数学 NAVI テキスト 中学 2 年 第６章 定理と証明 テキストの使用方法 このテキストは「数学ナビ」の学習をすすめるためのテキストです。ですから、 「数学ナビ」 を使用して学習する際に有効的に使用してください。 このテキストには、 「数学ナビ」で出題される全ての問題が掲載されていますので、学習す る場合にこのテキストで問題を解き、コンピュータで解説を受けてください。 中学２年 第６章 定理と証明 学習の手順 ひとつの小単元を選び、「レッスン」で「授業」を受ける 「授業」の中の「例題」はテキストを使って実際に解いてみる レッスン 次に、テキストで同じ小単元の「練習問題」を解いてみる 解いた「練習問題」を『数学ナビ』で答え合わせし、解説を聞く 間違えた問題はさらに解き直しをする 一通りの学習が終わったところで「チェックテスト」を解いてみる チェック テスト 『数学ナビ』で答え合わせをし、テスト結果・解答解説を見る 間違えた問題はさらに解き直しをする まとめの学習 『数学ナビ』で「まとめの学習」をやってみる 入試問題に チャレンジ テキストで「入試のチャレンジ」を解いてみる 『数学ナビ』で答え合わせし、解説を見る 間違えた問題はさらに解き直しをする 2 中学２年 中学２年 第６章 定理と証明 第６章 MAP ８．平行線と面積 ７．いろいろな四角形 ３．正三角形 ４．直角三角形の 合同条件 ２．二等辺三角形 ６．平行四辺形に なるための条件 ５．平行四辺形の性質 １．定義と定理 3 定理と証明 中学２年 第６章 例題 例題１ 次の図形の定義を書きなさい。 （ア）正三角形 例題２ （イ）台形 （ウ）平行四辺形 下の図で同じ印をつけた辺が等しいとき、 ∠ x の大きさを求めなさい。 （ア） 例題３ （イ） ∠ B＝ ∠ C である△ABC は、二等辺三角形である。 このことを証明しなさい。 例題４ 右の図で、 △ABC は AB＝AC の二等辺三角形です。 AB，AC の中点をそれぞれ M，N とし、BN と CM の交点を P とします。このとき、△PBC が二等辺三角形になることを 証明しなさい。 例題５ 次のことがらの逆を書きなさい。 （ア）２つの三角形が合同ならば３辺はそれぞれ等しい （イ）△ABC ≡ △DEF ならば ∠ B＝ ∠ E 例題６ 右の図で、△ABC、△CDE は正三角形です。この とき、△ACD ≡ △BCE であることを証明しなさい。 4 定理と証明 中学２年 例題７ △ABC の頂点 B，C から２辺 AC，AB に垂線をひき、 AC，AB との交点をそれぞれ D，E とします。このとき、BD＝CE ならば△ABC は二等辺三角形となることを証明しなさい。 例題９ 右の図のように、平行四辺形 ABCD の頂点 B，D から対角線 AC にひいた垂線をそれぞれ BH，DK とする とき、BH＝DK となります。このことを証明しなさい。 例題 10 定理と証明 下の図で、AB＝DE、 ∠ C＝ ∠ F＝90°、 ∠ B＝ ∠ E ならば△ABC ≡ △DEF となることを 証明しなさい。 例題８ 第６章 右の図のように、□ABCD と□BEFC があります。 このとき、四角形 AEFD は平行四辺形であることを証明しな さい。 5 中学２年 例題 11 第６章 定理と証明 右の図のように、△ABC の ∠ A の二等分線が辺 BC と交わる点を D とします。D から辺 AC，AB に平行な直 線 DE，DF をひくとき、四角形 AEDF がひし形であること を証明しなさい。 例題 12 AD//BC である台形 ABCD の対角線の交点を O としま す。このとき次の（ア），（イ）を証明しなさい。 （ア）△ABC＝△DBC （イ）△AOB＝△DOC 例題 13 下の図の四角形 ABCD で、辺 BC の延長上に点 E をとり、四角形 ABCD=△ABE となる ように、△ABE を作図しなさい。 6 中学２年 第６章 定理と証明 練習問題 練習１ 次の中から定義をすべて選び、記号で答えなさい。 （ａ）弧の両端を通る２つの半径と、その弧で囲まれた図形はおうぎ形である。 （ｂ）三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しい。 （ｃ）２直線に１つの直線が交わるとき、２直線が平行ならば、錯角は等しい。 （ｄ）１つの角を２等分する半直線は、その角の二等分線である。 練習２ 次の中から、定義をすべて選び、記号で答えなさい。 （ａ）線分の垂直二等分線上の点は、その線分の両端から等しい距離にある。 （ｂ）線分の中点を通り、その線分に垂直な直線は、その線分の垂直二等分線である。 （ｃ）合同な図形では、対応する線分や角は等しい。 （ｄ）２つの図形で、一方を移動することによって他方に重ね合わせることができるとき、この２ つの図形は合同な図形である。 練習３ 次のことがらの逆が、正しいといえるものをすべて選び、記号で答えなさい。 （ａ）平行線の同位角は等しい。 （ｂ）△ABC ≡ △DEF ならば ∠ B＝ ∠ E である。 （ｃ） x ＝ y ならば、 x 2＝ y 2 である。 （ｄ）２ x ＝６ならば、 x ＝３である。 練習４ 次の文は、AB＝AC である二等辺三角形 ABC で、 「頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分 する」ことを証明したものです。 ∠ A の二等分線と BC の交点を D として、 な語句や記号を書きなさい。 〔仮定〕AB＝AC， ∠ BAD＝ ∠ ア 〔結論〕AD ウ イ BC，BD＝ 〔証明〕△ABD と△ エ 仮定より、AB＝ において、 オ ∠ BAD＝ ∠ CAD また、 キ △ABD カ は共通 がそれぞれ等しいから ク △ACD したがって、BD＝ ケ また、 ∠ ADB＝ ∠ コ ， ∠ ADB＋ ∠ ADC＝180°より ∠ ADB＝90° よって、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する。 7 の中に適当 中学２年 練習５ 第６章 定理と証明 右の図の AB=AC の二等辺三角形の辺 AB，AC 上にそれぞれ点 D，E を ∠ BCD＝ ∠ CBE となるようにとります。このとき、CD＝BE となることを次のように証明しました。次の問いに答 えなさい。 （ア） 仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△DBC と△ECB において 仮定より、 ∠ BCD＝ ∠ CBE 二等辺三角形の ア は等しいから ∠ DBC＝ ∠ イ また、 は共通 エ ウ がそれぞれ等しいので △DBC ≡ △ECB よって、CD＝BE 練習６ 右の図で、AB＝AC，BD＝CE ならば、△ABD ≡ △ACE である ことを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。 （ア） 仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ABD と△ACE において 仮定より AB＝ ア BD＝CE 二等辺三角形の ゆえに、 イ ウ は等しいから、 ∠ ABD＝ ∠ ACE がそれぞれ等しいので、 △ABD ≡ △ACE 練習７ 右の図で、AB＝DC，AC＝DB ならば、△EBC は二等辺三角形であることを次のように証 明しました。次の問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ABC と△DCB において 仮定より、AB＝DC AC＝DB また、 イ ア は共通 がそれぞれ等しいので △ABC ≡ △DCB よって、 ∠ ACB＝ ∠ △EBC は エ ウ が等しいから二等辺三角形である。 8 中学２年 練習８ 右の図のように、長方形 ABCD を折り返したとき、重な った部分の△LMN は二等辺三角形であることを次のように証明し ました。 の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△LMN において、 AD//BC だから、 ∠ NML＝ ∠ ア ‥‥‥‥‥‥‥① 折り返した角だから、∠ NLM＝ ∠ ALM‥‥‥‥‥‥‥② 練習９ ①，②から、 ∠ イ △LMN は が等しいから、二等辺三角形である。 ウ ＝ ∠ NLM 右の図で、AB＝AC の二等辺三角形 ABC の底辺 BC 上 に、BD＝CE となるように、点 D，E をとるとき、△ADE は二 等辺三角形である。これを次のように証明しました。次の問い に答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ABD と△ ア において 仮定より AB＝AC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① BD＝ イ 二等辺三角形の ∠ エ ウ は等しいので ＝ ∠ ACE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③ ①，②，③より、 △ABD ≡ △ ‥‥‥‥‥‥‥‥② オ がそれぞれ等しいので ア したがって、AD＝AE となり、△ADE は二等辺三角形である。 練習 10 右の図で、△ABC と△DCE は正三角形です。このとき、 BD＝AE であることを次のように証明しました。次の問いに答えな さい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△DBC と△EAC において 仮定より ∠ DCB＝ ∠ ECA‥‥‥‥‥‥‥‥ ① BC＝ ア ‥‥‥‥‥‥‥② DC＝ イ ‥‥‥‥‥‥‥③ ①，②，③より、 △DBC ≡ △ ウ から、 エ よって、BD＝AE 9 第６章 定理と証明 中学２年 練習 11 右の図で、△ABC，△CDE は正三角形です。