Vieta の無限積公式

Vieta の無限積公式
akio arimoto
March 6, 2014
1. Vieta 無限積の公式
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
+
+
+
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
π
は 15９3 年フランスの法律家
ビエタ）により発見された。
フランソワ
2. 倍角の公式
sin 2θ = 2sin θ cos θ より
x
x
sin x = 2 cos sin
2
2
x
x
x
= 2 cos sin
2
4
4
となるがこれを組み合わせて
x
x
x
sin x = 4 cos cos sin
2
4
4
これを繰り返し行えば
x
x
x
x
x
sin x = 2n cos cos cos  cos n sin n
2
4
8
2
2
あるいは、
sin x
x
x
x
x
= cos cos cos  cos n
x
2
4
8
2
2n sin n
2
という式が得られる。
lim
sin θ
= 1 より lim 2n sin
θ
したがって、
θ →0
n →0
Viète（ラテン語読みで
1
と平方根だけから π が出現するという不思議
2
がある。
sin
ヴィエト
x
=x
2n
sin x
x
x
x
x
= lim cos cos cos  cos n
n
→∞
2
4
8
2
x
（２．１）
が得られる。（２．1）において、 x =
（２．２）
2
π
= lim cos
n →∞
π
2
2
cos
π
2
3
 cos
π
2
とすると、
π
2n
を得る。
３．漸化式
半角の公式（と言っても cos の倍角の公式から出てくる）
θ
1 1
+ cos θ , 0 < θ < π
2 2
cos=
2
( 0 < θ < π であるから左辺が正となり平方根の符号はプラス) において、θ =
とすると
π
1 1
π
cos n=
+ cos n , n = 1, 2,3,
+1
2
2 2
2
π
となる。 bn = cos n とおくと（３．１）は
2
（３．１）
1 1
+ bn
2 2
と書きなおせる。すなわち
（３．２） bn=
+1
=
b3
1 1
1 1
1 1 1 1
+ b2 b4 = + b3 = +
+ b2 , b5 =
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
+ b4 =
2 2

となる。（２．２）は bn = cos
（３．３）
であり、 b2 =
2
π
π
2n
を用いると、
= lim b2b3  bn
n →∞
1
であることを考えると Vieta の公式
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
+
+
+
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
π
1
1 1
+
+ b2
2
2 2
π
2n
は（３．３）そのものである。
４．一般化
（２．１）をもう一度書くと
（４．１）
sin x
x
x
x
x
= lim cos cos cos  cos n
n
→∞
x
2
4
8
2
であった。
x
そして半角公式 cos=
2
1 1
+ cos x の繰り返し利用により
2 2
cos
x
1 1
x
1 1 1 1
= + cos = +
+ cos x
2
2
2 2
2
2 2 2 2
cos
x
1 1 1 1 1 1
= +
+
+ cos x
3
2
2 2 2 2 2 2

などとなる。したがって（４．１）は
（４．２）
sin x
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
= + cos x
+
+ cos x
+
+
+ cos x 
x
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
となる。（４．２）の両辺に x =
2
π
=
2
を代入すると、これは Vieta の公式
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
+
+

2 2 2 2 2 2 2 2 2
となる。（４．２）の両辺に x =
3 3
=
2π
π
π
3
を代入すると
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ ⋅
+
+ ⋅
+
+
+ ⋅ 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
π
が得られる。（４．２）の両辺に
x=
2 2
1 1 1 1 1 1 1
+
+
+

2 2 2 2 2 2 2
π
1 1 1 1 1 1 1 1
= +
+
+
2 2 2 2 2 2 2 2
4
を代入すると
を得るが、これは Vieta の式と同じものと考えられる。
π
2
< x < π では cos は負の値になるので（４．２）の両辺に x =
2π
を代入する
3
と
3 3
=
4π
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− ⋅
+
− ⋅
+
+
− ⋅ 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
となる。（４．２）の両辺に x =
3π
を代入すると
4
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
= −
+
−
3π
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
+
+
−

2 2 2 2 2 2 2
が導き出される。そして一般には 0 < x < π に対して
（４．３）
sin x
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
= − cos x
+
− cos x
+
+
− cos x 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
π −x
となっている。（４．２）で（４．３）をわれば、 0 < x < π に対して
x
=
π −x
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
− cos x
+
− cos x
+
+
− cos x 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
+ cos x
+
+ cos x
+
+
+ cos x 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
が得られた。

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