基礎微積分学 A テイラー展開 1 テイラー展開 関数 f (x) の（x = 0 での）テイラー展開とは： f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn + · · · ここで係数 an は， an = f (n) (0) n! • n! = 1 × 2 × · · · × (n − 1) × n (階乗). ただし，0! = 1 とする． • f (n) (x) : f (x) を n 回微分したもの． • f (n) (0) : f (n) (x) の x に 0 を代入したもの． 2 ex, cos x, sin x のテイラー展開 x2 x3 x4 xn + + + ··· + + ··· 2! 3! 4! n! x2 x4 x6 cos x = 1 − + − + ··· 2! 4! 6! x3 x5 x7 sin x = x − + − + ··· 3! 5! 7! ex = 1 + x + 3 オイラーの公式の証明 x2 x3 x4 xn + + + ··· + + · · · に x = iθ を代入すると， 2! 3! 4! n! 2 3 4 5 (iθ) (iθ) (iθ) (iθ) (iθ)6 (iθ)7 (iθ)n eiθ = 1 + iθ + + + + + + ···+ +··· 2! 3! 4! 5! 6! 7! n! i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i, · · · より， −θ2 −iθ3 θ4 iθ5 (−θ6 −iθ7 (iθ)n eiθ = 1 + iθ + + + + + + ···+ +··· 2! 3! 4! 5! 6! 7! n! θ2 θ4 θ6 θ3 θ5 θ7 eiθ = (1 − + − + · · · ) + i(θ − + − + · · · ) = cos θ + i sin θ. 2! 4! 6! 3! 5! 7! ex = 1 + x +
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