このとき、 △ACD ≡ △BCE であることを、次のように証明しました。次の 問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ACD と△BCE において、 仮定より AC＝BC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① CD＝CE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥② また、 ∠ ACD＝ ∠ ACE＋ ∠ ECD ∠ BCE＝ ∠ BCA＋ ∠ ACE ア の３つの角は等しいので ∠ ECD＝ ∠ イ ＝60° よって、 ∠ ACD＝ ∠ BCE‥‥‥‥‥‥‥‥③ よって、①，②，③より ウ がそれぞれ等しいから、 △ACD ≡ △BCE 練習 12 右の図のように、△ABC の外側に、辺 AB，AC をそれ ぞれ１辺とする正三角形 ADB と AEC をつくるとき、DC＝BE と なることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ADC と△ABE で 仮定より AD＝ ア ‥‥‥‥‥‥‥① AC＝ イ ‥‥‥‥‥‥‥② ∠ ウ ＝60°＋ ∠ CAB ∠ EAB＝60°＋ ∠ エ よって、 ∠ オ ＝ ∠ EAB‥‥‥‥‥③ ①，②，③から、 カ がそれぞれ等しいので △ADC ≡ △ABE ゆえに、DC＝BE 10 第６章 定理と証明 中学２年 練習 13 第６章 右の図のように、 ∠ XOY の二等分線上の点 P から、角の ２辺 OX，OY に垂線 PA，PB をそれぞれひきます。このとき、PA＝ PB であることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△OAP と△OBP において 仮定より、 ∠ AOP＝ ∠ ア ‥‥‥‥‥‥‥① ∠ OAP＝ ∠ イ ＝90°‥‥‥‥② また、 ウ は共通 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③ ①，②，③より、直角三角形の エ がそれぞれ等しいから △OAP ≡ △OBP ゆえに、PA＝PB 練習 14 AB＝AC， ∠ BAC＝ 90° の直角二等辺三角形 ABC の頂点 A を通る直線に、頂点 B，C から垂線をひきその交点を P，Q とす るとき、△ABP ≡ △CAQ であることを次のように証明しました。次 の問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ABP と△CAQ で 仮定より ∠ BPA＝ ∠ AB＝ イ ア ＝90°‥‥‥‥‥‥① ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥② また ∠ ABP＋ ∠ BAP＝90° ∠ ウ ＋ ∠ BAP＝90° よって、 ∠ ABP＝ ∠ CAQ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③ ①，②，③より、直角三角形の エ △ABP ≡ △CAQ 11 がそれぞれ等しいから、 定理と証明 中学２年 練習 15 第６章 定理と証明 右の図のように、△ABC の辺 BC の中点を M とし、M から 辺 AB，AC に下ろした垂線を MH，MK とします。このとき、MH＝MK であれば、△ABC は二等辺三角形であることを次のように証明しまし た。次の問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△HBM と△KCM において 仮定より、BM＝CM ∠ MHB＝ ∠ イ 直角三角形の ア ＝90° ＝MK ウ がそれぞれ等しいので △HBM ≡ △KCM よって、 ∠ HBM＝ ∠ △ABC は、 練習 16 オ エ が等しいので二等辺三角形である。 右の図のように、平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に BE＝DF となるように２点 E，F をとります。このとき、CE//AF と なることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。 （ア）平行四辺形の性質を３つ書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△BCE と△DAF において BE＝DF‥‥‥‥‥‥‥‥‥① ∠ CBE＝ ∠ ア ‥‥‥② BC＝DA ‥‥‥‥‥‥‥‥③ ①，②，③から合同条件「 イ △BCE ≡ △DAF ゆえに、 ∠ ウ ＝∠ エ 錯角が等しいから、CE//AF 12 がそれぞれ等しい」が成り立つから、 中学２年 □ABCD の辺 CD の中点を M とし、AM の延長と BC の 練習 17 延長との交点を N とします。