テイラー展開 森 真 1 序 関数 f (x) の x = a におけるテイラー展開は f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a) (x − a)2 + · · · 2 と表される.右辺の級数が収束する範囲でのみ成り立つことに注意しなけれ ばならない.この右辺が収束する範囲は |x − a| < ρ と a 中心の円 (複素平面 で考えると本当に円) になる.この ρ > 0 であるとき,f は x = a で解析的で ある,または正則であるという.もちろん,f が何回でも微分できなければ ならない (C ∞ 級) が,それよりも厳しい条件である.a = 0 のときにはマク ローリン展開とも言われる. 2 誤差近似 まず,有限項で止めることを考えよう.これだけなら,必要な回数だけ微 分できる関数について成り立つし,実用的かどうかは別として収束半径など に気を使わなくてよい. 1 回微分できて,その微分 f 0 が連続 (C 1 級) のとき,高校で習った平均値 の定理 f (x) − f (a) = f 0 (c) (c は x と a の間の点) x−a が出発点である.これは f (x) = f (a) + f 0 (c)(x − a) と変形できる.c = a + θ(x − a) (0 ≤ θ ≤ 1) と表して f (x) = f (a) + f 0 (a + θ(x − a))(x − a) (0 ≤ θ ≤ 1) と表すこともできる.この方が,x と a の大小関係に気を使わなくてすむと いう利点もある. 1 n 回微分できて,n 回微分 f (n) が連続 (C n 級) のときには f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + + f 00 (a) f (n−1) (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n−1 2 (n − 1)! f (n) (a + θ(x − a)) (x − a)n n! と表すことができる.ここで Rn = f (n) (a + θ(x − a)) (x − a)n n! が誤差項である. n − 1 項までの和 (n − 1 次近似) f 0 (a)(x − a) + f (n−1) (a) f 00 (a) (x − a)2 + · · · + (x − a)n−1 2 (n − 1)! で,f (x) の値を近似したときの誤差が Rn というわけである. 誤差は正確にわからないからと投げ出したのでは意味はない.近似がどの 程度正確をを知るためには,誤差がいくつ以下であるかを知ればよい.これ はコンピュータにはできない仕事で,まさに人間の知恵が必要とされるとこ ろである.上で与えた誤差の式はその一つの表現であって,これ以外にも誤 差の形は適材適所を選ぶべきである.ともあれ,馬鹿の一つ覚えと言われて もこの形でやってみようではないか. 2.1 sin x のマクローリン展開 sin x = x − x3 x5 + + ··· 3! 5! である.誤差 Rn = f (n) (θx) n x n! に現れる f (n) (θx) は ± sin(θx) か ± cos(θx) であるから,その絶対値は 1 よ り小さい.したがって |Rn | ≤ |x|n n! であることがわかる. 図に表してみよう.黒線が sin x,赤線が近似,青線が近似に誤差を加味した 線で 2 つの青線の間に真の値が入っていることに注意しよう.最初の図 (0 次 近似) は平均値の定理である.第 2,第 3 の図 (1 次近似,2 次近似) は,sin x の x3 の係数は 0 であるので,ともに x による近似だが,x + R2 か x + 0x2 + R3 と誤差項の評価が後者の方がよくなっている.同様に第 4,第 5 の図 (4 次近 似,5 次近似) も x − x3 3! による近似だが同じ理由により後者の方がよくなっ ている. 2 3 2 1 -3 -1 -2 1 2 3 -1 -2 -3 -3 -2 4 4 2 2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 -2 -2 -4 -4 1 2 3 1 2 3 4 3 2 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -4 図 1: sin x の 0 次近似から 4 次近似 2.2 ex のマクローリン展開 ex = 1 + x + x2 x3 + + ··· 2 3! であり,誤差は eθx n x n! である.e < 3 であることは容易にわかるし,ex は単調増加で,正の値をと Rn = るから誤差は Rn ≤ 3|x| n |x| n! で与えられる.しかし,3|x| も x が整数のところしかわからないので,m−1 < |x| ≤ m のときに 3|x| < 3m で近似することにしよう.