2014 年 RSS/JSS 試験（Higher Certificate） HIGHER CERTIFICATE IN STATISTICS, 2014 モジュール 7：時系列と指数制限時間： 90 分 4 問中 3 問を選択の上解答のこと．各問は合計 20 点である．小問の配点は括弧の中に記されている．グラフ用紙と統計数値表は配布する．解答にあたっては電卓を使用してよい．ただし，一般財団法人統計質保証推進協会による「受験要領」に記された範囲で使用すること．数学記号 log は e を底とする自然対数を表す．その他の底をもつ対数は，例えば log10 のように底を明示する．また， n は n C r と同じ意味とする. r 1 HC モジュール 7 問題用紙は 8 頁からなり，それぞれの頁は片面にのみ印刷されている．この表紙が 1 頁目である．第 1 問は 2 頁目から始まる．問題は全部で 4 問である． © JSS 2014 2014 年 1. (i) よく用いられる時系列データの分解式に現れる 3 つの主な成分を述べなさい．各成分が何を表しているかも説明しなさい． (6) (ii) 時系列を以下の分解によって表現した場合の式を答えなさい． (a) 加法的分解 (b) 乗法的分解 (2) (iii) 以下のグラフは月次の時系列データを表すものである．あなたはこの時系列が加法的分解あるいは乗法的分解のどちらで表現するのが良いのかをその理由もあわせて答えなさい．また，乗法的分解が不可能な状況を記述して，その理由も説明しなさい． (3) (iv) イギリスの時系列における‘イースター効果’はイースターの日曜日が移動する性質と関係がある（イースターの日曜日は 3 月 22 日から 4 月 25 日の間にある．一般には，少なくとも隔年で 3 月と 4 月の間を移動する）．それゆえ，‘イースター効果’は，イースターの日曜日の 2 日前および 1 日後に予定されている公共の祝日とも関係がある．月次あるいは四半期の時系列データの分析において，クリスマスのように固定された祝日よりも，イースターのほうが複雑さをもたらしがちである理由を説明しなさい． (3) 問題は次のページにつづく 2 (v) 時系列データに回帰分析を行った際に，イースター効果に対するパラメータ推定値が –29.3017 で，その標準誤差が 5.362 64 となった．イースター効果に対する調整は行うべきかどうかを論じなさい． (2) (vi) 以下の表は同じ時系列の 3 月および 4 月の 2 種類の季節調整値 Y1 と Y2 を示している．この系列は公的な祝日を含む月のほうが含まない月よりもより小さい値をとりがちであることを示している．Y1 はイースター効果の調整がなされており，Y2 はイースター効果の調整がなされていない系列である．どの年においてイースターが早く，どの年においてイースターが遅いのかを，理由を付けて推測しなさい． (4) 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Y1 305.72 310.95 349.24 393.64 449.70 492.95 385.98 472.08 478.48 563.40 581.56 595.13 586.63 666.98 3月 Y2 307.94 303.48 312.81 396.02 427.14 494.45 387.61 436.35 486.36 576.36 559.90 616.26 605.12 650.94 Y1 – Y2 –2.22 7.48 36.43 –2.38 22.55 –1.50 –1.64 35.73 –7.88 –12.96 21.66 –21.13 –18.49 16.04 3 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Y1 293.83 321.45 366.88 421.60 404.73 404.82 402.69 475.11 554.65 559.11 567.81 560.29 606.32 684.59 4月 Y2 292.66 328.64 402.43 416.78 422.06 391.94 385.41 492.47 529.49 531.58 582.87 540.09 594.65 709.39 Y1 – Y2 1.17 –7.18 –35.54 4.82 –17.34 12.88 17.28 –17.35 25.16 27.53 –15.07 20.19 11.68 –24.79 2. 