GRUP SIKLIS, KOMPLEKS
dan SUBGRUP
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat membuktikan
bahwa suatu sistem adalah grup, grup
periodik grup siklis dan subgrup
Cakupan
– Grup Siklis
– Kompleks
– Subgrup
GRUP SIKLIS
•
•
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Grup siklis adalah grup yang setiap
elemennya dapat ditulis an (n=bil.bulat).
Elemen a disebut generator. Ingat unkes
e=a0.
Contoh: Periksa apakah grup berikut ini
siklis/tidak. Cari generatornya.
Grup ({1,1}, )
Grup (R{0}, )
Grup ({x4=1, xC}, )
Grup (R, +)
Grup ({0,1,2,3}, +4}
Grup ({1,2,3,4}, 5)
Grup (Z, +)
Grup (P(A), )
Grup ({a,a2,a3,a4,a5,a6=e},)
Sifat Grup Siklis
• Grup siklis pasti abelian
• Order grup siklis = order generatornya
• Generator grup yang berorder n adalah
elemen yang berbentuk ap, p prima
terhadap n.
Kompleks dan Subgrup
• Kompleks = subset grup, belum tentu
berupa grup.
• Subgrup = subset grup, yang merupakan
grup juga.
• Subgrup trivial dari G adalah G dan {e}.
Subgrup selain itu adalah subgrup sejati.
• Grup yang tidak mempunyai subgrup
sejati disebut grup sederhana (simple
grup)
Contoh: Periksa kompleks atau
subgrup?
1.
2.
3.
4.
5.
(Z,+) dan (Q,+)
(Q+,) dan (R{0},)
({1,1}, ) dan ({x4=1, xC}, )
({0,2,4},+6) dan ({0,1,2,3,4,5},+6)
Matriks diagonal 22 dengan det0
dan
matriks riil 22 dengan det0, dengan operasi
M
6. (N,+) dan (Q,+)
7. (Q,) dan (R{0},)
Teorema
•
•
Suatu subset H dari G adalah subgrup
jika dan hanya jika ab H, untuk setiap
a,b H, dan a-1 H, untuk setiap x H.
Syarat cukup dan perlu agar subset tak
kosong H dari grup G merupakan
subgrup adalah a.b-1 H, untuk setiap
a,b H.
Sifat
1. Irisan dua subgrup dari grup G adalah
subgrup dari G juga.
2. Gabungan dua subgrup dari grup G
adalah subgrup dari G, jika dan hanya
jika yang satu tercakup dalam yang lain.
3. Setiap subgrup dari grup siklis adalah
siklis juga.
4. Setiap subgrup dari grup siklis tidak
berhingga adalah tak berhingga.
Penutup
– Grup Siklis, setiap elemennya berbentuk an
(a=generator)
– Kompleks, subset dari grup
– Subgrup, subset dari grup yang juga merupakan
grup
© Copyright 2024 Paperzz
