線形代数Ⅰ 第一回

線形代数 I
第１回オリエンテーション
第2回平面と空間ベクトル
オリエンテーション
線形とは？
（ざっくり言えば）一次関数である事
y = ax
線形代数でやる事
ベクトルと行列の演算
y = ax
 y1   a11
 y  = a
 2   21
 y3  a31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
 x1 
x 
 2
 x3 
線形代数を使ってできる事
ベクトルの操作（回転や伸長）
y
 x 
 1 
 y1 
 x   a
a12
2
11

=
 y2   a21 a22
 x 
 1 
 y2 
x
線形代数を使ってできる事
連立方程式がシステマティックに解ける
y = Ax
−1
x=A y
線形代数の応用例
画像処理
線形代数の応用例
移動体
テキスト
第３章の行列式まで進みます
講義の進め方
• プロジェクターを使います
• 簡単な小テストを毎回実施します
• ノートは特に取らなくて良いです（簡単なメモ
程度にとどめて集中して聴いてください）
• 講義スライドはアップロードします
講義資料のアップロード先
オフィスアワー
随時。ただしメールでアポイントをとってください
Adress: [email protected]
機械棟の3103が居室です
成績評価
• 期末テストを実施（60点以上で合格）
• 期末テストで60点を下回った場合に限り、小
テスト分を１回２～３点として加算
• 再試は行わない（つもり）
平面と空間ベクトル
本日の講義内容
• ベクトルとは？
• ベクトルのスカラー倍
• ベクトルの和と差
スカラーとベクトル
状態を表現する方法
スカラー
15L
ベクトル
15L, 40℃
幾何学平面(空間）上のベクトル
原点を始点とした矢印。長さと向きを持つ。
y
 ax 
a= 
ay 
ay
ax
テキスト pp.4
x
幾何学平面(空間）上のベクトル
原点を始点とした矢印。長さと向きを持つ。
y
長さ
a = ax2 + ay2
 ax 
a= 
ay 
 ay 
θ = tan  
 ax 
−1
x
テキスト pp.4
幾何学平面(空間）上のベクトル
向きと長さだけ（位置とかは考えない）
y
同じベクトル
x
テキスト pp.3, 4
幾何学平面(空間）上のベクトル
３次元でも基本的には同じ。
z
az
ax
x
テキスト pp.3
 ax 
a =  a y 
 az 
長さ?
a = ax2 + ay2 + az2
y
ay
幾何学平面(空間）上のベクトル
ベクトルの長さしか決まってない場合は?
z
a = x2 + y 2 + z 2
r
x
テキスト pp.4
=r
y
ベクトルのスカラー倍
かけ算したスカラーに応じて長さが変化する。
y
0 
0= 
0 
テキスト pp.7
 ax 
a= 
ay 
1 
ax 

1
a = 2 
1 a 
2
 2 y 
x
ベクトルのスカラー倍
マイナスをかけると逆方向になる
y
1
− a
2
 ax 
a= 
ay 
1
a
2
x
テキスト pp.7
ベクトルの和
足す方の始点を足される方の終点に移動
y
a+b
a
b
x
テキスト pp.6
ベクトルの和
成分で書くと簡単（こちらの方が一般的）
y
 ax 
a= 
ay 
 ax + bx 
a+b = 

a
+
b
y
 y
 bx 
b= 
 by 
x
テキスト pp.6
ベクトルの差
-1をスカラー倍して足し算
−b
y
a−b
a
b
テキスト pp.7
x
ベクトルの差
引く方の終点から引かれる方の終点
y
a
a−b
b
テキスト pp.7
x
ベクトルの差
成分で書くと簡単（こちらの方が一般的）
y
 ax 
a= 
ay 
a−b
 bx 
b= 
 by 
テキスト pp.7
x
 ax − bx 
=

a
−
b
y
 y
公式(定理）
(cd )a = c(da )
(c + d )a = ca + da
c(a + b ) = ca + cb
テキスト pp.7
基本ベクトル
1 
0
0 






e1 = 0  , e 2 = 1  , e3 = 0 
0 
0 
1 
 ax 
 
a
=
a
e
+
a
e
+
a
e
y
x
1
y
2
z
3
 
 az 
テキスト pp.8
問題
 −1
2
8
a =  , b =  , c =  
1
1 
1
888 = −−
r−r+1+22ss 2 s2 
= r  ++s   
11 =
  1 = rrr1++s s  s1 
テキスト pp.10 問題３
c = ra + sb
である時、
となるr, s
問題
1 
1 
0 
a = 1  , b = 0  , c = 1 
0 
1 
1 
311   21 









3a − 2b = 3? 313 −− 200 
   
−
002   21 
テキスト pp.10 問題5
問題
1 
1 
0 
a = 1  , b = 0  , c = 1 
0 
1 
1 
c = ra + sb
テキスト pp.10 問題5
1   r + s 
1  =  r 
  

0   s 
小テスト
 2y 
 2x 




a =  4y , b =  3y 


 z 
5x




(1)
である時、
a + 2b = ?
(2) 2a − b = ?
(3) 5 ( 2b + a ) = ?

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