数学科（数学 Ⅰ ）指導案

数学科（数学 Ⅰ ）指導案
実施日時
実施場所
実施対象
授業者
使用教科書
平成 18 年 11 月 14 日(火)第 2 校時
１年１組教室
１年１組４０名（男１７，女２３）
磯比呂志
数学Ⅰ（数研出版）
本時の概要
「毎日のプリント」を利用して，これまでの学習内容の復習を行いながら，その理解
を深めるように指導する。本時の内容では，正弦定理を導きだす方法を紹介しながら，
正弦定理を理解できるように指導し，実際に，それを利用して簡単な図形問題を解く。
（「毎日のプリント」の授業での扱い方の紹介をこの授業の目的とする。）
１．
単元
図形と計量
２．
単元の目標
図形を数量的に扱う時に基本になるのは，
「線分の長さ」と「角の大きさ」である。三角比あるい
は三角関数は，この２つのものを結びつけるものであるから，三角比は図形に関連した諸量の計算を
行うのに，不可欠の手段となる。数学以外でも，物理学，工学などにおいて，有効に使用されている。
この単元では，関数として扱うのではなく，三角比としての図形的な内容だけを扱うことから，
第１章で学んだような関数としての動的な部分は陰になり，線分の「比」といった静的な面が主体に
なる。また，この内容は，中学校の指導内容には含まれておらず，生徒は本章において初めて学習す
るから，次の諸項を目標として，十分な理解が得られるように指導する。
１．簡単な諸量問題を手がかりとして，鋭角の三角比を導入し，その有用性を知らせる。
２．三角比を鈍角の場合にまで拡張し，三角比の相互関係を調べる。
３．正弦定理・余弦定理を導き，これを用いて，三角形の辺と角の間の関係を明らかにするなど，
種々の問題を通して，その有用性の理解を深める。
４．球の体積と表面積の公式を紹介し，円柱や円錐との関係を明らかにする。
５．相似比と面積比・体積比の関係を明らかにし，種々の問題を通して，その有用性を知らせる。
３．
単元の題材観
三角比のような，新しい学習事項を指導するにあたって大切なのは，数学を苦手としている生徒
の，学習意欲の喚起である。生徒の日常生活に関連して，例えば物体の高さや正確な身長などを測定
するような具体的な内容を取り上げ，その解決のための適切な手段として，自然発生的に三角比の概
念を導入するのが，教育上効果的な方法と考えられる。また，ギリシア文字θ，α，β，γを使って
角度を表したり，tan , sin , cos のような記号法は生徒にとっては受け入れにくいものであるから，
慎重に取り扱う必要がある。
三角比の値については，原点を中心とする円の周上の点の座標に関して，sinθ，cosθを定義し，
様々な公式は，その導き方に時間を費やすことが必要である。正弦定理・余弦定理は，様々な三角
形の条件からの解法ならびに測量問題を指導することで，三角比やそれらの定理の有用性をさらに認
識させることが出来るであろう。図形の計量については，正四面体などの空間図形について扱うが，
イメージが苦手な生徒が多いと思われるから，丁寧な指導が望まれる。球の体積・表面積については，
公式を利用して諸量を求めることだけに止めておく。相似比と面積比並びに体積比においては，日常
生活でも役立つ事柄であると考える。
４．
生徒の実態
中学校では，三角形の性質や合同・相似条件，三平方の定理，三角形と比の定理を学習してきて
いる。図形においては，合同や相似などの証明の煩わしさから苦手としている生徒が多く，図形にお
ける基本である三平方の定理を説明できる生徒は少ない。また，ギリシャ文字も馴染みがなく，これ
までに学習した内容で出てきたαとβの読みが出来る程度で，ギリシャ文字の表を活用しながら学習
を行わなければならない。自分の進路目標との関係で，数学に対する意識は高いものの，学習内容を
振り返ったり，自主学習でその内容を深めようとする生徒は少ないと感じている。家庭における学習
時間も数学においては，入学当初で平日平均４５分であり，年々，その値は減少傾向にある。７月に
行われた進研模試の結果から，平均偏差値 50.2，２次関数の最大・最小の扱いを苦手としている。
