞ありますか。 [解説] 速さの比は 分速□□□ｍ：分速□□□ｍ＝□：□ かかる時間は速さの逆比になるから，□：□ 比の□が□分にあたるから，分速□□□ｍで 進むと□□分かかる。したがって，目的地までは □□□×□□＝□□□□（ｍ）→□□□□（㎞）答 答 3.36 ㎞ 4 分速□□□ｍ 分速□□□ｍ 12 ㎞離れた町を, 行きは時速 6 ㎞で, 帰りは時速 4 ㎞で往復しました。Ａ町とＢ町の間を往 復したときの平均の速さを求めなさい。 [解説] 行きにかかる時間は□時間で，帰り には□時間かかる。往復の道のりは□□㎞ 時速6㎞ 平均の時速 なので，往復の平均の速さは □□÷（□＋□）＝□.□ 答 時速□.□㎞ 面積図を用いた解き方もやってみましょう。 答 4.8 ㎞ 時速4㎞ 3 2時間 3時間 標準問題 1 次の問いに答えなさい。 （1） のぶおくんは，家を午前 10 時ちょうどに自転車で出発して，プールに行きました。プールで は,泳いだり休んだりして 2 時間 12 分いました。帰りは行きの 1.4 倍の速さでもどり，家に午後 3 時に着きました。のぶおくんがプールに着いたのは，午前何時何分ですか。 答午前 11 時 38 分 （2） ひでおくんは，やすおくんと学校で待ち合わせています。分速 90ｍの速さで行くと約束の時 間より 6 分早く着き, 分速 60ｍで行くと約束の時間より 3 分おそく着きます。このとき,次の問 いに答えなさい。 ① ひでおくんの家から学校までの距離は何ｍですか。 ② 約束の時間ちょうどに着くには, 分速何ｍで進めばよいですか。 答 1620ｍ 答 67.5ｍ/分 （3） 家から 2400ｍ離れた学校に行きました。最初の何分間は自転車に乗って分速 240ｍの速さで移 動していましたが，途中から分速 80ｍの速さで歩いたため，全部で 24 分かかりました。歩いた 時間は何分でしたか。 答 21 分 （4） 駅まで, 歩くと 32 分, 走ると 20 分, 自転車だと 12 分で行くことができます。自転車に 3 分 のり, 残りの距離を走って駅まで行くときにかかる時間と, 駅まで全部歩いて行くときにかかる 時間の比を求めなさい。 答 9：16 （5）太郎君と花子さんはそれぞれの速さで，Ａ地点を同時に出発してＢ地点まで行き，すぐにＡ地 点まで引き返しました。Ａ地点からＢ地点までの道のりは 10 ㎞です。太郎君は，行きは時速 6 ㎞ で，帰りは時速 4 ㎞で歩き，花子さんは常に一定の速さで歩いたところ，2 人は同時にＡ地点にも どりました。花子さんは，時速何㎞で歩きましたか。 答 4.8 ㎞ （6） 兄が 2 歩であるく距離を弟は 3 歩であるきます。また，兄が 6 歩あるく間に弟は 7 歩あるきま す。このとき，次の問いに答えなさい。 ① 兄と弟の歩幅の比を求めなさい。答 3：2 ② 兄と弟の速さの比を求めなさい。答 9：7 4 2 右のグラフは山田君が自転車に乗り，8 時にＡ地点 を出発し，Ｂ地点を通ってＣ地点との間を往復したようす を表したものです。行きと帰りの速さの比は 4：3 であり， Ｃ地点では 5 分間休憩しました。次の問いに答えなさい。 Ｃ Ｂ ⑴ Ａ地点に帰ってきた時刻は何時何分ですか。 答 9 時 50 分 Ａ ⑵ Ｃ地点に着いた時刻は何時何分ですか。 8：00 8：30 9：10 答 8 時 45 分 ⑶ 9 時 30 分に通過した地点はＡ地点から 3 ㎞の地点でした。ＡＣ間の距離は何㎞ですか。 答9 ㎞ 3 のぶおくんは，8 時 5 分に家を出て毎分 60ｍの速さで歩くと，学校の始業時刻に 3 分おくれ ます。