数学Ｇアップシ－ト ３年第６章 三平方の定理(２) －三平方の定理を証明できるようになろう－ p.150,151 学習日 月 日 年 組 番 氏名 １ ３年６章 Ｎｏ．２ 空らんをうめて，三平方の定理を確認しなさい。(p.151) ○三平方の定理 定理 Ａ 直角三角形の の長さをａ，ｂ， ｃ ｂ の長さをｃとすると，次の関係が成り立つ。 Ｂ ２ 次の図のように，正方形ＤＢＡＥの外 側に△ＡＢＣと合同な直角三角形を３つ かき加えると，１辺の長さがａ＋ｂの 正方形ＦＧＣＨができます。このとき， ａ２＋ｂ２＝ｃ２となることを空らんを うめ証明しなさい。 (p.150) ａ Ｆ ｂ Ｅ ｂ Ａ ｃ ａ ｂ Ｂ ｂ ａ Ｃ １辺がｃの正方形ＤＢＡＥの面積は， (正方形ＦＧＣＨの面積) －(△ であるから ｃ ２＝ ＝ Ｃ ３ ∠Ｈ＝90°の直角三角形ＡＨＤと合同 な直角三角形を，次の図のように並べま す。このとき，ａ２＋ｂ２＝ｃ２が成り立 つことを証明しなさい。 (p.150) Ｄ ｃ Ａ Ｅ ａ ｂ Ｈ ａ Ｄ Ｇ Ｈ ａ ( ( ＝ すなわち ａ２＋ｂ２＝ の面積)× ２ ) １ － ×ａｂ× ２ )－２ Ｆ Ｂ Ｇ Ｃ ３年６章 １ Ｎｏ．２ ＜解答・解説＞ ○三平方の定理 定理 Ａ 直角三角形の 直角をはさむ２辺 の長さをａ，ｂ， 斜辺 の長さをｃとすると，次の関係が成り立つ。 ａ２＋ｂ２＝ｃ２ ２ ａ ｂ Ｅ ｂ Ｄ Ｇ ｂ Ｂ ｂ Ｅ ａ Ｈ ａ Ｆ Ｇ Ｃ ｂ ａ Ｂ Ｃ １辺がｃの正方形ＤＢＡＥの面積は， (正方形ＦＧＣＨの面積) －(△ ＡＢＣ の面積)× ４ であるから ２ １ ｃ２＝ ａ＋ｂ －２×ａｂ× ４ ＝ ａ２＋２ａｂ＋ｂ２ －２ ａｂ ＝ ａ２＋ｂ２ すなわち ａ２＋ｂ２＝ ｃ２ ( ( Ｃ ａ－ｂ Ａ ｃ ａ ｃ Ｈ ａ ｂ Ｄ Ａ ａ Ｂ ３ ａ＋ｂ Ｆ ｃ ) ) １辺がｃの正方形ＡＢＣＤの面積は (正方形ＥＦＧＨの面積) ＋(△ＡＨＤの面積)×４ であるから ２ ｃ２＝( ａ－ｂ ) ＋ １ ×ａｂ× ４ ２ ＝(ａ２－２ａｂ＋ｂ２)＋２ａｂ ＝ａ２＋ｂ２ すなわち ａ２＋ｂ２＝ｃ２ チャレンジ問題 次の図のように，∠Ｃ＝90°である直角三角形ＡＢＣにおいて，頂点Ｃから辺ＡＢへひいた 垂線をＣＨとし，３辺をそれぞれａ，ｂ，ｃとし，ＡＨ＝ｘ，ＢＨ＝ｙとする。 このとき，△ＡＨＣ∽△ＡＣＢと△ＣＢＨ∽△ＡＢＣを用いてａ２＋ｂ２＝ｃ２となることを 証明しなさい。 Ｃ ｂ Ａ ｘ ａ ｃ Ｈ ｙ Ｂ チャレンジ問題の解答 △ＡＨＣ∽△ＡＣＢより ｘ：ｂ＝ｂ：ｃ ｂ２＝ｃｘ…① △ＣＢＨ∽△ＡＢＣより ｙ：ａ＝ａ：ｃ ａ２＝ｃｙ…② ①＋②をすると ａ２＋ｂ２＝ｃｘ＋ｃｙ ＝ｃ(ｘ＋ｙ) ｘ＋ｙ＝ｃであるから ａ２＋ｂ２＝ｃ２
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