mv`−mv＝F×t F/m mv`＝mv＋Ft mv`−mv＝Ft (mv`−mv)/t＝F

ロケットはどのようにしてとぶか(運動量とその保存)
１．運動と力
運動の程度を表すものは何か物体の運動の激しさの程度は，速度が大きいほど大きく，
同じ速さでも質量が大きい場合ほど大きいと考えられる．力学が成立した当時，運動の激
しさの程度について，速度ｖに比例するというデカルト派と，ｖ2に比例するというライプ
ニッツ(Leibnitz，1646∼1716，ドイツ)派との間で，奇妙な論争が起こった．この論争は1
9世紀に入って，コリオリ(Coriolis，1792∼1842，フランス)によって解決された．
運動の程度を表すものとしてはどちら
も重要であって，場合によってどちらか
が重要な役割を果たすということがわか
った．すなわち，運動の時間的なことに
ついてはｍｖが重要で，距離的なことに
ついては(1/2)ｍｖ2が重要であることが
わかった．例えば，速度ｖで走っている
自動車で急ブレーキをかけたとき，止ま
るまでの時間はｍｖで定まり，止まるまでの距離は(1/2)ｍｖ2で定まる(速度が２倍であれ
ば，止まるまでの時間は２倍，止まるまでの距離は４倍となる)．
運動量とその変化質量ｍの物体が速度ｖで運動しているとき、ｍとｖとの積をこの運動
の状態を表す１つの目安(標準の表示)として、運動量という．
運動動量＝質量×速度＝ｍｖ
…①
この物体に，力Ｆが時間ｔの間はたらくとき，運動量が変化し，次の関係が成り立つ．
運動量の増加＝力×時間
…②
すなわち，時間ｔの間に速度がｖからｖ'に変われば
ｍｖ'−ｍｖ＝Ｆ×ｔ
…③
力×時間を力積と呼び，このことは次のように言い表される．
運動量の増加は，力が与えた力積に等しい．＊
＊時間ｔの間，力Ｆが一定として取り扱い，(説明)においても一定として計算しているが，結論はＦが変
化する場合にも成り立つ形で述べてある(無限小時間についてはそのまま成り立ち，有限時間について
は時間との積は時間での積分になる)．以下でも，同様の取り扱いをすることにする．
(説明) ②式の導出運動方程式から，加速度は，ａ＝Ｆ/ｍ
…④
であるから，力Ｆがｔ秒間はたらいたときの速度は，ｖ'＝ｖ＋ａｔ＝ｖ＋(Ｆ/ｍ)ｔ
両辺にｍをかけると，
ｍｖ'＝ｍｖ＋Ｆｔ
…⑤
ゆえに
ｍｖ'−ｍｖ＝Ｆｔ
運動量と運動法則式(3)をｔで割って次の形に書くことができる．
(ｍｖ'−ｍｖ)/ｔ＝Ｆ
左辺は運動量が単位時間あたりに変化する割合であるから，次のようにいえる．
運動量が単位時間あたりに変化する割合は，力に等しい． …⑥
すなわち，運動量を変化させるのが力で，その時間的割合が力の大きさである．
これは運動の第２法則の別な言い表し方でもある．
２．運動量の保存
衝突などにおける運動量保存２つの物体が衝突する場合など，一般にいくつかの物体が
お互いどうしは力を作用し合うが，それ以外から力の作用を受けないときは次のことが成
り立つ．各物体の運動量の和は(衝突などしても)変化しない．
これを運動量保存の法則という．例えば，質量がｍ1とｍ2の２つの物体がそれぞれ速度ｖ1，
ｖ2をもち，他から力を受けないときは，衝突などして速度がｖ1'，ｖ2'になったとすると，
運動量の和は変わらないで
ｍ1ｖ1'＋ｍ2ｖ2'＝ｍ1ｖ1＋ｍ2ｖ2
…⑦
- 1 -
となる．多数の物体の場合についても成り立つ(固体の衝突等につい
て注意：撃力p.4を参照)．
(説明) ⑦式の導出衝突して力を作用し合っているとき，第１
の物体に力Ｆがｔ秒間はたらいたとすると，⑤式から
ｍ1ｖ1'＝ｍ1ｖ1＋Ｆｔ
その間，第３法則によって，第２の物体には反作用−Ｆがはたら
くから，
ｍ2ｖ2'＝ｍ2ｖ2−Ｆｔ
両式を加えて，ｍ1ｖ1'＋ｍ2ｖ2'＝ｍ1ｖ1＋ｍ2ｖ2
