金融工学への誘い（４）１．分散投資過去 3 回で金融工学の最も中心的な課題であるオプション価格の理論について述べましたが、今回は金融工学のもう一つの中心課題であるポートフォリオ理論について解説しましょう。個人も企業もいろいろな種類の資産を組み合わせて所有し運用しています。この資産の組み合わせのことをポートフォリオといいます。全ての資金を一つの資産に投資することは危険です。もしその資産価格の変動が激しいときは、価格が上昇すれば大きな利得が得られますが、下落すれば損失も大きくなります。価格変動が激しい資産はリスクが大きいといいます。通常、リスクの大きさは変動の尺度である標準偏差で表します。リスクを避けるために、資金を複数の資産に分散して投資しておくこが賢明です。このことは、比喩的に「全ての卵を一つの籠に入れておくな」と表現されます。つまり一つの籠に全ての卵を入れておくと、籠を落としたときに、全ての卵が割れてしまうリスクがありますが、卵を分けて籠に入れておけばこのようなリスクを回避することが出来るからです。他方、資産運用に当たっては収益、すなわちリターンも当然考慮しなければなりません。誰しも、出来ることならリターンは大きく、リスクは小さくしたいと考えるでしょう。リターンとリスクを勘案しながら、どのように資産を分散させれば良いかということを教えてくれるのが、ポートフォリオの理論です。分散投資をすることの利点を次のような簡単な例を使って説明しましょう。例１資産１と資産２の期待収益率と分散は次の表に与えられたとしましょう。表１期待収益率標準偏差資産１資産２ μ1 =2% σ 1 =1% μ 2 =6% σ 2 =3% さらに資産 1 と資産 2 の価格の間の関連の度合いを表す相関係数を ρ12 とします．このとき資産 1 と資産 2 へ分散投資してポートフォリオを構成したとします。このポートフォリオを資産 3 とします。そして資産 1 への投資比率を X 、資産 2 へは投資比率を 1 − X とし、X は０と 1 の間の数とします。このとき資産 3 は資産 3＝資産 1× X ＋資産 2× (1 − X ) と表されます。そして資産 3 の期待収益率（リターン）とリスクは次の式で表されることが知られています。（１）資産 3 のリターン＝ Xμ1 + (1 − X ) μ 2 （２）資産 3 のリスク＝ Xσ 12 + (1 − X ) 2 σ 22 + 2 X (1 − X )σ 1σ 2 ρ12 この二つの式に、上に与えられた数値といろいろなＸの値をいれてリスクとリターンを計算してみると次の表のような結果が得られえます。この表で X = 1 は，資金を全て資産１に投資することを， X = 0 は全ての資金を資産２の投資することを表しています．この表に示された結果から二つの資産を組み合わせると，個別に資産を運用するよりリスクを減少させることが出来ることがわかります．しかしこの結果は、どのように二つの資産を組み合わせても，二つの資産の高い方のリターンを上回ることはできないことも示しています．表 2 ポートフォリオのリスクとリターン X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 リターン 0.06 0.056 0.052 0.048 0.044 0.04 0.036 0.032 0.028 0.024 0.02 リスク 0.03 0.0261 0.0222 0.0187 0.0156 0.0132 0.012 0.0123 0.014 0.0167 0.02 次のグラフ１は表 2 のリスクを横軸に，リターンを縦軸にとってグラフに表したものです．この曲線を有効フロンティア曲線といいます．この曲線は，たとえば 0.04(あるいは 4%)のリターンを上げるポートフォリオを構成したいとしましょう．そのようなリターンをもたらす組み合わせは多数あるのですが，その中からリスクを最小にする組み合わせ見つけるためには，リターンを表す縦軸の 0.04 のところを右に辿っていってこの曲線とぶつかる点を見つければ，その点の横座標の値が最小のリスクを示しています.この場合，最小リスクは 0.132 です．そしてそのようなリスクとリターンをもたらすポートフォリオは資産 1 と資産２に 50％ずつ投資すればいいことを表しています．逆にリスクを 0.132 に止めたいとき，最大のリターンを求めたい場合は，リスクを表す横軸の 0.132 の所から真上にたどって行ってこの曲線と交わる点を見つけます．その点は 0.04 です．すなわちリスクが 0.132 のとき，得られるリターン中で最大のリターンは 0.04 であることを意味しています．このようにこの曲線は，一定のリターンに対する最小のリスクと一定のリスクに対する最大のリターンを表しています．このような意味をもつので，この曲線は有効フロンティア曲線と呼ばれるのです．このグラフからポートフォリオを組成する際，高いリターンを求めればリスクも高くなり，リスクを下げようとすればリターンも低くなることが分かります．いわゆるハイリスクーハイリターン，ローリスクーローリターンという現象が現れています．