数量を数式で解くことを苦手としていることから，視覚的な感覚として学習内容を扱うとよいのでは
ないかと考える。
数学の毎日プリントや課題に対する提出率は，９０％を超えているが，その取り組みの内容は，
指導を必要とするものである。友人のプリントの丸写しであったり，未解答の問題が多かったりと，
授業の度に声掛けが必要である。生徒は課題やプリント類の提出にだけ気を配る傾向にあり，その内
容を深めるまでには至っていない。解答と自分のプリントが返却されて，自分が何処でどのような間
違いをしてしまったのかを検証する生徒は，一握りであると考えられる。授業において，毎日のプリ
ントをとり上げることは，自分のプリントの検証や復習につながっていると考えるが，それが生徒に
どのような影響を与えるかは，今後，検証が必要である。
５．
単元の指導観
初めて扱う三角比において，その概念の定着には，視覚的に身につけさせるように心掛けたい。
三角比の相互関係や変換式，正弦・余弦定理など必要となる公式がたくさんあるために，生徒は困惑
することが予想される。定理や公式の導き方においても視覚的に感覚としてとらえさせ，「頑張れば
理解できるかもしれない」という意識を保持させていきたい。生徒がほぼ同じスタートラインからの
学習内容であるから，学習に対する意欲をなくさないように注意を要したい。従って，授業では教科
書を中心に学習を進めながら基本事項の定着を心掛ける。そして，毎日のプリントや課題において，
深化補充を行うように指導する。ここで大切なのは，毎日のプリントや課題の取り扱いである。授業
において，毎日のプリントや課題を取り上げることによって，教科書と課題の内容の差を出来るだけ
縮める努力を教師は行わなければならない。
６．
単元指導計画と評価規準
学習項目
第１節三角比
配当時間
学習内容（指導内容）
評価規準
１．正接・正弦・余
弦
4
測量問題を手がかりに，90°よ
鋭角において，sin，cos，tanの値が求め
り小さい角度の三角比を導入
られ，図形や測量などに応用できる。
し，その有用性を知る。
２．三角比の相互関
係
2
三角比の相互関係を導き，様々三平方の定理や直角三角形から三角比
な場面で使えるようにする。
の相互関係を導くことができる。
３．三角比の拡張
5
鈍角における三角比の値を求めること
三角比を９０°より大きい角度
ができる。また，座標軸と三角比との
まで拡張する。
関係を理解する。
第２節正弦定理と余弦定理
４．正弦定理
正弦定理，余弦定理を導き，こ円に内接する三角形や三平方の定理を
2
れを用いて三角形の辺と角の間利用して定理を導き出すことが出来
(本時1/2)
の関系を明らかにする。
る。
５．余弦定理
2
これらの定理を三角形をはじめ
定理を利用して，三角形の辺の長さや
とした様々な図形に応用するこ
角の大きさを求めることが出来る。
とで，その有用性を理解する。
６．正弦定理と余弦
定理の応用
4
条件の付いた三角形から辺の長さや角
三角形の辺と角について，様々
の大きさを求めることができる。ま
な条件により決定し，定理をさ
た，定理を図形や測量に応用すること
らに深める。
ができる。
７．三角形の面積
3
三角形の面積公式を利用して，面積の
三角比を利用した三角形の面積値やそれに関係する諸量を求めること
ができる。さらに，簡単な空間図形に
の公式を導く。
応用することができる。
８．球の体積と表面
積
2
球についての基本公式を理解す球の体積・表面積を公式を用いて求め
る。
ることが出来る。
９．相似と計量
4
平面・空間図形において，相似関係を
相似な図形の基本的な性質を理
見つけて相似比を計算することができ
解する。
る。
第３節図形の計量
７．研究テーマとの関連「毎日のプリントの役割と授業へのフィードバック」
１学年の概要
毎日のプリントは，学習内容の基礎の定着の確認と深化・補充のために使用されている。朝に配
付して，生徒は業間や昼休みの時間を利用して解き，放課後に回収する。回収の方法は，各クラス