指数関数の近似はとて もよいのだが,それでも x が大きくなると誤差は大きくなることがわかる. 3 30 25 20 15 10 5 -3 -3 -3 -1 -2 -2 -2 1 3 30 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 -1 -1 2 30 1 2 3 -3 -2 -1 30 30 25 25 20 20 15 15 10 10 5 5 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 1 2 3 図 2: ex の 0 次近似から 4 次近似 2.3 log(1 + x) のマクローリン展開 log(1 + x) = x − である.誤差項は Rn = x2 x3 + + ··· 2 3 (−1)n−1 n x (1 + θx)n 注意しなければならないのは右辺の収束半径が 1 であることである.x > 0 のときには θ = 0 のときに Rn は最大で,x < 0 のときには θ = 1 のときに |Rn | は最大になる.したがって |Rn | ≤ xn x≥0 x<0 n |x|n (1+x)n になる.|x| > 1 になると級数は発散する.しかし,その両端で事情が異なる 4 1 0.5 -1 -0.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -1 1 1 0.5 0.5 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 -0.5 -1 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 -3 1 -3 1 0.5 0.5 -0.5 0.5 1 0.5 1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 -2.5 -2.5 -3 -3 図 3: log(1 + x) の 0 次近似から 4 次近似 ことが図からわかるだろう.x ≥ 0 の方では近似はよくなっていくが,x = −1 に近くなると近似が役に立たなくなることが図からも見て取れる.この理由 はもちろん,log 0 が定義されないことから来ている. 同様に (1 + x)c のマクローリン展開は一般の 2 項展開を用いて ³c´ ³c´ (1 + x)c = 1 + x+ x2 + · · · 1 2 をみたすのだが,c が正の整数でない場合には収束半径は 1 となる.これは (1 + x)a が何回か微分すると x = −1 で存在しなくなることから来ている.こ の辺に収束半径の理由が潜んでいることはわかるだろう. 3 収束半径 テイラー展開 b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 + · · · 5 が収束する範囲は,今までの議論から考えればわかるように Rn → 0 となる x の範囲であることがわかる.しかし,この評価は必ずしも容易ではない.し かし,係数 b1 , b2 , . . . をみると,次のことがわかる. p 1 lim sup n |bn | = ρ n→∞ とすると ρ が収束半径,すなわち |x − a| < ρ で級数が収束する.しかし,上 極限を用いていることからわかりにくいが, ¯ ¯ ¯ bn+1 ¯ ¯ lim ¯¯ n→∞ bn ¯ が存在すれば,この逆数が収束半径になることが示せる.しかし,この極限 が存在しない場合に「収束半径がない」などという議論をしては決してなら ない.例えば 1 + 3x + 22 x2 + 33 x3 + 24 x4 + · · · の収束半径は 1 3 であるし, 1 + x2 + x4 + · · · の収束半径は 1 である. 収束半径の内側ではそれこそ「何をしてもよい」.和の順序を変えてもよ いし,項別に微分したり,積分をしてもよい.つまり, log(1 + x) = x − ならば x+ x2 x3 + − ··· 2 3 x5 x3 + + ··· 3 5 と x2 x4 + + ··· 2 4 を計算してから,引き算をしても log(1 + x) を与えるし, µ 2 ¶0 µ 3 ¶0 1 x x 0 0 + + ··· = (log(1 + x)) = x − 1+x 2 3 = 1 − x + x2 − · · · が成り立つし, Z x x log(1 + x) + log(1 + x) − x = log(1 + t) dt Z x 2 Z x 3 x t t = t dt − dt + dt − · · · 2 0 0 0 3 x2 x3 x4 = − + − ··· 2 2·3 3·4 も成り立つ.しかし,あくまでも収束半径内,つまり |x| < 1 をみたさなけ ればならない. Z 6 0
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