一般に多数の物体の場合でも，お互いどうし作用し合う力は作用と反作用とであることを
使って，同様の計算によって，全体の運動量の和は変化しないことが示される．
分裂と反動運動量保存の法則は，関与しているすべての物
質について，それ以外から力がはたらかなければ，つねに成
り立つきわめて一般的な法則で，例えば２つのものが衝突し
て合体するとか，１つのものがいくつかに分裂するような場
合にも成り立つ．いま，静止した物体が質量ｍ1とｍ2の２つ
の部分に分裂し，それぞれｖ1'，ｖ2'の速度をもって飛び出
したとする．初め両部分がくっついていたときの運動量は０であるから，式(7)から
ｍ1ｖ1'＋ｍ2ｖ2'＝０ …⑧ ∴ ｍ2ｖ2'＝−ｍ1ｖ1' …⑨
両部分は正反対の向きに飛び出し，運動量の大きさは等しい(すなわち，軽い方は大きい速
さ，重い方は小さい速さで飛び出す)．このように，一方が飛び出したとすると残りの部分
が反対方向に動き出すことを，俗に反動といい，いろいろな場合に見られる．
(ａ)水平な水面上で，セーターをぬいで前方に投げると，体が後方に動き出したり，よろけたりする．
(ｂ)銃を撃つと弾を発射したと反対の向きに銃が動いて強い反動がある．射撃の選手がしっかりした肩あ
てをつけているのもこのためである．大砲を撃つときは，砲が後退するのをやわらげるいろいろな
工夫がなされている．昔は後ろが上がり斜面になっている所で発射したようである．
(ｃ)機関銃を滑らかな台の上にのせて，連続的に発射するようにすれば，銃は後退し続ける．
ロケットの推進ロケットは，燃料を爆発的に燃焼させて高速度で噴射し続ける．
その質量は小さくても速度がきわめて大きいので，相当の運動量を後方に出してい
る．(上記ｃの機関銃の例と同じように)ロケット本体は，これと同じ大きさの運動
量をもって噴射と反対の向きに動く．これがロケットが進む理由であって，後方に
運動量さえ出せばよいから，真空中でも進む．なお，単位時間の運動量の変化が力
であるから，噴射によって単位時間に送り出される運動量がロケットの推進力の大
きさになる．この力が重力を越すところで，ロケットが上昇しはじめる．
- 2 -
３．回転における角運動
力のモーメント例えば，ドアなどのような回転軸をもったものを
回すときに，回転軸に近い所を押すと大きな力がいるが，回転軸か
らなるべく遠い所を直角に押せば小さい力ですむ．このように，回
転させる場合には力の大きさだけでなく，軸から力までの距離も問
題になる．一般に，右中図のように，あるベクトルＡと点Ｏとがあ
るとき，ＯからＡに下ろした垂線の長さをｈとして，次のようにベ
クトルのモーメントを定める．
ＯのまわりのＡのモーメト＝Ａ×ｈ
…⑩
ドアの場合に，力の大きさＦとｈとの積が問題になるが，このこと
は力の回転軸のまわりのモーメントが重要
になるということである．
角運動量とその変化一般に，運動をある
点をもとにして考えるとき，運動量のモー
メントが重要になる．これを角運動量とい
い次のように定める．
(Ｏのまわりの)角運動量＝(Ｏのまわり
の)運動量のモーメント
…⑪
右下図(a)のように，ある物体が運動量ｍｖ
で運動している瞬間に，点Ｏのまわりの角運
動量はｍｖ×ｈである．
特に，同図(b)のように，質量ｍの物体が，
軸Ｏのまわりに半径ｒの円周上を速さｖで運
動しているときは，軸Ｏのまわりの角運動量
は次のようになる．
(回転運動の)角運動量＝ｍｖｒ …⑫
さて，(回転軸に束縛されない)一般の運動
では運動量と力とが重要であったが，回転の
場合には，それらのモーメントであるところの角運動量と力のモーメントとが重要で，運
動量と力との関係に対応して，次の関係が成り立つ．
角運動量が時間的に変化する割合は力のモーメントに等しい．
(これは運動方程式の両辺(ベクトル)のモーメントをとれば証明できる．)例えば，静止し