以下のデータは 3 年間のある機種の携帯電話の店頭売り上げを示したものである．この機種を販売し続けるかどうかを決定するために，店の経営者たちはこの時系列の背後にある動きを把握する必要がある．彼らを助けるために，あなたは適切な平滑化の方法を選ぶ必要がある． 2010 2010 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2012 2012 2012 2012 第 1 四半期第 2 四半期第 3 四半期第 4 四半期第 1 四半期第 2 四半期第 3 四半期第 4 四半期第 1 四半期第 2 四半期第 3 四半期第 4 四半期 13 15 18 19 21 22 23 25 23 19 15 12 (i) 2 4 移動平均は 4 時点の単純移動平均に対する 2 つの単純移動平均によって定義される．こうして定義される移動平均のウェイトを計算し，その移動平均を上記の表の時系列に適用しなさい．正確な解答を与えなさい． (7) (ii) 単純指数平滑法で用いられる方程式を書きなさい．この式は t 時点の一期先予測，t – 1 時点の一期先予測，および t 時点の時系列の値を関係付けるものである．この方程式における平滑化パラメータを 0.5 として，この方法を上記の表の時系列に適用しなさい．なお，小数点以下第 3 位まで解答しなさい． (7) (iii) 単純指数平滑法で生成される 1 期先予測の系列は系列のトレンドの推定値として用いることができる．上記の表の時系列に対して，(ii)でトレンドを推定するために利用されている指数平滑法を用いることと，(i)での移動平均法を用いることとを比較して利点と欠点を述べなさい． (4) (iv) (ii) における平滑パラメータを 0.5 と選択することが適切であるかどうかについて議論しなさい． (2) 4 3. ある国が単一の携帯電話通信ネットワークを持っているとする．以下の表は国内利用者およびローミング利用者（ネットワークを利用する外国人滞在者）の売上げ単位のデータを示している（売上げ単位とは 1 つのテキストメッセージあるいは 1 分間の電話通話のことである）．このデータを用いて以下の問いに答えなさい． (i) 2011 年を基準時点として 2012 年のラスパイレス価格指数，パーシェ価格指数，フィッシャー価格指数を小数点第 2 位まで計算しなさい． (10) (ii) これらの価格指数について驚くべきことが生じているように見えるが，そのことを述べて，そのありうる説明を与えなさい． (2) (iii) 以上で計算された指数を所与として，2011 年を基準時点とした時の 2012 年のラスパイレス数量指数，パーシェ数量指数，フィッシャー数量指数を計算するための最も単純な方法を述べなさい． (3) (iv) 上記で解答した方法を用いて，2011 年を基準時点とした時の 2012 年のラスパイレス数量指数，パーシェ数量指数，フィッシャー数量指数を計算しなさい． (5) 商品内容国内利用者ローミング 2011 年の売上 2011 年の売上 2012 年の売上 2012 年の売上げ単位数（100 げ高（100 万げ単位数（100 げ高（100 万万）ポンド）万）ポンド） 100.6 10.00 120.0 11.04 1.0 1.00 1.9 1.87 5 4. (i) 現在時点 0 で基準時点 1 のラスパイレス価格指数は，現在時点が 1 で基準時点が 0 のパーシェ価格指数の逆数となることを証明しなさい． (3) (ii) 現在時点 0 で基準時点 1 のパーシェ価格指数は，現在時点が 1 で基準時点が 0 のラスパイレス価格指数の逆数となることを証明しなさい． (3) (iii) (i) と (ii) の結果を用いて，現在時点 0 で基準時点 1 のフィッシャー価格指数が，現在時点 1 で基準時点 0 のフィッシャー価格指数の逆数となることを証明しなさい． (4) (iv) トゥルンクヴィスト価格指数に対する式を (0,1) = ∏ ( ) とする．ただし， 0 は基準時点であり, 1 は現在時点である．また, p は価格を表し， w は支出の割合， i は個別の項目を表すとする．現在時点を 0，基準時点を 1 とするトゥルンクヴィスト価格指数は，現在時点を 1，基準時点を 0 とするトゥルンクヴィスト価格指数の逆数となることを証明しなさい． (6) (v) 価格と数量によるラスパイレス価格指数とパーシェ価格指数の２つの式を，相対価格と支出額を用いてどのように表現するかを示しなさい． (4) 6 BLANK PAGE 7 BLANK PAGE 8