2年 5章図形の性質と証明 ① (

２年　５章　図形の性質と証明　①　(　)組(　)番　名前(　)　△ABC において，AB=AC　ならば　4B=4C
であることを次のように証明しました。空所にあうものを入れなさい。
次の図で，△ABC は AB=AC の二等辺三角形です。4x，4y の大きさを求めなさい。
(1)　DA=DB (2)　BD=BC
A
A
1.
3.
仮定]　AB=AC
A
[結論]　4B= 4C
"　4A の二等分線と辺 BC の交点を D とする。
△ABD と △ACD において
仮定より　AB=ア
…… ①
4BAD=4イ
…… ②
B
D
AD=ウ
…… ③
がそれぞれ等しいから
①，②，③ より，エ
△ABD6△ACD
したがって　4B=4C　w
[
D
y
C
4.
次の図で，△ABC は AB=AC の二等辺三角形です。4x，4y の大きさを求めなさい。
(2)　BD=BC
C
y
x
B
x
66,
B
C
(5)　(6)
A
B
C
x
75,
C
C
x
130,
A
A
x
C
46,
y
B
B
A
A
M
B
B
x
D
である二等辺三角形 ABC において，辺 AB，
AC の中点をそれぞれ M，N とし，CM とBN の交点を
D とします。このとき，次のことを証明しなさい。
(1)　△MBC6△NCB
(2)　△DBC は二等辺三角形である。
(4)
36,
D
5. AB=AC
70,
A
x
110,
C
C
C
A
次の図で，△ABC は AB=AC の二等辺三角形です。4x の大きさを求めなさい。
A
(1)　(2)　(3)
A
x
x
B
(1) DA=DB
2.
B
y
x
C
B
B
50,
50, D
40,
D
N
C
２年　５章　図形の性質と証明　②　(　)組(　)番　名前(　)　である二等辺三角形 ABC において，頂角 A の二等分線と辺 BC の交点を D
とします。このとき，BD=CD ，　AD5BC
であることを次のように証明しました。空所にあうものを入れなさい。
1. AB=AC
仮定]　AB=AC，4BAD=4CAD
A
[結論]　BD=CD ，AD5BC
"　△ABD と △ACD において
仮定より　AB=ア
…… ①
4BAD=4イ
…… ②
B
D
C
共通だから　AD=ウ
…… ③
がそれぞれ等しいから
①，②，③ より，エ
△ABD6△ACD
したがって　BD=CD
カ
, であるから
また，　4ADB=4オ
，4ADB+4オ
=
,
4ADB=キ
したがって　AD5BC　w
[
右の図の △ABC は，AB=AC の二等辺三角形です。
辺 BC 上に，4BAD=4CAE となるように点 D，E を
とるとき，次のことを証明しなさい。
(1)　△ABD6△ACE
(2)　△ADE は二等辺三角形である。
3.
A
B
D
E
つの内角の大きさが次のような三角形の中から，二等辺三角形をすべて選びなさい。
①　40,，100,　②　50,，70,　③　150,，20,　④　120,，30,
4. 2
次の図において，△ABC は正三角形です。4x の大きさを求めなさい。
A
(1)　(2)　^Sm
A
5.
右の図で，4XOY=19,，OA=AB=BC=CD
のとき，4DCB の大きさを求めなさい。
2.
D
D
X
B
O
A
x
C
Y
C
^
x
80,
B
m
20,
B
C
C
２年　５章　図形の性質と証明　③　(　)組(　)番　名前(　)　次の図において，合同な直角三角形を選び，記号 6 を用いて答えなさい。また，その
と
き使った合同条件をいいなさい。
1.
A
D
G
5 cm
B
6 cm
C
6 cm
4 cm
P
右の図において，
AB=DC，4BAC=4CDB=90,
であるとします。
このとき，AC=DB であることを証明しなさい。
A
D
C
B
O
4 cm
60,
5 cm
K
I
H
4 cm
M
J
30,
F
E
がそれぞれ等しいから
3.
50,
40,
①，②，③ より，直角三角形のオ
△POQ6△POR
よって　PQ=PR　w
Q
R
4 cm
L
N
右の図のように，4XOY の内部に点 P をとり，P か
ら 2 辺 OX，OY にひいた垂線を，それぞれ PQ，PR
とします。このとき，OP が 4XOY の二等分線ならば，
PQ=PR であることを次のように証明しました。
空所にあうものを入れなさい。
2.
△POQ と △POR において
点 P は 4XOY の二等分線上の点であるから
4POQ=4ア
…… ①
PQ5OX，PR5OY であるから
ウ
,　4OQP=4イ
=
…… ②
また　OP=エ
…… ③
"
Y
P
O
右の図のように，正方形 ABCD の辺 AD，AB 上に
点 E，F をとったところ，△CEF が正三角形となり
ました。このとき，4ECD=4FCB であることを
証明しなさい。
4.
R
Q
X
A
E
D
F
B
C
２年　５章　図形の性質と証明　④　(　)組(　)番　名前(　)　次の図で，四角形 ABCD は平行四辺形，O は対角線の交点です。x，y の値を求めな
さい。
(1)　(2)　(3)
x cm
A
5 cm
D
A
D
D
1.