ていたドアを回転させるには，角運動量を０から変化させなければならないが．それは力
のモーメントによってなされる．
角運動量の保存上記の関係から，回転状態，つまり角運動量を変化させるのが力のモー
メントであるが，力のモーメトがないならば，角運動量は変化しない：
力のモーメントが０のときは角運動量は変化しない．
(1)(a)のようなつり合いが成り立つためには，支点のまわりに回転が起こらないことが必要である．つま
り力のモーメントが打ち消し合うことが必要である(これを「力のモーメントのつり合い」ともいう)．
(2)滑らかな水平な板の中央に滑らかな小穴をあけ，これに糸を通し，板の上にある糸の端に質量ｍの小
球をつけ，板の上で回し，糸の他端を手で動かす．糸が小球に作用する力は小穴の方向に向かい，小
穴のまわりのモーメントをもたないから，小穴のまわりの角運動量が変化しない．板上の糸の長さが
ｒ1，ｒ2のときの回転する小球の速さがそれぞれｖ1，ｖ2であれば，ｍｖ1ｒ1＝ｍｖ2ｒ2 (速さは糸
の長さに反比例する)
(3)フィギュア・スケートのスピンのとき，スケーターが手足を広げて回転していて，急に手足を縮める
と，ものすごい速い回転になる．これは，体の各部分が回転軸に近くなるとき，角運動量が保たれる
ように，回転が速くなるためである．
(4)ゆっくり自転していた星が，あるとき急に収縮して半径が小さくなると，速い回転になる．
(5)物体に回転を与えて投げるとき，空気の抵抗を無視すれば回転軸のまわりに力のモーメントがはたら
かないので，回転を保ちながら飛んでいく．円盤投げでは，円盤に回転を与えて投げるが，角運動量
がほぼ一定に保たれ，回転(ならびに回転軸の方向)が維持される)．
- 3 -
ジェット機の推進力ジェット機のエ
ンジンは，吸込口から空気を吸い込み，
それを圧縮し燃料を混入し，空気とと
もに爆発的な高速度で後方に噴出す
る．つまり，後方に送り出す大きな運動量(前方に力を与える)と，前方から吸い込む運勤
量(抵抗を与える)の差によって推進力を得る．なお，後ろのほうで高い位置にエンジンの
吸込み口がついているものがあるが，これは力のモーメントにより回転的に機首を持ち上
げる等のバランスを与えるはたらきをする．なお，ジェット機が浮いているのは，翼の揚
力による．ジェット機は空気を全面的に利用しているので，空気のない所(真空中)では飛
べない．
注意：撃力固体の衝突や打撃の場合には，測定困難なほど極めて大きい力が極めて短い時間にはたらく．
このような力を撃力というが，この場合にも③や⑦が成り立つ．このとき撃力にくらべて，重力その
他普通に測定できる力は小さいのでその影響は無視され，また極めて短い時間であるので，距離＝速
度×時間は(時間が０に近いので)極めて小さく，撃力のはたらく間での位置の変化は無視される．
後藤憲一：新しい物理へのアプローチ−基礎から最先端まで−、pp.17-21、共立出版(1989)
運動量運動量と力積
ポイント
A 運動量ｍｖ
ｍ；物体の質量
ｖ；物体の速度
B 力積
Ｆｔ
Ｆ；物体に加えた力ｔ；力を加えた時間
C 物体の運動量の変化は，その変化の間に物体が受けた力積に等しい。
例題●運動量と力積●
静止している質量5.0kgの物体に10Nの力を4.0s間，加えた。
(1)物体に加えられた力積を求めよ。
(2)物体の運動量はいくらふえるか。
(3)物体の速さはいくらになるか。
解法 (1)Ｆｔ＝10[N]×4.0[s]＝40[N･s]
(2)加えた力積が物体の運動量の増加分になるから，40[kg･m/s]
(3)求める速さをｖ[m/s]とすると，運動量ｍｖは，5.0×ｖ＝40
答 (1)40N･s (2)40kg･m/s (3)8.0m/s
∴ｖ＝8.0[m/s]
01(運動量)質量4.0kgの物体が，速さ2.0m/sで動いている。この物体がもっている運動量の大きさはいく
