オートマトン・形式言語 演習問題 2016 年 11 月 29 日 1. アルファベット Σ = {0, 1, 2} からアルファベット T = {a, b} への準同型写像 h を以 下のように定める. h(0) = a, h(1) = ab, h(2) = ba このとき,以下の問に答えよ. (a) h(0120) を求めよ. (b) h(21120) を求めよ. (c) L を言語 L(01∗ 2) とするとき,h(L) を表す正規表現を求めよ. (d) L を言語 L(0 + 12) とするとき,h(L) を表す正規表現を求めよ. (e) L を言語 {ababa}(一つの文字列 ababa だけからなる言語) とするとき,h−1 (L) に属するすべての文字列を列挙せよ. 2. アルファベット Σ = {0, 1} からアルファベット T = {a, b} への準同型写像 h を h(0) = aa,h(1) = bab とする.このとき,言語 L = L((ab + ba)∗ a) に対する h−1 (L) を表す正規表現を求めよ. ヒント L を認識する下図の DFA から,h−1 (L) を認識する DFA を構成する (定理 4.16).構成した DFA をもとにして h−1 (L) を求める. (裏へ続く) 3. 言語 L と文字 a に対し,wa が L に属すような文字列 w の全体からなる集合を a に関 する L の商といい,L/a と表す.たとえば,L = {a, aab, baa} のとき,L/a = {ε, ba} である.L が正規言語ならば,L/a も正規言語であることを示したい.以下の証明 の空欄を埋め,証明を完成させよ. L が正規言語であるとする.このとき,L = L(A) となる DFA A = (Q, Σ, δ, q0 , F ) が存在する.いま,新たな DFA B = (Q, Σ, δ, q0 , F ′ ) を考える.ただし,F ′ = {q | δ(q, a) = qf , qf ∈ F } とする.このとき,L(B) = L/a であることを以下に 示す. (a) L(B) ⊆ L/a の証明 w を L(B) に属する任意の文字列とする.w は DFA B で受理されるから, 受理の定義より,ある受理状態 qw ∈ F ′ が存在して δ(q0 , w) = qw である. F ′ の定義と qw ∈ F ′ であることから,δ(qw , a) = qf を満たす qf ∈ F が存在 する.ここで,文字列 wa について考えると,δ(q0 , wa) = δ(δ(q0 , w), a) = δ(qw , a) = qf ∈ F となる.すなわち,wa ∈ L(A) = L であり,商の定義 より,w ∈ L/a である.よって,任意の w について,w ∈ L(B) ならば w ∈ L/a である. (b) L(B) ⊇ L/a の証明 (a)(b) より,L(B) = L/a が示せた.よって,L/a を認識する DFA B が存在す ることから,L/a は正規言語である. 4. 言語 L と文字 a に対し,aw が L に属すような文字列 w の全体からなる集合を a\L と表す.たとえば,L = {a, aab, baa} のとき,a\L = {ε, ab} である.L が正規言語 ならば a\L も正規言語であることを証明せよ. ヒント:問題 3. および,以下の定理・補題を利用して良い. 定理 4.11 L が正規言語であるとき,その反転 LR も正規言語である. 補題 1 任意の語 w に対して,w = (wR )R . 補題 2 任意の言語 L に対して,L = (LR )R . 2
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