このとき、BC＝CN であることを証 明しました。次の問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△MAD と△MNC で MD＝MC ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① 対頂角より、 ∠ AMD＝ ∠ ア ‥‥‥‥‥‥② イ ‥‥‥‥‥‥③ AD//BN より、 ∠ MDA＝ ∠ ①，②，③から、１辺とその両端の角が、それぞれに等しいので △MAD ≡ △MNC よって、AD＝ □ABCD で、 ウ エ ので、 AD＝BC したがって、BC＝CN 練習 18 右の図の□ABCD の辺 AB，CD の中点を M，N とし、D と M、 B と N を結ぶとき、△ADM ≡ △CBN となることを次のように証明しま した。ア∼ウに適当な語句や記号を書きなさい。また（ａ）∼（ｃ） には直接のよりどころ（根拠）にしたものを下の の中から、 それぞれ選び、その番号を書きなさい。 〔仮定〕AB//DC， ア //BC，AM＝BM，DN＝CN 〔結論〕△ADM ≡ △CBN 〔証明〕△ADM と△CBN において （ａ） から AD＝CB ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① （ｂ） から ∠ MAD＝ ∠ NCB ‥‥‥‥‥‥‥‥② また、仮定より AM＝ （ｃ） から AB＝CD AM＝ イ 1 1 AB CN＝ CD 2 2 ゆえに ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③ ①，②，③より ウ がそれぞれ等しいから △ADM ≡ △CBN ①平行四辺形の２組の対辺はそれぞれ等しい。 ②平行四辺形の２組の対角はそれぞれ等しい。 ③平行四辺形の２本の対角線は、それぞれ中点で交わる。 13 第６章 定理と証明 中学２年 練習 19 第６章 台形 ABCD（AD//BC，AD＜BC）において、対角線 AC の中点 を P とし、DP の延長と BC の交点を E とするとき、四角形 AECD は平行 四辺形であることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△APD と△CPE において 仮定より、AP＝CP‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① AD//BC より、 ア が等しいので ∠ PAD＝ ∠ PCE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥② また、 イ は等しいので、 ∠ APD＝ ∠ CPE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③ ①，②，③より、 ウ がそれぞれ等しいので △APD ≡ △CPE よって、DP＝ エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥④ ①，④より、 オ から 四角形 AECD は平行四辺形である。 練習 20 □ABCD の対角線 AC，BD の交点を O とし、対角線 BD 上に BE＝DF となる点 E，F をとります。このとき、四角形 AECF は平行四辺形であることを次のように証明しました。次の問いに 答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ADF と△CBE において 平行四辺形の２組の対辺はそれぞれ等しいので AD＝CB 仮定より DF＝ ア AD//BC より ∠ ADF＝ ∠ イ ２辺とその間の角がそれぞれ等しいから △ADF ≡ △CBE よって、 ウ ＝CE‥‥‥‥‥‥‥‥‥① △ABE と△CDF において 上と同様にして AE＝CF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥② ①，②より、 エ から、四角形 AECF は平行四辺形である。 14 定理と証明 中学２年 練習 21 第６章 定理と証明 □ABCD の対角線 AC 上に AE＝CF となる点 E，F、BD 上に BG＝DH となる点 G，H をそれぞれとるとき、四角形 EGFH は平行四辺形となることを次のように証明しました。