Matakuliah
Tahun
: K0594 – Kalkulus II
: Tahun 2008/2009
Geometri Dalam Bidang
Pertemuan 16
ELIPS dan HIPERBOLA
adalah konik yang memenuhi persamaan :
| PF | = e | PL |
Baik elips maupun hiperbola mempunyai dua
puncak yang terletak pada sumbu utama.
Titik tengah dari kedua puncak disebut
pusat konik. Elips dan hiperbola disebut
konik terpusat.
Pusat di titik asal : O ( 0 , 0 )
Sumbu utama : Sumbu X
Fokus
: F1 ( c , 0) dan F2 (- c , 0)
Garis arah
: x1 = k
dan x2 = - k
Puncak
: A1 (a , 0) dan A2 ( - a , 0 )
Titik pada kurva :P ( x , y )
Garis arah
x2 = - k
Garis arah
x1 = + k
Y
P(x,y)
A2
F2(-c,0)
O
L(+k,y)
A
F1(+c,0) 1
X
Y
P(x,y)
L(x,y)
F2(-c,0)
A2
A1
F1(+c,0)
O
Garis arah
x2 = - k
Garis arah
x1 = + k
X
| PF | = e | PL |
P = A1
a-c=
e(k-a) =ek-ea
P = A2
a + c=
e ( k + a )= ek + e a
Dari kedua persamaan di atas, diperoleh :
c
k
=
=
a.e
a/e
Titik pada kurva : P ( x , y )
Fokus
:F1 ( c,0 ) = F1 ( ae,0 )
Proyeksi P pada garis arah: L1 ( k,y ) = L1 ( a/e,y )
| PF | = e | PL |
a 2
( x  ae)  ( y  0)  e ( x  )  ( y  y )2
e
2
2
Setelah disederhanakan, diperoleh :
x2
y2
 2
1
2
2
a
a (1  e )
Dalam persamaan di atas terdapat hanya
suku-suku x dan y yang genap pangkatnya,
artinya elips dan hiperbola letaknya simetris
terhadap sumbu X, sumbu Y dan titik asal O.
Karena kesimetrisan ini, maka harus ada
fokus dan garis arah kedua.
Fokus :
F1 ( +c , 0 ) =
F1 ( +a e , 0 )
F2 ( - c , 0 ) =
F2 ( - a e , 0 )
Garis arah : x1 = + k = + a / e
x2 = - k = - a / e
Puncak :
A1 ( +a , 0 )
A2 ( - a , 0 )
Persamaan Baku Elips
Nilai eksentrisitas untuk elips :
0<e<1
1 - e2 > 0
Persamaan yang diperoleh di atas :
x2
y2
 2
1
2
2
a
a (1  e )
Jika kita misalkan :
b2  a 2 (1  e 2 )
Persamaan baku elips mendatar (sumbu
utama pada sumbu X) dengan pusat di titik
asal O (0,0), puncak di titik A (±a,0) dan fokus
di titik F (±c,0) adalah :
x 2 y2
 2 1
2
a
b
Bilangan 2a
Bilangan 2b
:
:
garis tengah panjang.
garis tengah pendek.
b2 = a2( 1 - e2 ) = a2 - a2 e2 = a2 - c2
( karena c = a e )
a2 = b2 + c2 (hubungan Pythagoras )
Garis arah
x2 = - a/e
Garis arah
x1 = + a/e
Y
P (x,y)
X
F2 (-ae,0)
O
F1 (+ae,0)
Pengaruh Perubahan Nilai e pada Elips
• Jika e mendekati 1 (eksentrisitas besar), maka b  a (1  e 2 )
kecil dibandingkan dengan a, artinya elips bentuknya
tipis dan memanjang.
• Jika e mendekati 0 (eksentrisitas kecil), maka b  a (1  e 2 )
mendekati a, artinya elips bentuknya tebal dan hampir
mendekati lingkaran.
• Jika e sama dengan 0 (eksentrisitas nol), maka b
sama dengan a, artinya elips menjadi lingkaran b  a (1  e 2 )
Persamaan lingkaran dengan pusat di titik O (0,0)
dan jari-jari a :
x 2 y2
 2 1
2
a
a
x2 + y2 = a2
Pengaruh Pertukaran Nilai x dan y pada Elips
Jika nilai x dan y dipertukarkan,
maka persamaan di atas menjadi :
y2
x2
 2 1
2
a
b
Persamaan ini merupakan persamaan elips
tegak (sumbu utama pada sumbu Y) dengan
puncak berada di titik A (0, ±a).dan fokus di
titik F (0, ±c).
Persamaan Baku Hiperbola
Nilai eksentrisitas untuk hiperbola :
e >1
e2 - 1 > 0
Persamaan yang diperoleh di atas :
x2
y2
 2
1
2
2
a
a (1  e )
2
2
2
b

a
(
e
 1)
:
Jika kita misalkan
Persamaan baku hiperbola mendatar (sumbu
utama pada sumbu X) dengan puncak di titik A
(±a,0), dan fokus di titik F (±c,0) adalah :
2
2
x
y


1
2
2
a
b
b2 = a2 ( e2 - 1 ) = a2 e2 - a2 = c2 - a2
( karena c = ae )
c2 = a2 + b2 ( hubungan Pythagoras )
Y
P (x,y)
F2 (-ae,0)
Garis arah
x1 = - a/e
O
F1 (+ae,0)
Garis arah
x2 = + a/e
X
Penafsiran Nilai b pada Hiperbola
Persamaan di atas :
x2
y2

1
2
2
a
b
atau
b
y
x2  a2
a
Jika nilai x besar, maka nilai
x2  a2
hampir sama dengan nilai x, sehingga
b
y  x
a
merupakan persamaan garis asimptot dari
hiperbola.
Pengaruh Pertukaran Nilai x dan y pada Hiperbola
Jika nilai x dan y dipertukarkan,
maka persamaan di atas menjadi :
2
2
y
x
 2 1
2
a
b
Persamaan ini merupakan persamaan
hiperbola tegak (sumbu utama pada
sumbu Y) dengan puncak berada di titik A
(0, ±a).dan fokus di titik F (0, ±c).

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download