最適安定マッチング問題に対する新しいアルゴリズムの検討

最適安定マッチング問題に対する新しいアルゴリズムの検討
静岡大学工学部システム工学科安藤研究室 5071-3085 山田一樹
2011 年 2 月 18 日
1.
はじめに
安定マッチングとは、そのマッチングで対になってい
ないペアが、それぞれ現在のパートナーと別れてパート
ナーになろうとする動機付けを持たないマッチングであ
る。最適安定マッチング問題とは、全ての男女のペアに
対して得点が割り当てられているときに、総得点が最大
になる安定マッチングを求める問題である。本研究の目
的は、最適安定マッチング問題に対する、ラグランジュ
緩和を用いる新しいアルゴリズムを開発することである。
2.
最適安定マッチング
n 人の男性と、n 人の女性を考える。各男性 m はすべ
ての女性に対して選好順序 <m を持ち、各女性 w はす
べての男性に対して選好順序 <w を持つとする。これら
の選好順序は完全で厳密かつ推移的であるとする。
男性の集合を M 、女性の集合を W とする。X ⊆
M × W がマッチングであるとは、各 m ∈ M に対し
て (m, µX (m)) ∈ X となるような µX (m) ∈ W がただ
女性 w ∈ W が (m, w) ∈ X であるならば xm,w = 1 で
あり、そうでない場合は xm,w = 0 である。
(P) に対して、以下のようなラグランジュ緩和問題 (Pλ )
を考える。
X
max
cm,w xm,w
(m,w)∈M ×W
X
+
(m,w)∈M ×W
X
X
λm,w (
xm,j +
xi,w + xm,w − 1)
(Pλ ) j>m w
i>w m
X
s.t.
xm,j ≤ 1 (m ∈ M ),
j∈W
X
xi,w ≤ 1 (w ∈ W ),
i∈M
xm,w ≥ 0 ((m, w) ∈ M × W )
(Pλ ) は割当問題であるため、ハンガリアンアルゴリズ
ムなどによって効率的に解くことができる。(Pλ ) の最
適値を f (λ) とすると、f (λ) の最小値は (P) の最適値と
等しい。また、f の最小値は、劣勾配法で求めることが
一つ存在し、かつ、各 w ∈ W に対して (µX (w), w) ∈ X
できる。
となるような µX (w) ∈ M がただ一つ存在することで
4.
ある。
(m, w) ∈
/ X であるような男性 m と女性 w のペアが、
計算機実験
f (λ) を計算し、劣勾配を求めて λ を逐次変更するア
ルゴリズムを C 言語で実装し、最適解へと到達する割合
µX (m) <m w かつ µX (w) <w m であるとき (m, w) を
を求めた。その結果、ラグランジュ乗数 λ を変更する方
X のブロッキングペアと呼ぶ。ブロッキングペアが存在
法の違いにより、最適解へと到達できる割合に大きな差
しないようなマッチングを、安定マッチングと呼ぶ。
が観測され、実験した 4 環境のうち 2 つのパターンで、
各ペア (m, w) に対して任意の得点 c(m, w) を割り当
ランダムに生成した全ての問題例で最適解に到達するこ
てる写像 c : M × W → R+ を定義する。このとき
とが確認された。
P
(m,w)∈X c(m, w) を最大化する安定マッチングを最適
さらに、全ての問題例で最適解に到達した 2 つのパ
安定マッチングであるという。
ターンについて、計算時間も計測した。しかしながら、
3.
アルゴリズム
Roth 等 [2] は、以下の線形計画問題
X
max
cm,w xm,w
(m,w)∈M
×W
X
s.t.
xm,j ≤ 1 (m ∈ M ),
j∈W
X
xi,w ≤ 1 (w ∈ W ),
(P) i∈M
xm,w ≥ 0 ((m, w) ∈ M × W ),
X
X
−
xm,j −
xi,w − xm,w ≤ −1
j>m w
i>w m
((m, w) ∈ M × W )
の最適値は、常に {0, 1} ベクトル x によって達成され、
そのベクトルが最適安定マッチングの接続ベクトルに他
ならないことを示した。ここで、マッチング X の接続
ベクトル x は、次のように定義される。男性 m ∈ M と
Irving 等 [1] に示されたアルゴリズムと比較して、計算
時間が大きすぎる、という結果となった。
5.
おわりに
アルゴリズムが必ず最適解に到達して終了するという
数学的証明を与えることと、さらに高速化することが、
今後の課題である。
参考文献
[1] R.W. Irving, P. Leather and D. Gusfield: An efficient algorithm for the “optimal” stable marriage.
Journal of the ACM 34 (1987) 532–543.
[2] A.E. Roth, U.G. Rothblum and J.H. Vande Vate:
Stable matchings, optimal assignments, and linear programming. Mathematics of Operations Research 18 (1993) 803–828.

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