download

Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar
Tahun
: 2010
Representasi sistem, model,
dan transformasi Laplace
Pertemuan 2
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan :
• Mahasiswa dapat merumuskan kegunaan Model
matematika sistem pengaturan untuk sistem elektrik,
mekanik, proses dan hubungan input output dari
suatu sistem.
Outline Materi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sistem linear dan non linear
Persamaan diferensial
Arti fisis persamaan diferensial
Persamaan Diferensial untuk Sistem Orde 1, 2 & 3
Diagram blok
Aljabar diagram blok
Metode aljabar
Transformasi Laplace
Sifat2 transformasi Laplace
•Sistem linear dan non linear
•Sistem fisis umumnya bersifat non linier dalam tingkat tertentu
•Untuk daerah
kecil linear
sistem non-linier dpt dianggap linier
•Sistem
linearkerja
danygnon
•Pada
sistem
berlaku
hukum
superposisi
dimana
response
•Sistem
fisislinier
umumnya
bersifat
non
linier dalam
tingkat
tertentu
sistem
beberapa
input
yangnon-linier
berbeda merupakan
•Untukterhadap
daerah kerja
yg kecil
sistem
dpt dianggap linier
kombinasi jumlah dari masing-masing inputnya.
•Pada sistem linier berlaku hukum superposisi dimana response
•Untuk
linieritas
sustu
sistem
sistemmenguji
terhadap
beberapa
input
yangdengan
berbedasinusoidal
merupakantest
input
kombinasi jumlah dari masing-masing inputnya.
•Untuk menguji linieritas sustu sistem dengan sinusoidal test
input
Persamaan diferensial
1. PD time invaryant
2. PD time varyant
•Arti fisis persamaan diferensial
•Persamaan diferensial adalah setiap persamaan aljabar
atau transcendental equality yang melibatkan diferensial
atau turunannya
•Persamaan diferensial berguna untu menghubungkan laju
perubahan variabel dan parameter lainnya.
•Contoh hukum Newton 
•Hukum Hook 
•Persamaan Diferensial untuk Sistem
Orde 1, 2 & 3
d2
F (t )  M . 2 X (t )
dt
F  K ..x
• Model matematis dari sistem fisik:
–
–
–
–
–
–
–
Rangkaian RLC
Sistem mekanik massa , pegas dan damper
Model sistem termometer
Model aktuator hidraulik
Model liquid level system
Model motor servo
dsb
Diagram blok
•Representasi grafis dari sistem fisik
•Menggambarkan hubungan funsional antar komponen pada sistem
•Aljabar diagram blok
•Diagram blok sistem secara praktis sering sangat rumit, melibatkan
banyak feedback maupun feedforward loop dan multi input
•Perlu reduksi terhadap diagram blok yg rumit tersebut
•Cara aljabar dapat berupa aljabar grafis maupun persamaan aljabar
•Cara aljabar grafis sering disebut aljabar diagram blok
Metode aljabar
•Metode aljabar adalah upanya untuk penyederhanaan diagram blok yg
rumit dengan bantuan persamaan yg diturunkan dari diagram blok
Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai :

L [ f(t) ] = F(s) =
f ( t ).e  st .dt

0
f(t) : fungsi waktu t dimana f(t) = 0 untuk t < 0.
s : variabel kompleks.
L : simbol operator transformasi Laplace
F(s): transformasi Laplace dari f(t).
Transformasi Laplace
Transformasi Laplace
 Transformasi Laplace adalah suatu metoda operasi yang dapat digunakan
dengan mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.
 Operasi seperti diferensial dan integral dapat digantikan dengan operasi
aljabar dalam bidang kompleks.
Kemudahan dengan transformasi Laplace
 Dapat memprediksi harga akhir maupun harga awal sistem.
 Komponen transient dan steady state dapat diperoleh sekaligus.
Tabel Transformasi Laplace
Transformasi
Fungsi Waktu f(t)
Laplace F(s)
(t)
1
u(t)
1/s
Unit Ramp
t
1/s2
Polynomial
tn
n!/sn+1
Exponential
e-at
Differential
df
dt
Unit Impulse
Unit step
Integral
1
sa
sF(s)-f(0)
 fdt
Sine Wave
sin .t
Cosine Wave
cos .t
F(s) (1)
 f (0 )
s

s 
s
s 
2
2
2
2
Damped Sine Wave
e-at. sin .t

(s  a )  
Damped Cosine Wave
e-at. sin .t
sa
(s  a )  
2
2
2
2
SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
Transformasi Linier
L A. f t   A. F  s
 Penjumlahan
 Perkalian konstanta
Turunan (Derivative)
 Syarat awal diperlukan
Integrasi Riil
Syarat awal diperlukan
f t  t 0 lim s.F s
Teorema Harga Awal
s ~
 Mencari nilai awal sistem sebelum mendapat input
Teorema Harga Akhir
 Memprediksi nilai akhir respons sistem
 Menghitung output steady state input step
f t  t  lim
s.F (s)
s0
Skala Waktu
 Diperlukan untuk menormalkan terhadap fungsi waktu
 Dapat diterapkan ke fungsi yang mirip tapi berbeda waktunya
Translasi Waktu




t
L f a    aF as
 
L f t  a  eas F  s



Translasi Bidang S
F s  a  e . f t 
at
Translasi Kompleks
 Pergeseran ke bidang kompleks
 Bidang S  sumbu riil, sumbu imajiner
Perkalian 2 Fungsi Waktu (Konvolusi) 
f t  * f t 
1
2
Contoh :
Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi step berikut ini.
f(t) = 0
for t < 0
f(t) = A
for t > 0 dengan A adalah konstanta.