らか。
02(運動量と力積)東向き20m/sの速度で運動していた質量15kgの物体が，東向き30m/sの速度になった。
(1)物体の運動量はいくら増加したか。
(2)物体に加えられた力積の大きさと向きを求めよ。
- 4 -
03(運動量の合成)質量3.0kgの物体Ａが西向きに4.0m/sで，質量8.0kgの物体Ｂが南向きに2.0血/sで動い
ている。Ａ，Ｂ合わせた運動量の大きさはいくらか。
04(運動量の変化)東向きに10m/sの速さで運動している質量2.5kgの物体に一定の向きの力が作用して，北
向きに10m/sの速さになった。
(1)初めもっていた運動量の大きさと向きを求めよ。
(2)変化したあと，もっている運動量の大きさと向きを求めよ。
(3)運動量の変化はいくらか。その大きさをいえ。
(4)物体に加えられた力の向きを求めよ。
運動量の保存
ポイント
A 運動量保存の法則いくつかの物体から
なる物体系に外力による力積が加わらな
いとき，物体系の運動量の和は一定に保
たれる。ｍ1ｖ1＋ｍｖ2＝ｍ1ｖ1'＋ｍ2ｖ2'
例題運動量保存の法則
右向きに3.0m/sで運動している質量2.0kgの物体Ａに，右向きに12m/sで運動している質量4.0kgの物体
Ｂが衝突した。衝突後，Ａの速度は右向きに15m/sになった。衝突後のＢの速度を求めよ。
解法図のように右向きを正の向きと決め，求める
速度をｖ [m/s]とする。衝突の前後で運動量が保存
していることから，
2.0×3.0＋4.0×12＝2.0×15＋4.0×ｖ
衝突前の全運動量＝衝突後の全運動量
答右向きに6.0m/s
これより，ｖ＝6.0[m/s]
05(合体)静止している物体Ａに，質量0.50kgの物体Ｂが6.0m/sの速さで衝突した。衝突後，Ａ，Ｂは一体
となって速さ2.0m/sで運動した。Ａの質量はいくらか。
06(分裂)静止していた物体が質量2.0kgの部分Ａと質量3.0kgの部分Ｂに分裂した。Ａの速度を12m/sで東
向きとすると，Ｂの速度の大きさと向きはどうなるか。
07(運動物体の合体)一直線上を動いてきた質量6.0kgの物体Ａが，同じ向きに
2.0m/sの速さで進んでいた質量9.0kgの物体Ｂに追いつき，一体となって
4.0m/sの速さで動いていった。一体となる前の物体Ａの速さはいくらで
あったか。
08(平面上での合体)氷の上を東向きに6.0m/sの速さですべってきた質量40kg
の物体Ａと，南向きに4.0m/sの速さですべってきた質量60kgの物体Ｂが
衝突した後，一体となって運動した。一体となった後の速度の向きと大
きさを求めよ。
09(運動量の保存)図のように，なめらかな水平面上を2.5m/sの速さで進んでいる質
量1.2kgの力学台車に，質量0.80kgの砂袋を鉛直に落とすと，砂袋を積んだ力学
台車の速さはいくらになるか。
- 5 -
10(運動量保存と力積)静止していた質量6.0kgの物体が，一直線上で4.0kgと2.0kgの２つに分裂した。分
裂直後，4.0kgの破片の速さが5.0m/sであったとき，2.0kgの破片の速さはいくらになるか。また，こ
の分裂が0.010s間で行われたとすると，この間に2.0kgの破片は4.0kgの破片から平均していくらの力
を受け続けたことになるか。
11(平面上の衝突)なめらかな水平面上で，速さ10m/sの小球Ａが，静止している小球Ｂに衝突し，Ａは初
めの進行方向から右へ30°，Ｂは同じく左へ45°の方向へ進んだ。衝突後のＡ，Ｂ両球の速さを求め
よ。ただし，Ｂの質量はＡの質量の√２倍とする。
12(正面衝突)質量2.0kgの物体Ａと質量4.0kgの物体Ｂが，図のように
それぞれ5.0m/sの速さで正面衝突し、た結果，Ａは，もと来た向
きに3.0m/sの速さではね返された。衝突後のＢの速度の向きと大
きさを求めよ。