7 時 50 分に家を出て，毎分 75ｍの速さで歩くと，始業時刻の 20 分前に学校に着きます。 このとき，次の問いに答えなさい。答 5 分前 (1) 8 時 5 分に家を出て，毎分 75ｍの速さで歩いたら，始業時間の何分前に学校に着きますか。 (2) 学校の始業時刻は何時何分ですか。答 8 時 42 分 (3) 毎分 120ｍの速さの自転車で，始業時刻の 5 分前に学校に着くには何時何分に出発すればよいで すか。答 8 時 17 分 4 やすおくんは，いつも 7 時に家を出て，歩いて学校まで通っています｡今日はいつもより 10 分 おくれて家を出たので，学校までの道のりの半分をいつもの 4 倍の速さで走り，残りをいつもの 速さで歩いたため，いつもより 5 分早く着きました。このとき，次の問いに答えなさい。 (1) 今日といつもとで，学校までにかかる時間の比を求めなさい。答 5：8 (2) やすおくんは，いつもは学校まで何分かかっていますか。 答 40 分 5 やすこさんは 8 時 30 分にＡ町を出発し、自転車でＢ町に向かいました。9 時に着く速さで走っ ていましたが、帽子を途中で落としてきたことに気がついたので、8 時 52 分に引き返しました。 最初の 0.7 倍の速さで帽子を探しながら走り，6 分後に見つけて、すぐに最初の 1.2 倍の速さで Ｂ町に向かいました。何時何分何秒にＢ町に着きましたか。 答 9 時 8 分 10 秒 5 発展問題 1 のぶおくんは家から学校まで行くのに毎日バスを使います。学校の手前のＡ停留所でバスを降 りて学校まで歩いても, 学校の先のＢ停留所でバスを降りて学校まで歩いても同じ時間かかりま す。Ａ停留所とＢ停留所は 1.2 ㎞離れています。のぶお君の歩く速さは時速 3.6 ㎞, バスの時速 は 36 ㎞です。Ａ停留所から学校までは何ｍありますか。 答 540m 2 Ａ地から峠をこえてＢ地まで行くと 4 時間かかります。Ｂ地から峠をこえてＡ地まで行くと 5 時間かかります。ひでおくんの上りの速さは毎時 4 ㎞，下りは毎時 6 ㎞として，次の問いに答え なさい。 （1） Ａ地から峠までと峠からＢ地まででは，道のりに何㎞の違いがありますか。答 12 ㎞ （2）Ａ地からＢ地までは何㎞ありますか。答 21.6 ㎞ 3 Ａ町からＢ町へ行くのに，平らな道が 2 ㎞，上り道が 1.2 ㎞，下り道が 2.2 ㎞あります。ある とき平らな道をきまった速さて行き，上りをその 6 割の速さて行ったところ，Ａ町からＢ町まて 1 時間 8 分かかりました。もし下りの速さをこのときの速さの 0.8 倍にすれば 1 時間 13 分かか るそうです。下りの速さは上りの速さの何倍でしたか。 答 2.2 倍 4 点Ｐと点Ｑが同時に点Ａを出発し，ＡとＢの間を往復します。点Ｐと点ＱはＡとＢの間を休まず に動き，はしの点で速さを変えます。点Ｐは，はじめ秒速１㎝，次に秒速 2 ㎝，次に秒速 4cm， ………というようにはしの点につくごとに速さを 2 倍にします。点Ｑは，ＡＢ間を 3 秒で行き， 5 秒で帰り，7 秒で行き，9 秒で帰る………というようにはしの点につくごとにかかる時間が 2 秒ずつ多くなるように速さを変えます。このとき，⑴⑵の問いに答えなさい｡ （注意）ＡＢ間の距離は⑴⑵では異なるものとします。 ⑴ 点Ｐが 1 回目の行きに 32 秒かかったとすると，3 回目の行きには何秒かかりますか。答 2 秒 ⑵ 点Ｑの 3 回目の帰りの速さが秒速 6 ㎝だとすると，1 回目の行きの速さは秒速何㎝ですか。 答 26 ㎝ 6
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