2 cm
4 cm
B
4 cm
y cm
y cm
O
B
B
C
12 cm
(5)　A
D (6)
F
A
(4)
D
B 5 cm E
B
C
y,
130,
y,
D
A
50,
x,
y cm
x cm
9 cm
C
8 cm
110,
x,
C
E
C
B
四角形 ABEF，FECD も
平行四辺形
次の図で，四角形 ABCD は平行四辺形です。x，y の値を求めなさい。
(1)　(2)　(3)
D
A
2.
A
D
x,
75,
60,
C
D
C
B
右の図のように，平行四辺形 ABCD の辺 AD，BC 上に，
AE=CF となるように，それぞれ点 E，F をとります。
このとき，EB=FD であることを証明しなさい。
70,
67,
x,
4.
C
B
(5)　(6)　AB=AE
(4)
A
A
x,
D
D
C
x,
145,
E
B
E
35,
C
B
A
O
C
y,
C
E
D
D
B
x, F
25,
B
E
A
70,
60,
D
x,
50,
y,
B
A
仮定]　ABSDC，ADSBC
A
ア
[結論]　"　△ABO と △CDO において
ABSDC より，平行線のイ
は等しいから
B
4OAB=4ウ
…… ①
…… ②
4OBA=4エ
平行四辺形の対辺は等しいから
AB=オ
…… ③
がそれぞれ等しいから
①，②，③ より，カ
△ABO6△CDO
したがって　AO=CO，BO=DO　w
[
O
y cm
x cm
C
x cm
A
6 cm
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わることを，平行四辺形 ABCD について次
のように証明しました。ただし，対角線の交点を O とし，平行四辺形の 2 組の対辺がそ
れぞれ等しいことを用いています。空所にあうものを入れなさい。
3.
F
C
２年　５章　図形の性質と証明　⑤　(　)組(　)番　名前(　)　次の条件を満たす四角形 ABCD のうち，平行四辺形であるものをすべて選びなさい。
①　AB=5 cm，DC=5 cm，4B=80,，4C=100,
②　AB=7 cm，BC=9 cm，CD=9 cm，DA=7 cm
③　4A=105,，4B=75,，4C=105,，4D=75,
1.
右の図のように，平行四辺形 ABCD の辺 BC，AD 上に，
4AEB= 4DFC となるように，それぞれ点 E，F をとり
ます。このとき，四角形 AECF が平行四辺形であること
を証明しなさい。
2.
A
B
F
D
次の (1) ～ (4) にあてはまる図形を，正方形，　長方形，　ひし形の中からすべて
選びなさい。
(1)　対角線が垂直に交わる四角形
(2)　対角線の長さが等しい四角形
(3)　対角線の長さが等しく，垂直に交わる四角形
(4)　対角線がそれぞれの中点で交わる四角形
4.
5. 長方形 ABCD について、AC=DBであることを
証明しなさい。
A
D
B
C
C
E
ひし形 ABCD の辺 AB，BC，CD，DA の中点を
それぞれ E，F，G，H とするとき，次のことを証
明しなさい。
(1)　四角形 EFGH が平行四辺形である。
(2)　四角形 EFGH が長方形である。
6.
右の図のように，平行四辺形 ABCD の対角線の交点を
O とします。線分 OA，OB，OC，OD の中点を，それ
ぞれ E，F，G，H とするとき，四角形 EFGH が平行四
辺形であることを証明しなさい。
3.
A
D
E
H
F
O
G
B
C
A
E
H
D
B
G
F
C
２年　５章　図形の性質と証明　⑥　(　)組(　)番　名前(　)　右の図の台形 ABCD において，
ADSBC，　ABSDE
のとき，△ABE=△ACD であることを証明
しなさい。
右の図の四角形 ABCD について，図のように直線 BC 上
に点 P をとり，△ABP の面積と四角形 ABCD の面積を
等しくしようと思います。点 P をどのような位置にとれ
ばよいか答えなさい。
1.
4.
D
A
B
D
C
E
右の図の △ABC において，辺 AB，BC 上にそれぞれ
点 D，E を DESAC であるようにとります。
AE と DC の交点を F とするとき，図の中において，
次のような三角形をいいなさい。
(1)　△ADE と同じ面積の三角形
A
2.
C
B
右の図において，平行四辺形 ABCD の面積が
10 cm であるとき，影をつけた部分の面積の和
△EBG+△FGC を求めなさい。
5.
A
P
E
A
D
△ADF と同じ面積の三角形
B
B
C
E
△ABE と同じ面積の三角形
(3)
G
右の図のような △ABC の辺 BC 上に，BD : DC=3 : 2
となるように点 D をとります。
△ABD の面積が 24 cm であるとき，次の三角形の面積
を求めなさい。
(1)　△ADC　(2)　△ABC
6.
右の図において，四角形 ABCD は平行四辺形で，
EFSBD であるとします。
このとき，図の中で，△EBD と面積の等しい三
角形をすべて答えなさい。
D
F
(2)
3.
F
2
F
A
A
2
D
E
B
B
C
C
3
D
2
C

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