Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar Tahun : 2010 Transformasi Laplace Balik dan Grafik Aliran Sinyal Pertemuan 3 Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan : • Mahasiswa dapat menghitung pemodelan sistem fisik beserta dari domain Laplace ke domain waktu Outline Materi • • • • • • • • • • • Transformasi Laplace balik Sifat inverse Laplace Diagram blok Metode reduksi dengan Grafik Aliran Sinyal (Metode Mason) Ilustrasi penerapannya Tanggapan sistem Respons waktu Respons frekuensi Pengertian Respons sistem Respons transient Respons steady (mantap) Inverse Transformasi Laplace Transformasi Laplace Balik (Inverse Laplace Transform)adalah proses untuk mendapatkan fungsi waktu f(t) dari transformasi Laplace F(s). L-1[ F(s)] = f(t) f (t ) 2 j c j Metode inverse Transformasi Laplace: 1. Table look-up 2. Pecahan parsiil 1. Untuk pole berbeda 2. Mempunyai Pole berulang 3. Pole bilangan kompleks 1 c j F ( s) e st ds SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE BALIK Transformasi Linier Skala Frekuensi L 1 b1 .F1 s b2 . F2 s b1 . f1 t b2 . f 2 t L 1 F as a. f a.t Perkalian (Konvolusi) t 1 L F1sF2 s f1f2 t dt 0 Tanggapan sistem • Berupa output dari sistem bila sistem mendapat input • Tanggapan dapat berupa response yang dapat diamati dalam domain waktu time response dapat dibaca dengan alat bantu osiloskop • Tanggapan sistem Dapat juga diamati dalam domain frekuensi Frequency response dapat diamati dengan alat bantu spektrum analyser ataupun FFT analyzer •Pengertian Respons sistem •Respons transient •Respons steady (mantap) Daerah transient dan daerah steady state untuk sistem pengaturan lift Tanggapan sistem untuk sistem overdamped dan underdamped • Grafik aliran sinyal adalah diagram yang menggambarkan sekumpulan persamaan aljabar linier yang simultan. • Seperti halnya aplikasi diagram blok, grafik aliran sinyal dapat digunakan untuk menyatakan secara grafis untuk menggambarkan dinamika sistem pengaturan. • Grafik aliran sinyal digunakan secara luas dalam analisa dan desain sistem pengaturan. • • • • Dasar Grafik Aliran Sinyal Persamaan Aljabar : Xi = Aij Xj Variabel Xi dan Xj dapat merupakan fungsi waktu, kompleks frekuensi atau besaran lain bahkan suatu konstanta. • Aij disebut fungsi transmisi, merupakan operator matematis yang memetakan Xj ke Xi. • Grafik aliran sinyal persamaan aljabar diatas digambarkan sbb : Node Xj Aij Branch ( Cabang ) Node Xi • Aljabar grafik aliran sinyal – Aturan penjumlahan X1 A i1 X2 X3 n Xi Aij X j j 1 Xn - Aturan transmisi Xi = Aik Xk i = 1, 2, …, n k : tetap A i2 . . . . A i3 Xi A in X1 A 1k A 2k A 3k Xk A nk X2 X3 . . . .X n – Aturan perkalian • Xn = A21.A32.A43……An(n-1).X1 A 21 X1 A 32 X2 A n(n-1) X3 Xn-1 Xn A 21.A 32 ......... A n(n-1) X1 Xn • Definisi-definisi A 42 A 33 A 21 X1 A 32 X2 A 43 X3 A 23 X4 • Path adalah sederetan cabang-cabang yang kontinyu dan satu arah dimana tidak ada sebuah node yang dilalui lebih dari 1 kali. Path : X1X2X3X4 , X2X3X2 • Input node/source adalah suatu node hanya dengan cabang yang arahnya keluar. Source : X1 • Output node/sink adalah suatu node hanya dengan cabang yang arahnya masuk. Sink : X4 • Forward path adalah jalur dari input node ke output node. Forward path : X1X2X3X4 , X1X2X4 • Feedback path/loop adalah jalur yang bermula dan berakhir pada node yang sama. Feedback path : X2X3X2 • Self loop adalah feedback path yang terdiri dari sebuah cabang. Self loop : A33 • Gain dari suatu cabang adalah fungsi transmisi dari cabang itu jika fungsi transmisi merupakan operator perkalian. A33 adalah gain dari self loop jika