にプリントの回収当番がおり，その係がチェック表に提出の有無を記入して出席番号順に並べて，
各担当へ渡される。各担当者は，指導用の解答を作成し，次の朝までに正誤など採点して生徒に返
却する。家に持ち帰っての課題ではなく，あくまでも学校内の課題プリントと位置づける。
１学年の取り組みの状況
入学して半年が過ぎたが，提出率が９０％を下回ることはない。５月頃まではきちんと解いて提
出する生徒がほとんどであったが，６月中旬頃から，友人のプリントの丸写しで提出する生徒も増
えてきた。学習内容の難化に伴って，そのような取り組みが増加するが，そのたびに注意を促して，
出来る限り自分の力で解くように声掛けをしている。
授業へのフィードバック
正答率の低い問題は，特に，授業の開始部分（導入部分）でその解説を行うようにしている。ま
た，解き方や記述式での記入の方法で気になるところなども触れるようにしている。毎日のプリン
トに触れることによって，前時までの復習を兼ねることになり，ウォーミングアップにもつながる
と考えている。また，毎日のプリントの採点を通して，自分の指導法の改善にもつながっていると
感じられる。さらに，本日の学習内容の深化・補充のために使用する場合には，授業の後半の部分
（まとめの部分）に使用することが多い。これは，演習と同じように扱っている。しかし，現状で
は，授業の開始部分で使用することの方が，はるかに多い。
メリット
・短時間で生徒の理解度を知ることができる。・生徒の学習時間確保の一助となる。
・生徒が多くの問題にふれることができる。
・公式を理解し，利用法を身につける。
・各個人の理解の状況をつかむことができる。・生徒の努力内容が把握できる。
・生徒の学力向上につながる。
・授業でも扱って，生徒の理解度が高まる。
デメリット
・生徒の自由な時間が減少する。
・担当者の役割が増える。
・問題作成には，かなりの労力を費やす。
・用紙が相当数必要となる。
・生徒のプレッシャーが大きくなる。
・数学が苦手な生徒にとっては大変である。
・マンネリ化してしまい，解答例を見ない。
・「やっつけ」で取り組む生徒が出てくる。
学力向上とのつながり
プリントを課題として，ただ解かせるだけでは学力の向上にはつながらない。実際に，授業で毎
日のプリントの内容に触れることが出来ないでいると，定期考査では，その部分の正解率が下がっ
ている。従って，大切なのは，解いたあとのプリントの扱い方が重要であると考える。理解できて
いないところは，短時間でも授業で触れることを繰り返し行わなければならない。授業の進度と毎
日のプリントのバランスもあるが，毎日のプリントに１単位時間を使って説明するときも必要であ
るという心構えでいなければならないであろう。ただ，そのための教材研究は，手間がかかる。従
って，学力の向上を目指したとりくみとしては，「授業での新しい学習事項→毎日のプリント→授
業でのプリントの解説→新しい学習事項→…」の循環で行わなければならないと考える。
毎日プリントの難易度
進度状況に応じて変化している。通年では，センター試験に対応できる程度の内容での出題を心
掛けている。しかし，新しい学習事項や章の始めの時期においては，教科書レベルの内容を出題し，
基本的な学習事項の定着を図るようにしている。学習が進むにつれて教科書の類題から応用へと難
易度が上がり，その章が終了する頃には，センター試験に対応する内容となっている。ただし，１
年生であるから，記述式での出題となっている。
課題の位置づけ
１学年の課題は，毎日のプリントと週末課題用としてチャート式「完成ノート」を使っている。
毎日のプリントについては学習の定着と深化補充のために行われ，その提出状況が平常点算出の一
つの材料となっている。また，完成ノートは範囲を指定し，約２週に１度の割合で提出を求めるも
ので，これもその提出状況が平常点算出の一つの材料となっている。完成ノートはあくまでも自主
学習用であり，学習内容の補充として扱っている。
８．本時の指導
（１）題材
第２節正弦定理と余弦定理
４．正弦定理
（２）本時の指導目標
