2011 年度「数学 8」 − 43 − < 反転公式の証明 > Z 補題 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ∞ π 2 : a>0 sin au du = 0 ⎪ u ⎪ ⎪ 0 : a=0 ⎩ −π 2 : a<0 （証明） ① a > 0 のとき p29 の結果より au = t とおくと Z ∞ Z n Z an sin au sin au sin t 1 · dt du = lim du = lim t n→∞ 0 n→∞ 0 u u a 0 a Z an Z ∞ sin t sin t π dt = dt = = lim n→∞ 0 t t 2 0 ② a < 0 のとき au = −t とおくと ¶ µ Z ∞ Z n Z −an 1 sin au sin au sin(−t) dt · − du = lim du = lim n→∞ 0 n→∞ 0 u u a − at 0 Z −an Z ∞ sin t sin t π = lim − dt = − dt = − n→∞ 0 t t 2 0 [反転公式の証明] Z 正数 R に対し、gR (x) = 積分より R −R f (u)e−ixu du, g∞ (x) = Z ∞ f (u)e−ixu du とおくと f は絶対可 −∞ ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ ¯ −ixu max |g∞ (x) − gR (x)| = max ¯ f (u)e du¯ < |f (u)|du → 0 (R → ∞) x∈R x∈R ¯ |u|>R ¯ = |u|>R だから、任意の正数 n と実数 t に対し、 ¯Z ¯ ¯ ¯ n −n ixt g∞ (x)e よって F (x) = Sn (t) = 1 2π Z dx − Z n ∞ Z n ixt gR (x)e −n n −n |g∞ (x) − gR (x)|dx → 0 (R → ∞) f (u)e−ixu du に対し、 −∞ F (x)eixt dx = −n 1 2π Z n −n ½Z ∞ −∞ ¾ f (u)e−ixu du eixt dx Z n 1 g∞ (x)eixt dx = lim gR (x)eixt dx R→∞ 2π −n −n ! ) Z n ÃZ R Z n (Z R 1 1 = lim f (u)e−ixu du eixt dx = lim f (u)eix(t−u) du dx R→∞ 2π −n R→∞ 2π −n −R −R 1 = 2π Z ¯ Z ¯ ¯ < dx¯ = n ここで f (u)eix(t−u) は x に関して連続、u に関して区分的に滑らかだから (u, x) ∈ [−R, R] × [−n, n] の範囲で積分順序が交換できる。（p109） 従って 1 R→∞ 2π Sn (t) = lim Z R −R ½Z n −n ¾ Z f (u)eix(t−u) dx du = lim R→∞ R −R ½ 1 2π Z n −n ¾ eix(t−u) dx f (u)du
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