次の問いに 答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕仮定より、AE＝CF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① BG＝DH‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥② また、平行四辺形の２本の対角線は、それぞれの ア AO＝CO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④ ①，③より、EO＝FO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑤ BO＝ イ ②，④より、 ウ ＝HO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑥ ⑤，⑥より、 エ から 四角形 EGFH は平行四辺形である。 練習 22 □ABCD の辺 AB，BC，CD，DA の中点をそれぞれ E， F，G，H とし、AF と CE の交点を P，AG と CH の交点を Q と します。このとき、四角形 APCQ は平行四辺形であることを、 次のように証明しました。 の中に適当な語句や記号を 書きなさい。 〔証明〕四角形 AFCH において、 仮定より、AH//FC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① また、四角形 ABCD は平行四辺形だから AD＝ ア 仮定より、AH＝HD，BF＝FC よって、AH＝ ①，②より、 イ ウ ‥‥‥‥‥‥‥② から 四角形 AFCH は平行四辺形である。 よって、AF// エ ‥‥‥‥‥‥‥‥③ 同様にして、四角形 AECG も平行四辺形である。 よって、AG//EC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④ ③，④より、 オ から 四角形 APCQ は平行四辺形である。 15 で交わるので、 中学２年 練習 23 第６章 定理と証明 下の図の（ア）は平行四辺形にある条件をつけると長方形になることを示しています。 （ア）∼（イ）の条件をそれぞれ書きなさい。 練習 24 □ABCD に次の条件を加えると、□ABCD は長方形，ひし形，正方形のどれになります か。ただし、O は対角線の交点とします。 （ア）AB＝BC （イ）OA＝OB＝OC＝OD （ウ） ∠ A＝90°， ∠ COD＝90° 練習 25 「対角線の長さが等しい平行四辺形は長方形である」こと を、右の図について、次のように証明しました。次の問いに答えな さい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ABC と△DCB で、 AB＝ ア ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① BC＝ イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥② ウ ＝DB‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③ ①，②，③より、△ABC ≡ △DCB したがって、 ∠ ABC＝ ∠ エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④ また、 ∠ ABC＝ ∠ CDA‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑤ ∠ BAD＝ ∠ エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑥ ④，⑤，⑥より、４つの角が等しいので□ABCD は長方形である。 16 中学２年 練習 26 ひし形 ABCD の頂点 A から辺 BC，CD に、それぞれ 垂線 AH， AK をひくとき、 △AHK は二等辺三角形であることを、 次のように証明しました。次の問いに答えなさい。 （ア）仮定と結論を書きなさい。 （イ） の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕△ABH と△ADK で 四角形 ABCD はひし形なので ア AB＝ ∠ イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① ＝ ∠ ADK‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥② 仮定より ∠ AHB＝ ∠ ウ ①，②，③より、 ＝90°‥‥‥‥‥‥③ エ がそれぞれ等しいので オ より、 △ABH ≡ △ADK したがって、AH= △AHK は二等辺三角形である。 練習 27 右の図の△ABC で、M は辺 BC の中点で、P，Q はそれ ぞれ辺 BC，AB 上の点です。AP//QM のとき、△APQ と面積の等 しい三角形を書きなさい。 