正弦定理の導き方法を理解し，正弦定理を利用して，三角形の１辺とその両端の角が与えら
れたときの残りの２辺の長さを求めることができる。
（３）指導上の留意点
正弦定理は，これからの様々な図形の諸問題を解決する有効な手段の一つであるから，定理
の暗記に止めるのではなく，その導き方法まで理解できるように，その証明を丁寧に扱う。ま
た，正弦定理を使用する一例を示し，有効な定理であることを実感させる。
（４）準備物
教師：教科書，ワークシート，プリントファイル，フリップカード，ご指名カード
生徒：教科書，ノート，毎日のプリント
（５）評価の観点
①正弦定理の導く方法を理解することができたか。（知識・理解）
②三角形の辺の長さを正弦定理により求めることができたか。（表現・処理）
９．指導過程
段
階
学習のねらいと教師(T)の働きかけ
質問（□）発問（□）
１．昨日の毎日のプリントの確認
Ｔ：「三角比による辺の長さを確認
しよう。」
y = r sin θ の復習
円周角，中心角の性質の復習
学習活動（Ｓ：生徒）
（
：主な板書）
Ｓ：自分のプリントを確認する。
a = BD sin θ
∠BAC = ∠BDC
B
∠BAC = 12 ∠BOC
∠BAD + ∠BCD = 180°
A
B
導
入
20
分
２．本時の学習課題の提示
Ｔ：「正弦定理について，その導き
方とそれを用いて三角形の辺
の長さを求めてみよう。」
指導上の留意点及び評価
O
D
D
C
A
D
正弦定理の証明に使用する事柄
なので，板書は右側に書く。
円周角と中心角については，中
学校の内容なので性質を説明す
る。
O
C
C
B
Ｓ：板書をワークシートに写す。
正弦定理
△ABC の外接円の半径を R とする。
A
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
c
b
B
a
C
授業後半で使用するので板書は
左側に書く。
正弦定理は対辺の長さと頂角の
正弦の比は一定で，外接円の半
径の２倍（外接円の直径）に等
しい。
a
x
=
b
y
= cz は３つの比 a : x, b : y
, c : z が全て等しいことを示し
ている。
２Ｒとは外接円の何を表すか。
Ｔ：発言者がいなければ，ご指名カ
ードにより答えさせる。
Ｔ：「難しそうな式に思えるが，分
解して考えるとよい。」
Ｓ：「直径」「…分かりません」
分からないときは，さらにＴ「半
径の２倍だから…」と補足。
Ｓ：板書をワークシートに写す。
実際には
正弦定理の式において，
a
= 2R
sin A
a
b
=
sin A sin B
a
= 2R
sin A
a
b
=
sin A sin B
などの式に分解して考えること
分解して考えるとよい。は，困惑を防止するためにも必
要である。
３．正弦定理の証明（導き方）
Ｔ：「 a = 2 R は a = 2 R sin A と変
正弦定理の証明（ a = 2 R の導き方）
形できるから，a = 2 R sin A を
導くこととする。」
T：「まず， A < 90° のとき。」
［１］ A < 90° のとき
点Ｂを通る直径をＢＤとするとき
円周角の定理から
sin A
展
開
28
sin A
学習事項と目的を明確にするた
めに，中央に板書する。
フリップで図を示す。
分
Ａと等しい角は？
∠BCD の値は？
Ｔ：発言者がいなければ，ご指名カ
ードにより答えさせる。
a すなわち BC は sin を使って表すと
Ｔ：発言者がいなければ，ご指名カ
ードにより答えさせる。
Ｔ：
「次に A = 90° のとき。これは図
より明らかである。」
Ｔ：「続いて A > 90° のとき。」
∠BCD の角度は
円に内接する四角形の対角の和は
従って∠BDC を A で表すと
Ｔ：発言者がいなければ，ご指名カ
ードにより答えさせる。
（時間が
ないときは，省略する）
sin(180° − A) の変換式は
Ｔ：発言者がいなければ，ご指名カ
ードにより答えさせる。
「∠CBD」間違いや分からないときは，板
Ｓ：
「∠Ｄ」
「∠BDC」
「 90° 」，
書右側を指さし，ここにヒント
