03．代表的な極限値

数学Ａ資料−０３
０３．代表的な極限値
１．関数の極限
(1) x が a に近づくとき，f (x) の値が一定の値 α に近づくならば，この α を x → a のときの
f (x) の極限値といい
lim f (x) = α または f (x) → α (x → a)
x→a
と書く．
(2) x が正の無限大 ∞ に近づくとき，f (x) の値が一定の値 α に近づくならば，この α を
x → ∞ のときの f (x) の極限値といい
lim f (x) = α または f (x) → α (x → ∞)
x→∞
と書く．
(3) x が負の無限大 −∞ に近づくとき，f (x) の値が一定の値 α に近づくならば，この α を
x → −∞ のときの f (x) の極限値といい
lim f (x) = α または f (x) → α (x → −∞)
x→−∞
と書く．
２．公式
lim f (x) = α， lim g(x) = β ，k を定数とするとき，次の公式が成り立つ．ただし，2 は a，∞，
x→2
x→2
−∞ のいずれかとする．
(1) lim {f (x) ± g(x)} = α ± β （複号同順） (2) lim kf (x) = kα
x→2
x→2
α
f (x)
=
(β 6= 0)
(3) lim {f (x)g(x)} = αβ
(4) lim
x→2
x→2 g(x)
β
※はさみうちの定理
f (x) <
= h(x) <
= g(x) で lim f (x) = lim g(x) ならば， lim h(x) も存在し，すべての極限値は等
x→2
x→2
x→2
しい．
代表的な極限値
1
= 0 (α > 0)
α
x→∞ xµ
¶x
1
(3) lim 1 +
=e
x→±∞
x
ex − 1
(5) lim
=1
x→0
x
(1) lim
(2) lim
x→±∞
1
= 0 (n は自然数)
xn
1
(4) lim (1 + x) x = e
x→0
(6) lim
x→0
µ
sin x
=1
x
¶n
1
※ lim 1 +
は存在する（証明は難しい）ので，この極限値を “e” で表す．この値は
n→∞
n
e = 2.718281828 · · · で，無理数であることが知られている．また，この e を底とする対数を自
然対数といい，loge x を単に log x と底 e を省略してかく習慣がある．
1
数学Ａ資料−０３
証明
(1)，(2) は明らか．
(3) °
1 x → ∞ のとき，x >
= 1 としてよい．このとき，n <
= x < n + 1 を満たす自然数 n がただ
1 つ存在する（x → ∞ ⇐⇒ n → ∞ に注意）．
µ
¶n µ
¶x µ
¶x µ
¶x µ
¶n+1
∗
∗
∗∗
∗∗
1
1
1
1
1
<
<
1+
< 1+
< 1+
· · · (∗)
= 1+ n+1
= 1+ n
n+1
x
n
が成り立つが，
 µ



 1+
¶n µ
¶n+1 µ
¶
1
1
1
= 1+
÷ 1+
→ e ÷ 1 = e (n → ∞)
n+1
n+1
n+1
µ
¶n+1 µ
¶n µ
¶

1
1
1


= 1+
× 1+
→ e × 1 = e (n → ∞)
 1+
n
n
n
µ
¶x
1
なので，(∗) で x → ∞ (n → ∞) とすれば，はさみうちの定理より lim 1 +
= e が成
x→∞
x
り立つ．
※ (∗) はより詳しく
µ
1
1+
n
¶n
µ
<
1
1+
x
¶x
µ
<
1
1+
n+1
¶n+1
とできる．
°
2 x → −∞ のとき，x = −y とおけば y → ∞ で
µ
¶−y µ
¶y µ
¶y−1 µ
¶
y
1
1
1
= 1+
=
= 1+
× 1+
→ e (y → ∞)
−y
y−1
y−1
y−1
¶x
µ
1
= e が成り立つ．
なので， lim 1 +
x→−∞
x
1
(4) °
1 x ↓ 0 のとき，x =
とおけば y → ∞ で
y
µ
¶y
1
1
(1 + x) x = 1 +
→ e (y → ∞)
y
1
1+
x
¶x
µ
1
なので，lim(1 + x) x = e が成り立つ．
x↓0
°
2 x ↑ 0 のとき，x =
1
とおけば y → −∞ で
y
µ
¶y
1
1
(1 + x) x = 1 +
→ e (y → −∞)
y
1
なので，lim(1 + x) x = e が成り立つ．
x↑0
1
以上 °
1 ，°
2 より， lim (1 + x) x = e が成り立つ．
x→0
∗
n<
=x
x<n+1
∗∗
2
数学Ａ資料−０３
(5) ex − 1 = y とおくと，x → 0 ⇐⇒ y → 0 で
1
ex − 1
y
1
∗
→
=
=
= 1 (y → 0)
1
x
log(1 + y)
log e
log(1 + y) y
ex − 1
= 1 が成り立つ．
x→0
x
π
としてよい．こ
(6) °
1 x ↓ 0 のとき，0 < x <
2
のとき，右図より
なので， lim
C
△ OAB < 扇型 OAB < △ OAC
1
は明らか．

1
1


×
1
×
sin
x
=
sin x
△ OAB =


2
2

x
1
扇型 OAB = π ×
= x

2π
2


1
1

 △ OAC =
× 1 × tan x = tan x
2
2
B
x
O
なので


 △ OAB < 扇型 OAB
⇐⇒

 扇型 OAB < △ OAC
⇐⇒
1
1
sin x < x
2
2
1
1
x < tan x
2
2
A
⇐⇒
⇐⇒
sin x
<1
x
sin x
cos x <
x
sin x
より cos x <
< 1 が成り立つ．x ↓ 0 のとき cos x → 1 なので，はさみうちの定理より
x
sin x
lim
= 1 が成り立つ．
x↓0
x
°
2 x ↑ 0 のとき，x = −y とおけば y ↓ 0 で
sin x
sin(−y)
sin y
=
=
→ 1 (y ↓ 0)
x
−y
y
sin x
= 1 が成り立つ．
x↑0
x
sin x
以上 °
1 ，°
2 より， lim
= 1 が成り立つ．
x→0
x
なので，lim
∗
対数関数 y = log x の連続性
3

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