13(板の上をすべる物体)なめらかな床の上に，質量4.0kgの板が置
かれている。この板の上で質量0.50kgの物体を初速度20m/sで
水平にすべらせたところ，板と物体の間に摩擦があるために
減速し，物体は板の端から床に対して12m/sの速さで飛び出し
た。このときの板の速さはいくらか。
反発係数
ポイント
A 反発係数ｅ
B 反発係数の範囲
ｅ＝1；(完全)弾性衝突，0＜ｅ＜1；非弾性衝突，ｅ＝0；完全非弾性衝突
※衝突の前後で，力学的エネルギーは(完全)弾性衝突の場合のみ保存される。
例題 ●反発係数と運動量の保存●
一直線上を，右向きに0.60m/sの速さで進む質量2.0kgの物体Ａが，同
じく右向きに0.12m/sの速さで進む質量未知の物体Ｂに衝突した。衝突後
Ａは右向きに0.24m/sの速さで進んだ。ＡとＢの間の反発係数を0.25とす
る。
(1)衝突後のＢの速さはいくらか。
(2)Ｂの質量はいくらか。
解法 (1)右向きを正として，求める速度をｖ[m/s]とすると，反発係数の式より， 0.25＝−(0.24−ｖ)/
(0.60−0.12) これを解いて，ｖ＝0.36[m/s]
(2)運動量が衝突前後で保存しているから，Ｂの質量をｍ[kg]として，
2.0×0.60＋ｍ×0.12＝2.0×0.24＋ｍ×0.36
これより，ｍ＝3.0[kg]
答 (1)0.36m/s (2)3.0kg
14(反発係数)小球が速さ6.0m/sで面に垂直に当たった。小球と面の間の反発係数を0.50とすると，はね返
ってくる小球の速さはいくらか。
15(反発係数)静止させた壁に垂直に，小球を速さ8.0m/sで当てたところ，6.0m/sでは
ね返されてきた。
(1)小球と壁の間の反発係数はいくらか。
(2)右図のように壁が一定の速さ4.0m/sで左向きに動き続けているとき，8.0m/sの速さ
で当たった小球の，はね返されてくる速さはいくらか。
- 6 -
16(壁と球との衝突)左向きに25m/sの速さで飛んできた質量2.0kgの
物体が，壁と衡突して，右向きに15m/sの速さになった。
(1)物体と球の間の反発係数はいくらか。
(2)物体が壁から受けた力積を求めよ。
17(一直線上の衝突と力学的エネルギー)一直線上を，速さ4.0m/sで右向きに進む質量0.40kgの物体Ａが，
速さ2.0m/sで左向きに進む質量0.60kgの物体Ｂと正面衝突した。反発係数を0.50とすると，衝突後の
Ａ，Ｂの速度はどうなるか。まだこの衝突に際して失われた力学的エネルギーはいくらか。
18(壁と球との衝突)左向きに5.0m/sの速さで飛んできた小球が，一定の速度で
動き続ける壁と衝突して，右向きに5.0m/sの速さになった。壁と小球の間
の反発係数を2/3とするとき，壁の速度の向きと大きさを求めよ。
19(床との衝突)高さ1.0mから自由落下させた小球は，床ではね返っていくらの高さまで上がるか。ただし，
床と小球の間の反発係数は0.40とする。
20(斜め衝突)なめらかな面に小球が図のように衝突した。衝突直前の小球の速さが
3.0m/sであったとすると，
(1)衝突直前，直後の面に平行な速度成分の大きさを求めよ。
(2)小球と床の間の反発係数はいくらか。
(3)衝突直後の小球の速さはいくらか。
21(弾性衝突と速度の入れ換え)一直線上で，右向きに2.0m/sの速さで
運動していた物体Ｂに，同じく右向きに10m/sの速さで運動してき
た物体Ａが衝突する。Ａ，Ｂの質量がどちらも3.0kgであり，衝突
は弾性衝突であった。
(1)衝突直後のＡ，Ｂの速度を求め，衝突によって速度が交換されることを確認せよ。
(2)この衝突において，ＢがＡから受けた力積の向きと大きさを求めよ。
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