「 180° 」「…分かりません」
があることを示す。
∠BDC = A
∠BCD = 90°
Ｓ：
「 a = 2Rsin∠BDC」
「 a = BDsin∠BDC」
間違いや分からないときは，正
「 a = 2RsinA」，「…分かりません」
弦の定義の図などに書き直す。
従って a = 2 R sin ∠BDC = 2 R sin A
ゆえに a = 2 R sin A
評価①（知識理解）
フリップにより図を示す。
sin 90° = 1 に注意させる。
［３］ A > 90° のとき
点Ｂを通る直径をＢＤとするとき
フリップにより図を示す。
Ｓ：「直角」「 90° 」，「…分かりません」
Ｓ：
「 180° 」，
「 90° 」
「…分かりません」間違いや分からないときは，毎
「 ∠BDC+ A=180° 」，日のプリントを参考にさせる。
Ｓ：
「 ∠BDC=180° − A」
「…分かりません」
円に内接するから ∠BDC = 180° − A
円周角の性質より ∠BCD = 90°
従って a = 2Rsin∠BDC= 2Rsin(180° − A)
Ｓ：「 sin A 」，「 cos A 」「 − sin A 」「…
分かりません」
ゆえに a = 2 R sin A
展
開
28
分
可能であれば机間指導
Ｓ：板書をワークシートに写す。
［２］ A = 90° のとき
図より a = 2 R = 2 R sin A
評価①（知識理解）
可能であれば机間指導
間違いや分からないときは，半
円を描いてヒントを与える。さ
らに，毎日のプリントを参考に
させる。
Ｔ：
「以上より正弦定理が証明された」
４．正弦定理による三角形の辺の長さ
の算出
Ｔ：例題 8 の解説
Ｔ：
「辺の長さが分かっているのは a
なので，頂角Ａを元に正弦定理
を考える。」
sin 45°, sin 60° の値は
Ｔ：発言者がいなければ，ご指名カ
ードにより答えさせる。
（時間がないときは省略）
例題８ a =10, B = 60°, C = 75°のときｂは？
解)
三角形の内角の和より A+ B +C =180°
従って A+ 60° + 75° =180° より A = 45°
よって正弦定理より
10
b
=
sin 45° sin 60°
Ｓ：
「
1
2
」
「
」，
「
1
2
」
「…分かりませ
ん」
ゆえに b =
５．練習問題の解答
練習２２をやりなさい。
Ｔ：(1)と(2)について簡単な説明を
行う。
3
2
10
• sin 60° = 5 6
sin 45°
Ｓ：練習 22 に取り組む
練習２２
(1)
Ａ正弦定理より
45°
6
Ｔ：発言者がいなければ，ご指名カ
ードにより答えさせる。
B
30°
a=
a
6
=
sin 45° sin 30°
C ゆえに
6
• sin 45° = 6 2
sin 30°
ここでは，正弦定理の算出する
過程が大切であるから，証明の
終わり方については，簡単に行
う。
右側に板書する。
フリップで図を示す。
正弦定理の利用においては，対
応する辺と角を示しながら利用
する。式に代入してから，求め
る値にについて解く。
間違いや分からないときは，半
円を描いてヒントを与える。さ
らに，毎日のプリントを参考に
させる。
評価②（表現処理）
机間指導により評価を行う
図を描くことを指導する。
期間指導により取り組み状況を
把握し，状況によって板書を進
める。（中央に板書する。）
①板書なし。
②図を板書する。
③計算過程の流れだけを板書
(2)内角の和より C =180°−(120°+15°) = 45°
正弦定理より
A
4
B
展
開
28
分
ま
と
め
２
分
120°
15°
C
ゆえに a =
a
4
=
sin 120° sin 45°
4
• sin 120° = 2 6
sin 45°
答えは生徒の答えの後に板書す
る。
解答は生徒の発言によるものだ
が，間違いや分からない，まだ
終わっていないときは，板書の
順で正答へ導く。
正弦の値が求まらないようなと
きには，毎日のプリントを参考