練習 28 右の図において、 l // m 、台形 APQB，△APB の面積がそれ ぞれ 12cm2，５cm2 のとき、次の問いに答えなさい。 （ア）△AQB の面積を求めなさい。 （イ）△APQ の面積を求めなさい。 練習 29 右の図のように、四角形 ABCD の頂点 D を通り、対 角線 AC に平行な直線と、辺 BC の延長との交点を E とし、A と E を結ぶと、△ABE の面積は、四角形 ABCD の面積と等し くなります。このことを次の順序で証明しなさい。 （ア）△ACD＝△ACE （イ）△ABE＝四角形 ABCD 17 第６章 定理と証明 中学２年 第６章 定理と証明 入試問題−標準問題 問１ 右の図で、△ABC は ∠ A＝90°の直角三角形であり、D，G はそれぞれ AB，AC 上の点です。また E，F は辺 BC 上の点で、 四角形 DEFG は平行四辺形です。∠ BDE＝42°，∠ ACB＝56° のとき、 ∠ DGF の大きさを求めなさい。（愛知県） 問２ 右の図は AB＝BC の二等辺三角形です。点 D は ∠ A の二等分線と 辺 BC との交点です。AC＝AD のとき ∠ B の大きさを求めなさい。 （青森県） 問３ 下の図は四角形の種類を表したものです。 このとき、次の問いに答えなさい。 （ア）２，４にあてはまる四角形の名称を漢字で書きなさい。 （イ）１組の向かい合う辺が平行で長さが等しい四角形において、２本の対角線が直交している四 角形を何というか答えなさい。 （ウ）三角形の各辺の中点と１つの頂点を４つの頂点とする四角形は何というか答えなさい。 （郁文館） 問４ 右の図のような平行四辺形 ABCD があります。辺 BC 上に AB＝AE となる点 E をとります。 △ABC ≡ △EAD を証明しなさい。 18 中学２年 第６章 問５ 右の図のように、平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に BE＝DF となるように２点 E，F をとります。このとき EC//AF となること を次のように証明しました。次の に適当な語句や記号を 書きなさい。 〔証明〕△BCE と△DAF において BE＝DF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥① ∠ CBE＝ ∠ ア ‥‥‥‥‥‥② BC＝DA‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③ がそれぞれ等しい」が成立するから ①，②，③から合同条件「 イ △BCE ≡ △DAF ゆえに ∠ ウ 錯角が等しいから ＝∠ エ EC//AF 問６ 右の図のように、△ABC の辺 AB 上に点 D をとり、D を通り辺 AC に平行な直線と辺 BC との交点を E とします。また辺 AC の延長上に 点 F を DE＝CF となるようにとり、 DF と BC との交点を M とします。 このとき次の問いに答えなさい。 （ア）△DEM ≡ △FCM であることを証明しなさい。 （イ） ∠ ACB＝50°， ∠ EDF＝34°であるとき、 ∠ DMC の大きさ を求めなさい。（愛媛県） 問７ 右の図で、四角形 ABCD は AD//BC の台形です。いま対角線 BD の中点を P とし、直線 AP と辺 BC との交点を Q とするとき、四角 形 ABQD は平行四辺形であることを証明しなさい。（茨城県） 問８ 右の図のように、平行四辺形 ABCD の ∠ A，∠ B の二等分線が BC，AD と交わる点をそれぞれ M，N とするとき、四角形 ABMN はひし形であることを証明しなさい。 19 定理と証明 中学２年 問９ 右の図のような平行四辺形 ABCD の辺 AD 上に ∠ DCE＝ ∠ ABC となるように点 E をとります。このとき、AE＋EC＝BC となるこ とを証明しなさい。 問 10 右の図は、直角三角形 ABC の辺 AB 上に点 P をとり、P を通る 直線が辺 BC と交わる点を M，辺 AC の延長と交わる点を N とした ものです。このとき PB＝PM ならば、PA＝PN であることを証明し なさい。（福島県） 問11 右の図の正三角形 ABC で、辺 AB，AC 上にそれぞれ点 D，E をと り、BD＝AE となるようにします。BE と CD の交点を F とするとき 次の問いに答えなさい。 （ア） ∠ ABE＝ ∠ BCD であることを証明しなさい。 （イ） ∠ CFE＝60°であることを証明しなさい。（熊本県・改） 問 12 右の図のように、平行四辺形 ABCD があります。辺 AD 上に点 P をとり、PB を軸として、△ABP を折り返したところ、頂点 A が対角 線 BD 上の点 Q と重なりました。さらに点 A を通り PQ に平行な直 線が PB と交わる点を R とするとき、AR＝PQ となることを証明しな さい。