数学 III 1 1.1 極限 命題 1.1. 次の性質が成り立つ. ⇒ (1) 1<α (2) 0<α<1 ⇒ lim αn = ∞ n→∞ lim αn = 0 n→∞ 証明 (1) α = 1 + ε, ε > 0 とするとき ε−1 < N となるような正の整数 N がとれる. n ≥ 1 とする とき ( )n ∑ ( )k n 1 n! 1 1 n n α = (1 + ε) > 1 + = ≥1+n N k!(n − k)! N N k=0 1+ n N1 は n → ∞ で無限大に発散するので, lim αn = ∞. n→∞ (2) 0 < α < 1 のとき 1 < α−1 だから lim αn = n→∞ 1 1 = =0 −1 n lim (α ) (1) ∞ n→∞ 証明終わり 命題 1.2. sin(θ) =1 θ→0 θ lim となる. 証明 θ > 0 について考える. 下の図において中心角 θ, 半径 1 の扇型は, それを囲む底辺 tan(θ), 高 さ 1 の三角形よりも面積が小さい. 即ち 2θ < tan(θ) となる. 故に 2 θ < tan(θ). (1.1) θ 1 下の図により sin(θ) < θ 1 θ 1 (1.2) (1.1), (1.2) により, sin(θ) < θ < tan(θ) この式の逆数を取ると cos(θ) 1 1 < < sin(θ) θ sin(θ) 故に sin(θ) < 1. θ = 1 となることが分かる. lim sin(θ) = lim θ cos(θ) < sin(θ) θ→+0 θ となり, lim θ→−0 sin(−θ) θ→+0 −θ sin(θ) θ→+0 θ = lim = 1 ともなる から, sin(θ) =1 θ→0 θ lim 証明終わり 受験に有用 2 定理 2.1 (オイラーの公式). eiθ = cosθ + isinθ 系 2.2 (三角関数の加法公式). オイラーの公式から三角関数の加法公式が導ける. (1) sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (2) cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ 証明 eiα+iβ = eiα eiβ = (cosα + isinα)(cosβ + isinβ) = cosαcosβ − sinαsinβ + i(cosαsinβ + sinαcosβ) eiα+iβ = ei(α+β) = cos(α + β) + isin(α + β) これらを比較して上の公式が得られる. 証明終わり 系 2.3 (三角関数の微分公式). オイラーの公式から三角関数の微分公式が導ける. dsinθ = cosθ, dθ dcosθ (2) = −sinθ. dθ 証明 (1) deiθ d(cosθ + isinθ) dcosθ dsinθ = = = +i dθ dθ dθ dθ 一方 deiθ = ieiθ = −sinθ + icosθ. dθ だから, これら 2 式を比較して上の公式が得られる. 証明終わり 2
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