にさせる。
評価②（表現処理）
机間指導により評価を行う
６．正弦定理を確認
Ｔ：「条件が少なくとも辺の長さや
角度などが分かる有効な定理
である。
」
７．次時の予告と問題集の紹介
Ｔ：「次回は正弦定理を深めます。
完成ノートはｐ２１からとな
る。」
１０．
(ア)
(イ)
(ウ)
(エ)
Ｓ：説明を聞く。
その他
シラバス（別紙１参照）
数学「毎日のプリント」
（別紙２参照
ワークシート（別紙３参照）
教科書の複写（下記参照）
教科書の複写
２部）
時間があるときは，毎日のプリ
ントの説明を行う。
別紙１
「学習の手引き」
学年・ｺｰｽ
１学年
教科・科目
数学Ⅰ・Ａ
5
到達目標
到達目標に向けての具体的ﾅ取り組み
(指導上の留意点など)
月
教科書
数研出版数学Ⅰ
数研出版数学Ａ
単位数
副教材
数研出版チャート式（参考書）
センター試験に対応できる学力を養う
毎日の数学プリント及び、週末の課題プリントなどを用いて演習を充実する
単元（教材，章，項，題材，具体的な内容）
１期の目標：
4 （数学Ⅰ）
第１章方程式と不等式
第１節式の計算
１．多項式
２．多項式の加法・減法と乗法
３．因数分解
第２節実数
5
４．実数
５．平方根
第３節１次不等式と２次方程式
６．１次不等式
７．２次方程式
（数学Ⅰ）
6 第２章２次関数
第１節２次関数とグラフ
１．関数とグラフ
２．２次関数のグラフ
３．２次関数の最大と最小
４．２次関数の決定
学習内容（各単元の目標）・具体的な学習のポイントなど
評価について（観点）
・式の整理と，公式の適切な使用ができるようにする
・複雑な計算で，変形などによって簡単な式の計算に帰着させ，能率よく計算できるよ能力を養う
・実数の概念と数直線上の点との対応を理解させ，絶対値を理解して処理が適切にできるようにする
・根号を含む無理数の計算を，正しく行えるようにする
・不等式の基本的な性質を理解し，不等式を適切に扱えるようにする
・２次方程式の解の公式を理解し，様々な２次方程式を解けるようにする
・関数の概念を明らかにする
・関数のグラフの意味とグラフの移動について理解する
・２次関数のグラフの特徴を利用し，最大値，最小値が求められるようになる
・２次方程式，２次不等式の解を，２次関数のグラフから考えられるようになる
定期考査Ⅰ
１期の反省：
２期の目標：
7
第２節２次不等式
５．２次関数のグラフとx軸の位置関係
６．２次不等式
（数学Ａ）
8 第１章場合の数と確率
第１節集合とその要素の個数
１．集合
２．集合の要素の個数
9
第２節場合の数
３．場合の数
４．順列
５．円順列・重複順列
６．組合せ
７．二項定理
２期の反省：
３期の目標：
10
第３節確率
８．事象と確率
９．確率の基本性質
10．独立な試行の確率
11．反復試行の確率
12．期待値
（数学Ⅰ）
11 第３章図形と計量
第１節三角比
１．正接・正弦・余弦
２．三角比の相互関係
３．三角比の拡張
第２節正弦定理と余弦定理
４．正弦定理
５．余弦定理
６．正弦定理と余弦定理の応用
第３節図形の計量
７．三角形の面積
８．球の体積と表面積
９．相似と計量
３期の反省：
４期の目標：
（数学Ａ）
1 第２章論理と集合
１．命題と条件
２．逆・裏・対偶
・集合を定義し，その表し方を理解する
・集合の包含関係，共通部分，和集合，補集合の基本概念を理解する
・ものの個数を数える手段として，集合の要素の個数を求めるという概念を理解する
・順列や組合せの考え方を理解し，基礎的な公式を利用しながら様々な計算にも習熟する
定期考査Ⅱ
・試行と事象の意味を明らかにし，事象が集合で表されることを理解する
・確率の意味を定め，その基本性質，基本法則を理解する
・基本法則を具体的に利用して，いろいろな事象の確率を計算する力を養う
・独立試行の定理の内容を理解する
・期待値の意味を理解し，具体的に求める
毎日のプリントや
そのほかの課題
に対する取り組
みで知識や理解
を見る。
授業への取り組
みで興味・関心
や意欲を見る。
・測量問題を手がかりに，90°より小さい角度の三角比を導入し，その有用性を知る
