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数学 III
1
1.1
極限
命題 1.1. 次の性質が成り立つ.
⇒
(1)
1<α
(2)
0<α<1 ⇒
lim αn = ∞
n→∞
lim αn = 0
n→∞
証明
(1) α = 1 + ε, ε > 0 とするとき ε−1 < N となるような正の整数 N がとれる. n ≥ 1 とする
とき
(
)n ∑
( )k
n
1
n!
1
1
n
n
α = (1 + ε) > 1 +
=
≥1+n
N
k!(n − k)! N
N
k=0
1+
n N1
は n → ∞ で無限大に発散するので, lim αn = ∞.
n→∞
(2)
0 < α < 1 のとき 1 < α−1 だから
lim αn =
n→∞
1
1
=
=0
−1
n
lim (α ) (1) ∞
n→∞
証明終わり
命題 1.2.
sin(θ)
=1
θ→0
θ
lim
となる.
証明
θ > 0 について考える. 下の図において中心角 θ, 半径 1 の扇型は, それを囲む底辺 tan(θ), 高
さ 1 の三角形よりも面積が小さい. 即ち 2θ < tan(θ)
となる. 故に
2
θ < tan(θ).
(1.1)
θ
1
下の図により
sin(θ) < θ
1
θ
1
(1.2)
(1.1), (1.2) により,
sin(θ) < θ < tan(θ)
この式の逆数を取ると
cos(θ)
1
1
< <
sin(θ)
θ
sin(θ)
故に
sin(θ)
< 1.
θ
= 1 となることが分かる. lim sin(θ)
= lim
θ
cos(θ) <
sin(θ)
θ→+0 θ
となり, lim
θ→−0
sin(−θ)
θ→+0 −θ
sin(θ)
θ→+0 θ
= lim
= 1 ともなる
から,
sin(θ)
=1
θ→0
θ
lim
証明終わり
受験に有用
2
定理 2.1 (オイラーの公式).
eiθ = cosθ + isinθ
系 2.2 (三角関数の加法公式). オイラーの公式から三角関数の加法公式が導ける.
(1) sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
(2) cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ
証明
eiα+iβ = eiα eiβ = (cosα + isinα)(cosβ + isinβ)
= cosαcosβ − sinαsinβ + i(cosαsinβ + sinαcosβ)
eiα+iβ = ei(α+β)
= cos(α + β) + isin(α + β)
これらを比較して上の公式が得られる.
証明終わり
系 2.3 (三角関数の微分公式). オイラーの公式から三角関数の微分公式が導ける.
dsinθ
= cosθ,
dθ
dcosθ
(2)
= −sinθ.
dθ
証明
(1)
deiθ
d(cosθ + isinθ)
dcosθ
dsinθ
=
=
= +i
dθ
dθ
dθ
dθ
一方
deiθ
= ieiθ = −sinθ + icosθ.
dθ
だから, これら 2 式を比較して上の公式が得られる.
証明終わり
2
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