 st .dt
 f (t ).e
0
F(s) = L[ f(t) ] =
F(s) =

 st
 A.e .dt  
0

=

A
A
de  st   e  st |0

s 0
s
A
A
(e  e ) 
s
s

0
Fungsi step untuk A = 1 dinamakan fungsi unit step dan transformasi
Laplace dari fungsi unit step ini adalah :
F(s) =
1
s
f(t)
1
t
Contoh :
t0
t<0
U(t) = 3
=0
Lut   ?

Lut    ut e  st dt
0

L[u(t )]   3e st dt
0
L[u(t )] 
3
s
f (t )  e
Let   ?
 t  st

t


Le    e e dt
0
t
  s  1t
 e
dt
0
1

s 1
F s   s11  f t   et
Contoh Pemakaian Skala Frekuensi
Fs 
1
 f t   ?
3s  1 1
 1 
f1t   L 1

 3s  1
  s 
L 1F   af at 
  a 
a
1
3
f t   e t
1

1 3t
f t   e
3
DIAGRAM BLOK
– Diagram blok dari suatu sistem merupakan
penggambaran grafis dari fungsi-fungsi yang dilakukan
oleh setiap komponen. Keterkaitan yang ada di antara
berbagai komponen dinyatakan dengan arah aliran
sinyal.
– Sistem pengaturan yg terdiri dari beberapa komponen.
Untuk menunjukkan fungsi-fungsi yang dilakukan oleh
setiap komponen digunakan diagram blok.
Diagram Blok
R(s) +
E(s)
-
C(s)
G(s)
B(s)
H(s)
Fungsi Alih
C(s) = G(s) E(s)
…..…( 1 )
E(s) = R(s) – B(s )
E(s) = R(s) – C(s) H(s) ……..( 2 )
Eliminasi E(s) dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ).
C(s) = G(s) R(s) – G(s) C(s) H(s)
C(s)

( 1 + G(s).H(s) ) C(s) = G(s) R(s)
R(s)
G(s)
1  G(s)H(s)
Forward Transfer Function
• Fungsi alih arah maju
• Perbandingan antara sinyal output dengan
sinyal error
Feedback Transfer Function
• Fungsi alih arah umpan balik
• Perbandingan antara sinyal feed back dengan
sinyal output.
B(s)
 H(s)
C(s)
Open Loop Transfer Function
B(s)
 G(s)H(s)
• Fungsi alih lup terbuka
E(s)
• Perbandingan antara sinyal umpan balik
dengan sinyal error
• Positive Feedback
Sinyal feedback mempunyai tanda yang
sama dengan sinyal output.
Negative Feedback
Sinyal feedback mempunyai tanda
berlawanan dengan sinyal input.
Persamaan Karakteristik
Bagian penyebut fungsi alih
1 + G(s) H (s) = 0
Reduksi Diagram Blok
• Penyederhanaan sistem
• Prediksi overall performance
Model Matematis
• Memudahkan analisis
• Memudahkan modifikasi
• Sistem tidak unique
• Tidak memuat informasi rangkaian atau
konstruksi
Reduksi diagram blok / Aturan penyederhanaan blok/
G1
1.
G2
G1G2
G1
+
G1
+
2.
-
G2
G2
+
G1
-
G1
1 + G1G2
3.
G2
X
4.
G
Y
Y
X
G
G
Y
Y
Aturan penyederhanaan blok
5.
G
X
Y
G
X
Y
1/G
X
X
6.
G
X
+
Z
X
-
+
G
Z
1/G
Y
Y
7.
X
+
G
-
Z
X
G
+
Z
Y
1/G
Y
Reduksi diagram Blok
G3
Contoh
R
+
+
+
-
G1
G4
G2
+
C
+
H1
H2
R
+
C
+
-
G1G4
G2+G3
+
H1
H2
Reduksi Blok diagram
R
G1G4
+
C
G2+G3
1-G1G4H1
-
H2
R
G1G4 ( G2+G3 )
+
-
1-G1G4H1
H2
C
penutup
• Sistem pengaturan dapat berupa sistem linier ataupun non-linier
• Model matematis perlu untuk analisis sistem pengaturan
• Pernyataan sistem dalam diagram blok membantu menjelaskan
hubungan fungsional antar komponen.
• Reduksi diagram blok perlu dilakukan untuk memudahkan analisis
maupun sintesis serta modifikasi sistem jika diperlukan.

Download Report