グラフ１有効フロンティア 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 ２．最適ポートフォリオここで当然，投資家にとっては曲線上のどの点が最適なのか，という疑問が生じます．しかしこれに対す万人向けの回答はありません．どのような比率で投資するかは，投資家の好みの問題でもあります．少々危険を冒してでも,大きく儲けたいという投資家もいるでしょうし，儲けは小さくてもいいから危険を冒したくないと言う投資家もいるでしょう．前者のタイプをファイナンス理論では「リスク愛好型」，後者のタイプを「リスク回避型」と呼びます.そのどちらでもない場合を「中立型」といいます．この 3 つのタイプの投資家のリスクとリターンに対する態度は，すぐ下に述べる無差別曲線の考え方によって，次のように分類されます．（１）リスク回避型（右上がりの無差別曲線）リスクが増えれば，それを補って余りあるリターンを求めるタイプ．（２）リスク愛好型（右下がりの無差別曲線）リターンが減少しても（大儲けに賭けて）リスクの増大を厭わないタイプ．（３）中立型（水平な無差別曲線）リターンが同じであればリスクは問わない．これらの 3 つのタイプを図示したものが無差別曲線と呼ばれるグラフ２です．グラフ２のリスク回避型の無差別曲線を例にとって説明しましょう．横軸はリスク,縦軸はリターンを表します．この曲線上の点はリスクとリターンの組み合わせを表しています．そしてこの曲線上ではどの点を取っても，投資家にとっては選好が同じ（無差別）になるような曲線です．たとえばグラフ２（a）のＡ点とＢ点を比較すると，Ｂ点はＡ点よりリスクが大きくなっていますがリターンも大きくなっています．リスクを嫌う投資家にとっては，リスクが増大は，それを補って余りあるリターンの増加が無ければ受け入れることはできません．Ｂ点はＡ点よりリスクは大きいのですが，リターンも大きくなっているので，リスク回避型のこの投資家にとってはＡ点もＢ点も好み（選好）に関しては変わりありません（無差別です）．このような意味で無差別な点を繋いだグラフを無差別曲線といいます．グラフ２の（b），（c）の解釈も同様です．また無差別曲線は上方にあるほど効用（満足度）が高くなります．グラフ２(a) グラフ２(b) 0.08 グラフ２（c) 0.06 0.04 5 0.075 0 .0 4 0.07 0 .0 55 B 0.065 0.03 5 0.05 0.06 0 .0 3 0.02 5 0.055 0 .0 45 0 .0 2 0.05 A 0.045 0.04 0.04 0.01 5 0 .0 1 0 .0 35 0.00 5 0.035 0.03 0.03 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0 0 0 .0 1 0 .0 2 0.03 0 .0 4 0 0.01 0 .0 2 0.03 0.04 グラフ３は，3 つのリスク回避型無差別曲線 1,2,3 と有効フロンティア曲線を同じ図に重ねて描いたものです．先ほど，有効フロンティア曲線上のどの点が最適投資になるかという先の疑問に対しては，投資家の好みによるといいました．そこで投資家の好みと有効フロンティアとの関係を見るために，グラフ３に無差別曲線と有効フロンティア曲線を同じグラフ上に描いてみました．もう一度確認すると，投資家にとって有効フロンティア曲線上の点の中から最適な投資の組み合わせ，すなわちポートフォリオを選ばなければなりません（曲線に乗らない点は，最小リスクと最大リターンという観点から有効ではありません）．また投資家は満足度（効用）を最大にするようなポートフォリオを選択します．この二つの要求を満たすようなポートフォリオは，無差別曲線２と有効フロンティアが接する点以外ではありえません．なぜならば無差別曲線３と有効フロンティア曲線との交点は，満足度では接点Ａに劣ります．また無差別曲線１の上にある点は有効フロンティアから外れているので有効ではありません．グラフ３最適ポートフォリオの決定 0.08 1 0.07 2 3 0.06 A 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 以上では，危険資産のみからポートフォリオを構成する場合を説明しました．当然，安全資産をポートフォリオに組み入れることもありますが，その場合についてはここでは省略します．また、無差別曲線をどのようにして求めるかについての説明も省略します。３トピックス・コア 30 銘柄による最適ポートフォリオ次の例は，2004 年１月の日次株価データ（終値）を用いて，東証 1 部上場の代表的な 30 銘柄（トピックス・コア 30 銘柄、２００５年５月時点）を用いて日経２２５インデックスと同等の収益率をもたらすポートフォリオを実際に月毎に構成しいてみましょう．この月の日経 225 の平均収益率は 0.052，リスク（標準偏差）は 0.996 でした．二つの資産から構成されるポートフォリオのリスクは，上に示した資産３のリスクを表す式）で表されます．