Materi Pokok 01
TEORI HIMPUNAN (GUGUS)





Himpunan adalah kumpulan obyek
Obyek dalam sebuah himpunan disebut anggota atau unsur
Penulisan himpunan
 Listing Method
 Description Method
Listhing Method
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Description Method
A = {x | 1  x  6 ; x bilangan bulat}




Beberapa notasi
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1  A, 2  A, 3  A, 4  A, 5  A, 6  A
 = anggota himpunan
 = bukan anggota himpunan
7  A, 8  A, 10  A.
A  B,  = himpunan bagian
Definisi himpunan bagian : Jika setiap anggota himpunan A
adalah juga anggota himpunan B ; A  B
Himpunan A = B jka dan hanya jika A  B dan B  A
Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan
himpunan kosong ;  atau { }




Jika A dan B adalah himpunan sedemikian rupa sehingga A  B
tetapi A  B, maka A adalah proper subset dari himpunan B;
AB
Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari setiap
himpunan.
Operasi dasar himpunan:
 Gabungan (union); 
 Irisan (intersection); 
 Komplemen (complement)
Diagram Venn, Himpunan Bagian dan Himpunan Semesta.
S
A
S
B
A
B
AnB
AUB
S
A
S
B A
B
AnB
AUB
S
S
S
A B
A
B
A
A
AUB
AC
AB = {x x A atau x B atau keduanya}
AB = {x x A dan x B}
AC = {xx S, x A}
n B = {}
Operasi beda = A-B = AnBC
S
A
S
B
B A
AnB
(a)
(b)
S
A
S
A B
B
AUB
AUB
(c)
(d) A-B = {}
Operasi dengan tiga atau lebih subset
1 ABC
S
3  A  BC  C
3
7 C
4
A 5
1
2  A  B  CC
4  AC  B  C
2
5  A  BC  C C
6  A C  B  CC
6 B
8
7  A C  BC  C
8  A C  BC  C C
Aturan dan Hukum Operasi Himpunan (Gabungan, Irisan dan
Komplementasi)
1. A  B = B  A ; Hukum komutatif bagi gabungan
2. A  B = B  A ; Hukum komutatif bagi irisan
3. A  (B  C) = (A  B)  C ; Hukum asosiatif bagi gabungan
4. A  (B  C) = (A  B)  C ; Hukum asosiatif bagi irisan
5. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; Hukum distribusi bagi
gabungan
6. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) ; Hukum distribusi bagi irisan
7. Sc = 
8.  = S




9. (Ac)c = A
10.A  Ac = S
11.A  Ac = 
12.(A  B)c = Ac  Bc ; Hukum De Morgan
13.(A  B)c = Ac  Bc ; Hukum De Morgan
Jumlah Anggota dalam Himpunan Berhingga
n(A) = Jumlah anggota himpunan A
n(B) = Jumlah anggota himpunan B
n(C) = Jumlah anggota himpunan C
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)
n(A  B) = n(A) + n(B) ; n(A  B) = 0
N(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A  B) - n(A  C) -n(B
 C) + n(A  B  C)
Teknik-teknik perhitungan
 Diagram pohon
 Prinsip perkalian
 Permutasi
 Kombinasi
 Diagram Pohon :
X menuju ke Z lewat Y
susunan cara
pesawat
pesawat-pesawat
pesawat
bis
pesawat-bis
pesawat
kereta-pesawat
X
kereta
bis
kereta-bis
pesawat
bis-pesawat
bis
bis
bis-bis




Prinsip Perkalian
 Bila suatu operasi dilakukan dengan n1 cara,
 Setiap cara ini dilakukan dengan n2 cara
 Kedua operasi dapat dilakukan dengan n1 n2 cara
 Sederetan k operasi dapat dilakukan dengan n1 n2 n3 … nk cara
Permutasi n benda yang berlainan = n!
Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus
adalah
n!
P 
n r

(n  r)!
Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar
adalah (n - 1)!

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1
diantarana berjenis pertama, n2 berjenis kedua, …, nk berjenis ke
n!
k adalah
n !n !...n !
1



2
k
Banyaknya cara menyekat suatu himpunan n benda dalam r sel,
masing-masing berisi n1 unsur dalam sel pertama, n2 dalam sel
n

kedua dst ….., adalah 
n!



 n1 , n 2 ,..., n 3  n1!n 2 !...n r !
dengan n1 + n2 + ….. + nr = n
Kombinasi ialah susunan dari semua atau sebagian dari anggotaanggota sebuah himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan.
Banyaknya kombinasi beranggota r (r < n) yang dapat dibentuk
dari n buah obyek yang berbeda satu sama lain adalah.
n
n!
C(n, r)    
 r  r!(n  r)!

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download