・三角比の相互関係を導き，様々な場面で使えるようにする
・三角比を９０°より大きい角度まで拡張する
・正弦定理，余弦定理を導き，これを用いて三角形の辺と角の間の関
係を明らかにする
・これらの定理を三角形を初めとした様々な図形に応用することで，
その有用性を理解する
・三角比を利用した三角形の面積の公式を導く
12
（数学Ａ）
2 第３章平面図形
第１節三角形の性質
１．三角形の辺と角
２．三角形の外心・内心・重心
第２節円の性質
３．円周角
４．円に内接する四角形
５．円と直線
６．方べきの定理
７．２つの円の位置関係
・球についての基本公式を理解する
・相似な図形の基本的な性質を理解する
定期考査Ⅲ
・命題の真偽と集合の関係および，必要，十分，必要十分条件について理解する
・命題の逆，裏，対偶の意味と，その真偽関係を理解する
・三角形の基本的な性質を理解し，応用できるようにする
・外心，内心，重心の意味および，その性質を理解する
・円周角の基本的な性質を理解し，応用できるようにする
・内接四角形の性質を理解し，応用できるようにする
・円と直線，円と円の関係について明らかにする
・方べきの定理を理解し，応用できるようにする
定期考査Ⅳ
４期の反省：
3 ２年生に向けた予習と１年生の復習
別紙２
１年数学プリント８２
１年（
）組（
）番（
）列
氏名（
）
Ａ
１
半径 R の点 O を中心とする円周上に，右図のように４点 A,B,C,D をとるとき，
次の問に答えよ。ただし，∠BDC=θ，BC＝a とする。
（１）∠BAC と等しい角はどれか。また，∠BAC は∠BOC で表すと
どのように表すことができるか。
Ｄ
θ
Ｏ
ａ
Ｂ
Ｃ
（２）∠BCD の角度を求めよ。また，∠BAD+∠BCD の角度を求めよ。
（３）ａをθで表せ。
２
θを鋭角とする。 sin θ =
5
のとき，次の値を求めよ。
13
（１） cos(90° − θ )
（２） sin(180° − θ )
Ａ
３
∠B＝60°,∠C＝75°である△ABC がある。次の問いに答えよ。
（１）AB＝４のとき，△ABC の高さ AH を求めよ。
（２）sinA , cosA の値をそれぞれ求めよ。
（３）頂角Ｂの外角をθとするとき，θの角度と sinθの値をそれぞれ求めよ。
Ｂ
60°
Ｈ
75°
Ｃ
別紙２
１年数学プリント８３
１年（
）組（
）番（
１
△ＡＢＣにおいて，次のものを求めよ。
（１） a＝５，A＝30°，B＝45°のときｂ
（２） c＝８，B＝60°，C＝45°のときｂ
（３） a＝ 2 3 ，A＝120°，C＝45°のときｃ
（４） a＝２，b＝ 3 ，A＝60°のとき sinB
（５） b＝２，c＝ 3 ，B＝45°のとき sinC
（６） a＝８，A＝30°，B＝135°のときｂ
（７） a＝３，c＝ 2 6 ，C=120°のとき sinA
（８） b＝ 2 2 ，c＝ 3 ，C＝30°のとき sinB
）列
氏名（
）
別紙３
４．正弦定理（ワークシート）
Ａ
正弦定理
△ＡＢＣの外接円の半径をＲとする。
b
c
Ｂ
C
a
（１）正弦定理の証明（導き方を身に付けよう）
＊正弦定理は分解して考えるとよい。
a
b
=
sin A sin B
証明
[１]Ａ＜90°のとき
，
a
= 2R
sin A
→
を証明する
[３]Ａ＞90°のとき
[２]Ａ＝90°のとき
A
A
A
B
D
O
B
B
O
C
C
O
D
C
点 B を通る直径を BD とする
円周角の定理から
点 B を通る直径を BD とする
円の内接するから
図より
円周角の定理から
従って
従って
ゆえに
同様に， b = 2 R sin B , c = 2 R sin C が成り立ち，正弦定理が成り立つ。
A
例題８
練習２２
（１）
図
b
B
60°
75°
解）
C
解）
内角の和より
従って
よって，正弦定理より
ゆえに
（２）
図
解）
・・・
終

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