（千葉県・一部） 20 第６章 定理と証明 中学２年 第６章 定理と証明 入試問題−発展問題 問１ 幅が一定値 a で十分に長い紙テープを図１のように折り曲げたとこ ろ、図２に示すような五角形 ABCDE ができました。紙の厚さは無視 できるものとして、次の問いに答えなさい。 （ア）AB＝BC であることを、AB//EC，BC//AD，紙テープの幅 a が 一定であること等を用いて示しなさい。 （イ） ∠ ADE＝ ∠ CED であることを次のように証明しました。空欄 を補って完成しなさい。 ∠ ADE＝ ∠ DAC （ED//AC であるから） ∠ DAC＝ ∠ ① ∠ ① ＝∠ ② （ ④ であるから） （ ⑤ であるから） ∠ ② ＝∠ （ ⑥ であるから） ∠ ③ ＝ ∠ CED （ ⑦ であるから） ③ ∴ ∠ ADE＝ ∠ CED （開成・一部） 問２ 右の図のように、∠ A が直角である△ABC の辺 AB 上に点 D を、辺 AC 上に点 E をとります。BC，DE，BE，CD の中点を それぞれ P，Q，R，S とするとき、次の問いに答えなさい。 （ア）四角形 PSQR は平行四辺形であることを証明しなさい。 （イ）PQ＝RS を証明しなさい。（大教大附・天王寺） 問３ 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とします。次の（ア），（イ）， （ウ）の条件を加えると、 それぞれどのような四角形になるか答えなさい。 （ア） ∠ A＝90°， ∠ COD＝90° （イ）OA＝OB＝OC＝OD （ウ） ∠ OAB＝ ∠ OBA 問４ 図のような AB＝AC の二等辺三角形 ABC の点 C から辺 AB に垂線 CD を引きます。辺 AB 上に BD＝DE となるように点 E をとり、点 E から底辺 BC に平行な直線 EF を引きます。このとき、∠ CBF の大きさ は ∠ BCD の大きさの２倍であることを証明しなさい。ただし底角は 60°より大きいものとします。（海城） 21 中学２年 問５ 右の図のように、平行四辺形 ABCD の対角線 BD に平行で、２辺 BC， CD とそれぞれ E，F で交わる直線 EF を引くとき、△ABE＝△ADF であ ることを証明しなさい。 問６ AC＞AB である△ABC において A から BC に垂線 AD を引きます。 BC の中点を E，AB の中点を F とするとき、 ∠ EFD＝ ∠ B− ∠ C と なることを証明しなさい。（関西学院） 問７ 右図の四角形 ABCD において AD＝BC， ∠ DAB＋ ∠ ABC＝120°で す。対角線 AC，BD の中点をそれぞれ P，Q、辺 CD の中点を R とする とき、△PQR は正三角形であることを証明しなさい。（甲陽学院） 問８ 右の図の平行四辺形 ABCD の辺 BC 上に点 P をとり、DP の延長 と辺 AB との交点を Q とします。このとき△ABP＝△PQC である ことを証明しなさい。 問９ 右の図において、AB＝BE＝EG＝GC＝２，∠ ABC＝90°， AB // DE // FG です。斜線をひいた三角形の面積の和を求め なさい。 （ラ・サール） 22 第６章 定理と証明 中学２年 第６章 定理と証明 問 10 次の（１）∼（６）の中で四角形 ABCD が必ずしも平行四辺形にならないものは何個あります か。その個数を答えなさい。（城北埼玉） （１）AB＝CD，AB//DC （２）AD＝BC，AB＝DC （３）AB＝BC＝CD＝DA （４）AC ⊥ BD，AB＝CD （５）対角線の交点を O とするとき、AO＝BO＝CO＝DO （６）AD//BC，AC＝BD 問 11 右の図のように、△ABC の辺 AB，AC の中点をそれぞれ D，E とし、DE の延長上に DE＝EF となる点 F をとります。四角形 ADCF が次の四角形になるとき、△ABC はどのような三角形か答えなさい。 （ア）長方形 （イ）ひし形 （ウ）正方形 問 12 三角形 ABC の３辺の長さを AB＝ c ，BC＝ a ，CA＝ b としま す。この三角形の外側に正方形 ABDE，ACFG，BCHI を作りま す。さらに点 P は BD，BI を、点 Q は CF，CH をそれぞれ２辺 とする平行四辺形の残りの頂点とするとき、次の問いに答えなさ い。 （ア）辺 BP，CQ を、a ，b ，c のいずれかを用いて表しなさい。 （イ）直線 BP と直線 CQ との交点を S とするとき、∠ BSC の大 きさを ∠ B， ∠ C を用いて表しなさい。 （ウ）A，B，C，D，E，F，G，H，I，P，Q のいずれかを結ん でできる三角形の中で△ABC と合同になる三角形をすべてあげなさい。（お茶の水大附・一部） 23
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