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円すいの切断面、だ円・放物線・双曲線となることの証明

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円すいの切断面、だ円・放物線・双曲線となることの証明
直円すいを平面で切断したときの切り口は 円すいの中心線と側線のなす角をa、
平面と中心線のなす角をbとすると
i)a < b のとき、だ円 α
β
ii)a = b のとき、放物線 iii)a > b のとき、双曲線 となる。
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切断面の観察
α<βのとき
α=βのとき
α>βのとき
これらの円すいと切断面の交差線が、だ円・放物線・双曲線であることを証明します。
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証明で利用する性質
①「空間の 1 点Aから球へ接線を引いたとき
点Aから接点までの距離は接点の位置に
かかわりなく同じである」
②二次曲線の幾何的性質
Pを曲線上の任意の点、F,F’を焦点とすると
「だ円: PF+PF’が一定値」
「双曲線: PF-PF’が一定値」
「放物線: PF=PH(PHは準線への距離)
」
①を利用して②を証明します。
Type-XH 3050527
1. α<βのとき、だ円であることの証明
円すいに内接し、切断面に接する2つの球C,C’を考えて、切断面と球の接点を
それぞれF,F’とする。切断面と円すいの交差線上の任意の点をPとする。
「PF+PF’=(一定) 」を証明したら、交差線はだ円であるといえる。
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1)切断面と円すいに接する2つの球
C,C’を描く。球と切断面との交点を
2)線分PFおよびPF’を引く(図2)
それぞれF,F’とする。
(図1)
図1
図2
3)円すいの頂点と点Pを通る直線が球C,球C’に接する接点をそれぞれA,Bとする。
PFおよびPAは点Pから球Cへの接点までの距離であるから、PF=PA
同様に PF’とPBは球C’への接点の距離であるから PF’=PB (図3、図4)
よってPF+PF’=AP+PB=AB(一定)となり、点Pの描く曲線はだ円である。
図3
図4
Type-XH 3050527
2. α=βのとき、放物線となることの証明
1)円すいに内接し切断面に接する球を考え、切断面との
交点をFとする。交差線上の任意の位置に点Pをとり
Pから球へ円すいの頂点を通るような接線PAを引く。
PAもPFも球への接線であるから、
PA=PF…①
2)球と円すいが接してできる図形(円)を通る平面を
πとし、πと切断面の交差直線Lへ点Pから
垂線PBを引く。また点Pから平面πへ垂線PHを引く。
α=βであるから∠APH=∠BPH これらから
△PAH≡△PBH よって PA=PB…②
3)①②からPF=PB が成り立つので
点Pは切断面上においてFを焦点、
直線Lを準線とする放物線上の点である。
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3. α>βのとき、双曲線となることの証明
1)上方の円すいに内接しかつ切断面に接する球C1を考え、
切断面との接点をFとする。また下方の円すいに内接し
切断面に接する球C2を考えて接点をF’とする。
交差線上の任意の位置に点Pをとる。
2)円すいの頂点OとPを結ぶ直線を引く。この直線は
2つの球に接しており接点をA、Bとする。
PAもPFも球C1への接線であるから、
PA=PF…①
また同様にPBもPF’も球C2への接線であるから
PB=PF’…②
3)①②から|PF’-PF|=|PB-PA|=AB(一定)
ゆえに点Pは切断面上において
F、F’を焦点とする双曲線上の点である
Type-XH 3050527
4.参考 円柱の平面による切断面はだ円となることの証明
図のように切断面に接し円柱に内接する2つの球を
考え、球と切断面の接点をF,F’とする。
切り口の曲線上の任意の点をPとすると
PF+PF’=PA+PB=AB(一定)
となる。点Pの描く曲線はだ円である。
以上
Type-XH 3050527
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