A33 adalah konstanta atau fungsi alih. • Path gain adalah perkalian dari gain-gain cabang yang dilalui dalam menjalani path. Path gain dari forward path X1 ke X2 ke X3 ke X4 adalah A21A32A43. • Loop gain adalah perkalian dari gain-gain cabang dari suatu loop. Loop gain dari X2 ke X3 dan kembali ke X2 adalah A32A23. • Dummy Node • Node tambahan sesudah output, karena output harus di feedback kan. • Fungsi transmisi sama dengan 1, hasil tetap. X1 A1 X2 A2 X3 A3 X1 A1 X2 A2 X3 1 X4 X4 = Dummy Node Catatan : X3 = X4 • KONSTRUKSI GRAFIK ALIRAN SINYAL – Bentuk Persamaan Sistem • Membentuk persamaan simultan • Variabel N • N persamaan – Menyusun Node • Susunan dari kiri ke kanan • Dimungkinkan pengaturan penyusunan jika diperlukan – Hubungan antar Node • Hubungkan node-node dengan branch yang tepat – Output Node • Tidak bercabang • Bercabang – Output Node Bercabang • Bercabang sebagai feedback dari output • Perlu dummy node, sebagai output node • Unity gain branch pada dummy node – Dummy Node • Node “bantu” untuk perhitungan • Hasil akhir tetap karena unity gain branch. Diagram Blok G2 + R + G1 + + H1 Membuat Grafik Aliran Sinyal G2 R 1 G1 H1 1 C C • Diagram Blok G2 + R G1 + + + C H1 • Grafik Aliran Sinyal G2 R 1 1 G1 C H1 Fungsi Alih menurut Mason : Pii T i T : Ratio output dan input variabel. Pi : Forward path gain ke i. Pjk : Perkalian yang mungkin ke j dari k buah penguatan lup yg tidak bersentuhan. = determinan grafik 1 1 k 1 Pjk = k j 1 Pj1 Pj2 Pj3 ........ j j j = 1- ( jumlah semua lup gain ) + (jumlah dari semua perkalian gain 2 lup yang tidak bersentuhan ) – jumlah dari semua perkalian gain 3 lup yang tidak bersentuhan ) + ……dst i : kofaktor determinan ;yaitu dievaluasi semua lup yang menyentuh Pi dihilangkan. Contoh : Rangkaian Listrik + C V1 I1 - + R V2 - Hukum Kirchhoff (Notasi Laplace) I1 = sC (V1 - V2 ) V2 = I1 . R Grafik Aliran Sinyal V1 SC I1 R P1 = sC R P11 = - sC R = 1 - ( - sC R) 1 = 1 Gunakan rumus penguatan Mason -SC V R Cs V RC s 1 2 Rangkaian RC Seri V2 1 C + V1 I1 V2 R C I2 + R - I1 = V2 = V3 = V3 - SC (V1 - V2) R.(I1 - I2) I2.R I2 = sC (V2 - V3) SC V1 I1 -sC -R -sC R SC R V2 I2 V3 P1 = s 2 R2 C2 P11 = P21 = P31 = -sC R P12 = P11 P31 = s 2 R2 C2 = 1 - (P11 + P21 + P31) + P12 = 1 + 3 sCR + s2C2R2 1 = 1 s2C2R2 P11 T 1 3sCR s2C2R2 Mencari Fungsi Alih + R + - + G4 G1 + G2 G3 + + C + H1 H2 Grafik Aliran Sinyal H1 1 1 G1 G4 G2 G3 R 1 C -1 H2 Ada 2 Forward Path P1 P2 = = G1 G2 G3 G1 G4 Ada 5 Lup (Feedback) P11 = G1 G2 H 1 P21 = G2 G3 H 2 P31 = - G1 G2 G3 P41 = G4 H2 P51 = - G1 G4 Determinan Grafik = 1 - (P11 + P21+ P31 + P41 + P51) 1 = 1 2 = 1 C P P R 1 1 2 2 C G1G2G3 G1G4 R 1 G1G2 G3 G1G2H1 G2G3H1 G4H2 G1G4 Reduksi Diagram Blok Diagram Blok G3 + R + - + G1 G4 G2 H1 H2 + + + C G2 1 G1G4 G2 R Ada 2 Forward Path P1 = P2 = Ada 3 Lup P11 = P21 = P31 = = 1 H1 G1 G2 G4 G1 G3 G4 C H2 G1 G4 H 1 - G1 G2 G4 H 2 - G1 G3 G4 H 2 1 - (P11 + P21 + P31) Tidak ada lup yang tidak menyentuh 1= 2 = 1 Gunakan rumus penguatan Mason. 1 GG G GG G C R 1 G G H G G G H G G G H 1 1 R 4 1 2 4 1 1 2 4 3 2 4 1 3 4 C + - G H Fungsi Alih Blok diagram diatas : Pada rumus penguatan Mason, G Pii i GH 1 2 Dapat dicari : G G1G4 G2 G3 H GH G2 G3 H2 H1 G G 2 G3 Diagram Blok Tereduksi R + C G R 1 GH G1 G4 (G2 + G3) [ ( G2 + G3 ) H2 - H1 ] / ( G2 + G3) Penutup • Transformasi Laplace Balik (inverse Laplace transform) mengembalikan perhitungan ke domain waktu • Metode reduksi dengan Signal flow graph (grafik aliran sinyal) memudahkan penyederhanaan diagram blok yang rumit secara matematis dan juga grafis dengan formula Mason.
© Copyright 2024 Paperzz