一般に n 個の銘柄で構成されるポートフォリオのリスクは以下の式で表されます． n （３）ポートフォリオのリスク＝ n ∑∑ x x σ i =1 j =1 i j ij ここで xi は第 i 銘柄のポートフォリオに占める比率， σ ij は第 i 銘柄と第 j 銘柄の共分散です．いまトピックス・コア 30 銘柄でポートフォリオを構成しようとしていますから n＝３０です．また σ ij はこの 1 ヶ月の 30 銘柄の収益率のデータから計算されます．日経 225 の平均収益率 0.052 をもたらす 30 銘柄の組み合わせは多数ありえます．その中でリスクが最小になる組み合わせ（構成比）が，最適なポートフォリオです．そのようなポートフォリオは（3）式を、与えられた収益率に対して，2 次計画法という数学的な手法によって最小化することによって求められます．この手法によって得られたポートフォリオに占める 30 銘柄の比率は以下のようになりました．表３トピックス・コア 30 銘柄から構成されたポートフォリオの例証券コード 4063 4502 4689 4901 5108 6501 6752 6753 6758 6902 信越化武田薬ヤフー富士写ブリヂ日立製松下電シャーソニーデンソ学工業品工業真フイストン作所器産業プールムウェイト 0.022 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.036 0.000 0.000 証券コード 6971 7201 7203 7267 7751 7974 8058 8183 8264 8306 京セラ日産自トヨタ本田技キヤノ任天堂三菱商セブンイトー三菱東動車自動車研工業ン事－イレヨーカ京フィブン・堂ナンシジャパャル・ングループウェイト 0.000 0.000 0.000 0.000 0.108 0.016 0.000 0.000 0.000 0.000 証券コード 8307 8316 8411 8604 8766 9020 9432 9433 9437 9501 ＵＦＪホ三井住三井住野村ホミレア東日本日本電ＫＤＤＩエヌ・東京電ールデ友フィ友フィールデホール旅客鉄信電話ティ・テ力ィングナンシナンシィングディン道スャルグャルグスグスループループウェイトィ・ドコモ 0.000 0.000 0.040 0.139 0.000 0.000 0.068 0.248 0.000 0.324 グラフ４は，2004 年 4 月のデータを用いていろいろな収益率を縦軸に，それぞれに対応する最適ポートフォリオのリスクを横軸に取ってグラフに表したものです．グラフ４ 2004年4月の有効フロンティア 0.8 0.6 期待収益率 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 標準偏差そしてこのポートフォリオのリスクは 0.449 でした．すなわちこのポートフォリオは日経 225 と同じ収益をもたらしながら，リスクはそれより小さいのです．同様に 2004 年の 2 月から 12 月まで月別に日経 225 と同じ収益率をもたらす（リスク最小の）最適ポートフォリオを求め，それらのリスクを計算しました．グラフ５は，その結果をグラフにしたものです．横軸は月，縦軸は日経 225 と最適ポートフォリオのリスクを表しています．表４ポートフォリオのリスクと日経平均株価のリスクの比較 2004 年日経平均株価日経平均株価のリポートフォリオのの期待収益率スクリスク 1月 0.052 0.996 0.449 2月 0.125 1.113 0.453 3月 0.257 1.012 0.556 4月 0.019 1.117 0.347 5月 -0.254 2.065 1.004 6月 0.245 1.194 0.494 7月 -0.219 1.183 0.601 8月 -0.099 0.892 0.375 9月 -0.118 0.840 0.411 10 月 -0.024 1.150 0.535 11 月 0.059 1.020 0.675 12 月 0.251 0.883 0.599 グラフ４ポートフォリオと日経平均のリスク 2.500 2.000 1.500 1.000 0.500 0.000 2003年11月 2004年1月 2004年3月 2004年4月 2004年6月 2004年8月 2004年9月 2004年11月 2004年12月ポートフォリオのリスク日経平均株価のリスクこのグラフから全ての月に関してポートフォリオのリスクは日経 225 のリスクよる常に小さくなっています．以上の説明はトピックス･コア３０銘柄を使ったポートフォリオの単純な一例に過ぎませんが、実際に金融機関が巨額な資金を投じてポートフォリオを組む場合は、一銘柄あたりの投資比率の上限を設けるなど、もう少しいろいろな条件を追加して最適化を図ります。また、ここでは与えれた３０銘柄を使ってポートフォリオを最適ポートフォリオを構成しましたが、取り入れるべき銘柄の選択に関しても様々な手法があります。おわりに次回は証券価格変動モデルとしてよく知られている GARCH モデルを応用して、為替変動の分析結果を紹介します。広島大学副学長(財務担当) 前川功一